Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử laplace beltrami trên miền giả lồi bị chặn với metric bergman

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này trình bày một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran. Nội dung chính của luận văn là đưa ra các ví dụ về đa tạp K¨ahler đầy đủ mà đối với chúng giá trị chính xác của λ1 có thể tính toán được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử laplace beltrami trên miền giả lồi bị chặn với metric bergman

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬ LAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Thạc Dũng - Người thầy đã luôn bên tôi động viên, chỉ dạy và giúp đỡ tận tình để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này. Thật khó có thể nói hết sự quan tâm lớn lao mà thầy đã dành cho tôi trong suốt thời gian qua. Thầy không quản ngại không gian, thời gian cũng như vật chất, dành hết tâm huyết cho công việc, không ngừng mong mỏi học trò của mình lĩnh hội được nhiều kiến thức. Thầy quả là một người thầy mẫu mực, là tấm gương sáng để lớp lớp thế hệ học trò chúng tôi noi theo. Qua đây, tôi cũng xin phép được gửi lời cảm ơn tới tập thể các thầy cô Khoa Toán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. Tôi cảm ơn gia đình, cảm ơn bạn bè, cảm ơn tất cả mọi người đã luôn quan tâm, góp ý, giúp đỡ cho tôi. Trong quá trình làm luận văn, mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do thực tế sức khỏe không được tốt, kiến thức còn hạn chế lại thêm hoàn cảnh khá đặc biệt nên luận văn khó tránh khỏi có thiếu sót. Tôi kính mong quý thầy cô cùng các bạn bổ sung, góp ý những ý kiến quý báu để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng, tôi xin kính chúc quý thầy cô cùng các bạn sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt! Chúc một năm mới an khang, thịnh vượng! Hà Nội, tháng 12 năm 2015. i
Mục lục Phần mở đầu 1 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 4 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 7 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 11 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Ước lượng cận trên của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Giá trị cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt . . . . . . 30 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 ii
Phần mở đầu Cho (M n , g) là một đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler n X g= gij dzi ⊗ dz j . i,j=1 Giả sử n X ∂2 ij ∆g = −4 g i,j=1 ∂zi ∂z j là toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric g . Ở đây ta dùng ký h it −1 hiệu g ij = gij . Khi đó, cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami được xác định bởi   n ij ∂f ∂f  Z X  ∞ λ1 (∆g , M ) = inf 4 g dVg : f ∈ C0 (M ), kf kL2 = 1  M i,j=1 ∂zi ∂z j  trong đó dVg là dạng thể tích trên M tương ứng với metric K¨ahler g . Bài toán đặt ra là tính giá trị λ1 hoặc cho một đánh giá về λ1 . Tất nhiên việc đánh giá này là phụ thuộc vào đa tạp M và metric K¨ahler g . Người ta đã chứng minh được rằng khi M là đa tạp compact và ∆g là toán tử elliptic đều thì λ1 (∆g ) là giá trị riêng dương đầu tiên của ∆g với điều kiện biên Dirichlet. Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng trong các bài toán hình học và vật lý. Chẳng hạn, với các giả thiết về độ cong 1
