Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập tới các bài toán dãy số. Tuy nhiên tài liệu này chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm công thức tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan như tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn một vài dãy số… Luận văn sẽ nghiên cứu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Công thức tổng quát của dãy số và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- HOÀNG VĂN KHÁNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Hà Nội - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------- HOÀNG VĂN KHÁNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM VĂN QUỐC Hà Nội - 2015
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................. 1 Chương 1 ........................................................................................................... 2 Một số kiến thức chuẩn bị ................................................................................. 2 1. Dãy số ........................................................................................................ 2 1.1 Một số khái niệm về dãy số ................................................................. 2 1.2 Cách xác định một dãy số ................................................................... 2 1.3 Một số dãy số đặc biệt......................................................................... 2 2. Một số tính chất số học ............................................................................. 3 2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên ............................. 3 2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương ............................................... 4 Chương 2 ........................................................................................................... 5 Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số ........................ 5 1. Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa .......................................................................................................... 5 2.Phương pháp sai phân .............................................................................. 10 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất ............................. 10 2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát ............................... 11 3. Phương pháp tìm công thức tổng quát dãy số bằng định hướng bởi công thức lượng giác ............................................................................................ 20 Chương 3 ......................................................................................................... 30 Một số bài toán liên quan đến công thức tổng quát của dãy số ...................... 30 1. Tính tổng của một dãy số ........................................................................ 30 2. Dãy số và tính chất số học của dãy số..................................................... 34 2.1 Tính chính phương của dãy số .......................................................... 34 2.2 Toán chia hết và phần nguyên .......................................................... 43 3. Dãy số và giới hạn của dãy số ................................................................. 52 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 69
