Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trung học phổ thông

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:127

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung nghiên cứu đề tài gồm 3 chương, được trình bày như sau: Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trường trung học phổ thông; Cực trị hàm số trong đề thi minh họa và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019;...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Hân CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Hân CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi tên là Nguyễn Ngọc Hân, học viên cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán khóa 28 Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Tôi xin cam đoan rằng luận văn là công trình nghiên cứu của cá nhân, các thông tin và tài liệu tham khảo cho việc thực hiện luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy. Người thực hiện Nguyễn Ngọc Hân
LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn tốt nghiệp, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ cũng những lời động viên rất chân tình, quý báu của các cấp lãnh đạo, quý thầy cô, gia đình, bạn bè và anh, chị, em đồng nghiệp. tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng, tri ân sâu sắc và lời cảm ơn chân thành đến: TS. Trần Lương Công Khanh, đã tận tâm giúp đỡ, hướng dẫn, dạy bảo và động viên trong suốt quát trình tôi thực hiện và hoàn thành đề tài luận văn “Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở Trung học phổ thông”. Quý lãnh đạo các phòng, ban chức năng, phòng Sau Đại Học và khoa Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh; các thầy, cô khóa 28 (2017 – 2019) đã tận tình dìu dắt, truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm vô cùng quý báu và đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu. Quý lãnh đạo, cán bộ quản lí, các thầy cô và các em học sinh trường Trung học phổ thông Chê Ghê – va – ra tại huyện Mỏ Cày Nam và trường THPT Bến Cát huyện Bến Cát đã tạo điều kiện giúp đỡ, dành thời gian để hỗ trợ, cung cấp các thông tin cần thiết giúp cho tôi hoàn thàn luận văn này. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình đã động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tuy đã có nhiều cố gắng trong suốt thời gian thực hiện luận văn tốt nghiệp nhưng tất nhiên luận văn sẽ không thể tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy, cô, chị em đồng nghiệp và các bạn. Xin trân trọng cảm ơn./ Bến Tre, tháng 12 năm 2019 Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Hân
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các bảng MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 Chương 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12 ........................................... 8 1.1. Các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số và vai trò của chúng ..................... 8 1.2. Cực trị hàm số ở lớp 10 và lớp 11 ...................................................................... 11 1.3. Cực trị hàm số với các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong các câu hỏi tự luận của sách Giải tích 12 ................................................................. 13 1.3.1. Phân tích sách Giải tích 12 chương trình chuẩn .......................................... 14 1.3.2. Phân tích sách Giải tích 12 nâng cao ........................................................... 33 1.4. Cực trị hàm số với các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số trong các câu hỏi trắc nghiệm của sách Giải tích 12.......................................................... 38 1.4.1. Phân tích sách Giải tích 12 chương trình chuẩn .......................................... 38 1.4.2. Phân tích sách Giải tích 12 chương trình nâng cao ..................................... 45 Kết luận chương 1 ..................................................................................................... 51 Chương 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở CÁC ĐỀ THI CỦA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT 2017, 2018 VÀ 2019 ....................................... 54 2.1. Phân tích các đề thi tham khảo của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019 ............................................................................................................... 54 2.2. Phân tích các đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019 ............................................................................................................... 63 Kết luận chương 2 ..................................................................................................... 77
