Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Tích có hướng của hai vectơ trong Toán và Vật lí ở trung học phổ thông

Chia sẻ: Ganuongmuoixa | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:130

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của nghiên cứu là xây dựng một tiểu đồ án dạy học để có thể kết nối khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Toán và khái niệm liên quan đến tích có hướng của hai vectơ trong Vật lí.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học giáo dục: Tích có hướng của hai vectơ trong Toán và Vật lí ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Nguyệt TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Minh Nguyệt TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán Mã số : 8140111 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. VŨ NHƯ THƯ HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình nghiên cứu của cá nhân, các trích dẫn được trình bày trong luận văn hoàn toàn chính xác và đáng tin cậy. Tác giả Nguyễn Thị Minh Nguyệt
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Vũ Như Thư Hương, người đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và động viên tôi trong suốt quá trình học tập khóa học cũng như thực hiện luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Lê Văn Tiến, cô Lê Thị Hoài Châu, thầy Lê Thái Bảo Thiên Trung, cô Nguyễn Thị Nga, thầy Tăng Minh Dũng đã giảng dạy cho tôi những bài học Didactic hết sức bổ ích. Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy, cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tham gia giảng dạy lớp cao học khóa 27 để tôi có những hướng đi tốt cho nghiên cứu của mình. Tôi chân thành cảm ơn GS.TS. Annie Bessot và GS.TS Hamid Chaachoua về những lời góp ý tuyệt vời để tôi tìm ra được hướng đi tốt cho phần thực nghiệm của luận văn. Tôi tỏ lòng biết ơn đến: - BGH cùng các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Đình Chiểu, Bình Dương đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian tôi theo học khóa cao học tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh. - BGH, đồng nghiệp cùng các em học sinh lớp 12A2 trường THPT An Mỹ, Bình Dương đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi tiến hành thực nghiệm tại quý trường. - Các bạn cùng lớp Didactic Toán khóa 27 về những chia sẻ, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. - Gia đình tôi, nơi luôn là chỗ dựa và là nguồn động viên lớn nhất để tôi có thể hoàn thành tốt việc học và nghiên cứu của mình. Cuối cùng cho tôi xin được dành vài dòng để gửi lời cảm ơn đến người cha quá cố của tôi, người luôn yêu thương và động viên tôi. Niềm mơ ước của người là được nhìn thấy tôi trong ngày tôi nhận bằng Thạc sĩ. Tuy nhiên niềm mơ ước của người không thể thực hiện được vì người đã ra đi mãi mãi trong khoảng thời gian tôi đang học khóa học. Nhờ tình yêu thương của người mà tôi đã quyết tâm hoàn thành tốt khóa học và luận văn này. Người thực hiện Nguyễn Thị Minh Nguyệt
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các chữ viết tắt Danh mục các hình MỞ ĐẦU ................................................................................................................. 1 Chương 1. KHÁI NIỆM TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ở BẬC ĐẠI HỌC ............................................................................................... 7 1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong giáo trình Hình học bậc đại học ........................................................................................................... 7 1.1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ. ............................................ 7 1.1.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của hai vectơ. ........................................................................................ 10 1.2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong một số giáo trình Vật lí bậc đại học ................................................................................................... 16 1.2.1. Khái niệm tích có hướng và khái niệm momen lực trong giáo trình Vật lí ...................................................................................... 16 1.2.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của hai vectơ và khái niệm momen lực. ............................................... 24 Tiểu kết chương 1 .............................................................................................. 29 Chương 2. KHÁI NIỆM TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG THỂ CHẾ DẠY HỌC TOÁN VÀ VẬT LÍ Ở THPT ...................... 30 2.1. Chương trình và SGK Toán 12 hiện hành ................................................... 30 2.1.1. Chương trình và SGK Hình học 12 ................................................ 30 2.1.2. Chương trình và SGK Hình học 12 NC .......................................... 44 2.2. Khái niệm momen lực trong SGK Vật lí 10 hiện hành. .............................. 59 2.2.1. Khái niệm momen lực trong SGK Vật lí 10 hiện hành .................. 60