LỜI NÓI ĐẦU Dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích toán học, nó không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn đóng vai trò quan trọng phục vụ cho việc tính toán trong phương trình hàm, lý thuyết biểu diễn, hay cụ thể hơn là những bài toán thực tế như tính lãi xuất ngân hàng, tính số nhiễm sắc thể, tính số phân bào… Hiện nay có rất nhiều tài liệu đề cập tới các bài toán dãy số. Tuy nhiên tài liệu này chủ yếu quan tâm tới hai mảng chính: tìm công thức tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan như tính tổng, xét tính chất số học, tính giới hạn một vài dãy số… Mục đích của luận văn là khái quát một cách hệ thống những phương pháp tìm công thức tổng quát của dãy số hay dùng và một số bài toán liên quan hay được đưa ra trong các kỳ thi học sinh giỏi, OLYMPIC 30/4, hay một số kỳ thi khác. Luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn tóm tắt một số định nghĩa và tính chất số học hay dùng Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số Chương này tác giả đề cấp tới 3 phương pháp chính để tìm công thức tổng quát của dãy số: phương pháp đổi biến đưa về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa; phương pháp sai phân; phương pháp sử dụng định hướng bởi công thức lượng giác. Chương 3: Một số bài toán liên quan tới công thức tổng quát của dãy số Chương này đề cập tới vấn đề tính tổng dãy số bất kỳ, tính chất số học của dãy số, giới hạn của dãy số. Luận văn được hoàn thành với sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS. PHẠM VĂN QUỐC. Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các quý cơ quan đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt để luận văn hoàn thành đúng thời hạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo đã nhiệt tình giảng dạy cung cấp thêm cho chúng em kiến thức. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến những người thân, bạn bè và các đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12/2015 Tác giả Hoàng Văn Khánh 1
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1. Dãy số 1.1 Một số khái niệm về dãy số Định nghĩa 1: Dãy  un  (hoặc un  ) là dãy các số u1 , u2 , ... , un tuân theo một quy luật nào đó được gọi là dãy số. + Nếu dãy  un  có vô hạn phần tử ta nói dãy  un  là dãy số vô hạn. + Nếu dãy  un  có hữu hạn phần tử ta nói dãy  un  là dãy số hữu hạn. + Số u1 được gọi là số hạng đầu của dãy, ui được gọi là số hạng thứ i của dãy (1  i ). 1.2 Cách xác định một dãy số a. Dãy số cho bởi công thức tổng quát n Ví dụ 1: un  . n 1 1 2 3 n Có un  : ; ; ; ... ; ; ... . 2 2 1 3 1 n 1 b. Dãy số cho bởi công thức truy hồi Ví dụ 2 : Dãy Phibonacci  u1  u2  1  (n  3). un  un1  un2 Khi đó un  :1;1; 2 ; 3 ; 5 ; ... c. Dãy số cho bằng phương pháp mô tả Ví dụ 3 : Cho số   3,141592653589... Lập dãy  un  là giá trị gần đúng của  , lấy từ số thập phân thứ nhất đến thứ n. Như thế ta có dãy u1  3,1; u2  3,14 ; u3  3,141; .... 1.3 Một số dãy số đặc biệt a. Cấp số cộng 2
Định nghĩa 2 : Dãy số u1 , u2 , ... , un ,... được gọi là cấp số cộng với công sai d nếu un1  un  d n  1 . Tính chất : 1i; un  u1  (n  1)d n  1 un1  un1 2i; un  n  2 2 3i; sn  u1  u2  ..  un  u1  un  2u  (n  1)d  . .n  n. 1 2 2 b. Cấp số nhân Định nghĩa 3 : Dãy số u1 , u2 , ... , un ,... được gọi là cấp số nhân với công bội q nếu un1  un .q n  1. Tính chất : 1i; un  u1.q n1 n  1 2i; un2  un1.un1 n  2 qn  1 3i; sn  u1  u2  ..  un  u1 . q 1 2. Một số tính chất số học 2.1 Một số tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên Định nghĩa 4 : Cho a , b  Z ta nói a chia hết cho b (kí hiệu a b ) hay a là bội của b hoặc b là ước của a nếu k  Z sao cho a  bk . Trường hợp ngược lại ta nói a không chia hết cho b (kí hiệu a  b ). Định nghĩa 5 : Cho số p  Z  ; p  2 , ta nói p là số nguyên tố nếu p chỉ có 2 ước nguyên dương 1 và p. Định nghĩa 6 : Ta nói số a đồng dư b modul m nếu a và b cùng có số dư khi chia cho m. Kí hiệu : a  b(mod m) . Tính chất : 3
