Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong Dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài có cấu trúc gồm 3 chương trình bày các nội dung: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối; phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn Hall, hệ số Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật; tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong Dây lượng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Nguyễn Vũ Thắng LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ HÌNH CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Nguyễn Vũ Thắng LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ VỚI HỐ THẾ HÌNH CHỮ NHẬT CAO VÔ HẠN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐINH QUỐC VƯƠNG Hà Nội - Năm 2014 2
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS. Đinh Quốc Vương, thầy đã tận tình hướng dẫn và tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành luận văn này. Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn thầy Nguyễn Văn Nghĩa, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Thuỷ Lợi, người đã giúp đỡ em rất nhiều trong những buổi đầu làm luận văn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Vật lý, bộ môn Vật lý lý thuyết trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, các thầy cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại Trường. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED (103.01 – 2011.18) và QGTD.12.01. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn. Một lần nữa, em xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 9 – 2014 Học viên: Nguyễn Vũ Thắng 3
MỤC LỤC MỞ ĐẦU…………………………………………………………………………….1 CHƯƠNG 1. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI… ....................................... .4 1.1 Dây lượng tử……………………………………………………………………..4 1.1.1 Khái niệm dây lượng tử…………… ........................................................................ 4 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn… ..................................... ……………………………………………………………...4 1.2. Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối……………………….5 CHƯƠNG 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT ..................... 12 2.1 Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật. ..................................................................................................... 12 2.2 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong dây lượng tử hình chữ nhật.. .................................................................................................... 13 2.3. Biểu thức giải tích cho tenxơ độ dẫn Hall .......................................................... 19 CHƯƠNG 3. TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ GaAs/GaAsAl...................................................... 27 4
3.1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ…………………................... 27 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường …………… ..................... ……………..28 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật .......... .28 KẾT LUẬN ................................................................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................ 31 PHỤ LỤC………………………………………………………………… .............................................. .33 5
DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ Trang 27 Hình 3.2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường Trang 28 Hình 3.3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử Trang 29 hình chữ nhật. 6
