Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

108
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương. Chương 1 - Tổng quan về lý thuyết cực trị, chương này trình bày định lý của Fisher, Tippet (1928) và Gnedeko (1943) về phân loại hàm cực trị, khái niệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q−Q và P−P, ...vv. Chương 2 - Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tài chính, chương này tập trung làm rõ các khái niệm và công thức tính của các độ rủi ro như VaRq, ESq là các thước đo thông dụng trong quản trị rủi ro.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Đức Thọ LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Đức Thọ LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Trọng Nguyên Hà Nội - 2011
Mục lục Lời mở đầu 3 Lời cảm ơn 5 Chương 1. Tổng quan về lý thuyết cực trị 6 1.1. Phân phối cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Miền hấp dẫn cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Hàm phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4. Phân phối Pareto tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5. Hàm phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6. Biểu đồ Q-Q và P-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7. Ước lượng các mô hình cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.8. Một số mô hình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mô hình . . . . . . . . . 29 Chương 2. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài chính 32 2.1. Rủi ro tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Mô hình đo lường rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1. Mô hình độ đo rủi ro chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.2. Mô hình VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1
2.2.3. Mô hình ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4. Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.5. Một số độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.6. Một số công thức tính cho các độ đo rủi ro cho các phân phối thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3. Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và biến rủi ro . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.1. Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.2. Sự thua lỗ với tài sản đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.3. Sự thua lỗ với danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4. Một số phương pháp tính các độ rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.1. Phương pháp tính Varq từ phân phối thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5. Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5.1. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn với danh mục tài sản đơn . . . . . . . . . . 49 2.5.2. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.6. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi suất chứng khoán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.7. Áp dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB . . . . . . . . . 54 2.7.1. Số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7.2. Ước lượng phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7.3. Ước lượng giá trị rủi ro Varq và mức tổn thất kỳ vọng ESq . . . . . . . 60 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 2
