Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

51
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích bản luận văn này là tính bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đang được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Mômen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- PHẠM THỊ THUẬN MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC 1
Hà Nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- PHẠM THỊ THUẬN MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC 2
Giáo viên hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn, người đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa h ọc này. Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể người thân, bạn bè đã giúp đỡ, dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này. Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này . Hà Nội, 1 tháng 10 năm 2012 Học viên 3
Phạm Thị Thuận MỤC LỤC MỞ ĐẦU..................................................................................................................….4 CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON....….7 1.1.Phương trình Pauli......................................................................................... …7 1.2. Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính....................................................................................................................... ….8 1.3. Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli................................ ….11 CHƯƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG CỦA ELECTRON ………………………………………………………..20 2.1. Sma trận...................................................................................................…..20 2.2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường................…..24 2.3. Hệ số dạng điện từ.........................................................................................25 CHƯƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƯỜNG.............................…..29 3.1. Bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng ...........................…..29 3.2. Mômen từ dị thường cùng với các bổ chính lượng tử..............................…..36 KẾT LUẬN............................................................................................................…..38 TÀI LIỆU THAM KHẢO......................................................................................…..39 4
PHỤ LỤC A...........................................................................................................…..40 PHỤ LỤC B...........................................................................................................…..49 PHỤ LUC C...........................................................................................................…..50 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1. Chương I……………………………………………………………………...21 Hình 2. Phụ luc A……………………………………………………………………...43 Hình 3. Phụ lục A……………………………………………………………………...45 5
MỞ ĐẦU Lý thuyết lượng tử về tương tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là điện động lực học lượng tử QED, đã được xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá trình vật lý qua tương tác điện từ, cả định tính lẫn định lượng. Ví dụ như sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lượng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dị thường của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 613, 15,17/ Phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, tương tác của electron với trường điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tương tác từ tính mới. Cường 6