Chương 3. THỰC NGHIỆM ................................................................................. 79 3.1. Mục đích thực nghiệm ..................................................................................... 79 3.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm ........................................................................ 79 3.3. Thực nghiệm đối với giáo viên ........................................................................ 79 3.3.1. Câu hỏi thực nghiệm ................................................................................. 79 3.3.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................ 81 3.3.3. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 83 3.4. Thực nghiệm đối với học sinh ......................................................................... 85 3.4.1. Các câu hỏi thực nghiệm và mục tiêu ....................................................... 85 3.4.2. Phân tích tiên nghiệm ................................................................................ 86 3.4.3. Phân tích hậu nghiệm ................................................................................ 96 Kết luận chương 3 ................................................................................................... 104 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 107 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết tắt Diễn giải BBT Bảng biến thiên CT Công thức ĐT Đồ thị GTLN Giá trị lớn nhất GTNN Giá trị nhỏ nhất HTBĐ Hệ thống biểu đạt HTBĐ ĐS Hệ thống biểu đạt đại số HTBĐ HH Hệ thống biểu đạt hình học HTBĐ DL Hệ thống biểu đạt dữ liệu SGK10C Sách giáo khoa Đại số 10 chuẩn SGK10N Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao SGK11C Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 chuẩn SGK11N Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nâng cao SBT12N Sách bài tập Giải tích 12 nâng cao SGK12C Sách giáo khoa Giải tích 12 chuẩn SGK12N Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao SGV12C Sách giáo viên Giải tích 12 chuẩn SGV12N Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao THPT Trung học phổ thông Tr. Trang TNKQ Trắc nghiệm khách quan
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1. Vai trò của các hệ thống biểu đạt .......................................................... 11 Bảng 1.2. Khái niệm cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt hàm số ............. 18 Bảng 1.3. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐶𝑇 ở sách Giải tích 12 Chuẩn............................................................ 22 Bảng 1.4. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_𝐾 ở sách Giải tích 12 Chuẩn ....................................................... 25 Bảng 1.5. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_Đ ở sách Giải tích 12 Chuẩn ....................................................... 28 Bảng 1.6. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐵𝐿 ở sách Giải tích 12 Chuẩn............................................................... 29 Bảng 1.7. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐾𝑆 ở sách Giải tích 12 Chuẩn .............................................................. 30 Bảng 1.8. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝑇𝑆 ở sách Giải tích 12 Chuẩn............................................................... 32 Bảng 1.9. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐶𝑇 ở sách Giải tích 12 Nâng cao .......................................................... 34 Bảng 1.10. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_𝐾 ở sách Giải tích 12 Nâng cao .................................................. 35 Bảng 1.11. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐿𝑁𝑁𝑁_Đ ở sách Giải tích 12 Nâng cao .................................................. 