2.2.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng và khái niệm momen lực ................................................................... 65 Tiểu kết chương 2 .............................................................................................. 67 Chương 3. NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ...................................................... 69 3.1. Mục đích thực nghiệm ................................................................................ 69 3.2. Nội dung thực nghiệm ................................................................................ 70 3.2.1. Hình thức – Đối tượng thực nghiệm ............................................... 70 3.2.2. Xây dựng tình huống thực nghiệm ................................................. 70 3.2.3. Phân tích tiên nghiệm...................................................................... 82 3.2.4. Phân tích kịch bản ........................................................................... 84 3.3. Diễn tiến thực nghiệm ................................................................................. 88 Tiểu kết chương 3 ............................................................................................ 100 KẾT LUẬN ........................................................................................................... 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 102 PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT GV : Giáo viên HS : Học sinh THPT : Trung học phổ thông SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên Tp : Thành phố Nxb : Nhà xuất bản NC : Nâng cao TVH : Tích vô hướng
DANH MỤC CÁC HÌNH Hình 3.1. Bài làm trên phiếu 1.2 của HS (vẽ vectơ 𝐜 theo tinh thần chủ quan) ....... 89 Hình 3.2. Sản phẩm của N3 (Đặt được mũi tên đỏ đúng hướng) ............................. 91 Hình 3.3. Sản phẩm của N6 (Bộ sản phẩm gần hình vẽ) ......................................... 91 Hình 3.4. Sản phẩm của N3 (Đặt mũi tên xanh sai chiều, phương ) ........................ 92 Hình 3.5. Sản phẩm của N2 (Đặt mũi tên xanh đúng yêu cầu) ................................ 92 Hình 3.6. Sản phẩm của N6 (bổ sung vào hình vectơ momen) ................................ 93 Hình 3.7. Sản phẩm của N5 (xác định vectơ 𝐫) ........................................................ 94 Hình 3.8. Sản phẩm của N4 (mô tả đủ các vectơ) .................................................... 94 Hình 3.9. Sản phẩm của N1(Nhận xét về phương của vectơ momen) ..................... 95 Hình 3.10. Sản phẩm của N4 (nêu cách xác định chiều của momen) ...................... 95 Hình 3.11. Sản phẩm của N2 (sử dụng chiến lược 𝐒𝐂𝐓Đ ) ...................................... 97 Hình 3.12. Sản phẩm của N4 .................................................................................... 97 Hình 3.13. Sản phẩm của N1 .................................................................................... 98 Hình 3.14. Sản phẩm của N1(trong phiếu 2) ............................................................ 98 Hình 3.15. Sản phẩm của N1 .................................................................................... 99
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài báo có tựa đề “Khái niệm vectơ trong dạy học Toán và Vật Lí ở trường phổ thông”, các tác giả Nguyễn Thị Nga, Trần Thị Túy Phượng nói về sự tồn tại đồng thời của khái niệm vectơ trong Toán và Vật lí ở phổ thông và sự cần thiết nghiên cứu khái niệm vectơ trong mối liên hệ Toán – Vật lí: “Khái niệm vectơ là một trong những khái niệm nền tảng của Toán học. Lí thuyết vectơ có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác, đặc biệt là trong Vật lí và Kĩ thuật. Vectơ được đưa đồng thời vào chương trình sách giáo khoa Hình học và Vật lí ở phổ thông tạo điều kiện thuận lợi cho việc liên môn giữa hai ngành khoa học