độ của tương tác này được mô tả bằng mômen từ electron µ , và nó bằng e0 h e µ= = µ0 = 0 ( m0 và e0 là khối lượng “trần” và điện tích “trần” của 2m0 c | h = c = 1 2m0 electron, µ0 gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lượng electron ( m0 mR ) và điện tích electron ( e0 eR ) sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó được gọi là mômen từ dị thường. Lưu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị được lấy từ thực nghiệm. Tuy nhiên, thực nghiệm đo được mômen từ của electron bằng µ = 1, 003875 µ0 , giá trị này được gọi là mômen từ dị thường của electron. J. Schwinger /13/ là người đầu tiên tính bổ chính cho mômen từ dị thường của electron vào năm 1948 và ông thu được kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 10−10 % ). Biểu thức giải tích của mômen từ dị thường electron về mặt lý thuyết đã thu được � α α2 α3 � µly thuyet = µ0 � 1+− 0,32748 2 + 1,184175 3 �= (0.1) � 2π π π � = 1, 001159652236 ( 28 ) .µ0 µ R = 1, 00115965241( 20 ) .µ0 (0.2) Ở đây về cơ bản các giá trị mômen được tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu loạn (0.1) và giá trị được lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với nhau. Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho mômen từ dị thường của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình 7
tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, đang được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trường lượng tử. Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục. Chương 1. Phương trình Pauli và mômen từ của electron. Phương trình Pauli và mômen từ dị thường có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu được phương trình Pauli với số hạng tương tác của mômen từ electron với trường ngoài /1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phương trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi ( ) tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài trong gần đúng v c , v – là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tương đối tính tiếp ( ) theo cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu được bằng việc sử dụng phép biến đổi FouldyWouthuyen ở mục 1.3. Chương 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thường của electron. Xuất phát từ Lagrangce tương tác của electron với trường ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng Smatrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trường điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng đóng góp cho mômen từ dị thường của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tương đối tính. Chương 3. Mômen từ dị thường của electron trong gần đúng một vòng. Trong mục 3.1 sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ chính cho mômen từ dị thường trong gần đúng một vòng được tiến hành ở mục 3.2. Lưu ý, việc tính mômen từ dị thường của electron là bài toán phức tạp, trong Luận 8
văn này bước đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lượng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lượng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trường điện từ ngoài liên quan tới các đường ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thường của electron. Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu được và thảo luận việc tổng quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tương tự. Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ : x µ = ( x 0 = t , x1 = x, x 2 = y, x 3 = z ) = ( t , x ) r r thì các véctơ tọa độ hiệp biến : xµ = g µν xν = ( x0 = t , x1 = − x, x2 = − y, x3 = − z ) = ( t , − x ) , 1 0 0 0� � � � 0 −1 0 0 � � trong đó g µν = g µν = � 0 0 −1 0 � � � 0 0 0 −1� � Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3. CHƯƠNG 1 PHƯƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON Phương trình Pauli và số hạng tương tác giữa mômen từ của electron với trường điện từ ngoài có thể thu được bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phương trình Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tương tác của mômen từ với trường ngoài được giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phương trình Dirac cho electron ở trường điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tương đối tính ở gần đúng bậc ( v c ) ta có phương trình Pauli cho electron với mômen từ. Nghiên cứu các bổ chính 9