LỜI MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thị trường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ (1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997),... và mới đây là cuộc khủng hoảng thị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suy giảm kinh tế toàn cầu. Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gần đây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụ quản lý rủi ro chưa được tốt. Do đó, việc nhận diện, đo lường và phòng hộ rủi ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an toàn cho các tổ chức tài chính là một việc rất quan trọng. Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng, rủi ro lãi suất, rủi ro thanh khoản, rủi ro hoạt động,...trong đó rủi ro thị trường đóng một vai trò quan trọng. Trong đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vào các phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành và phát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính. Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, ... những biến cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên. Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là: Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương: • Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị. Chương này trình bày định lý của Fisher, Tippet (1928) và Gnedeko (1943) về phân loại hàm cực trị, khái niệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q − Q và P − P, ...vv. • Chương 2: Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tài chính. Chương này tập trung làm rõ các khái niệm và công thức tính của các độ rủi ro như VaRq, ESq là các thước đo thông dụng trong quản trị rủi ro. Áp dụng lý thuyết EVT để mô hình hóa đuôi của chuỗi lợi suất chứng khoán RACB. Từ đó ước lượng mức độ tổn thất có thể xảy ra khi đầu tư vaò cổ phiếu này. 3
Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên nội dung không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Học viên Lê Đức Thọ 4
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành luận văn này. Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp cao học . Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011 Học viên Lê Đức Thọ 5
Chương 1 Tổng quan về lý thuyết cực trị 1.1 Phân phối cực trị Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm phân phối là F và x∗ là điểm phải của F, tức là x∗ = sup{x : F(x) < 1}, x∗ có thể là vô hạn P P Khi đó, max(X1 , X2 , ..., Xn ) → x∗ , khi n → ∞, trong đó ký hiệu → là hội tụ theo xác suất, vì P(max(X1 , X2 , ..., Xn ) ≤ x) = P(X1 ≤ x, X2 ≤ x, ..., Xn ≤ x) = F n(x) hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x < x∗ và 1 nếu x ≥ x∗ . Giả sử tồn tại dãy hằng số an > 0 và bn thực n = 1, 2, · · · sao cho: max(X1 , X2 , ..., Xn ) − bn an có giới hạn là một hàm phân phối không suy biến khi n → ∞, nghĩa là: lim F n(an x + bn) = G(x). (1.1) n→∞ Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các hàm phân phối G có thể xảy ra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực 6
trị. Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và đủ cho hàm phân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn. Lớp các hàm phân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là miền hấp dẫn của G. Từ (1.1) với mỗi x sao cho 0 < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có lim n log F(an x + bn) = log G(x). (1.2) n→∞ Rõ ràng rằng F(an x + bn) → 1, với mỗi x. Do đó: log F(an x + bn) lim − = 1, n→∞ 1 − F(anx + bn) và (1.2) tương đương với: lim n[1 − F(anx + bn)] = − log G(x), n→∞ hoặc 1 1 lim =− . (1.3) n→∞ n[1 − F(an x + bn )] log G(x) Với mỗi hàm không giảm f , kí hiệu: f ← (x) := inf{y : f (y) ≥ x}, ta có bổ đề sau. Bổ đề 1.1.1. Giả sử fn là một dãy các hàm không giảm và g là một hàm không giảm. Giả sử rằng mỗi x trong khoảng (a, b) là điểm liên tục của g: lim fn (x) = g(x). (1.4) n→∞ Khi đó với mỗi x ∈ (g(a), g(b)) là điểm liên tục của g← thì: lim fn← (x) = g← (x). (1.5) n→∞ Chứng minh. Cho x là một điểm liên tục của g←. Cố định ε > 0, ta chứng minh với n, n0 ∈ N, n ≥ n0 : fn← (x) − ε ≤ g← (x) ≤ f ← (x) + ε . Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự. Chọn 0 < ε1 < ε sao cho g←(x) − ε1 là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm 7
