Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học giải toán Cực trị hình học cho học sinh THPT

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:121

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa một số vấn đề lý luận về dạy học giải toán, từ đó xác định được một số biện pháp sư phạm, nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS lớp 12 THPT thông qua dạy học chủ đề Cực trị hình học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Dạy học giải toán Cực trị hình học cho học sinh THPT

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN VĂN ĐIỆP DẠY HỌC GIẢI TOÁN “CỰC TRỊ HÌNH HỌC” CHO HỌC SINH THPT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN VĂN ĐIỆP DẠY HỌC GIẢI TOÁN “CỰC TRỊ HÌNH HỌC” CHO HỌC SINH THPT Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ môn Toán Mã số: 60.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Điệp i
LỜI CẢM ƠN Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong và ngoài Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả theo học lớp cao học cũng như đã đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận văn. Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo PGS. TS. Trịnh Thanh Hải người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian qua. Tác giả xin trân trọng cám ơn sự tạo điều kiện, giúp đỡ từ phía Ban Giám hiệu, các thầy cô giáo và học sinh Trường THPT Thuận Thành số 2, Bắc Ninh. Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này. Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận văn chắc chắn còn thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng luận văn. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 4 năm 2017 Tác giả Nguyễn Văn Điệp ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN................................................................................................ i LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii MỤC LỤC .........................................................................................................iii DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT .................................. iv DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ ....................................................................... v MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3 3. Khách thể, đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu ............................... 3 4. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 3 5. Giả thuyết khoa học ......................................................................................... 3 6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 3 7. Kết quả của luận văn ....................................................................................... 4 8. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 4 Chƣơng 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 5 1.1. Năng lực giải toán của học sinh THPT ........................................................ 5 1.1.1. Quan niệm về năng lực .............................................................................. 5 1.1.2. Năng lực giải toán ...................................................................................... 6 1.1.3. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh THPT...................................... 7 1.1.4. Năng lực giải toán cực trị .......................................................................... 8 1.2. Dạy học giải toán ........................................................................................ 11 1.2.1. Bài toán .................................................................................................... 11 1.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải ..................................................................... 12 1.2.3. Phương pháp chung để dạy học giải toán ................................................ 13 1.2.4. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................ 15 1.3. Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình toán THPT .................... 20 iii