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài. Cuối những năm 80 của thế kỷ 20 thành tựu của khoa học vật lý được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là, các bán dẫn hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng, …); bán dẫn một chiều (dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật,…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình hình cầu). Ta biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ. Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kỳ lớn hơn rất nhiều so với chu kỳ của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần). Tuỳ thuộc vào trường điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng), hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lượng tử). Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theo hướng này bị lượng tử hoá. Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, tenxơ độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…, đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2]. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang-điện tử nói riêng. Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ 7
và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước. Trong nhiều năm, có rất nhiều nghiên cứu giải quyết vấn đề về sự ảnh hưởng của sóng điện từ lên bán dẫn thấp chiều. Sự hấp thụ tuyến tính sóng điện từ yếu gây ra bởi sự giam giữ các điện tử trong bán dẫn thấp chiều, được nghiên cứu tỉ mỉ bằng cách sử dụng phương pháp Kubo - Mori [3,4]. Những tính toán về hệ số hấp thụ không tuyến tính sóng điện từ mạnh được sử dụng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối [5], trong bán dẫn siêu mạng hợp phần [6, 7] và trong dây lượng tử [8] cũng được báo cáo. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử [9 – 13]. Như chúng ta đã biết, những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ở nhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được nghiên cứu. Trong một nghiên cứu, hiệu ứng Hall trong hố lượng tử với hố thế Parabol chỉ được tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử là tự do nhưng trong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của chuyển động tự do của electron không được tính đến. Thời gian gần đây cũng đã có một số công trình nghiên cứu về Hiệu ứng Hall trong các bán dẫn thấp chiều. Do đó, trong luận văn này trình bày các kết quả nghiên cứu với đề tài: “Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong Dây lƣợng tử với hố thế hình chữ nhật cao vô hạn”. 2. Phƣơng pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử. Chúng ta viết Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trường   đặt dọc theo trục Ox: B = (B, 0, 0), một điện trường dọc theo trục Oz: E1 = (0, 0, ur E1) trường laser như trường điện E  (0, E0 sint,0) (trong đó Eo và Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser). Sau đó, chúng ta xây dựng phương trình Hamiltonian cho hệ điện tử -phonon và giải phương trình để tìm ra biểu thức giải tích cho ten xơ độ dẫn Hall và hệ số Hall. Biểu thức này chỉ ra rằng độ dẫn Hall 8
phụ thuộc vào từ trường, nồng độ pha tạp, tần số sóng điện từ. Điều đó thể hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách và sử dụng chương trình Matlab để tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật. Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu  Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều.  Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật.  Phạm vi nghiên cứu: Tính toán độ dẫn Hall và hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với trường hợp tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử phonon quang. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn này được chia làm ba chương: CHƢƠNG 1: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. CHƢƠNG 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn Hall, hệ số Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật. CHƢƠNG 3: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl. 9
CHƢƠNG 1 DÂY LƢỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƢỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI Trong chương đầu tiên này, chúng tôi sẽ giới thiệu sơ lược về dây lượng tử và hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối theo quan điểm lượng tử. Từ Hamiltonnian của hệ điện tử - phonon, bằng phương pháp phương trình động lượng tử, đưa ra công thức tenxo độ dẫn Hall, công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối. 1.1 Dây lƣợng tử. 1.1.1 Khái niệm dây lƣợng tử. Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển động của điện tử bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), chỉ có một chiều được chuyển động tự do (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế hệ điện tử còn được gọi là khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này, có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của dây lƣợng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện tử trong dây lượng tử có thể tìm được kết quả nhờ việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều  h2 2 r r  H      V(r)  U(r)    E (1.1)  2m *  Trong đó, U(r) là thế năng tương tác giữa các điện tử, V(r) là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thước. Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích 10