tương đối tính cho phương trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi FouldyWouthuyen. 1.1 Phương trình Pauli Phương trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trường điện từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phương trình Pauli có dạng phương trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song ψ trong phương trình Pauli không phải là một vô hướng có một thành phần ψ ( rr, t ) phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là r sz . Kết quả để cho hàm sóng ψ ( r , sz , t ) là một spinor hai thành phần � �r h �� ψ 1 �r , + , t �� r � 2 �� ψ = ψ ( r , sz , t ) = � (1.1) � �r h � � ψ 2 �r , − , t � � � � � 2 � � Vì hạt có spin nên nó có mômen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của hạt với spin bằng h2 . r r µ = µ0σ , (1.2) r µ0 là magneton Bohr, còn σ là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trường điện từ ngoài, ta có thêm năng lượng tương tác phụ. rr e r� e h r r ∆U = − ( µ H ) = �µ = �r s �= 0 sH (1.3) �mc 2m c � 0 Hamiltonian của phương trình Schrodinger có dạng r p2 H = + U ( r ) (1.4) 2m0 Nếu hạt ở trong trường điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dưới đây trong phương trình Schrodinger 10
r r e r p p− 0 A c (1.5) E E − e0ϕ Kể thêm spin của hạt thì phương trình mô tả phải có thêm một năng lượng phụ rr e h rr ( ) ∆U = − µ H = 0 sH . Kết quả ta thu được phương trình 2m0 c r ψ ( r , sz , t ) �1 �r e0 r � 2 e h rr� r ih = � �p − A �+ e0ϕ ( r ) + U ( r ) + 0 sH �ψ ( r , s z , t ) (1.6) t 2m0 � c � � 2m0c � r ở đây ϕ ( r ) , A(r ) là thế vô hướng và thế véc tơ của trường điện từ. Phương trình (1.6) là phương trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích được hiệu ứng Zeemann. 1.2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính Xuất phát từ phương trình Dirac cho electron trong trường ngoài ở dạng chính tắc ta có: ψ ( x) � r �r e0 r � � ih cα �p − A �+ e0 A0 + β m0c 2 � =� ψ ( x) (1.7) t � � c � � Để nghiên cứu giới hạn phi tương đối tính cho phương trình (1.7), thuận tiện ta viết các spinor hai thành phần ψ1 � � ψ3 � � ψu � � ψ u = � �, ψ d = � �, ψ = � � (1.8) ψ2 � � ψ4 � � ψd � � Như vậy, phương trình (1.7) sẽ biến thành hệ phương trình ψu r �r e r � ih ψ d + ( e0 A0 + m0 c 2 ) ψ u = cσ �p − 0 A � t � c � � � (1.9) ψd �r e9 r � ih = cσ �p − A � ψ u + ( e0 A + m0c ) ψ d 0 2 t � c � Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dưới” (hai thành phần dưới). Kể thêm 11
� 0�( ) � �( ) �v 2 � i � h − e0 A ψ � u ,d = m0 c 2 �1 + O �2 � �ψ u ,d (1.10) � t � � �c � � Phương trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm dương (+) r ( +) σ �r e0 r � ( + ) �v 2 � ψ d = p − A ψ + O �2 � (1.11) 2m0 c � �u � c � �c � Còn phương trình đầu của hệ (1.9) sẽ đưa đến nghiệm âm () r σ �r e0 r � ( −) �v 2 � ψ ψ (−) = p − A + O �2 � (1.12) 2m0 c � u �d � c � �c � Điều này có nghĩa như sau: trong trường hợp nghiệm dương thì spinor ψ d liên hệ với ψ u và trong trường hợp nghiệm âm thì spinor ψ u liên hệ với ψ d thừa số v c . Thay ( ) (1.11) và (1.12) vào phương trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dương ta có � 1 � ψ =� ψu � O (v / c ) � � 2 ψd � � �1 �r �r e r � � � �v3 � � ih =� σ p �� c �− A � 0+ m c 2 + eA 0 + O �3 ��ψ u (1.13) t �2m0 �� c � � � Và để cho nghiệm âm O (v / c ) � � ψ = � ψ d � � 1 � ψ � � � 1 �r �r e r � � 2 � �v3 � � (1.14) ih u = �− σ p �� c �− A � 0− m c 2 + eA 0 + O �3 � ψ �d t � 2m0 �� c �� Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau r r rr r r ( σrA) ( σrB ) = ( AB) + iσr( A B) , �r e r � �r e r � eh r �p − A � �p − A �= − B (1.15) � c�� c� ic Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phương trình Dirac 12
ψ ih= H nrψ t 2 � 2 1 �r e r � eh r r� �v3 � H nr =β� m0 c + �p − A � + eA 0 − σˆ B �+ O � 3 � , � (1.16) � 2m0 � c � 2m0 c � �c � r r � σ 0� σˆ = � r � �0 σ � đúng đến bậc v 2 ( c2 ) cùng với toán tử và tự liên hợp H nr . Nếu chúng ta giới hạn ở nghiệm dương, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phương trình này với độ chính xác m0 c 2 trùng với phương trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trường điện từ ngoài Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tương đối tính hóa của phương rr trình Dirac ở trường ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tương tác − MB giữa mômen từ (hay spin ) của hạt với từ trường ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn eh eg M (e ) = σ= S, g=2 (thừa số Lande) (1.17) 2m0 c 2m0 c Ngược lại trong phương trình Pauli số hạng này đưa vào phương trình theo kiểu hiện tượng luận – “đưa vào bằng tay”. Đối với hạt không phải là cơ bản, như các proton hay các neutron quá trình giới r ( p) r hạn trên dẫn đến các kết quả sai M = −eS / ( m p c ) . Rõ ràng trong những trường hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trường điện từ ngoài. Chính vì vậy để cho những hạt này, chúng ta có thể nhận được phương trình phi tương đối tính với các mômen từ đúng đắn phải bằng cách hiện tượng luận là cộng “bằng tay” các số hạng mômen.(xem them bài tập 11 và 22) 13