phù hợp và giả thiết về λ1 có cận dưới phù hợp, Li-Wang-Munteanu-Kong- Zhou đã chỉ ra rằng khi đó đa tạp phải có dạng hình học đặc biệt (xem [6, 10, 11, 12, 17]). Trước hết ta chú ý rằng λ1 (∆g ) có thể không phải là giá trị riêng của ∆g . Ví dụ, nếu M là một không gian hyperbolic phức thì λ1 (∆g ) không phải là giá trị riêng của ∆g . Tuy nhiên, nó là cận dưới của phổ dương của ∆g . Tổng quát hơn khi M là đa tạp K¨ahler không compact thì λ1 (∆g ) không còn chắc là giá trị riêng của ∆g dù đa tạp đó có thể là đa tạp đầy. Khi M là một đa tạp đầy không compact, đã có nhiều người nghiên cứu bài toán đánh giá cho λ1 (∆g ) mà điển hình là các công trình của Li và Wang ([10]). Với giả thiết độ cong song nhát cắt chỉnh hình của M bị chặn dưới bởi −1, họ đã chứng minh rằng λ1 (∆g ) ≤ n2 . Đánh giá của họ là chặt và đẳng thức đạt được khi M là không gian hyperbolic phức. Sau đó Munteanu ([17]) đã chứng minh được một cách tốt hơn rằng λ1 (∆g ) ≤ n2 chỉ với giả thiết độ cong Ricci của M bị chặn dưới bởi −2(n + 1). Ước lượng của Munteanu là chặt và dấu đẳng thức đạt được đối với không gian hyperbolic phức. Luận văn này trình bày một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran ([16]). Nội dung chính của luận văn là đưa ra các ví dụ về đa tạp K¨ahler đầy đủ mà đối với chúng giá trị chính xác của λ1 có thể tính toán được. Nói một cách cụ thể, ta sẽ ước lượng chính xác λ1 (∆u ) trên các miền D là miền giả lồi bị chặn trong Cn với ∂ 2u metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j , trong đó uij = với u là hàm đa điều ∂zi ∂z j hòa dưới chặt, vét cạn miền D. Trong trường hợp tổng quát, khi D là miền 2
giả lồi bị chặn thì việc tính được chính xác giá trị của λ1 (∆u ) là rất phức tạp. Vì thế, chúng ta cần phải đưa vào những điều kiện phụ khác nhau đối với hàm u vét cạn trên D. Nhờ các điều kiện đó, chúng ta sẽ xấp xỉ cận trên và cận dưới của λ1 bằng cách xây dựng các hàm đặc biệt và tiến hành phân tích trên miền con của D. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương mở đầu, tôi nhắc lại một vài kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi và toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler. Trong chương hai, tôi xét ước lượng cận dưới và cận trên của cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace- Beltrami. Ước lượng cận dưới được xét trong mục 2.1, ước lượng cận trên được trình bày trong mục 2.2. Đặc biệt, trong mục 2.2 tôi đưa ra một cách chứng minh khác cho Định lý 2.2. Chứng minh này là mới và đơn giản hơn so với chứng minh trong bài báo gốc. Trong mục 2.3, tôi đưa ra các ước lượng của cận dưới nhỏ nhất của phổ trên các miền giả lồi đặc biệt với metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman. 3
Chương 1 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới Định nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn , u : Ω → R là một hàm thuộc lớp C 2 . Khi đó u được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu n X ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ 0 ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Cn . i,j=1 ∂zi ∂z j ∂ 2u Do uij = =