1.3.1. Các bài toán cực trị hình học ................................................................... 20 1.3.2. Mục đích, chuẩn kiến thức, kỹ năng của chủ đề "Cực trị hình học" ....... 21 1.3.3. Nội dung “Cực trị hình học” trong chương trình Toán THPT ................ 23 1.3.4. Một số kỹ năng cơ bản để giải toán hình học không gian ....................... 24 1.4. Thực trạng việc phát triển năng lực giải toán "Cực trị hình học" cho HS ở trường THPT .................................................................................................. 25 1.4.1. Mục đích khảo sát .................................................................................... 25 1.4.2. Đối tượng khảo sát.................................................................................. 25 1.4.3. Kết quả khảo sát ...................................................................................... 25 Tiểu kết chương 1 .............................................................................................. 27 Chƣơng 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TOÁN "CỰC TRỊ HÌNH HỌC" THEO ĐỊNH HƢỚNG BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HS THPT ................................................................................... 28 2.1. Một số định hướng xây dựng các biện pháp .............................................. 28 2.2. Một số biện pháp sư phạm .......................................................................... 30 2.2.1. Biện pháp 1. Hướng dẫn, tổ chức cho HS thực hiện các thao tác tư duy trong giải toán ............................................................................................. 30 2.2.2. Biện pháp 2. Phát huy, khơi dậy tiềm năng kiến thức của HS thông qua phép quy lạ về quen và biến đổi vấn đề để tìm lời giải bài toán ................ 35 2.2.3. Biện pháp 3. Trang bị cho học sinh một số “thủ pháp” thường dùng để giải bài toán “Cực trị hình học” .................................................................... 48 2.2.4. Biện pháp 4. Khai thác yếu tố thực tiễn trong giải toán cực trị hình học...................................................................................................................... 72 2.2.5. Biện pháp 5. Xây dựng hệ thống bài tập tự luyện giúp HS củng cố, rèn luyện năng lực giải toán cực trị hình học .................................................... 78 Tiểu kết chương 2 .............................................................................................. 79 Chƣơng 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM....................................................... 81 3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 81 iv
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................. 81 3.2.1. Nội dung thực nghiệm sư phạm .............................................................. 81 3.2.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm sư phạm ................................................... 81 3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................ 82 3.4. Hình thức tổ chức thực nghiệm .................................................................. 82 3.5. Đánh giá thực nghiệm sư phạm .................................................................. 83 3.5.1. Phân tích định tính ................................................................................... 83 3.5.2. Phân tích định lượng ................................................................................ 83 Tiểu kết chương 3 .............................................................................................. 91 KẾT LUẬN....................................................................................................... 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 93 PHỤ LỤC v
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT Kí hiệu, viết tắt Viết đầy đủ BĐT : Bất đẳng thức ĐH : Đại học GQVĐ : Giải quyết vấn đề GTLN : Giá trị lớn nhất GTNN : Giá trị nhỏ nhất GV : Giáo viên HĐNT : Hoạt động nhận thức HS : Học sinh NXB : Nhà xuất bản THCS : Trung học cơ sở THPT : Trung học phổ thông THPT QG : Trung học phổ thông Quốc gia TPHĐNT : Thủ pháp hoạt động nhận thức Tr : Trang iv
DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ BẢNG Bảng 3.1. Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành thực nghiệm ........................... 86 Bảng 3.2: Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành thực nghiệm .............................. 88 BIỀU ĐỒ Biểu đồ 1.1. Tỉ lệ vận dụng các phương pháp dạy học vào chủ đề: “cực trị hình học” cho HS THPT ....................................................................... 26 Biểu đồ 1.2. Thái độ của học sinh khi học nội dung cực trị hình học. .............. 26 Biểu đồ 3.1. So sánh kết quả điểm của hai lớp thực nghiệm và đối chứng ...... 89 v
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài “Giáo dục đào tạo có sứ mệnh nâng cao dân trí, phát triển nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, góp phần quan trọng phát triển đất nước, xây dựng nền văn hóa và con người Việt Nam. Phát triển giáo dục và đào tạo cùng với phát triển khoa học công nghệ là quốc sách hàng đầu, đầu tư cho giáo dục là đầu tư cho phát triển”, Trích Nghị quyết Đại hội Đảng khóa XI. Trong nghị quyết Trung Ương 4 khóa VII, mục tiêu của giáo dục đào tạo đã được xác định “Đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề thực tiễn đặt ra”. “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của HS, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh”. Luật giáo dục sửa đổi năm 2005. Như vậy, quan điểm chung về đổi mới phương pháp dạy học đã khẳng định, cốt lõi của việc đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT là làm cho học sinh học tập tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Do đó đổi mới PPDH theo hướng phát triển năng lực giải toán cho HS là rất quan trọng và cần thiết, nhiệm vụ của giáo viên không phải chỉ là cung cấp tri thức mà còn giúp HS phát triển khả năng tư duy, giúp HS tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo trong học tập. Ở trường phổ thông, Toán học là môn học nền tảng cho nhiều môn học khác, đồng thời là một trong các môn học có tính chất quyết định nghề nghiệp trong tương lai với đa số học sinh. Thí dụ như hầu hết các khối thi vào các trường ĐH, CĐ các thí sinh đều phải trải qua thi toán hay kiểm tra năng lực toán ở trường ĐH QGHN những năm gần đây. Bởi vậy toán học có vị trí hàng đầu trong giáo dục phổ thông, dạy toán là dạy các hoạt động toán học. Dạy học giải toán có vai trò đặc biệt quan trọng trong dạy học Toán. Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong 1
việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo. Giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán. Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán. Trong toán học, hình học vốn đã hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan của nó. Chúng ta không thể phủ nhận được ý nghĩa và tác dụng to lớn của hình học trong việc rèn luyện tư duy toán học, một phẩm chất rất cần thiết cho hoạt động sáng tạo của con người nói chung và của học sinh nói riêng. Tuy nhiên, học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó khăn riêng của mình. Nguyên nhân của những khó khăn đó là: - HS chưa nắm vững các khái niệm cơ bản, các định lí, tính chất của các hình hình học. Một số HS không biết cách vận dụng các kiến thức ấy như thế nào vào việc giải bài tập. - Sách giáo khoa cung cấp cho HS một hệ thống đầy đủ các kiến thức cơ bản, nhưng chưa thể truyền tải các kiến thức đó đến các em một cách sâu đậm nếu không có bàn tay chế biến của của người giáo viên. Hơn nữa, khi HS phải tiếp xúc với các bài toán, các chuyên đề toán nâng cao, mà người giáo viên chưa kịp trang bị đủ các kĩ năng cần thiết để giải toán thì sẽ dẫn đến tâm lí chán nản, buông xuôi ở nhiều học sinh. - Đối với các bài toán hình học không gian, ngoài các bài toán về chứng minh, các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán tính góc, khoảng cách còn có bài toán “ cực trị hình học” (hay còn gọi là các bài toán tìm GTLN,GTNN trong hình học không gian). Đây là những dạng toán khó, hấp dẫn, thường gặp trong trong các câu hỏi khó của các đề thi THPT QG, thi chọn HSG cấp tỉnh, thi Olympic 30/4. Xuất phát từ những vấn đề trên nhằm giúp HS có định hướng chung ban đầu khi gặp các bài toán về cực trị hình học, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Dạy học giải toán Cực trị hình học cho học sinh THPT”. 2