này. Với học sinh lớp 10, vectơ không chỉ là một khái niệm toán học mới mà đây là lần đầu tiên tiếp xúc với yếu tố định hướng của một đối tượng. Điều này gây ra ít nhiều khó khăn cho học sinh trong việc học tập khái niệm này. Hơn thế nữa sự trình bày của sách giáo khoa cùng với việc giảng dạy vectơ trong Toán và Vật lí ở phổ thông có nhiều nối tiếp nhưng cũng có một số ngắt quãng. Điều này dẫn đến khó khăn cho học sinh trong quá trình tiếp thu và vận dụng kiến thức. Do đó, việc nghiên cứu khái niệm vectơ trong mối liên hệ Toán – Vật lí là thật sự cần thiết.” (Nguyễn Thị Nga & Trần Thị Túy Phượng, 2015) Cùng nghiên cứu về khái niệm vectơ có luận văn thạc sĩ giáo dục học với đề tài “Một nghiên cứu didactic về dạy học vectơ ở trường phổ thông: Vectơ hình học và vectơ Vật lí” của tác giả Ngô Thị Hồng Hạnh: Ở nghiên cứu này, tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm vectơ với các thể chế dạy học Toán trung học phổ thông và Vật lí phổ thông hiện hành. Từ đó tác giả đưa ra các nhận định:
2 Vectơ trong hình học là đối tượng nghiên cứu chính thức trong chương trình Hình học 10, vectơ đóng vai trò là công cụ để nghiên cứu một số vấn đề trong hình học phẳng và hình học không gian, cho phép trình bày kiến thức của hình học một cách ngắn gọn, rõ ràng và là cái cầu chuyển qua phương pháp giải tích trong nghiên cứu hình học. Vectơ trong Vật lí đóng vai trò là công cụ cho phép thu gọn các định luật Vật lí dưới dạng một hệ thức vectơ. Sau đó tác giả nghiên cứu những khó khăn của học sinh khi sử dụng vectơ làm công cụ trong Vật lí. Trong luận văn thạc sĩ giáo dục học có tựa đề “Một nghiên cứu didactic về khái niệm tích vô hướng trong chương trình Trung học phổ thông”, tác giả Trần Thị Thu Hiền đã chỉ ra mối liên hệ còn rất yếu giữa Toán 10 và Vật lí 10 đối với tri thức tích vô hướng của hai vectơ: TVH là một công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán Toán học cũng như cácbài toán Vật lý. Bài toán tính công cũng áp dụng công cụ TVH để giải quyết,nhưng mối quan hệ này chưa được tính đến một cách cẩn thận trong chương trình lớp 10. Đó là sự nhầm lẫn của SGK Vật lý lớp 10 khi cho rằng HS chưa được học khái niệm TVH nên chỉ định nghĩa A=Fs.cosα. (Trần Thị Thu Hiền, 2013) Tác giả đã phân tích mối quan hệ thể chế của khái niệm tích vô hướng của hai vectơ với thể chế dạy học Hình học 10 và Vật lí 10 thông qua việc phân tích chương trình và SGK Hình học 10 và Vật Lí 10 hiện hành và đưa ra kết luận: tích vô hướng của hai vectơ là công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán Toán học cũng như bài toán Vật lí, tuy nhiên mối quan hệ này chưa được tính đến một cách cẩn thận trong chương trình lớp 10. Những ghi nhận ban đầu cho chúng tôi thấy rằng các khái niệm xoay quanh vectơ đều có thể nghiên cứu trên cả hai lĩnh vực: Toán và Vật lí, và các công trình đều nghiên cứu các khái niệm vectơ và khái niệm tích vô hướng, tuy nhiên chúng tôi
3 chưa tìm thấy công trình nào nghiên cứu về khái niệm tích có hướng của hai vectơ, điều này đã giúp chúng tôi ý tưởng đến với khái niệm tích có hướng của hai vectơ. Từ những ghi nhận trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi ban đầu sau: - Nếu như tích vô hướng là “công cụ đắc lực” để giải quyết một số bài toán trong Toán cũng như trong Vật Lí thì tích có hướng của hai vectơ có vai trò gì trong cả hai lĩnh vực này? - Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày như thế nào trong chương trình và SGK Toán ở THPT? Khái niệm này được đưa vào nhằm giải quyết các vấn đề gì? - Khái niệm tích có hướng của hai vectơ có vai trò gì trong Vật lí ở THPT? Nó hiện diện như thế nào trong chương trình và SGK Vật lí THPT? - Khái niệm tích có hướng của hai vectơ có mối liên hệ gì trong Toán và Vật lí? Để trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Tích có hướng của hai vectơ trong Toán và Vật lí ở trung học phổ thông”. 2. Phạm vi lí thuyết tham chiếu Đề tài được thực hiện trên cơ sở vận dụng những yếu tố công cụ của lí thuyết Didactic Toán, bao gồm: thuyết nhân học trong dạy học Toán (cụ thể là các khái niệm quan hệ cá nhân và quan hệ thể chế đối với một tri thức, tổ chức toán học của lí thuyết nhân chủng học), lí thuyết tình huống và khái niệm đồ án dạy học. 3. Mục tiêu nghiên cứu và câu hỏi nghiên cứu Mục tiêu của nghiên cứu là: Xây dựng một tiểu đồ án dạy học để có thể kết nối khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Toán và khái niệm liên quan đến tích có hướng của hai vectơ trong Vật lí. Để thực hiện được mục tiêu chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau: CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong các giáo trình Toán và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau trong hai lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề gì? CH2: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong thể chế dạy học Toán và Vật lí ở THPT? Có các tổ chức tri thức nào? Có gì khác biệt so với