37 Bảng 1.12. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các bài tập thuộc 𝑇𝐾𝑆 ở sách Giải tích 12 Nâng cao .......................................................... 37 Bảng 1.13. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các câu hỏi trắc nghiệm sách Giải tích 12 Chuẩn ........................................................... 44 Bảng 1.14. Thống kê các hệ thống biểu đạt của hàm số trong các câu hỏi trắc nghiệm ở sách Giải tích 12 Nâng cao ................................................... 49 Bảng 2.1. Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi MH ........................ 62 Bảng 2.2. Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi chính thức 2017 .... 74
Bảng 2.3. Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi chính thức 2018 ..... 75 Bảng 2.4. Bảng tổng kết các HTBĐ hàm số trong các đề thi chính thức 2019 ..... 75 Bảng 3.1. Bảng tổng kết các chiến lược giáo viên sử dụng trong bài toán 1. ....... 84 Bảng 3.2. Bảng tổng kết các chiến lược giáo viên sử dụng trong bài toán 2. ....... 84 Bảng 3.3. Giá trị của biến trong bài toán 1 và bài toán 2 ...................................... 95 Bảng 3.4. Dự kiến câu trả lời của học sinh về các chiến lược............................... 95 Bảng 3.5. Dự kiến câu trả lời của học sinh về việc sử dụng các hệ thống biểu đạt của hàm số ....................................................................................... 95 Bảng 3.6. Bảng tổng kết các kỹ thuật và các HTBĐ hàm số trong câu 2 và câu 3 của bài toán 1 ............................................................................... 96 Bảng 3.7. Bảng tổng kết các chiến lược và các HTBĐ hàm số trong câu 2 và câu 3 của bài toán 2 ............................................................................... 99
1 MỞ ĐẦU 1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát 1.1. Lí do chọn đề tài Cực trị là một khái niệm được đưa vào giảng dạy trong chương trình lớp 12. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị luôn xuất hiện trong chương trình lớp 12 cũng như trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi đại học cao đẳng. Trong sách giáo khoa giải tích 12 chương trình chuẩn, trước khi đưa vào khái niệm cực trị, sách giáo khoa (SGK) trình bày Hoạt động 1 như sau: Dựa vào đồ thị (H.7, H.8), hãy chỉ ra các điểm tại đó mỗi hàm số sau có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất): a) 𝑦 = −𝑥 2 + 1 trong khoảng (−∞; +∞); 𝑥 1 3 3 b) 𝑦 = (𝑥 − 3)2 trong các khoảng ( ; ) 𝑣à ( ; 4) ; 3 2 2 2 Hình 7 Hình 8 Xét dấu đạo hàm của các hàm số đã cho và điền vào các bảng dưới đây. 𝑥 -∞ 0 +∞ 𝑥 -∞ 1 3 +∞ 𝑦′ 𝑦′ 1 4 +∞ 𝑦 𝑦 3 -∞ −∞ -∞ 0 Đối với hoạt động này, sách giáo viên giải tích 12 cơ bản yêu cầu như sau “…cần chỉ ra điểm cực đại, cực tiểu bằng cách quan sát trực quan các hình vẽ (đồ
2 thị của các hàm số quen thuộc). Tính chất địa phương của cực trị biểu hiện ở việc chọn các khoảng ( lân cận) của điểm cực trị…”, “…cũng trong hoạt động này ta cung cấp cho học sinh một minh họa cụ thể về mối liên hệ giữa đạo hàm cấp một và cực trị sẽ được phát biểu chính xác…” Có thể thấy hàm số và cực trị hàm số có thể được đề cập qua các hệ thống biểu đạt: biểu thức giải tích, đồ thị, bảng biến thiên, …Biểu thức giải tích là hệ thống biểu đạt quen thuộc của hàm số và cực trị hàm số. Biểu thức gải tích có thể được cho dưới dạng hàm đa thức, phân thức,…quá trình là việc với biểu thức giải tích thường phức tạp vì quá trình biến đổi công thức, biểu thức. Đồ thị hàm số là hình ảnh trực quan biểu thị các tính chất của hàm số, làm việc trên đồ thị dễ dàng, tuy nhiên việc vẽ đồ thị hàm số phức tạp vì phải thực hiện qua nhiều bước. Ngày nay, khi công nghệ thông tin phát triển đã làm cho việc vẽ đồ thị trở nên đơn giản. Liên quan đễn vấn đề này, Nguyễn Thị Thùy Trang (2012) cũng nhận định “Ngày nay, sự tác động của công nghệ thông tin làm cho việc vẽ đồ thị hàm số nói chung, đồ thị hàm số lượng giác nói riêng trở nên rất dễ dàng. Do đó, sử dụng đồ thị hàm số vào việc giải toán là một xu thế hiện đại được khuyến khích trên thế giới”. Năm 2017 là năm đầu tiên tổ chức kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông theo hình thức trắc nghiệm khách quan, các hệ thống biểu đạt và