√ =
Cả hai ma trận trên đều là Hermite. Ma trận Hu là xác định dương chặt và Hv là xác định dương. 1.1.2 Miền giả lồi Cho Ω ⊂ Rn là một tập con mở. Ta nói rằng Ω có biên lớp C k , k ≥ 2 nếu tồn tại một lân cận U của ∂Ω và một hàm r lớp C k xác định trên U sao cho 1. Ω ∩ U = {z ∈ U : r(z) < 0}. 2. dr 6= 0 trên ∂Ω trong đó với mọi z ∈ ∂Ω n X ∂r dr(z) = (z)dxj . j=1 ∂x j Định nghĩa 1.3. Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Cn , n ≥ 2 và r là một hàm xác định trên D. D được gọi là miền giả lồi hay miền giả lồi Levi tại p ∈ ∂Ω nếu dạng Levi n X ∂ 2r Lp (r, ξ) = (p)ξi ξ j ≥ 0 ∀ξ ∈ Tp(1,0) (∂Ω). i,j=1 ∂z i ∂z j Ω được gọi là miền giả lồi chặt tại p nếu dạng Levi xác định dương chặt ∀ξ 6= 0. Ω là miền giả lồi chặt nếu Ω là miền giả lồi chặt tại mọi điểm của nó. Ví dụ. Xét không gian phức C2 và hình cầu đơn vị B2 = {(z, w) ∈ C2 : |z|2 + |w|2 < 1}. Khi đó B2 là miền giả lồi chặt. Thật vậy, ta có thể chọn hàm xác định của ∂B2 là hàm r(z, w) = |z|2 + |w|2 − 1. Hàm này là hàm đa điều hòa dưới chặt tại mọi điểm (z, w) ∈ ∂B2 . 6
1.2 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ ahler Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng, n chiều và Ωp (M ) là một không gian p-dạng trên M , đặt d : Ωp (M ) ⇒ Ωp+1 (M ) là toán tử vi phân thông thường, p ≥ 0. Giả định rằng ds2 = i,j gij dxi ⊗ dxj là một P metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ (M ), (gij ) là ma trận thực cấp n và xác định dương chặt. Khi đó ds2 chứa một metric Riemann trên T (M )⊗T (M ) xác định bởi X ∂ ∂ dS 2 = g ij ⊗ i,j ∂xi ∂xj trong đó (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (gij ). Ln Giả sử d∗ là toán tử liên hợp của d trên p p=0 Ω (M ) tương ứng với P metric Riemann i,j gij dxi ⊗ dxj nghĩa là d∗ : Ωp (M ) → Ωp−1 (M ) và Z (dα, β) = (α, d∗ β) = < dα, β >ds2 ∗ ∀α ∈ Ωp−1 (M ), β ∈ Ωp (M ) M trong đó * là toán tử Hogde. Định nghĩa 1.4. Toán tử Hogde-Laplace trên Ωp (M ) là ∆H = −(dd∗ + d∗ d) : Ωp (M ) → Ωp (M ). Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như sau. 7
Với mọi hàm trơn f , ta có thể định nghĩa gradient của nó là ∂f ∂ Of := gradf := g ij ∂xi ∂xj trong đó g = det(gij ). Khi đó với mọi trường véc tơ X ta có < gradf, X >= X(f ) = df (X). ∂ Mặt khác, toán tử div tác động lên một trường véc tơ Z = Z i được ∂xi định nghĩa là 1 ∂ √ j divZ := ( gZ ). g ∂xj Định nghĩa 1.5. Toán tử Laplace-Beltrami trên Ωp (M ) là ∆f = −div(gradf ). Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M , ta có ∆ = −∆H . Dễ dàng nhận thấy rằng √ ∂2 1 ∂ ∂f ∆f = − √ gg ij i = −g ij f + ... g ∂xj ∂x ∂xi ∂xj Vì (gij ) là xác định dương chặt, −∆f là một toán tử elliptic. Định nghĩa 1.6. Giả sử M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương z = (z1 , ..., zn ). Một metric Hermit trên M được xác định bởi hik (z)dzj ⊗ dz k zk 8