2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận về dạy học giải toán, từ đó xác định được một số biện pháp sư phạm, nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS lớp 12 THPT thông qua dạy học chủ đề “Cực trị hình học”. 3. Khách thể, đối tƣợng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn toán ở lớp 11,12 THPT. Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp phát triển năng lực giải toán trong quá trình dạy học chủ đề “Cực trị hình học” cho HS lớp 11,12 THPT. Giới hạn đối tượng học sinh: HS lớp 11, 12 ở một số trường THPT trên địa bàn tỉnh Bắc Ninh. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận liên quan trực tiếp đến hướng nghiên cứu của đề tài như: Dạy học giải bài tập; năng lực giải toán; tự học; dạy học phân hóa. - Tìm hiểu thực tiễn về việc dạy học giải toán trong quá trình dạy học nội dung “Cực trị hình học” ở một số trường THPT trên địa bàn huyện Thuận Thành, tỉnh Bắc Ninh. - Đề xuất các nguyên tắc và biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS trong quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học" cho HS lớp 11, 12 THPT. -Tổ chức thử nghiệm để tìm hiểu tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đề ra. 5. Giả thuyết khoa học Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể đề xuất được một số biện pháp sư phạm và nếu vận dụng các biện pháp này trong quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học" thì sẽ góp phần nâng cao năng lực giải toán cho HS lớp 11, 12 THPT. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1. Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu một số tài liệu liên quan đến vấn đề đổi mới PPDH, dạy học giải bài tập, năng lực giải toán cho HS, dạy học phân hóa... 3
6.2. Quan sát, điều tra Phát phiếu điều tra, quan sát các hoạt động dạy và học, trao đổi với GV và HS để tìm hiểu tình hình bồi dưỡng năng lực giải bài tập ở trường THPT. 6.3. Phương pháp chuyên gia Xin ý kiến chuyên gia trong lĩnh vực giáo dục học và GV dạy học toán ở trường THPT. 6.4. Phương pháp nghiên cứu trường hợp Theo dõi, phân tích và đánh giá kết quả tự học và kỹ năng giải toán của một số HS, tham gia thử nghiệm sư phạm để thấy rõ tác động của các biện pháp sư phạm đối với các đối tượng HS khá, giỏi. 7. Kết quả của luận văn Hệ thống lại một số vấn đề liên quan đến dạy học giải bài tập và bồi dưỡng năng lực giải Toán cho HS. Đề xuất được nguyên tắc, biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực giải toán cho HS lớp 11, 12 THPT thông qua quá trình dạy học chủ đề "Cực trị hình học". Đề xuất một hệ thống các bài tập có chọn lọc về chủ đề “Cực trị hình học” để làm tài liệu giảng dạy và cho HS tự học. 8. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần Mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phụ lục, nội dung luận văn được trình bày trong ba chương: Chƣơng 1. Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chƣơng 2. Một số biện pháp dạy học giải toán “cực trị hình học” theo định hướng bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS THPT Chƣơng 3. Thực nghiệm sư phạm. 4
Chƣơng 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Năng lực giải toán của học sinh THPT 1.1.1. Quan niệm về năng lực Theo Bernd Meier- Nguyễn Văn Cường [1, tr.66, 67] trong cuốn Lý luận dạy học hiện đại có viết: “Khái niệm giáo dục và khái niệm năng lực có một định hướng thống nhất: Con người với tất cả các mặt nhân cách cơ bản của nó đều là tâm điểm của hai khái niệm này. Vấn đề xoay quanh tri thức, kĩ năng, thái độ và giá trị. Hình ảnh về Immanuel Kant (1724-1804) ở Châu Âu với những tư tưởng khai sáng và dân chủ, nó có ảnh hưởng đến khái niệm giáo dục nhằm mục tiêu khai phóng. Khác với khái niệm giáo dục được kết nối với hình ảnh con người là khái niệm năng lực có khuynh hướng trung lập. Nó lưu ý đến các giá trị, nhưng không quy định chúng cần mang đặc trưng nào. Mặt khác, năng lực không thể có được