các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị cũng có sự thay đổi, điều này ảnh hướng đến quá trình dạy – học của giáo viên và học sinh. Từ đó chúng tôi đặt ra các câu hỏi xuất phát sau: - Trong chương trình THPT và đề thi tốt nghiệp THPT, cực trị hàm số có những hệ thống biểu đạt nào? Hệ thống biểu đạt nào được SGK ưu tiên? Ảnh hương của các hệ thống biểu đạt lên kỹ thuật giải là gì? - Học sinh hiểu và vận dụng các hệ thống biểu đạt của cực trị hàm số như thế nào, đặc biệt là trong bối cảnh đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan? Các câu hỏi trên đưa chúng tôi đến đề tài Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trung học phổ thông. 1.2. Tổng quan về các công trình liên quan tới vấn đề nghiên cứu Liên quan đến cực trị, Lê Thị Bích Siêng (2017) đã kiểm chứng được giả thuyết:
3 H1: Học sinh quan niệm rằng hàm số không khả vi tại một điểm thì không đạt cực trị tại điểm đó. H22: Học sinh xem cực đại là GTLN và cực tiểu là GTNN của hàm số. Liên quan đến bảng biến thiên, Lê Thị Bích Siêng (2017) đã kiểm chứng được giả thuyết: H3: Dù kĩ thuật đọc BBT sẽ ít tốn kém hơn việc sử dụng quy trình KSHS nhưng với thể chế dạy học đang xét HS sẽ vẫn ưu tiên sử dụng quy trình KSHS này khi xác định cực trị, GTLN và GTNN của hàm số. Liên quan đến cực trị hàm số, Phan Quang Thắng (2012) đã kiểm chứng giả thuyết “Kĩ thuật sử dụng đồ thị ít được học sinh huy động khi tìm cực trị của hàm số”. Giả thuyết này được phát biểu và kiểm chứng trong bối cảnh đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông được cho bằng hình thức tự luận mà ở đó, hệ thống biểu đạt đại số của hàm số chiếm ưu thế. Liệu kết quả này có thay đổi hay không khi hệ thống biểu đạt hình học của hàm số bắt đầu xuất hiện nhiều trong câu hỏi trắc nghiệm khách quan? 2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi của didactic Toán với việc vận dụng các lý thuyết sau đây: - Thuyết nhân học. - Lý thuyết tình huống. - Hệ thống biểu đạt. 2.1. Thuyết nhân học Sử dụng thuyết nhân học, chúng tôi muốn phân tích mối quan hệ thể chế dạy học đối với tri thức Cực trị hàm số trong bối cảnh hình thức thi là TNKQ nhưng chương trình và SGK vẫn chưa thay đổi. Thể chế dạy học mà chúng tôi nghiên cứu là thể chế dạy học lớp 12. Để nghiên cứu thể chế này, chúng tôi nghiên cứu trên các SGK, SBT, SGV hiện hành của bậc THPT, các đề thi minh họa và đề thi chính thức của Bộ Giáo dục & Đào tạo năm 2017, 2018 và 2019.
4 Để nghiên cứu, chúng tôi sử dụng quan điểm của Chevallar (1998), đó là: một praxeologi gồm 4 thành phần [𝑇, 𝜏, 𝜃, Θ ], trong đó: - T là kiểu nhiệm vụ Toán học, khái niệm kiểu nhiệm vụ phải liên quan đến một tri thức xác định. - 𝜏 là kỹ thuật: là cách thức để giải quyết kiểu nhiệm vụ T. Các kỹ thuật có thể được tìm thấy trong các lời giải của ví dụ ở SGK, lời giải của các bài tập trong SBT, lời giải đề nghị cho các bài tập trong SGV, … - 𝜃 là công nghệ giải thích cho từng kỹ thuật 𝜏 “Như vậy, công nghệ trước hết là một “diễn văn” về kỹ thuật” ( tham khảo Lê Thị Hoài Châu, 2018 , tr.101). Chức năng của công nghệ là đảm bào tính hợp lý của kỹ thuật, đảm bảo cho kỹ thuật sẽ đem lại kết quả chắc chắn đúng, đông thời cũng giải thích tại sao kỹ thuật ấy lại được áp dụng. “Chức năng biện minh đảm bảo tính hợp lý của kỹ thuật, đảm bảo rằng kỹ thuật ấy cho phép giải quyết các nhiệm vụ thuộc kiểu THPT. Chức năng giải thích lại cho phép hiểu vì sao lại như thế, vì sao kỹ thuật ấy lại được vận hành” (Lê Thị Hoài Châu, 2018, tr.102). - Θ là lý thuyết giải thích cho công nghệ. Như vậy, lý thuyết là công nghệ của công nghệ. 2.2. Lý thuyết tình huống Với lý thuyết tình huống, chúng tôi sử dụng khái niệm biến didactic (biến dạy học), với một giá trị của biến sẽ tạo ra cách giải quyết bài toán (chiến lược giải) cũng khác nhau nhắm đến mục tiêu dạy học ý nghĩa của một tri thức mà giáo viên đã xếp đặt. Chúng tôi sử dụng lý thuyết này để để xây dựng thực nghiệm. 2.3. Phạm vi và hệ thống biểu đạt 2.3.1. Phạm vi Theo Douady (1986), phạm vi (cadre) là tập hợp gồm những đối tượng của một ngành toán học; quan hệ giữa các đối tượng đó; các phát biểu khác nhau có thể có về các đối tượng; những hình ảnh tinh thần gắn với các đối tượng và các mối quan hệ này (theo Douady R., 1986, tr 11).