 a  b(mod m)  a  b  0  mod m   a  b (mod m)   1 1  a1  a2  b1  b2 (mod m)   2 2 a b (mod m )  a  b (mod m)   1 1  a1.a2  b1.b2 (mod m)   2 2 a b (mod m )  a  b(mod m)  a k  b k (mod m). 2.2 Hàm phần nguyên và số chính phương a. Hàm phần nguyên Định nghĩa 7: Phần nguyên của một số là số nguyên lớn nhất không vượt quá số đó. Kí hiệu : Cho số x  R ta kí hiệu  x  là phần nguyên của số x . Tính chất :   x  a  x  a  d (0  d  1; x  0)  a  x  a  1   x   a (a  Z :; x  0)   x    y    x  y . b. Số chính phương Định nghĩa 8 : Số n  N được gọi là số chính phương nếu k  N sao cho n  k2 . Tính chất : Điều kiện cần để một số là số chính phương là số đó phải có chữ số tận cùng là 0,1, 4, 5, 6, 9 4
Chương 2 Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số 1. Phương pháp đổi biến đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa Một dãy số bất kỳ, sau một hoặc một vài phép đổi biến khéo léo ta sẽ đưa dãy số về cấp số cộng, cấp số nhân hay dãy lũy thừa. Từ đó sẽ tìm được công thức tổng quát của dãy số mới và dãy số đã cho. Cấp số cộng: Nếu un1  un  d ; n thì công thức tổng quát un  u1  (n  1)d (n  2). Cấp số nhân: Nếu un1  un .q; n thì công thức tổng quát un  u1.q n1 (n  2). Dãy lũy thừa: n 1 Nếu un1  unk n thì công thức tổng quát un  u1k (n  2). Chúng ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ hơn phương pháp này. Bài toán 1. Cho dãy số :  u1  1  un  2un1  3. Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Đặt un  vn  3 .  v1  2  v  2 Ta có dãy số   1 vn  3  2(vn1  3)  3 vn  2vn1. Do vn là một cấp số nhân với v1  2 ; q  2 nên: vn  v1.q n1  2n . Vậy un  2n  3 là công thức tổng quát của dãy đã cho. Bài toán 2. Cho dãy số :  u1  1; u2  2  un  3un1  2un2 ; (n  3). 5
Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Ta có thể biến đổi :  u1  1; u2  2  un  2un1  un1  2un2 . Đặt vn  un  2un1 .  v 0 Ta có dãy  2 (n  3) . v   n n1 v Vì vn là dãy số hằng nên vn  0 .  u1  1  u 1 Do đó :   1 un  2un1  0 un  2un1. Nên un là cấp số nhân với u1  1; q  2 . Vậy un  2n . Bài toán 3. Cho dãy số  u1  2  (n  2). un  un1  2n  1 Tìm công thức tổng quát của un . Bài giải : Đặt un  vn  n2  2n ta có dãy  v1  1  vn  n  2n  vn1  (n  1)  2(n  1)  2n  1 2 2  v  1  1 vn  vn1. Do đó vn là cấp số nhân với v1  1, q  1 . Nên vn  1. Vậy un  n2  2n  1. Bài toán 4. Cho dãy số 6
 u1  1  (n  2). un  3un1  2 n Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Đặt un  vn  2n1 ta có dãy  v1  5  n 1 vn  2  3(vn1  2 )  2 n n  v 5  1 vn  3vn1. Có vn là cấp số nhân với v1  5 , q  3 . Nên vn  v1.q n1  5.3n1 . Vậy có un  5.3n1  2n1 . Bài toán 5. Cho dãy  u0  1; u1  3  (n  2). un  4un1  3un2  5.2 n Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Đặt vn  un  4.5.2n ta có dãy  v0  19 ; v1  43  n 1 n2 (n  2) vn  20.2  4(vn1  20.2 )  3(vn2  20.2 )  5.2 n n  v  19 ; v1  43  0 vn  4vn1  3vn2  0  v0  19 ; v1  43  vn  3vn1  vn1  3vn2 .  z  14 Đặt zn  vn  3vn1 . Ta có dãy :  1  zn  zn1.  v1  43 Vì zn là dãy hằng nên . Khi đó  vn  3vn1  14. 7
 y  43 Đặt yn  vn  7 , có dãy:  1  yn  3 yn1 là cấp số nhân có y1  36 , q  3 nên yn  36.3n1  4.3n1 ; vn  4.3n1  7 . Vậy un  4.3n1  5.2n2  7. Đôi khi dãy số cho bởi công thức truy hồi, không ở dạng tuyến tính mà ở dạng phân thức. Ta cần biến đổi thật khéo léo, để làm xuất hiện dạng tuyến tính và đưa về bài toán đơn giản đã xét. Bài toán 6. Tìm công thức tổng quát dãy un :  u1  2   9un1  24 (n  2). un  5u  13  n 1 Bài giải : Đặt vn  un  2 , ta có dãy :  v1  4   9  vn1  2   24 vn  2  5(v  2)  13  n 1  v1  4    1 5vn1  3 3 v    5.  n vn 1 vn 1  1 1  z1  Đặt zn  ta có dãy  4 vn  zn  3.zn1  5. 5 Đặt yn  zn  có 2 8