4 thể chế dạy học Toán và Vật lí ở bậc đại học? Nhằm giải quyết vấn đề gì? Mối liên hệ (nếu có) ở CH1 thì có tồn tại ở bậc THPT không? CH3: Để xây dựng một tiểu đồ án dạy học nhằm làm rõ mối liên hệ của khái niệm tích có hướng trong Toán và khái niệm liên quan đến tích có hướng trong Vật lí, cần tính đến những yếu tố nào? 4. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu được trình bày tóm lược bằng sơ đồ sau Nghiên cứu so sánh hai thể chế tham chiếu ở bậc Đại học (giáo trình Hình học cao cấp, Vật lí đại cương đại học) Nghiên cứu so sánh hai thể chế ở bậc THPT (các bộ sách Hình học 12 và Vật lí THPT hiện hành) Tiểu đồ án dạy học (nghiên cứu thực nghiệm) 5. Nhiệm vụ nghiên cứu  Chúng tôi nghiên cứu hai phương diện đối tượng và công cụ của khái niệm tích có hướng của hai vectơ bằng cách chọn phân tích các giáo trình Hình học Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy và Vật lí đại cương – tập 1, tập 2 do tác giả Lương Duyên Bình làm chủ biên, Cơ sở Vật lí tập 1, 2 – Cơ học I, II của nhóm tác giả David Halliday cùng các cộng sự được dịch bởi nhóm tác giả Ngô Quốc Quýnh, hướng đến trả lời cho câu hỏi: CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong các giáo trình Toán và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau trong hai lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề gì?
5  Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong các thể chế dạy học Toán và Vật lí ở bậc THPT hiện hành thông qua việc phân tích chương trình, các bộ sách giáo khoa Hình học 12 và Vật lí 10 hiện hành ở Việt Nam để trả lời cho các câu hỏi: CH2: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong thể chế dạy học Toán và Vật lí ở THPT? Có các tổ chức tri thức nào? Có gì khác biệt so với thể chế dạy học Toán và Vật lí ở bậc đại học? Nhằm giải quyết vấn đề gì? Mối liên hệ (nếu có) ở CH1 thì có tồn tại ở bậc THPT không?  Xây dựng và thực nghiệm tiểu đồ án dạy học nhằm giúp học sinh thấy rõ mối liên hệ khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Toán và khái niệm liên quan đến khái niệm tích có hướng trong Vật lí. 6. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có 3 chương không kể phần mở đầu và phần kết luận. Chương 1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở bậc Đại học Trong chương này, chúng tôi trình bày các phân tích về khái niệm tích có hướng của hai vectơ với hai phương diện là đối tượng và công cụ trong một số giáo trình Hình học và Vật lí dùng trong đào tạo sinh viên các ngành sư phạm Toán học và sư phạm Vật lí (cụ thể là giáo trình Hình học Cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp của tác giả Nguyễn Mộng Hy; Vật lí đại cương – tập 1, tập 2 do tác giả Lương Duyên Bình làm chủ biên; Cơ sở Vật lí tập 1, 2 của nhóm tác giả David Halliday được dịch bởi nhóm tác giả Ngô Quốc Quýnh). Đồng thời chúng tôi tìm kiếm các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở cả trong hai lĩnh vực Toán và Vật lí trong các giáo trình chúng tôi chọn phân tích, từ đó đi đến nhận xét khái niệm tích có hướng của hai vectơ có mối liên hệ gì giữa Toán và Vật lí. Chương 2. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong thể chế dạy học Toán và Vật lí ở THPT Chúng tôi tập trung trình bày những phân tích về khái niệm tích có hướng của hai vectơ ở hai phương diện là đối tượng và công cụ trong chương trình, SGK Hình học 12 và Vật lí bậc THPT hiện hành ở Việt Nam. Đồng thời chúng tôi xem xét các
6 kiểu nhiệm vụ nào ở chương thứ nhất còn được giữ lại, kiểu nhiệm vụ nào bị mất đi và kiểu nhiệm vụ nào mới được đưa vào ở bậc THPT, và các kiểu nhiệm vụ đó đưa ra nhằm giải quyết các vấn đề gì? Từ đó đưa ra nhận xét về mối liên hệ của khái niệm này trong hai lĩnh vực Toán và Vật lí. Chương 3. Nghiên cứu thực nghiệm Dựa trên các kết quả thu được ở chương thứ nhất và thứ hai, chúng tôi xây dựng một thực nghiệm dưới dạng tiểu đồ án dạy học nhằm giúp học sinh thấy rõ mối liên hệ khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong Toán và Vật lí.