5 Một phạm vi có thể chứa những phạm vi nhỏ hơn (phạm vi con). Một đối tượng toán học có thể thuộc nhiều phạm vi khác nhau. 2.3.2. Hệ thống biểu đạt Hệ thống biểu đạt là tập hợp các thuật ngữ, ký hiệu, cách biểu diễn và các quy tắc xử lý (tường minh hay ngầm ẩn) cho phép xác định, biểu diễn một đối tượng toán học và giải một bài toán toán học. “Một hệ thống biểu đạt được tạo thành từ những dấu, theo nghĩa rộng nhất của từ này: những vạch, những kí hiệu, những hình vẽ, …Chúng là phương tiện để diễn đạt, để biểu thị […] Các đối tượng có thể là một, nhưng mối liên hệ giữa chúng và cách trình bày chúng sẽ không giống nhau […] Ta nói rằng, chúng được biểu đạt bằng những hệ thống khác nhau hay những ngôn ngữ khác nhau.” (Lê Thị Hoài Châu, 2007, tr.43) Mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất định. “Mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất định. Vì vậy, việc chuyển từ hệ thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt khác có thể làm thay đổi khả năng khai thác giả thiết bài toán.” (Trần Lương Công Khanh, 2018, tr.5) Để minh họa cho nhận định này, tác giả Trần Lương Công Khanh đã đưa ra ví dụ: “Ví dụ 6: Trong ví dụ 5, hệ thống biểu đạt vectơ có ưu thế trong việc khai thác các biến đổi vectơ và tích vô hướng. Khi cần khai thác quan hệ vuông góc, quan hệ song song trong tam giác và tứ giác đặc biệt, ta có thể dùng hệ thống biểu đạt quan hệ giữa hai đường thẳng. Các hệ thống biểu đạt số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tỷ số lượng giác cho phép khai thác các hệ thức lượng về cạnh, góc và các đường đặc biệt trong tam giác.” (Trần Lương Công Khanh, 2018, tr.5) Bên cạnh đó, một đối tượng toán học có thể có nhiều hệ thống biểu đạt khác nhau, nhưng một hệ thống biểu đạt chỉ phù hợp với một phạm vi nhất định.