thước ba trục được giả thiết lần lượt là Lx , Ly , Lz ( Lz , Lx , Ly ) . Ta luôn giả thiết z là chiều không bị lượng tử hóa (điện tử có thể chuyển động tự do theo chiều này), điện tử bị giam giữ trong hai chiều còn lại(x và y trong hệ tọa độ Descarte); khối lượng hiệu dụng của điện tử là m*. 0 khi 0  x  Lx ;0  y  Ly  V   khi x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly  Khi đó hàm sóng có thể viết là:  1 ikzr 2  n x  2  N y   sin  0  x  Lx ;0  y  Ly  Ly  e sin   khi  n,N x , y , z    Lz Lx  Lx  Ly    khi x  0  x  Lx ; y  0  y  Ly 0 Và phổ năng lượng của điện tử: + Khi chưa có từ trường: h2 k 2  2 h2  n2 l 2    r  n ,l k      2m* 2m*  L2x L2y  + Khi có từ trường: h2 k 2  2 h2  n2 l 2  1  eE1  2   r  n ,l k        2m* 2m*  L2x L2y  2m*  c  Trong đó: n, l: là các số lượng tử của hai phương bị lượng tử hoá x và y; r k   0,0, k z  : là véc tơ sóng của điện tử. Lx, Ly: là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy. 1.2 Lý thuyết lƣợng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. Trong phần này chúng tôi giới thiệu tổng quát về ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy. Hiện tượng này được gọi là Hiệu ứng Hall cổ điển. 11
Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi, vuông góc với nhau. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi vecto cường độ điện trường E  (E0sin  t,0,0) với Eo và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ). Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ. Sử dụng Hamiltonnian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối: H  He  H H (1.4) ph e ph Với:  ur e ur  r r He    r  p  hc A(t)  a p a p p    h r b ph  q q q H r br H e ph q , p q p q p q q   rr D r a r r a r b r  b  r  p   ur e ur  uur uur uur   p  H  hc A(t)  a p a p   hquur bquur bquur  uuruur Dq  q, p  p  q p  q  uur auur uur auur buur  b uur  q  (1.5) Trong đó: a r , a r : Toán tử sinh và hủy điện tử p p b r , br : Toán tử sinh hủy phonon q q Dr q : Hằng số tương tác điện tử - phonon ur ur r p, p  q : Trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ   ur  p : Năng lượng của điện tử ur A(t) : Thế vectơ của trường điện từ qr : Tần số của phonon ur Số điện tử trung bình được đặc trưng bởi xung lượng p là: n pr  t   a pr a pr t 12
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng: n r  t    a r a r , H µ p ih (1.6) t   p p  t Số hạng thứ nhất:    ur e ur  r r   r  p  hc A(t)  a p 'a p '   a pr a pr ,   p     p   r e ur             r   p  hc A(t)  a pr  pr , pr '  a pr 'a pr a pr '  a pr  pr , pr '  a pr a pr ' a pr  0 (1.7) Số hạng thứ hai:  a r a r ,  h r b r b r   huur a r a r , b r br   0 q q q   q  p p q q  (1.8)  p p Số hạng thứ ba:        a pr a pr , rr Dquur a pr 'qr auuur bqr  bqr    q, p' p'     rr D r a r a r  r r r  a r r a r  r r b r  br q , p ' q p p ' p, p 'q p 'q p p, p ' q q          r Dqr  a pr a pr qr bqr  a pr a pr qr bqr  a pr qr a pr bqr  a pr qr a pr bqr  q  t t t t   r Dqr  Fpr , pr qr ,qr  t   Fpr qr , pr ,qr  t   Fpr , pr qr ,qr  t   F pr , pr qr ,qr  t    * * (1.9) q   Thay (1.7), (1.8), (1.9) vào phương trình (1.2) ta có: n r  t  p   r Dqr  Fpr , pr qr ,qr  t   Fpr qr , pr ,qr  t   Fpr , pr qr ,qr  t   Fpr qr , pr ,qr  t   ih  * * t q (1.10) Với : F r r r  t   a r a r b r p , p ,q p p q 1 2 1 2 t Để giải phương trình (1.3) ta đi tính hàm F(t): F r r r  t  p , p ,q  µ 1 2   a r a r b r , H p p q  ih (1.11) t  1 2  t 13