7 Chương 1. KHÁI NIỆM TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Ở BẬC ĐẠI HỌC Mục đích nghiên cứu ở chương này nhằm tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: CH1: Khái niệm tích có hướng của hai vectơ được trình bày thế nào trong các giáo trình Toán và Vật lí ở bậc đại học? Có điểm gì giống và điểm gì khác nhau trong hai lĩnh vực ? Có các tổ chức tri thức nào? Nhằm giải quyết những vấn đề gì? 1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ trong giáo trình Hình học bậc đại học Chúng tôi tiến hành nghiên cứu các giáo trình: Hình học cao cấp, Bài tập Hình học cao cấp do tác giả Nguyễn Mộng Hy biên soạn và được xuất bản năm 2006. Đây là giáo trình được sử dụng phổ biến trong chương trình đào tạo cho sinh viên Toán ngành sư phạm ở các trường cao đẳng, đại học Việt Nam. Tác giả Nguyễn Mộng Hy cũng chính là chủ biên của bộ sách Hình học 12 cơ bản và nâng cao hiện hành. 1.1.1. Khái niệm tích có hướng của hai vectơ Khái niệm tích có hướng của hai vectơ xuất hiện trong chương II: “ Không gian ơclit và hình học ơclit” và ngay bài đầu tiên, bài 1: “ Bổ sung về các phép toán trên không gian vectơ”. Tích có hướng của hai vectơ được định nghĩa ngay sau phần tích vô hướng, và được định nghĩa như sau: Định nghĩa: Trong 𝑉𝐸3 tích có hướng của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ là một vectơ 𝑐⃗ thoả mãn các điều kiện sau đây: i. 𝑐⃗ ⊥ 𝑎⃗ và 𝑐⃗ ⊥ 𝑏⃗⃗ ̂⃗⃗ |𝑐⃗| = |𝑎⃗|. |𝑏⃗⃗|. 𝑠𝑖𝑛 (𝑎⃗, ii. 𝑏) = dt hình bình hành dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗.
8 iii. Tam diện tạo bởi ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ là tam diện thuận (nếu vặn nút chai theo chiều từ 𝑎⃗ đến 𝑏⃗⃗ thì nút chai chuyển động theo hướng của vectơ 𝑐⃗. – xem hình 6). Ta thường kí hiệu tích có hướng của hai vectơ 𝑎⃗ và 𝑏⃗⃗ là: 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗. (Nguyễn Mộng Hy, 2006) Ta nhận thấy rằng điều kiện (i) tác giả muốn xác định phương của vectơ tích có hướng, điều kiện (ii) xác định độ dài của vectơ tích có hướng và cuối cùng điều kiện (iii) là xác định hướng của vectơ tích có hướng. Giáo trình định nghĩa tích có hướng của hai vectơ là một vectơ được xác định đủ ba yếu tố phương, hướng, độ dài theo ba điều kiện rõ ràng. Định nghĩa tích hỗn hợp của ba vectơ trong VE3 được phát biểu: Tích hỗn hợp của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ trong 𝑉𝐸3 là một số, bằng cách nhân tích có hướng hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ ta được 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ rồi vô hướng vectơ ấy với 𝑐⃗. Tích hỗn hợp của ba vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ được kí hiệu như sau: (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ ). 𝑐⃗ (Nguyễn Mộng Hy, 2006) Ngay sau định nghĩa tích hỗn hợp thì ý nghĩa hình học của nó cũng được giáo trình đề cập đến: Tính thể tích hình hộp dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ : 𝑉 = (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) với 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo nên một tam diện thuận − 𝑉 = (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ , 𝑐⃗) với 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗ tạo nên một tam diện nghịch Điều kiện cần và đủ để ba vectơ đồng phẳng là tích hỗn hợp của chúng bằng 0 Điều kiện cần và đủ để ba vectơ phụ thuộc tuyến tính là tích hỗn hợp của chúng bằng 0 (Nguyễn Mộng Hy, 2006) Biểu thức tọa độ tích có hướng của hai vectơ trong không gian VE3 được trình bày trong bài 3: “Mục tiêu trực chuẩn – tọa độ trực chuẩn” và được trình bày thành hai phần nhỏ:
9 - Phần a) là định nghĩa tích có hướng của hai vectơ bằng công thức tính thông qua tọa độ các vectơ với hình thức bước đầu cho bài toán để người đọc tự giải, rồi đưa ra biểu thức tính tích có hướng của hai vectơ như sau: Trong hệ tọa độ Đề - Các vuông góc Oxyz, cho hai vectơ 𝑎⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) và 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ). Hãy tìm tọa độ vectơ 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = 𝑐⃗. Ta dễ dàng tính được tọa 𝑎2 𝑎3 𝑎3 𝑎1 𝑎1 𝑎2 độ của 𝑐⃗ như sau: 𝑐⃗ = 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = (|𝑏 𝑏3 | , |𝑏3 𝑏1 | , |𝑏1 𝑏2 |) 2 (Nguyễn Mộng Hy, 2006) - Phần b) trình bày hệ quả của biểu thức hay nói cách khác đi đó chính là ý nghĩa hình học tích có hướng của hai vectơ theo hướng Giải tích. Nếu 𝜑 là góc giữa hai vectơ 𝑎⃗ = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) và 𝑏⃗⃗ = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) ta có công thức: 𝑎 𝑎3 2 𝑎3 𝑎1 2 𝑎1 𝑎2 2 √| 2 |𝑎⃗⃗∧𝑏 ⃗⃗| 𝑏2 𝑏3 | +|𝑏3 𝑏1 | +|𝑏1 𝑏2 | 𝑠𝑖𝑛𝜑 = ± |𝑎⃗⃗|.|𝑏⃗⃗| = √𝑎12 +𝑎22 +𝑎32 .√𝑏12 +𝑏22 +𝑏32 Gọi S là diện tích hình bình hành được dựng trên các vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ (H. 8): 𝑎2 𝑎3 2 𝑎3 𝑎1 2 𝑎1 𝑎2 2 𝑆 = |𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗| = √|𝑏 𝑏3 | + |𝑏3 𝑏1 | + |𝑏1 𝑏2 | 2 (Nguyễn Mộng Hy, 2006) Giáo trình cũng giới thiệu biểu thức tọa độ của tích hỗn hợp trong VEn cũng như chúng tôi có nhắc ở trên thì ý nghĩa hình học của tích hỗn hợp là tính thể tích của hình hộp dựng trên các vectơ a⃗⃗, ⃗⃗ b, c⃗ 𝑎1 𝑎2 𝑎3 ⃗ ⃗ (𝑎⃗, 𝑏, 𝑐⃗) = |𝑏1 𝑏2 𝑏3 | = ±𝑉 𝑐1 𝑐2 𝑐3 (Nguyễn Mộng Hy, 2006)
10 1.1.2. Các tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm tích có hướng của hai vectơ Hệ thống bài tập được tác giả đưa ra ngay sau phần trình bày lí thuyết của cả chương. Về cơ bản là các bài tập trong giáo trình Hình học cao cấp và Bài tập Hình học cao cấp là giống nhau. Từ quá trình phân tích các bài tập và lời giải được trình bày, chúng tôi tìm thấy 7 kiểu nhiệm vụ gắn liền với tích có hướng của hai vectơ.  𝐓𝟏𝟎 : “Tính diện tích hình bình hành được dựng trên hai vectơ 𝐚⃗⃗, ⃗𝐛” Kĩ thuật τ10 : - Tính c⃗ = a⃗⃗ ∧ ⃗⃗ b 1 - Diện tích hình bình hành: S = |c⃗| (hoặc diện tích tam giác: S = |c⃗| 2 Công nghệ θ10 : Định nghĩa tích có hướng hai vectơ, biểu thức tọa độ tích có hướng. Minh họa cho (T10 , τ10 ): - Bài tập 2.3 trang 130, lời giải trang 144 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp: 2.3. Tính diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ 𝑎⃗ = (8,4,1), 𝑏⃗⃗ = (2, −3,1) đối với một cơ sở trực chuẩn. Lời giải: Ta biết rằng diện tích hình bình hành dựng trên hai vectơ 𝑎⃗, 𝑏⃗⃗ bằng |𝑐⃗| trong đó 𝑐⃗ = 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ nên: 𝑆ℎ𝑏ℎ = |𝑐⃗| = √1109 (đvdt) (Nguyễn Mộng Hy, 2009)  𝐓𝟐𝟎 : “Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng” Kĩ thuật τ021 : - Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a2 ; b2 ; c2 ) AB = (a1 ; b1 ; c1 ), AC - Xét tỉ lệ tọa độ tương ứng của hai vectơ - Nếu : a1 b1 c1 = = thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB, AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng a2 b2 c2