6 Ví dụ: Xét hàm số 𝑓 xác định trên N* với 𝑓(𝑛) là số nguyên tố thứ n.(Trích theo Trần Lương Công Khanh, 2018). Đối với hàm số này, hệ thống biểu đạt bằng lời là tối ưu nhất. “Dù có thể lập bảng một số giá trị của 𝑓, toán học ngày nay vẫn chưa thể xác định biểu thức đại số của f […] Mô tả bằng lời là hệ thống biểu đạt duy nhất khi định nghĩa hàm số này” (Trần Lương Công Khanh, 2018, tr.5) 3. Trình bày lại câu hỏi nghiên cứu Trong khung lý thuyết tham chiếu đã chọn, chúng tôi trình bày lại câu hỏi nghiên cứu CH1: Có những hệ thống biểu đạt nào của hàm số được sử dụng trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong sách Giải tích 12? Vai trò của những hệ thống biểu đạt đó là gì? Hệ thống biểu đạt nào được ưu tiên? CH2: Những tiến triển về hệ thống biểu đạt hàm số trong đề thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018, 2019? Ảnh hưởng của tiến triển này lên kỹ thuật giải các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị hàm số? CH3: Khả năng hiểu và sử dụng các hệ thống biểu đạt của học sinh trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến cực trị hàm số như thế nào? Đặc biệt trong giai đoạn đánh giá bằng hình thức trắc nghiệm khách quan? 4. Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau để phục vụ cho quá trình nghiên cứu của mình: Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: nghiên cứu các đề thi tham khảo và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT năm 2017, 2018 và 2019; nghiên cứu sách giáo khoa, sách giáo viên, nghiên cứu thực tế dạy học của giáo viên. Phương pháp thực nghiệm khoa học: phỏng vấn một số giáo viên ở trường trung học phổ thông, thực nghiệm trên học sinh. Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết về cực trị và các hệ thống biểu đạt, nghiên cứu một số công trình đã có.
7 5. Cấu trúc luận văn Phần mở đầu Phần này bao gồm lý do chọn đề tài, các câu hỏi ban đầu, các công trình liên quan đến đề tài nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, mục tiêu nghiên cứu, phần trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn. Chương 1: Cực trị hàm số trong các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số ở trường trung học phổ thông . Trong chương này chúng tôi tiến hành nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số, các hệ thống biểu đạt được đề cập và các hệ thống biểu đạt được ưu tiên; nghiên cứu các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến hàm số được sách giáo khoa đề cập để trả lời cho CH1. Chương 2: Cực trị hàm số trong đề thi minh họa và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019. Trong chương này chúng tôi phân tích các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số và các hệ thống biểu đạt của hàm số được đưa vào trong các đề thi tham khảo và đề thi chính thức của kì thi tốt nghiệp THPT, từ đó xác định được có những kiểu nhiệm vụ mới nào so với Sách giáo khoa, sách bài tập, có những kiểu nhiệm vụ nào vắng bóng và những kiểu nhiệm vụ nào làm thay đổi kỹ thuật dưới sự can thiệp của máy tính bỏ túi. Bên cạnh đó, chúng tôi nghiên các hệ thống biểu đạt của hàm số được đưa vào trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số, từ đó xác định hệ thống biểu đạt nào được ưu tiên, hệ thống biểu đạt nào vắng bóng, có sự khác biệt nào so với thể chế dạy học hay không. Từ đó trả lời cho CH2. Chương 3: Thực nghiệm Trong chương này chúng tôi tiến hành phân tích thực hành giảng dạy và các tài liệu học đường của của giáo viên, phân tích sản phẩm của học sinh để thấy được khả năng hiểu và vận dụng các hệ thống biểu đạt của hàm số trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị hàm số như thế nào? Từ đó trả lời CH3.