thông qua dạy, mà phải thông qua học và luyện tập. Khái niệm năng lực (competency) có nguồn gốc tiếng Latinh “competentia”. Ngày nay khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau. Năng lực được hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công việc. Năng lực bao gồm các kiến thức, kĩ năng cũng như quan điểm và thái độ mà một cá nhân có thể có để hành động thành công trong các tình huống mới. Năng lực là “khả năng giải quyết” và mang nội dung khả năng và sự sẵn sàng để giải quyết các tình huống. Theo John Erpenbeck, “năng lực được tri thức làm cơ sở, được sử dụng như khả năng, được quy định bởi giá trị, được tăng cường qua kinh nghiệm và được hiện thực hóa qua ý trí”. Weinert định nghĩa: “năng lực là khả năng và kĩ xảo học được hoặc sẵn có của cá nhận nhằm giải quyết các tình huống xác định, cũng như sự sẵn sàng về động cơ, xã hội và khả năng vận dụng các cách giải quyết vấn đề một cách có trách nhiệm và hiệu quả trong những tình huống linh hoạt” . 5
Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống thuộc lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động”. Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng với quan niệm: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động”[1, tr.66]. 1.1.2. Năng lực giải toán Năng lực giải toán nói riêng hay năng lực chuyên môn nói chung là khả năng thực hiện các nhiệm vụ chuyên môn, cũng như khả năng đánh giá kết quả chuyên môn một cách độc lập, có phương pháp và chính xác về mặt chuyên môn. Nó được tiếp nhận thông qua việc học nội dung-chuyên môn và chủ yếu gắn với các khả năng nhận thức và tâm lý hành động. Trong bài tổng luận của tác giả Trần Thúc Trình “Nhìn lại lịch sử cải cách nội dung và phương pháp dạy - học toán ở trường phổ thông trên thế giới trong thế kỉ XX” [13], tác giả đã đưa ra mười chỉ tiêu năng lực là: 1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm; 2) Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu; 3) Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu; 4) Năng lực biểu diễn dữ kiện thành kí hiệu; 5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh; 6) Năng lực xây dựng một chứng minh; 7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa; 8) Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa; 9) Năng lực khái quát hóa toán học; 10) Năng lực phân tích bài toán, xác định các phép toán có thể áp dụng để giải. 6
Như vậy, năng lực Toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong môn Toán. 1.1.3. Phát triển năng lực giải toán cho học sinh THPT Năng lực giải bài tập toán học là một thể hiện của năng lực Toán học. Đó là đặc điểm tâm lý cá nhân của con người, đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó. Năng lực giải bài tập toán học là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã được lựa chọn vào hoạt động giải bài tập toán học. Tri thức toán học không phải được cho sẵn mà phải được kiến tạo, xây dựng bắt đầu từ hoạt động giải toán. Học sinh tự mình xây dựng các kiến thức toán học thông qua hoạt động giải các bài tập toán học. Quá trình học sinh xây dựng và chiếm lĩnh kiến thức toán học, hình thành nên năng lực giải bài tập toán học của mình. Theo Nguyễn Bá Kim [16]: “Bài tập toán học là giá mang hoạt động học tập của học sinh ”. Giải bài tập toán là mục đích của việc dạy học toán. Bài tập còn là phương tiện để giáo viên cài đặt các nội dung cần dạy hoặc cần bổ sung cho phần lý thuyết. Nếu khai thác tốt hệ thống bài tập sẽ tạo điều kiện thuận lợi cho việc phát triển năng lực giải toán của học sinh. Điều quan trọng trong dạy học giải bài tập toán cho học sinh là hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài tập, thể hiện qua cách suy nghĩ, các hoạt động trí tuệ: tìm tòi, dự đoán, quy lạ về quen, khái quát hóa, tương tự hóa,...Mặt khác, giáo viên cần xây dựng một số tình huống buộc học sinh phải sử dụng một số quy tắc, phương pháp giải toán đã học. Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp, năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận logic, năng lực rút gọn quá trình suy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, trí nhớ toán học,...Năng lực giải toán của học sinh sẽ phát triển dưới tác động của các biện pháp “hoạt động hóa” người học. Năng lực giải bài tập toán học của học sinh được thể hiện qua các dấu hiệu sau: 7