liên tục của g là trù mật. Do g← là liên tục tại x, g← (x) là một điểm của hàm tăng g, do đó g(g←(x) − ε1 ) < x. Chọn σ < x − g(g←(x) − ε1 ). Do g← (x) − ε1 là điểm liên tục của g, do đó tồn tại n0 sao cho: fn (g← (x) − ε1 ) < g(g← (x) − ε1 ) + σ < x (∀ n ≥ n0 ). Từ định nghĩa của hàm fn← suy ra: g←(x) − ε1 ≤ fn← (x). 1 ← Chúng ta áp dụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3). Cho U = , chú ý U(t) 1−F xác định với mọi t > 1, khi đó (1.3) tương đương với U(nx) − bn 1 lim = G← (e− x ) =: D(x) (1.6) n→∞ an với mỗi x > 0. Định lý 1.1.2. Cho an > 0 và bn là dãy hằng số thực, G là một hàm phân phối không suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương: 1. lim F n(an x + bn) = G(x), tại mỗi điểm liên tục x của G. n→∞ 2. lim t[1 − F(a(t)x + b(t))] = − log G(x), (1.7) t→∞ với mỗi điểm liên tục x của G sao cho 0 < G(x) < 1, a(t) := a[t] , b(t) := b[t] ([t] là phần nguyên của t). 3. U(tx) − b(t) lim = D(x) (1.8) t→∞ a(t) 1 với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G← (e− x ). Chứng minh. Tính tương đương của 2. và 3. được suy ra từ bổ đề 1.1.1. Ta đã kiểm tra là 1. tương đương (1.6). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3. Cho x là điểm liên tục của D. Với mọi t ≥ 1, 1 U [t]x 1 + − b[t] U([t]x) − b[t] U(tx) − b[t] [t] ≤ ≤ . a[t] a[t] a[t] 8
Vế phải trong bất đẳng thức trên nhỏ hơn D(x0 ), với mọi điểm liên tục x0 > x và D(x0 ) > D(x). Do D là liên tục tại x, ta có: U(tx) − b[t] lim = D(x). t→∞ a[t] Chúng ta cần xác định lớp các hàm phân phối không suy biến có trong giới hạn ở (1.1). Lớp các phân phối này gọi là lớp các phân phối cực trị, kí hiệu là EV . Định lý 1.1.3. (Fisher, Tippet (1928) và Gnedenko (1943)) Lớp các hàm phân phối cực trị là Gγ (ax + b) với a > 0, b ∈ R, ở đây: − 1γ Gγ (x) = exp − (1 + γ x) , 1 + γx > 0 (1.9) γ là số thực khác 0; trường hợp γ = 0 thì vế phải (1.9) được coi là hàm số exp(−e−x ). Chứng minh. Xét lớp các phân phối giới hạn D trong (1.8). Đầu tiên, giả sử rằng 1 là điểm liên tục của D. Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0, U(tx) −U(t) lim = D(x) − D(1) := E(x). (1.10) t→∞ a(t) Lấy y > 0 và viết U(txy) −U(t) U(txy) −U(ty) a(ty) U(ty) −U(t) = · + . (1.11) a(t) a(ty) a(t) a(t) U(ty) −U(t) a(ty) Với điều kiện lim và lim cùng tồn tại. t→∞ a(t) t→∞ a(t) Giả sử không đúng, thì tồn tại A1 , A2 , B1 , B2 với A1 khác A2 hoặc B1 khác U(ty) −U(t) B2, ở đây Bi là các điểm giới hạn của và Ai là các điểm giới hạn a(t) a(ty) của , i = 1, 2 khi t → ∞. Ta tìm từ (1.11) để a(t) E(xy) = E(x)Ai + Bi , i = 1, 2, (1.12) 9
với tất cả các điểm liên tục x của E(·) và E(·y). Cho x tùy ý, lấy một dãy các điểm xn sao cho xn → x khi n → ∞, thì E(xn y) → E(xy) và E(xn ) → E(x), vì E là liên tục trái. Do (1.12) thỏa mãn với mọi x và y > 0. Trừ các biểu thức cho nhau với i = 1, 2, ta có được E(x)(A1 − A2 ) = B2 − B1, với mọi x > 0. Vì E không thể là hằng số (hàm G là không suy biến) nên A1 = A2 và do đó B1 = B2 . Cuối cùng : a(ty) A(y) := lim t→∞ a(t) tồn tại với mọi y > 0, và với x, y > 0, E(xy) = E(x)A(y) + E(y). Từ đó với s = log x, t := log y ( x, y khác 1 ), và H(x) := E(ex ), ta có H(t + s) = H(s)A(et ) + H(t). (1.13) Ta có thể viết lại như sau (do H(0) = 0): H(t + s) − H(t) H(s) − H(0) = A(et ). (1.14) s s Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) H khả vi tại mọi điểm và H 0 (t) := H 0 (0)A(et ). (1.15) H(t) Đặt Q(t) := 0 . Chú ý rằng H 0 (0) khác 0: H không là hằng số do G H (0) không suy biến, khi đó Q(0) = 0, Q0 (0) = 1. Từ (1.13): Q(t + s) − Q(t) = Q(s)A(et ), và từ (1.15): Q(t + s) − Q(t) = Q(s)Q0 (t). (1.16) Trừ các biểu thức trên cho nhau ta có: Q0 (s) − 1 Q(s) 0 Q(t) · = [Q (t) − 1]. s s 10