8 Chương 1. CỰC TRỊ HÀM SỐ TRONG CÁC HỆ THỐNG BIỂU ĐẠT KHÁC NHAU CỦA HÀM SỐ Ở LỚP 12 Trong chương này chúng tôi làm rõ các hệ thống biểu đạt của hàm số được đề cập đến trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số và chỉ ra các hệ thống biểu đạt được thể chế ưu tiên. Đồng thời chúng tôi cũng nghiên cứu các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến cực trị hàm số được đề cập trong thể chế dạy học từ đó trả lời cho câu hỏi nghiên cứu được đưa ra: CH1: Có những hệ thống biểu đạt nào của hàm số được sử dụng trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong sách Giải tích 12? Vai trò của những hệ thống biểu đạt đó là gì? Hệ thống biểu đạt nào được ưu tiên? Trước tiên chúng tôi tìm hiểu về khái niệm cực trị hàm số, các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số được đề cập trong các tổ chức toán học liên quan đến cực trị hàm số trong chương tình toán bậc trung học phổ thông. 1.1. Các hệ thống biểu đạt khác nhau của hàm số và vai trò của chúng Như đã trình bày trong phần mở đầu của luận văn, hệ thống biểu đạt cho phép xác định, biểu diễn một đối tượng toán học và giải một bài toán toán học. Tuy nhiên mỗi hệ thống biểu đạt có ưu thế riêng trong việc khai thác một tính chất toán học nhất định, từ đó cung cấp một kỹ thuật tốt để giải một bài toán toán học. Với đối tượng là hàm số, có ít nhất 4 hệ thống biểu đạt sau: hệ thống biểu đạt đại số (biểu đạt bằng biểu thức giải tích hay công thức), hệ thống biểu đạt hình học (biểu thị hàm số bằng đồ thị, biểu đồ), hệ thống biểu đạt bằng lời và hệ thống biểu đạt số (biểu thị hàm số bằng bảng số). Tham khảo trong Trần Lương Công Khanh (2006) chúng tôi nhận thấy hệ thống biểu đạt dữ liệu tổng quát hơn hệ thống biểu đạt số, tác giải đã đưa ra ví dụ sau:
9 “Cho hàm số f xác định, có đạo hàm trên R và có bảng biến thiên như sau: 𝑥 −∞ 0 2 +∞ 2 3 𝑓(𝑥) -1 1 x Ta định nghĩa hàm số F xác định trên R bởi F(x) =  f (t )dt . Khảo sát sự biến 0 thiên của hàm số F trên R.” Bài toán trên sử dụng một ý tưởng trong tuyển tập các bài toán ôn thi tú tài do nhóm thanh tra chuyên môn của Bộ Giáo dục quốc gia Pháp phát hành năm 2004. Nó là dạng toán không quen thuộc đối với học sinh lớp 12 Pháp bởi hai điểm: hàm số dưới dấu tích phân được cho bằng bảng biến thiên và hàm số cần khảo sát sự biến thiên là một tích phân phụ thuộc cận trên. Đưa loại bài tập này vào tuyển tập các bài toán ôn thi tú tài, nhóm tác giả mong muốn nó sẽ trở thành dạng toán quen thuộc đối với học sinh lớp 12 Pháp. “Theo chương trình lớp 10 hiện hành ở Pháp, một hàm số có thể được “xác định bằng đồ thị, bằng bảng dữ liệu hoặc bằng công thức”. Vì chương trình không quy định về bản chất của dữ liệu được cho trong bảng nên bảng biến thiên là có thể chấp nhận được. Như vậy, việc xác định một hàm số bằng bảng biến thiên1 là hợp thức đối với chương trình trung học phổ thông ở Pháp. Ngược lại, bảng dữ liệu nói chung và bảng biến thiên nói riêng không được sử dụng để xác định một hàm số ở chương trình trung học phổ thông Việt Nam. Bài toán 1 nói trên không những không quen thuộc mà còn phá vỡ hợp đồng sư phạm về khảo sát hàm số ở Việt Nam.”(Trần Lương Công Khanh, Tài liệu đã dẫn) Tuy nhiên, khảo sát trong các đề thi tốt nghiệp THPT 2017, 2018 và 2019, chúng tôi nhận thấy sự tồn tại của hàm số cho bằng bảng biến thiên. Vì vậy, trong luận văn 1 Về mặt toán học, một bảng biến thiên không xác định một hàm số duy nhất mà xác định một lớp hàm số.