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lưu ý các biểu thức để cho mật độ xác suất và mật độ dòng xác suất tương ứng với phương trình (1.16) với độ chính xác v(2 c2 ). h �† 2ie � ρ = ψ ψ , j = † � 2im � ( ψ β�ψ − �ψ † βψ − hc ) Aψ † βψ � (1.18) � ρ /� Chúng liên hệ với nhau bằng phương trình liên tục � t + �j = 0 và trong trường hợp nghiệm dương , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tương đối tính. 1.3 Các bổ chính tương đối tính cho phương trình Pauli Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tương đối tính phương trình Dirac ở trường điện từ ngoài ta thu được lý thuyết Pauli đúng tới bậc v 2 ( c2 ) và sai sót trong Hamilton ở bậc v 3 ( c ) . Trong giới hạn này H 3 nr là chéo nhưng các nghiệm âm và dương là hoàn toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tương đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho phương trình Dirac. Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc ( v / c ) và phương trình Dirac ở dạng m0 c 2 Kψ = 0, K = β + ε + ω (1.19) cùng với 1 � 0� �v 2 � �v 2 � ε = − i � h − eA �= O (1) + O �2 � , β + ε = O � 2 � (1.20) m0 c 2 � t � �c � �c � và cα � e � �v � ω = �p − A �= O � � (1.21) m0 c 2 � c � �c � 14
ở đây ε và ( β + ε ) là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp U = eiS , U = eiS , . . . với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó ω cao hơn và cao hơn bậc ( v / c ) sao cho không động chạm đến điều nó sẽ đưa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc ( v / c ) . Như vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu được m0 c 2 K ψ = 0, ψ = Uψ , K = UKU −1 (1.22) �v 2 � �v 3 � K = β + ε + ω , β + ε = O �2 � , ω = O � 3 � (hay cao hơn) (1.23) �c � �c � Và phép biến đổi thứ hai ta có m0 c 2 K ψ = 0, ψ =U ψ, K =U K U −1 (1.24) �v 2 � �v5 � K = β + ε + ω , β + ε = O �2 � , ω = O � 5 �(hay cao hơn) (1.25) �c � �c � và tiếp tục..Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là i βω U = eiS , S =− (1.26) 2 Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển BakerHausdorff (1.60) cũng như công thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán τ 3 β cho việc tính toán kết quả K. Điều này sẽ dẫn đến K = β + ε + ω (1.27) Cùng với �v 2 � �v 6 � �v12 � �v8 � O � 2 � O � 6 � O �12 � O � 8 � �c � �c � �c � �c � βω 2 βω 4 1 �v 2 � ε =ε + − − �ω ,[ ω ,ε ] � �+ ... = O � 2 � (1.28) 2 8 8� �c � 15
ω3 β β �v 5 � ω =− + [ ω ,ε ] + � ω , ω � , [ ω , ε ] � � + ... = O � 5 � (1.29) 3 2 48 � � � � �c � Như ta đã thấy ω bây giờ đã nâng lên hai bậc ( v / c ) Từ đây chúng ta nhận được toán tử K = β + ε đúng đến bậc v 3 ( c ) , đúng trong phương trình Pauli (1.16) 3 Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các Ktoán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K cùng i βω U = eiS , S = − (1.30) 2 Từ đây suy ra K = β + ε + ω (1.31) cùng với �v 2 � �v 6 � �v12 � �v8 � O � 2 � O � 6 � O �12 � O �8 � �c � �c � �c � �c � (1.32) βω 2 βω 4 1 �v 2 � ε =ε + − − �ω ,[ ω ,ε ] � �+ ... = O �2 � 2 8 8� �c � và ω3 β β �v 5 � ω = − + [ ω ,ε ] + � � ω ,[ ω ,ε ] � ω ,� � � �+ ... = O �c 5 � (1.33) � 3 2 48 � � Bỏ qua tất cả các số hạng O v 5 ( c ) (hay cao hơn) ta nhận được toán tử chẵn 5 βω 2 βω 4 1 �v5 � K = β + ε + − − �ω , [ ω , ε ] �+ O � �c 5 � (1.34) 2 8 8� � � Cuối cùng kết quả dẫn đến phương trình Dirac ψ ih = H ψ (1.35) t Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau 16