 11  y1  4   y  5  3( y  5 )  5  n 2 n 1 2  11  y1   4  yn  3 yn1. 11 Do yn là cấp số nhân có y1  , q  3 nên : 4 11 11 5 4 yn  .3n1; zn  .3n1  ; vn  n 1 .; 4 4 2 11.3  10 24  22.3n1 Vậy un  . 11.3n1  10 Bài toán 7. Cho dãy số  u1  2  un1  8un . 4 Xác định công thức tổng quát của dãy. Bài giải: 4 v v  Đặt vn  2un , ta được n1  8  n   vn1  vn4 với v1  4 . 2 2 n 1 n 1 Như vậy ta có dãy lũy thừa vn , do đó vn  v14  44 . 1 n 1 Vậy ta có un  .44 . 2 Bài toán 8. Cho dãy số  u1  2  un1  2un  4un  1. 2 Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải: 9
vn Đặt vn  2  un  1 hay un   1 ta có 2 2 vn1 v  v   1  2  n  1  4  n  1  1 2 2  2  vn1 vn2   1   2vn  2  2vn  4  1 2 2  vn1  vn , ở đó v1  2  u1  1  6 . 2 n 1 n 1 Như vậy ta thu được dãy lũy thừa vn và tính được vn  v12  62 . 1 n 1 Vậy công thức tổng quát un  .62  1 . 2 Bài toán 9. Cho dãy số  u1  2  un1  8un  16un  12un  4un . 4 3 2 Xác định công thức tổng quát của dãy số. Bài giải: vn  1 Đặt vn  2un  1 hay un  ta có dãy 2 vn1  1  vn  1   vn  1   vn  1   vn  1  4 3 2  8   16    12    4  2  2   2   2   2   vn1  1  (vn4  4vn3  6vn2  4vn  1)  4(vn3  3vn2  3vn  1)  6(vn2  2vn  1)  4  vn  1  vn1  vn4 , ở đó v1  2u1  1  5 . n 1 n 1 Ta thu được dãy lũy thừa vn và tính được vn  v14  54 . n 1 54  1 Vậy công thức tổng quát của dãy un  . 2 2.Phương pháp sai phân 2.1 Xét phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất có dạng 10
Ln ( xn , xn1 , ...)  0 (1) . Trong đó Ln ( xn , xn1 , ...)  xn  a1xn1  a2 x n2  ...  ai xni . Phương trình (1) có phương trình đặc trưng :  n  a1 n1  a2 n2  ...  a1 ni  0 (2) . TH1 : Phương trình (2) có đủ  i nghiệm phân biệt. Khi đó phương trình (1) có nghiệm là : xn  A11n  A2 2n  ...  Aiin . TH2 : Có nghiệm kép  j (1  j  i) bội s thì xn  A11n  A2 2n  ...  Qs1 (n). Aj nj  ...  Aiin . Với Qs1 (n) là đa thức bậc s  1 ẩn n. TH3 : Có nghiệm phức  j  r (cos  isin  ) thì xn  A11n  A2 2n  ...  r n (cosn  isin n )  ...  Aiin . 2.2 Xét phương trình sai phân tuyến tính tổng quát Ln ( xn , xn1 , ...)  f n (3) . Trong đó Ln ( xn , xn1 , ...)  xn  a1xn1  a 2 x n2  ...  ai xni . Ta đi tìm nghiệm tổng quát xn  xn  xn* . Trong đó : xn là nghiệm phương trình sai phân tổng quát (3), xn là nghiệm phương trình sai phân thuần nhất (1), xn* là nghiệm riêng. Tìm xn* : TH1 : f n  Pm (n) là đa thức bậc m ẩn n. + Nếu nghiệm i  1; i . xn*  Qm (n) . + Nếu nghiệm i  1 bội s nào đó. xn*  n s .Qm (n) . TH2 : f n   n .Pm (n) . 11
+Nếu i   ; i . xn*   nQm (n) . +Nếu  j   ;1  j  i bội s. xn*  n s  nQm (n) . Việc tìm xn* ta thay trực tiếp vào phương trình được các hệ số của sai phân tổng quát, để tìm được các hệ số của xn* . Để rõ hơn về phương pháp này ta đi xét một số bài toán cụ thể sau. Bài toán 1. Cho dãy số  u1  0 ; u2  1  (n  2). un1  un  2un1  0 Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Phương trình đặc trưng tương ứng :   1 2   2  0      2. Do đó nghiệm : un  A.(1)n  B.(2)n . Mà u1  0 ; u2  1 ta có hệ  1  A  A  B  0  3    A  4B  1 B  1 .  6 1 1 Vậy un  .(1)n  .(2) n . 3 6 Bài toán 2. Cho dãy số  u0  u1  1  (n  1).  n1 u  6u n  9u n 1  0 Tìm công thức tổng quát của dãy số. 12