11 a1 b1 c1 ≠ ≠ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB, AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng a2 b2 c2 hàng Công nghệ θ021 : khái niệm hai vectơ cùng phương. Kĩ thuật τ022 : - Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = (a1 ; b1 ; c1 ), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC = (a2 ; b2 ; c2 ) - Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB ∧ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ - Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB ∧ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 ⃗⃗ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB, AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ cùng phương nên ba điểm A, B, C thẳng hàng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB ∧ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ 0 ⃗⃗ thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB, AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng Công nghệ θ022 : khái niệm hai vectơ cùng phương; Định nghĩa tich có hướng của hai vectơ; Biểu thức tọa độ tích có hướng.  𝐓𝟑𝟎 : “Tính diện tích tam giác ABC khi biết tọa độ ba điểm A, B, C” Kĩ thuật τ03 : - Tính tọa độ các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (a2 ; b2 ; c2 ) AB = (a1 ; b1 ; c1 ), AC - Tính ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ AC - Diện tích tam giác ABC là: S = |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗| 2 Công nghệ θ03 : Định nghĩa tích có hướng hai vectơ, biểu thức tọa độ tích có hướng. Để minh họa cho hai kiểu nhiệm vụ trên chúng tôi chọn bài 2.10 trang 131, lời giải trang 149 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp. 2.10. Với hệ tọa độ trực chuẩn trong 𝐸 3 , cho ba điểm 𝐴(3,4, −1), 𝐵(2,0,3), 𝐶(−3,5,4). Hãy chứng tỏ ba điểm không thẳng hàng và tính diện tích của tam giác ABC đó. Lời giải Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = (−1, −4,4); ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 = (−6,1,5)
12 Ba điểm A, B, C không thẳng hàng vì hai vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 không cùng phương. −1 −4 4 Ta có: −6 ≠ ≠ 5. Nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng 1 1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Gọi S là diện tích tam giác ABC. Ta có 𝑆 = 2 |𝐴𝐵 𝐴𝐶 | = 2 √1562 (Nguyễn Mộng Hy, 2009) Giáo trình đã chọn kĩ thuật τ021 để giải quyết kiểu nhiệm vụ T20 .  𝐓𝟒𝟎 : “Tính biểu thức vectơ” Kĩ thuật τ04 : - Sử dụng công thức để tính toán Công nghệ θ04 : Biểu thức tọa độ của tích có hướng, tích vô hướng,….. Minh họa cho (T40 , τ04 ): Bài 2.4 trang 130, lời giải trang 145 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp. Đối với một cơ sở trực chuẩn cho ba vectơ 𝑎⃗ = (3,2,1), 𝑏⃗⃗ = (2,7,4), 𝑐⃗ = (1,2,1). Tính tích hỗn hợp (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗). 𝑐⃗ Lời giải: Ta có: 𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ = (−10, −8,19) nên (𝑎⃗, 𝑏⃗⃗, 𝑐⃗) = (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗ ). 𝑐⃗ = −17 (Nguyễn Mộng Hy, 2009)  𝐓𝟓𝟎 : “Chứng minh đẳng thức vectơ liên quan đến tích có hướng” Kĩ thuật τ05 : - Từ biểu thức ở vế trái sử dụng các công thức, tính chất biến đổi về biểu thức vế phải (hoặc ngược lại hoặc biến đổi hai vế về cùng một biểu thức) Công nghệ θ05 : Định nghĩa và các tính chất của tích có hướng, tích vô hướng,….. Minh họa cho (T50 , τ05 ): Bài 2.7 trang 131, lời giải trang 146 giáo trình Bài tập Hình học cao cấp. 2.7. Chứng minh rằng 2 2 (𝑎⃗ ∧ 𝑏⃗⃗) + (𝑎⃗. 𝑏⃗⃗) = 𝑎⃗2 . 𝑏⃗⃗ 2