Chứng minh tự tương ta nhận được phương trình đối với hàm Fpr , pr ,qr  t  : 1 2 F r r r  t  p , p ,q ih 1 2  t  r        p   p   2 r 1 he r m *c 2 1  r ur  p  p A  t   h r  F r r r  t  q p , p ,q  1 2        r Dqr a pr a pr  pr  bqr  bqr  bqr   r Dqr a pr qr a pr  bqr  bqr  bqr q 1 1 1 2 1 1 1 t q1 1 1 1 2 1 1 t (1.12) Ta sẽ giả thiết có đưa vào đoạn nhiệt của tương tác điện tử - phonon và của trường cao tần, khi đó t   . Tương tác điện tử - phonon sẽ được cho là yếu và nghiên cứu như nhiễu loạn. Khi đó phần bên phải có thể đưa đến sự tách và để lại giá trị trung bình chéo n r  t   a r a r ; n r  t   b r br p p p p q q Giải phương trình thu được ở trên với điều kiện ban đầu: F r r r  t     0 p , p ,q 1 2 Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân bố, đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối xứng ta sẽ thu được phương trình: n r  t  uur n r  t  p p r  eE1 r  r hp (1.13) 2  2 r         r  2 r Dkr  2 N kr  1   jl  k  n pr kr  n pr     pr kr   pr  l   k l      Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được: n r  t  r r n p  t  r   p ur r  eE1  c  p, h  r  r hp (1.14) 2  2 r         r  2 r Dkr  2 N kr  1   jl  k  n pr kr  n pr     pr kr   pr  l   k l      e ur   ur Sau đó nhân hai vế với p    r và lấy tổng theo p ta thu được: m p 14
ur R   ur ur ur ur  c  p, R      Q     S    (1.15) T   Trong đó:   ur e ur R     pn r     r p m* p p uur r  ur n p   ur e r  Q     r p  F r     r  m* p  p p   (1.16) ur 2 e 2       r r S     r Dkr  2 N kr  1  k  r n pr  n pr kr  n pr   * m hk p           2   r r   r      r r   r        r r   r          r    p k  p k  p k   k p k  k Giải phương trình (1.8) ta thu được: ur T   R     (1  c2 T 2 ( )) (1.17)    ur ur r ur ur r r ur ur  Q     S     cT     h, Q    S     c2T 2   h h, Q    S   ur Hàm R    có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron với năng lượng  . Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức: r  j   R   d (1.18) 0 Hay j   im Em từ đó ta thu được biểu thức tenxo độ dẫn: i T    T    im  e   a0 ik  b0b1   ik  cT   F   ikl hl  c2T  F  hi hk  2   m 1  c2T      1  c T    2 2 2 T  F    T  F    b0b2 1  T 2 2  F    ik  cT   F     ikl hl  c2T 2  F  hi hk   b0b3 1  c2T 2  F     c    ik  cT   F     ikl hl  c2T  F    hi hk    km  cT  F   kmn hn  c2T  F  hk hm  2 2 (1.19) Trong đó: 15
eLx  0 a0   eLx  2 kB  e2 E02 eE1c b0  I  N, N '  h4 2 m 0 S 2 h44 h02 0 0 0   42   74  b1  4  0  31   2  0  3 2   2   0  3 3  2  1 2 3   4  7   72   52 b2  57  72   62 b3  67  1 2mh 3p  N    e2 E12  2m p2 F 2  eE    2  0   1 2c    h0  h202  1 2mh 3p  N '    e2 E12  2m p2 F 2  eE    2 1   1 2c    h0  h 202  1 2 2mh 3p  N '    e2 E12  2m p2   F  h   eE    2  2   1 2c    h0  h202  1 2 2mh 3p  N '    e2 E12  2m p2   F  h   eE    2 3   1 2c    h0  h 202  1 2mh 3p  N    e2 E12  2m p2 F 2  eE    2  4   1 2c    h0  h202  1 2mh 3p  N    e2 E12  2m p2   F  h  2  eE    2 5   1 2c    h0  h202  1 2mh 3p  N    e2 E12  2m p2   F  h  2  eE    2  6   1 2c    h0  h 202 16
 1 2 2mh 3p  N '    e2 E12  2m p2 F  eE    2  7   1 2c    h0  h 202 Ở đây D r là hằng số tương tác của điện tử và phonon (với các cơ chế tán xạ k của tương tác điện tử và phonon khác nhau thì D r có giá trị khác nhau). Và dựa k vào đó ta sẽ xác định được các thông số a0 , b0 , b1, b2 , b3 trong biểu thức. Từ đó ta có công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối: 1  yz (B) RH  (1.20) yz   2 (B)   2 B B  xx Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được biểu thức tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối. Theo (1.19)và (1.20)ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ số Hall RH phụ thuộc vào biên độ E0, tần số Ω, bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với B2 và phụ thuộc vào điện trường không đổi E1 17