trong đó hjk (z) là ma trận Hermit, xác định dương và phụ thuộc vào z . Ngoài ra, các hàm thành phần hjk (z) là các hàm trơn. Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định bởi i h (z)dzj ∧ dz k 2 jk được gọi là dạng K¨ahler của metric Hermit. Định nghĩa 1.7. Một metric Hermit hjk dzj ⊗ dz k được gọi là một metric K¨ahler nếu với mọi z tồn tại một lân cận U của z và một hàm F : U → R i với hjk dzj ∧ dz k = ∂∂F , ∂∂F được gọi là dạng K¨ahler, F được gọi là thế 2 vị K¨ahler. Giả sử hjk dzj ⊗ dz k là một metric K¨ahler trên một đa tạp phức M . Do mỗi metric Hermit đều cảm sinh ra một metric Riemann nên ta có thể định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann < v, w >R,h . Trong metric này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng n ∂2 1 ∂ ij ∂ X ij ∆ = −4 hh = −4 h i ∂z , h ∂zi ∂z j i,j=1 ∂z j trong đó h = det(hjk ). Công thức trên có thể suy ra trực tiếp nhờ sử dụng kết quả sau ([16]) n n X ∂ ij X ∂ (hh ) = (hhij ) = 0. i=1 ∂zi j=1 ∂z j Lưu ý rằng, chúng ta sẽ dùng công thức này để chứng minh một công thức tích phân cho toán tử Laplace–Beltrami trong chương sau. Định nghĩa 1.8. Cho Ω ⊂ M là một tập con mở. Một số thực dương λ được gọi là một giá trị riêng của toán tử ∆ đối với bài toán Dirichlet trên 9
Ω nếu tồn tại một hàm trơn v ∈ C ∞ (Ω) sao cho ∆v = λv. Hàm v khi đó được gọi là một hàm riêng của ∆ ứng với giá trị riêng λ. Do ∆ là toán tử elliptic tự liên hợp, nhờ lý thuyết phương trình đạo hàm riêng chúng ta biết rằng tập hợp các giá trị riêng {λk }∞ k=1 lập thành một dãy tăng 0 < λ1 < λ2 ≤ . . . λk ≤ . . . và lim λk = ∞. k→∞ Trong giải tích phức nhiều biến, chúng ta biết rằng nếu D là hình cầu đơn vị Bn trong Cn và u(z) = − log(1 − |z|2 ) thì n X 2 ds = uij dzi ∧ dz j i,j=1 vừa là metric Bergman đồng thời cũng là metric K¨ahler-Einstein trên Bn . Chúng ta sẽ chỉ ra rằng λ1 (Bn ) = n2 . Để tính giá trị chính xác của λ1 (∆u ) trên Bn , chúng ta sẽ đồng thời đánh giá cận trên và cận dưới của nó. Trước hết, chúng ta giả thiết f (z) = n (1 − |z|2 ) 2 . Khi đó, áp dụng nguyên lý Rayleigh ta có 2 R Bn | 5 f | λ1 ≤ R 2 = n2 . Bn |f | Đồng thời áp dụng Mệnh đề 9.2 trong [8] ta lại có λ1 ≥ µ > 0 nếu tồn tại một hàm dương h sao cho ∆u h ≥ µh. Thực tế, hàm f định nghĩa ở trên luôn thỏa mãn điều kiện ∆u f ≥ n2 f . Do vậy λ1 (∆u ) = n2 trên Bn (xem [16]). 10
Chương 2 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 Nhắc lại, giả sử D là một miền giả lồi bị chặn trong Cn với hàm xác định r(z) ∈ C 2 (Cn ) và u(z) = − log(−r(z)) là hàm đa điều hòa dưới chặt trong D. Khi đó, toán tử Laplace-Beltrami ∆u tương ứng với metric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j trên D xác định bởi n X ∂2 ij ∆u = −4 u (2.1) i,j=1 ∂zi ∂z j trong đó [uij ]t = H(u)−1 = [uij ]−1 . 11
Trước hết, để ước lượng cận dưới của phổ λ1 , ta có bổ đề tính toán quan trọng sau. Bổ đề 2.1. Giả sử Ω ⊂ Cn và uij dzi ⊗ dz j là metric K¨ ahler bất kỳ trên Ω, trong đó uij = ∂ij u và u ∈ C 2 (Ω) là hàm đa điều hòa dưới chặt. Đặt f (z) = e−αu(z) với α > 0. Khi đó (i) ∆u f (z) = 4αf (z) n − α|∂u|2u , (2.2) trong đó n X n X |∂u|2u = ij u ui uj = uij ∂i u∂j u. (2.3) i,j=1 i,j=1 (ii) Nếu r(z) = −e−u(z) là hàm đa điều hòa dưới chặt thì |∂u|2u < 1 trong Ω. (iii) Giả thiết rằng Ω bị chặn với ∂Ω ∈ C 1 . Khi đó với h1 , h2 ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω) thì Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu Ω      n n ∂h1  ∂h2  Z X X =4 h2 − uij νi − h1 − uij νj g(z)dσ(z). ∂Ω i,j=1 ∂z j i,j=1 ∂z i (2.4) Trong đó g(z) = detH(u), dVu (z) = g(z)dv(z), và ν(z) = (ν1 (z), ..., νn (z)) là véc tơ pháp tuyến phức hướng ngoài ∂Ω sao cho |ν(z)|2 = 4. 12