Bài giải : Phương trình đặc trưng tương ứng:  2  6  9  0    3 (nghiệm kép). Do đó nghiệm : un  (an  b).3n . Mà u0  u1  1 ta có hệ  2  b 1 a    3 (a  b)3  1  b  1.  2 Vậy un  ( n  1)3n. 3 Bài toán 3. Cho dãy số  1  x1  x2   2 (n  1).  xn 2  xn1  xn  0 Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Phương trình đặc trưng tương ứng :  1 3    i 2 2   1 0   2  1 3    i.  2 2 1 3 2 2 Xét nghiệm    i  cos  isin . 2 2 3 3 2n 2n Do đó nghiệm : xn  Acos  B sin . 3 3 1 Mà x1  x2  ta có hệ 2  1 3 1  A  B  A 1 2 2 2     1 A  3 B  1  B  0.  2 2 2 13
2n Vậy xn  cos . 3 Bài toán 4. Cho dãy số xn3  xn2  xn1  xn  0. Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Phương trình đặc trưng tương ứng :   1 3  2  1 0     i.   Xét nghiệm   i  cos  isin . 2 2 n n Vây : xn  A(1)n  Bcos  C sin . 2 2 Bài toán 5. Cho dãy số  x1  4 ; x2  3  (n  1).  xn2  xn1  6 xn  n  1 (*) Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Phương trình đặc trưng tương ứng :   2  2    6  0      3. Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng : xn  A.(2)n  B.(3)n . Có các nghiệm   1 nên nghiệm riêng xn*  an  b. Thay vào phương trình (*) :   a  n  2   b    a  n  1  b   6(an  b)  n  1  6an  6b  a  n  1. 14
 1  a   6a  1 6 Đồng nhất hệ số ta có :   6b  a  1 b  7 .  36 1 7 Ta được : xn*  n  ; 6 36 1 7 xn  xn  xn*  A(2)n  B(3)n  n  . 6 36 Mà x1  4 ; x2  3 ta có hệ  1 7  14 2 A  3B  6  36  4  A  9   1  4 A  9B   7 B   5 . 3  3 36  12 14 5 1 7 Vậy xn  (2)n  (3)n  n  . 9 12 6 36 Bài toán 6. Cho dãy  x1  x2  1  (n  1). 2 xn2  5 xn1  2 xn  (35n  51)3 n (*) Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Phương trình đặc trưng tương ứng :    2 2  5  2  0   2 1   .  2 1 n Do đó nghiệm phương trình thuần nhất tương ứng : xn  A.(2)n  B.( ) . 2 Có các nghiệm   3 nên nghiệm riêng xn*  (an  b).3n . Thay vào phương trình (*) : 15
2  a  n  2   b .3n 2   5  a  n  1  b  .3n1  2(an  b)3n   35n  51.3n  18(an  2a  b)  15(an  a  b)  2(an  b)  35n  51  35an  51a  35b  35n  51 T  35a  35  a 1   51a  35b  51 b  0. a được: xn*  n.3n ; 1 n xn  xn  xn*  A(2) n  B( )  n.3n . 2 Mà x1  x2  1 ta có hệ  1 2 A  2 B  3  1  A  6    4 A  B  18  1  B  28. 1  4 1 Vậy xn  6.(2)n  28( )n  n.3n. 2 Một số phương trình sai phân tuyến tính nhưng hệ số biến thiên lại là những phương trình có lời giải phức tạp, nó yêu cầu ta đổi biến khéo léo để được phương trình sai phân với hệ số hằng. Để sáng tác ra những bài toán dạng như này công việc lại khá dễ dàng. Chỉ cần ta lấy một phương trình sai phân hệ số hằng ẩn vn sau đó đặt vn  f (n)  un hay là vn  f (n).un ; ... Ta thu được các bài toán phức tạp. Việc giải các bài toán này khó tìm ra cách giải tổng quát. Ta tự tìm ra phương pháp truy hồi, đổi biến... rồi mới đưa bài toán trở về đơn giản. Ta sẽ xét một số bài toán cụ thể sau để làm rõ. Bài toán 7. Cho dãy  u1  1; u2  2  n.un2  (3n  1)un1  2(n  1)un  3. (*) Tìm công thức tổng quát của dãy số. Bài giải : Từ (*) ta có : 16
n.un 2  2nun1  nun1  un1  2un  2nun  3  n un2  2un1  (n  1)  3  (n  1) un1  2un  n  3 (n  1)  un 2  2un1  (n  1)  3  .un1  2un  n  3. n Truy hồi ta được : (n  1) n 2 un2  2un1  (n  1)  3  . ... u2  2u1  1  3 n n 1 1  un 2  2un1  (n  1)  3  2(n  1)  un 2  2un1  3n  3. (**) Nghiệm thuần nhất : un  A.2n . Nghiệm riêng : un*  an  b , thay vào phương trình (**) :  a(n  1)  b  2(an  b)  3n  3  an  a  b  3n  3 a  3   b  0. Do đó : un*  3n ; un  un  un*  A.2n  3n . Có u1  1 nên 1  2 A  3  A  1 . Vậy un  2n  3n. Bài toán 8. Cho dãy số xác định bởi :  x1  0   n  xn1  n  1 ( xn  1). Tìm công thức tổng quát của xn . Bài giải : Từ giả thiết ta có (n  1) xn1  nxn  n . Đặt un  nxn ta có un1  un  n . Do vậy : u2  u1  1 17