CHƢƠNG 2 PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO TENXO ĐỘ DẪN HALL, BIỂU THỨC TỪ TRỞ HALL DÂY LƢỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT Trong chương này, chúng tôi đưa ra Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm - phonon trong dây lượng tử. Sau đó bằng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử, từ đó tìm được biểu thức giải tích cho tenxo độ dẫn Hall và từ trở Hall. 2.1. Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lƣợng tử hình chữ nhật. ur Nếu ta đặt vào dây lượng tử một điện trường dọc theo trục Oz: E1  (0, 0, E1 ) , ur một từ trường không đổi theo phương Ox: B1  (B1 , 0, 0) và một điện trường biến   thiên E  E0 sin  t đặc trưng bới thể vectơ A (t ) , Hamilton có dạng : r e r r H(t)= r  n,l (k  A(t) )a n,l,kr a n,l,kr   hw qr bqr bqr   C n,l,n',l' (q)a n ,l,k+q  r r a ' ' r (b r  b r ) n ,l ,k q q n,l,k hc r q r r n,l,k,n ' ,l' ,q (2.1) r r c r 1 dA(t) r   A(t)  E 0cosΩt   E (t) sin t phụ thuộc trường ngoài E(t )  E0 sin t Ω c dt r r Cn,l,n' ,l' (q)  Cqr In,l,n' ,l' (q) : hệ số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử 2 e2qr  1 1  Cqr  2    e k0 q     0  r r r r I2 n,l,n, ,l' (q)  n ' ,l' ,k eiqn n,l,k là thừa số đặc trưng Trong đó: n: Chỉ số lượng tử phương vị l; Chỉ số lượng tử xuyên tâm v v v n, l , k và n' , l ' , k  q trạng thái của điện tử trước và sau va chạm hqr : Năng lượng của phonon quang với vecto sóng qr  (qx , qy , qz ) 18
an,l ,kr và an,l ,kr : Toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử bqr và bqr là toán tử sinh và toán tửu hủy của phonon quang r A  t  : Thế vecto của trường điện từ 2.2. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong dây lƣợng tử hình chữ nhật. Trước hết, ta đi thiết lập phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình a n,l,kr qr a n' ,l' ,kr phương trình này có dạng t   r i a ra ' ' r = t n,l,k q n ,l ,k t er a  r r a ' ' r ,H (t)   n,l,k q n ,l ,k  t  ε r n1 ,l1 ,p n1 ,l1 (p  A(t) ) c a  r r ,a n ,l ,pr a n ,l ,pr    w rj a  r r a ' ' r , br b r  t +  n,l,k q 1 1 1 1  t j  n,l,k q n ,l ,k j j    r  Cn ,l ,n' ,l' (j) a n ,l,kr qr a n' ,l' ,kr ,a n ,l ,pr  rj a 'n ,l' ,pr b rj  b  rj  1 1 1  1 1 1 1 1  t (2.6) n ,l ,n ' ,l' , 1 1r r1 1 p,j Trong đó : a  r r a ' ' r ,a n ,l ,pr a n ,l ,pr   a  r r a ' ' r a n ,l ,pr a n ,l ,pr -a n ,l ,pr a n ,l ,pr a  r r a ' ' r =  n,l,k q n ,l ,k 1 1 1 1  n,l,k q n ,l ,k 1 1 1 1 1 1 1 1 n,l,k  q n ,l ,k = a n,l,kr qr a n ,l ,kr a n ,l ,pr a n ,l ,pr  a n ,l ,pr (δn,n δl,l δkr q,p ' ' 1 1 1 1  r r  a r r a n ,l ,p n,l,k  q 1 1 r )a 1 r n ,l ,k 1 = 1 1 ' '   = δn ,n δl ,l δk,p r ra r ra r δ n,n δl,l δ k q,p r r ra n ,l p a n ,l ,k r r ' n,l,k q n ,l p 1 ' 1 1 1, 1 1 1 1, ' ' r er  r n1 ,l1  c A(t) ) ε (p  a n,l,kr qr a n' ,l' ,kr , a n1 ,l1 ,pr a n1 ,l1 ,pr  t = n1,l1 ,p  r er r r e  = ε n ,l (k  A(t) )  ε n,l (k  q  A(t) )  a n,l,kr qr a n ,l ,kv ' ' ' ' (2.7)  c c  Ta có: *  a n,l,kr qr a n' ,l' ,kr , b j b j = 0  r w rj a n,l,k qr a n' ,l' ,kr , brj b rj   0 (2.8) j t * a n ,l,kr qr a n ,l ,kr ,a n ,l ,pr rj a 'n ,l ,pr b rj  b rj   1 ' ' 1 1 ' 1 1   19
= ( a n,l,kr qr a n ' ' r δn,n1 δl,l1 δpr  rj,kr - a n ,l ,pr  rj an' ,l ' ,kr δn,n' δl,l' δp,k  r r r ) ( b j  b  J ) q 1 ,l 1 ,p 1 1 1 1   r   Cn ,l ,n' ,l ' (j) a n,l,kr qr a n' ,l' ,kr ,a n ,l ,pr  rj a n ,l ,pr b rj  b  rj  1 1 1 1  1 1 1 1  t n ,l ,n ' ,l' , 1 1r 1 1 r p1' ,j r =  Cn ,l ,n' ,l ' (j) b rj  b rj 1 1 1 1 t ( a n,l,kr qr a n ' ' r 1 ,l 1 ,p δn' ,n δl' ,l δpr  rj,kr 1 1 n1 ,l1r,n1' ,l1' , r p1' ,j - a n ,l ,pr  rj an ,l ,kr δn,n δl,l δp,k 1 1 ' ' r r r ) q ' ' t 1 1 r = C r n,l,n ,l ' (j) b rj  b rj ( a n,l,kr qr a n,l,k-j r r a ' ' r r r a ' ' r ) n ,l ,k-q  j n ,l ,k (2.9) j Mặt khác ta có : r er r r er  n ,l (k  A(t) )  ε n.l (k  q  A(t) ) ' ' c c 1  e 2 1 r r er 2 c = * (k  A (t) )  ε c n' ,l'  (k  q  A(t) )  ε n,l 2m c 2m* c r r r e rr = ε n ,l (k)  ε n,l (k  q)  ' ' qA(t) (2.10) m*c Thay (2.7), (2.8), (2.9), (2.10) vào (2.6) ta được :   r r r r e rr a n,l,k qr a n' ,l',kr  ε n' ,l' (k)  ε n,l (k  q)  * qA(t) a n,l,kr qr a n' ,l' ,kr t t mc t r + r cn,l,n' ,l' (j) (brj  b-jr )(a n,l,kr qr a n,l,kr rj  a  n' ,l' ,kr qr rja n' ,l' ,kr ) j t (2.11) Để giải (2.11) ta giải phương trình vi phân thuần nhất :   r 0 r r e rr  0 i a ra ' ' r  (ε n' ,l' (k )  ε n,l (k  q)  * qA(t) ) a n,l,k r ra ' ' r (2.12) t n,l,k q n ,l ,k t mc q n ,l ,k t Giả thiết t = -  hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động:  bqr  a n,l,k r r a q r n ,l,k 0 t t  Lấy tích phân 2 vế (12) 0 t  a n,l,kr qr a n,l,kr  t r r r e r ur   0 t  i   ε n,l (k)  ε n,l (k  q)  * qA(t1 )  dt1   mc   a n,l,kr qr a n,l,kr t 20