10 này chúng tôi sử dụng hệ thống biểu đạt dữ liệu (cụ thể là bảng biến thiên) thay cho hệ thống biểu đạt số khi nghiên cứu. Mỗi hệ thống biểu đạt có một vai trò nhất định. Tham khảo trong Nguyễn Thị Hồng Duyên (2012), Trần Lương Công Khanh (2018) và Trần Trường Sinh (2012) chúng tôi tổng kết vai trò của các hệ thống biểu đạt theo bảng. Bảng 1.1. Vai trò của các hệ thống biểu đạt Các hệ thống Tầm quan trọng biểu đạt hàm số Hệ thống biểu đạt - Biểu đạt cô động và chính xác mối tương quan hàm; đại số (công thức) - Chỉ rõ các phép tính phải thực hiện với biến 𝑥 để tìm 𝑦(𝑥); - Tính toán, biến đổi trên biểu thức giải tích để chỉ ra các tính chất của hàm số một cách chặt chẽ, logic. Đặc biệt là dùng công cụ của giải tích để nghiên cứu các tính chất này. Hệ thống biểu đạt - Xác định nhanh chóng một số tính chất của hàm số: sự đồng hình học (đồ thị) biến hay nghịch biến; liên tục hay gián đoạn; cực trị hàm số; GTLN và GTNN;… - Xác định được sự tương giao giữa đồ thị các hàm số. Hệ thống biểu đạt Có một số hàm, hệ thống biểu đạt đại số, hình học và số không bằng lời thể biểu đạt được, khi đó hệ thống biểu đạt bằng lời là sự lựa chọn tối ưu. Hệ thống biểu đạt Bảng biến thiên là công cụ quan trọng giúp các tính chất và dữ liệu quan hệ giải tích của hàm số được “dịch chuyển” sang ngôn (bảng biến thiên) ngữ hình học dễ dàng hơn. Dù không thể hiện chính xác đồ thị hàm số những bảng biến thiên cung cấp một số thông tin chính xác về hàm số: sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất… Hệ thống biểu đạt Từ bảng có thể tra ngay giá trị hàm. Là công cụ tiện lợi để ghi số lại kết quả của các nghiên cứu thực nghiệm các quá trình, hiện (bảng số liệu) tượng biến thiên.
11 Qua bảng trên, chúng tôi nhận thấy mỗi một hệ thống biểu đạt có vai trò và tầm quan trọng nhất định. Một hàm số có thể có nhiều hệ thống biểu đạt, tuy nhiên mỗi hệ thống biểu đạt sẽ là tối ưu đối với các trường hợp khác nhau. 1.2. Cực trị hàm số ở lớp 10 và lớp 11 Qua việc phân tích sách Đại số 10 và tổng hợp những phân tích của tác giả Nguyễn Hồng Tú (2012) chúng tôi nhận thấy: Định nghĩa “Cực trị hàm số” không được đề cập trong sách Đại số 10 ở cả hai chương trình chuẩn và nâng cao. Trong bài “Hàm số bậc hai”, chúng tôi bắt gặp khái niệm đỉnh của Parabol. Trong phần Sự biến thiên của hàm số bậc hai, SGK10N đưa ra hai bảng biến thiên (SGK10N, tr.57) −𝑏 Từ bảng biến thiên, chúng tôi nhận thấy khi đi qua điểm 𝑥 = , đồ thị hàm số 2𝑎 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (𝑎 ≠ 0) đổi chiều chuyển động, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao khẳng định: −b “Khi a > 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; ), đồng biến trên khoảng 2a −b −∆ −b ( ; +∞) và có giá trị nhỏ nhất là khi x = . 2a 4a 2a −b Khi a < 0, hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; ), nghịch biến trên khoảng 2a −b −∆ −b ( ; +∞) và có giá trị lớn nhất là khi x = .” 2a 4a 2a (SGK10N, tr.57) Như vậy, đỉnh của Parabol được hiểu chính là GTLN của hàm số (a < 0) hoặc GTNN của hàm số (a > 0). Nghiên cứu SGK10C, chúng tôi nhận thấy không xuất hiện các