Thứ nhất, biết nhìn nhận, hiểu bài toán. Thứ hai, biết định hướng giải bài toán một cách rõ ràng. Thứ ba, biết trình bày lời giải bài toán một cách chính xác. Thứ tư, biết phân tích lời giải bài toán. Để có được năng lực giải bài tập toán học, học sinh cần được rèn luyện về các khả năng tư duy sau: tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng quát hóa, tư duy thuật giải, tư duy logic, tư duy phê phán, tư duy hội thoại có phê phán, tư duy hàm, tư duy sáng tạo,...Trong giải bài tập toán học, các loại hình tư duy đó được rèn luyện qua bốn bước giải toán của G.Polya: “Tìm hiểu bài toán, tìm hướng giải bài toán, trình bày lời giải bài toán, nghiên cứu sâu lời giải”. Bàn về năng lực, cũng có ý kiến cho rằng: Năng lực là do thượng đế ban cho. Song nhiều ý kiến cho rằng đó chỉ là phần nhỏ, còn phần nhiều là do sự tích lũy, sự bồi đắp, sự học hỏi, sự rèn luyện mà có. Quá trình học tập học sinh sẽ được bổ sung kiến thức, được trang bị các phương pháp từ đó năng lực giải toán được tăng lên. Một phần do học sinh có ý thức tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn và bồi dưỡng. Chính vì vậy chúng tôi rất đề cao các bài ôn tập, bởi chúng đã góp phần không nhỏ trong việc phát triển năng lực giải toán cho học sinh. Tóm lại, để phát triển năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệ thống bài tập nhằm giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn. 1.1.4. Năng lực giải toán cực trị 1.1.4.1. Năng lực giải toán cực trị Năng lực không mang tính chung chung mà khi bàn về năng lực, bao giờ người ta cũng nói đến năng lực thuộc về một hoạt động cụ thể nào đó, chẳng hạn năng lực Toán học của hoạt động học tập hay nghiên cứu Toán học, năng lực hoạt động chính trị của hoạt động chính trị, năng lực giảng dạy của hoạt động giảng dạy... Trong hoạt động học Toán, mỗi vấn đề cần tối ưu được biểu thị thành các câu hỏi, yêu cầu bài toán chưa có sẵn lời giải thích hoặc cách thực hiện. Để giải quyết 8
được nhiệm vụ học Toán, tối ưu hóa các tình huống Toán học học sinh cần phải tiến hành những hoạt động phát hiện và giải quyết những tình huống liên quan đến môn Toán: Chẳng hạn: Xây dựng khái niệm, hình thành quy tắc, công thức, chứng minh định lý và giải bài tập Toán. Năng lực giải toán cực trị trong Toán học của học sinh được biểu hiện như sau: + Khả năng tiếp cận và phát hiện vấn đề cần tối ưu trong bài toán: Vấn đề thường được giáo viên đưa ra hoặc do học sinh tự phát hiện. Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa ngôn ngữ và mức độ hiểu của học sinh về vấn đề. Nếu giáo viên giúp học sinh có được cái nhìn bên trong của vấn đề thì sẽ hình thành cho học sinh cách phát hiện và giải quyết vấn đề của riêng mình. + Khả năng định hướng giải toán: Việc sắp xếp thông tin sao cho chúng trở thành có nghĩa, đòi hỏi học sinh kỹ năng tổ chức lại các dữ kiện, mối quan hệ dưới dạng hình vẽ, bảng, biểu...Những thao tác này, cùng với việc huy động các kiến thức đã có thể dẫn đến một sự phỏng đoán, từ đó mà học sinh phát hiện và định hướng được quá trình giải toán tìm ra điểm để bài toán được tối ưu hóa. + Khả năng lựa chọn giải pháp và thực hiện giải pháp: Với mỗi bài toán hay vấn đề, có thể có nhiều giải pháp, giáo viên không chỉ giúp học sinh sử dụng kỹ năng để phát hiện các giải pháp, mà còn biết chọn giải pháp hợp lí nhất. + Khả năng phân tích kết quả và phát triển vấn đề: Sự phát triển thể hiện ở chỗ, giúp học sinh phát hiện phương pháp khác để giải quyết bài toán, biết ứng dụng vào tình huống mới, tạo ra bài toán từ bài toán gốc, giải thích cách đạt được kết quả. Từ những nghiên cứu về năng lực giải toán cực trị, vận dụng vào thực tiễn dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chúng tôi quan niệm: Năng lực giải toán cực trị hình học của học sinh trong học Toán học là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở các khả năng tối ưu hóa (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ giải quyết các bài toán cực trị. 1.1.4.2. Năng lực giải toán cực trị và mối quan hệ với các năng lực khác Năng lực giải toán cực trị là một trong những thành phần quan trọng hình thành nên năng lực học toán ở học sinh. Nó xuyên suốt trong quá trình học tập và đóng vai trò quyết định hình thành nên các năng lực khác ở học sinh như: Năng lực học khái niệm, định nghĩa; Năng lực suy luận; Năng lực chứng minh định lí, hệ quả; 9