Cho s → 0, ta có, Q(t)Q00 (0) = Q0 (t) − 1. Từ đó suy ra Q khả vi cấp 2 và ta có, Q00 (0)Q0 (t) = Q00 (t). Do đó 0 (log Q0 ) (t) = Q00 (0) := γ ∈ R, ∀ t. Từ đó suy ra Q0 (t) = eγ t , (Q0 (0) = 1) và: Zt Q(t) = eγ s ds, (Q(0) = 0). 0 Điều này nghĩa là: eγ t − 1 H(t) = H 0 (0) · , γ và tγ − 1 0 D(t) = D(1) + H (0) · . γ Do đó x − D(1) γ 1 D (x) = 1 + γ · ← . (1.17) H 0 (0) 1 Bây giờ D(x) = G← (e− x ), và do đó 1 D← (x) = − . (1.18) log G(x) Từ (1.17) và (1.18), ta có kết luận của định lý. Nếu 1 không phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx0 ), với x0 là điểm liên tục của D. Định nghĩa 1.1.4. Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối, với hàm phân phối F. Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu chọn được dãy an > 0 và bn sao cho: max(X , X , ..., X ) − b 1 2 n n P ≤ x = P(X1 ≤ x) an với mọi x và n = 1, 2.... 11
Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị Gγ Định nghĩa 1.1.5. Tham số γ trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị. Chú ý 1.1.6. Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có: 1 • Với γ > 0, sử dụng hàm Gγ ( x−1 γ ), đặt α = > 0, γ   0, x≤0 Φα (x) =  exp(−x−α ), x > 0. Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Frechet, ´ còn kí hiệu là EV1 : G1,α (x). • Với γ = 0, G0 (x) = exp(−e−x ) với mọi x ∈ R. Phân phối này gọi phân phối Gumbel, còn kí hiệu là (EV0 ). 1 + x 1 • Với γ < 0, dùng hàm Gγ − , và với α = − > 0, γ γ   exp(−(−xα )), x < 0 Ψα (x) =  1, x ≥ 0. 12
Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Weibull, còn kí hiệu là EV2 : G2,α (x). Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = Gγ , với γ ∈ R, ta nói rằng phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ . Kí hiệu là: F ∈ D(Gγ ). Định lý 1.1.7. Cho γ ∈ R. Các mệnh đề sau là tương đương: 1. Tồn tại các hằng số thực an > 0 và bn thực sao cho − γ1 lim F (anx + bn) = Gγ (x) = exp − (1 + γ x) n , ∀x với 1 + γ x > 0. n→∞ (1.19) 2. Tồn tại một hàm dương a sao cho với x > 0, U(tx) −U(t) xγ − 1 lim = Dγ (x) = , (1.20) t→∞ a(t) γ ở đây với γ = 0 thì vế phải được coi là log x. 3. Có một hàm dương a sao cho −1 lim t[1 − F(a(t)x +U(t))] = (1 + γ x) γ , ∀x với 1 + γ x > 0. (1.21) t→∞ 4. Có một hàm dương f sao cho: 1 − F[t + x f (t)] − 1γ lim = (1 + γ x) , ∀xvới 1 + γ x > 0, (1.22) t→x∗ 1 − F(t) ở đây x∗ = sup{x : F(x) < 1}. Ngoài ra (1.19) thỏa mãn với bn := U(n) và an := a(n). Tương tự, (1.22) thỏa a mãn với f (t) = . 1 − F(t) Chứng minh. Chứng minh tính tương đương của 1., 2. và 3. được suy ra từ định lý 1.1.2. Ta chứng minh 2. ⇒ 4.: Với mọi ε > 0, dễ nhận thấy rằng g(h← (t) − ε ) ≤ t ≤ g(h← (t) + ε ), 13
Với g là một hàm không giảm và h← là hàm ngược liên tục phải của nó. Từ đó suy ra 1−ε 1 U −U 1 (1 − ε )γ − 1 1 − F(t) 1 − F(t) t −U 1−F(t) ← < γ 1 a 1−F(t) 1 a 1−F(t) 1+ε 1 U −U 1 − F(t) 1 − F(t) (1 + ε )γ − 1 < → . 1 a 1−F(t) γ khi t → x∗ , và suy ra 1 t −U 1−F(t) lim = 0. t→x∗ 1 a 1−F(t) Từ 2., với mọi x > 0, 1 U 1−F(t) − t xγ − 1 lim = , t→x∗ a 1 γ 1−F(t) và từ bổ đề 1.1.1, 1 − F(t) 1 lim∗ = (1 + γ x) γ, h 1 i t→x 1 − F t + xa 1 − F(t) nghĩa là 4. thỏa mãn. Ngược lại 4. ⇒ 2. được chứng minh tương tự. Ví dụ 1.1.8. Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc. Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng: với mọi x > 0, lim n[1 − F(an x + bn)] = e−x (1.23) n→∞ với bn := (2 log n − log log n − log(4π ))1/2 (1.24) và 1 an := . (1.25) bn 14