Đặc biệt, nếu     ∆u h1 (z) ≥ 0 trong Ω          h1 (z) = 0 trên ∂Ω        ≥ 0 trên ∂Ω  h2 (z)   thì Z (h2 ∆u h1 − h1 ∆u h2 ) dVu ≥ 0. (2.5) Ω Chứng minh. Từ giả thiết f (z) = e−αu(z) với α > 0, bằng tính toán trực tiếp, ta có ∂f (z) h −αu(z) i0 = e = [−αu(z)]0zi e−αu(z) = −αui e−αu(z) , ∂zi zi ∂ 2 f (z) h i0 ∂ ∂f −αu(z) = = −αui e ∂zi ∂zj ∂zj ∂zi zj = −αuij e−αu(z) + α2 ui uj e−αu(z) = −αuij f (z) + α2 ui uj f (z). Từ hai biểu thức trên và định nghĩa của ∆u , ta nhận được n X ∆u f (z) = −4 uij [−αuij f (z) + α2 ui uj f (z)] i,j=1 n X uij uij − αui uj = 4αf (z) i,j=1   n X n X = 4αf (z)  uij uij − α uij ui uj  i,j=1 i,j=1 13
  n X = 4αf (z)  uij uij − α|∂u|2u  . i,j=1 Pn ij Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng i,j=1 u uij = n. Thật vậy, do (uij )t = (uij )−1 nên (uij )(uij )t = I . Điều này tương đương với       u11 u12 . . . u1n   u11 u21 . . . un1  1 0 . . . 0                u  12 u22 n2   21 u22 . . . u2n   u ... u   0 1 . . . 0   = .       .. .. . . . ..   .. .. . . . ..   .. .. . . ..   . . .   . . .  . .  . .               un1 un2 . . . unn u1n u2n ... u nn 0 0 ... 1 Đặc biệt thực hiện phép nhân trên đường chéo chính của tích ma trận trên, ta có hệ phương trình     u11 u11 + u12 u12 + . . . + u1n u1n = 1            ...          ui1 ui1 + ui2 ui2 + . . . + uin uin = 1 .            ...         n1 n2 nn un1 u + un2 u + . . . + unn u = 1   14
Cộng tất cả n phương trình trong hệ trên vế với vế, ta nhận được   Xn n X X n uij uij =  uij uij  i,j=1 i=1 j=1 n X i1 i2 in = u ui1 + u ui2 + . . . + u uin = n. i=1 Do đó, ∆u f (z) = 4αf (z)[n − α|∂u|2u ]. Vậy (i) được chứng minh. Tiếp theo, ta chứng minh (ii). Trước tiên, ta tính uij . Do r(z) = −e−u(z) nên u(z) = − ln(−r(z)). Vì vậy, ta có ∂u (−r(z))0zi ri ui = = =− , ∂zi r(z) r ∂u (−r(z))z0 j rj uj = = =− . ∂z j r(z) r Từ đó, ta tính được ∂r   − ∂ 2u ∂ ∂u ∂  ∂zi  uij = = =   ∂zi ∂z j ∂z j ∂zi ∂z j  r  ∂ 2r ∂r ∂r − r+ ∂zi ∂z j ∂z j ∂zi = r2 −rij r + ri rj 1 ri rj = = − rij − . r2 r r Sử dụng các ký hiệu n X n X n X |∂r|2r = ij r ui uj , r = i r rjij và j r = rij ri , i,j=1 j=1 i=1 15
bằng cách tính toán trực tiếp, ta có ! i j rr uij = −r rij − . |∂r|2r − r Từ đó n n " !# i j X X rr ri rj |∂u|2u = uij ui uj = −r rij − i,j=1 i,j=1 |∂r|2r − r r r  !  n i j 1 X r r r r i j =−  rij ri rj − 2  r i,j=1 |∂r|r − r  Pn  n i j 1 i,j=1 r r ri rj  X =−  rij ri rj − r i,j=1 |∂r|2r − r " Pn i Pn j # 1 ( i=1 ir r )( j=1 j r r ) = − |∂r|2r − 2 r |∂r|r − r " Pn Pn ij Pn Pn ij # 1 ( i=1 ir j=1 r rj )( j=1 j r i=1 r ri ) = − |∂r|2r − r |∂r|2r − r " Pn ij Pn ij # 1 ( i,j=1 r r r i j )( i,j=1 r r r i j ) = − |∂r|2r − 2 r |∂r|r − r 2 2 4 |∂r| |∂r| |∂r| 1 r r 1 r = − |∂r|2r − 2 = − |∂r|2r − 2 r |∂r|r − r r |∂r|r − r 1 |∂r|4r − r|∂r|2r − |∂r|4r |∂r|2r =− = . r |∂r|2r − r |∂r|2r − r Do −r(z) > 0 với mọi z ∈ Ω nên |∂r|2r − r > |∂r|2r trong Ω. Điều này dẫn tới |∂r|2r < 1, ∀z ∈ Ω. |∂r|2r − r Vậy (ii) đã được chứng minh. Tiếp theo, ta chứng minh (iii). 16