Năng lực giải toán...Ngược lại, nếu học sinh có năng lực học toán thì các em có rất nhiều thuận lợi trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề đặt ra. +Trong Toán học, năng lực giải toán cực trị có thể xem xét, nghiên cứu theo đặc thù từng phân môn: Đại số, Hình học... Chúng có những biểu hiện riêng gắn với tính chất các hoạt động tương ứng ở mỗi phân môn, đồng thời có mối liên hệ chặt chẽ tương hỗ lẫn nhau, tạo nên năng lực giải toán cực trị và năng lực học Toán thông qua quá trình dạy học Toán. + Xét ở phạm vi của thực tiễn cuộc sống (mỗi học sinh phải tự nhận biết và giải quyết tối ưu những vấn đề xảy ra đối với bản thân) do đó năng lực giải toán cực trị có cấu trúc phức tạp gồm nhiều thành phần, có vai trò sâu rộng trong năng lực học tập (nói riêng là năng lực giải toán). + Năng lực tư duy sáng tạo đòi hỏi sự phát triển của năng lực giải toán cực trị ở mức độ cao. + Ở các nhà Toán học nổi tiếng, năng lực sáng tạo Toán học là sự phát triển năng lực Toán học, năng lực tối ưu hóa các vấn đề ở mức độ cao dựa trên cơ sở quan trọng là tài năng đặc biệt (yếu tố bẩm sinh). 1.1.4.3. Các cấp độ để xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực giải toán cực trị - Các bài tập tái hiện: Yêu cầu sự hiểu và tái hiện tri thức. Bài tập tái hiện không phải là bài tập trọng tâm của viện định hướng phát triển năng lực giải toán cực trị. - Các bài tập vận dụng tƣơng tự : Các bài tập vận dụng những kiến thức trong các tình huống không thay đổi. Các bài tập này nhằm củng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng cơ bản, chưa đòi hỏi sự sáng tạo. - Các bài tập vận dụng sáng tạo: Các bài tập đòi hỏi sự phân tích, tổng hợp, đánh giá, vận dụng kiến thức vào tình huống thay đổi, giải quyết vấn đề. Dạng bài tập này đổi hỏi sự sáng tạo của người học. - Gắn quá trình giải toán với bối cảnh, tình huống thực tiễn: Các bài tập vận dụng và giải quyết vấn đề cần chú ý gắn với các vấn đề với bối cảnh và tình huống thực tiễn. Những bài tập này là những bài tập mở, tạo cơ hội cho nhiều cách tiếp cận, nhiều con đường giải quyết khác nhau. 10
1.2. Dạy học giải toán 1.2.1. Bài toán 1.2.1.1. Các quan niệm khác nhau về bài toán. Theo Astolar chia bài toán thành hai loại là bài toán chứng minh và bài toán tìm tòi: Bài toán chứng minh mệnh đề từ giả thiết là sự đòi hỏi tìm một dãy hữu hạn các mệnh đề thỏa mãn hai điều kiện: i) Mệnh đề cuối cùng của dãy chính là mệnh đề ii) Mỗi mệnh đề của dãy hoặc là tiên đề, hoặc là một định nghĩa hoặc là một định lý hoặc là được rút ra từ những mệnh đề đứng trước nó trong dãy nhờ một quy tắc suy luận logic, hoặc là một phần tử của . Bài toán tìm tòi là bài toán đòi hỏi tìm miền đúng của hàm mệnh đề. Theo G. Polya bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách giải có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không đạt ngay được. Theo Fanghonel: Bài toán là sự đòi hỏi hành động trong đó quy định: Đối tượng của hành động - cái đã cho Mục đích của hành động-Cái phải tìm. Các điều kiện của hành động – Mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Theo Rubinstein: “…về bản chất, một bài toán là sự phát biểu bằng lời của một vấn đề”. Theo Trần Văn Vuông- Vũ Đức Mại: Bài toán là sự đòi hỏi đạt được một mục đích nào đó. Mục đích nêu trong bài toán có thể là một tập hợp bất kì (của các số, các hình, các biểu thức…) sự đúng đắn hoặc sai lầm của một hoặc nhiều kết luận. Theo Hà Sĩ Hồ: Có sự khác biệt giữa bài tập và bài toán, giữa bài tập và vần đề. Còn bài tập không là vấn đề mà chỉ là yêu cầu hành động. Bài tập là bài toán đã xử lí về mặt sư phạm. Sự phân biệt giữa bài tập và bài toán là ở mức độ có tính chất vấn đề hay như tầm nhìn chiến thuật và chiến lược. 11