Đầu tiên, chú ý rằng bn /(2 log n)1/2 → 1 khi n → ∞; vì vậy log bn − 2−1 log log n − 2−1 log 2 → 0 và do đó b2n 1 + log bn − log n + log(2π ) → 0, (1.26) 2 2 khi n → ∞. Bây giờ do (1.25), d n x 2 − n[1 − F(an x + bn)] = √ exp − + bn /2 dx bn 2π bn n b2 1 o 2 2 = exp − n + log bn − log n + log(2π ) e−x /(2bn ) e−x → e−x 2 2 với x ∈ R. Vì vậy Z∞ u 2 n n[1 − F(an x + bn)] = √ exp − + bn /2 du bn 2π bn x n b2 1 o Z∞ 2 2 = exp − n + log bn − log n + log(2π ) e−u /(2bn ) e−udu → e−x 2 2 x bởi định lý Lebesgue về hội tụ trội. Vì vậy (1.23) đúng. Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay an bởi a0n, bn bởi b0n với điều kiện là an/a0n → 1, (b0n − bn)/an → 0, chúng ta có thể thay an, bn từ (1.24) và (1.25) bởi log log n + log(4π ) b0n = (2 log n)1/2 − 1/2 và a0n = (2 log n)−1/2 . (2 log n) 1.2 Miền hấp dẫn cực đại Trong phần này, ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho hàm phân phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của G. Ta xác định điều kiện miền hấp dẫn từ (1.8) với xγ − 1 U(tx) −U(t) xγ − 1 D(x) = , lim = (1.27) γ t→∞ a(t) γ với mọi x > 0, γ là tham số thực, a là một hàm dương. 15
Định lý 1.2.1. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực trị Gγ nếu và chỉ nếu 1. Với mọi γ > 0, x∗ := sup{x : F(x) < 1} là vô hạn và 1 − F(tx) 1 − lim = x γ , với mọi x > 0. (1.28) t→∞ 1 − F(t) Điều này có nghĩa là hàm 1 − F là biến đổi chính tắc tại vô hạn với chỉ số − γ1 2. Với mọi γ < 0, x∗ là hữu hạn và 1 − F(x∗ − tx) − γ1 lim = x , với mọi x > 0. (1.29) t→0 1 − F(x∗ − t) 3. Với γ = 0, x∗ có thể là hữu hạn hoặc vô hạn và 1 − F(t + x f (t)) lim∗ = e−x (1.30) t→x 1 − F(t) với mọi x ∈ R, ở đây f là một hàm hợp lý dương. Nếu (1.30) thỏa mãn với hàm f thì ∗ Zx (1 − F(s))ds < ∞, với mọi t < x∗ . t và (1.30) thỏa mãn với ∗ Rx (1 − F(s))ds f (t) = t . (1.31) 1 − F(t) Định lý 1.2.2. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực trị Gγ nếu và chỉ nếu Z∞ 1 − F(x) 1. Với γ > 0: F(x) < 1 với mọi x, dx < ∞ và x 1 R∞ (1 − F(x))dx lim t = γ. (1.32) t→∞ 1 − F(t) 16
∗ Zx 1 − F(x) 2. Với γ < 0: tồn tại x∗ < ∞ sao cho dx < ∞ và x∗ − x x∗ −t ∗ Zx 1 − F(x) dx x∗ − x x∗ −t lim = −γ . (1.33) t→0 1 − F(x∗ − t) ∗ ∗ Zx Zx 3. Với γ = 0 (x∗ có thể hữu hạn hoặc vô hạn): [1 − F(s)]dsdt < ∞ và hàm x t h xác định bởi: ∗ ∗ Rx Rx (1 − F(x)) [1 − F(s)]dsdt h(x) = ∗ x t (1.34) Zx 2 (1 − F(s))ds x thỏa mãn lim h(t) = 1. (1.35) t→x∗ Chú ý 1.2.3. Giới hạn (1.32) tương đương với: lim E(log X − logt|X > t) = γ . t→∞ Thật vậy Z∞ 1 − F(x) dx x t = E(log X − logt|X > t), từ đó 1 − F(t) Z∞ Z∞ 1 − F(x) (log x − logt)dF(x) = dx. x t t Hệ thức (1.32) và (1.33) là cơ sở cho ước lượng Hill của γ . Tương tự (1.33) biểu diễn như: lim E(log(x∗ − X) − logt|X > x∗ − t) = γ . t→0 17
Hệ quả 1.2.4. Nếu F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ thì 1. Với γ > 0: − 1γ n lim F (an x) = exp − x , n→∞ với mọi x > 0 và an := U(n); 2. Với γ < 0: − 1γ n ∗ lim F (an x + x ) = exp − (−x) , n→∞ với mọi x < 0 và an := x∗ −U(n); 3. Với γ = 0: lim F n(an x + bn) = exp(−e−x ), n→∞ với mọi x và an = f (U(n)), bn = U(n), hàm f như trong định lý 1.2.1 ý 3. Định lý 1.2.5. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực trị Gγ nếu và chỉ nếu với một hàm dương f , 1 − F(t + x f (t)) −1 lim∗ = (1 + γ x) γ (1.36) t→x 1 − F(t) với mọi x, 1 + γ x > 0. Nếu (1.36) thỏa mãn với f > 0 thì nó thỏa mãn với      γ t, γ >0     −γ (x∗ − t), γ 0, t→∞ t f (t) lim∗ ∗ = −γ , γ < 0, (1.37) t→x x − t f (t) ∼ f1 (t), với f1 (t) là hàm nào đó mà lim∗ f10 (t) = 0, γ = 0. t→x 18