1 �� e � �� e � � ω2 = α �p − A � � ��α �p − A � � m02 c 2 �� c � �� c � � 1 � e � � e � = α iα j �pi − Ai � �p j − Aj � m02 c 2 i, j � c � � c � 2 i � e � � e � 1 � e � = 2 2 ε ijkσˆ k �pi − Ai � �p j − Aj �+ 2 2 �p − A � m0 c i , j , k � c � � c � m0 c � c � 2 ie 1 � e � =− 3 σˆ ( p A ) + 2 2 �p − A � m0 c m0 c � c � 2 eh 1 � e � =− 3 σˆ B + 2 2 �p − A � (1.36) m0 c m0 c � c � Tiếp theo ta tính giao hoán tử 1 �� e � [ ω, ε ] = − α �p − � , ih − eA0 � A� m02 c3 �� c � t � 1 �� ieh � � = e� 2 3 �� α p, A0 � �+ A, � m0 c � c �� t� � ieh � 0 1 � ieh =− α� �A + A �= 2 3 α E m02c3 � c � m0 c ieh �� e � � ω,[ ω, ε ] � � � �= m3c 4 α �p − A � � ,α E � 0 �� c � � ieh = [ α p, α E ] m03c 4 ieh = α iα j ( pi E j − Ei p j ) m03c 4 i, j 17
= ieh m03c 4 i, j {α α ( p E ) + � i j i �j �E p } α ,α � i j j i ieh � � = 3 4 � m0 c � � ( iε ijkσˆ k + δ ij ) ( pi E j ) + �2iε ijkσˆ k E j pi � i , j ,k i, j ieh2 eh2 2eh = Ѵ+ �σˆ+( � E ) E σˆ ( E p ) (1.37) m03c 4 m03c 4 m03c 4 Khi tính các công thức (1.361.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau ) (1.38) α iα j = iε i j kα k , αi ,α j � � � �= 2iε i j kσ k Đúng đắn đến bậc O v 4 ( c ) với việc chéo hóa Hamilton 4 2 4 � 2 1 � e � eh � 0 � 1 � e � e 2 h2 2 � H =β� m0 c + �p − A � − σˆ B �+ eA − β � �p − A � + B � � 2m0 � c � 2m0 c � 8m03c 2 � c � 8m03c 4 � � eh2 ieh2 eh �v 5 � −� −Ѵ − �+E σˆ ( E) σˆ ( E p ) �5 � O (1.39) 8m02 c 2 8m02 c 2 4m02 c 2 �c � Và ta có hàm sóng ψ ( x ) = e −iβω /2e−iβω /2ψ ( x ) (1.40) Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những bậc cao hơn có thể thực hiện ( v / c ) Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây Khi các S , S , . . . là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen U , U , . . . cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung bình như phép biến đổi U [ .] U −1. Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A / t = 0 khi sự biến đổi Kψ = 0 K ψ = 0, K = UKU −1 = UKU † , ψ = Uψ (1.41) tương đương với ψ ψ � �† ih = Hψ ih = Hψ , H = U �H − ih �U (1.42) t t � t� 18
Các toán tử một hạt nhận được trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép biến đổi cho các toán tử ban đầu (tương đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phương pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng với kích thước so với bước sóng Compton của hạt. Phương pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ. Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phương pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phương trình Dirac (1.7) dưới dạng. m0 c 2 K (0)ψ (0) = 0, K (0) = β + ε (0) + ω (0) (1.43) Cùng với các toán tử chẵn ε ( 0) , β + ε (0) = O ( v 2 / c 2 ) và toán tử lẻ ω ( 0) = O ( v / c ) lặp lại các hệ thức này theo K ( n ) = β + ε ( n ) + ω ( n ) = U ( n −1) K ( n−1)U ( n−1)† (1.44) ψ ( n ) ( x ) = U ( )ψ ( ) ( x ) n −1 n −1 (1.45) � i βω ( n ) � U ( n ) = exp �− � (1.46) � 2 � Ta nhận được biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó �v 2 � �v 2 n +1 � β + ε (n) = O �2 � , ω ( n ) = O � 2 n +1 � (1.47) �c � �c � Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt và phản hạt và đúng cho bậc O v 2 n −1 ( c 2 n −1 ). Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phương trình (2.98). Phương trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trường hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện eA0 = V ( x ) = V ( r ) , A = 0 (1.48) 19
Trong trường hợp này ta có 1x V B = 0, = −�= E−Ѵ= A0 , E 0 (1.49) er r Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tương ứng p2 p4 h2 h 1 V H u = m0 c 2 + + V ( r ) − 3 2 + 2 2 �2V + σ L (1.50) 2m0 8m0 c 8m0 c 4m02 c 2 r r Thành phần thứ tư ở vế phải là bổ chính tương đối tính cho thế năng. Thành phần thứ năm là bổ chính tương đối tính cho trường xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lượng tương tác giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này được lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số1. Trong trường hợp của thế Coulomb V ( r ) = − Ze / r hai thành phần cuối 2 cùng là π Ze 2 h2 Ze 2h r r δ ( r ) và σ L (1.51) 2m02 c 2 4m02 c 2 r 3 Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hưởng tới các strạng thái. Tổng kết Bậc thấp nhất (giới hạn phi tương đối tính) phép gần đúng phi tương đối tính của phương trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trước đây nó đồng nhất cho phương trình phi tương đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½. Nói chung khác với trường hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ là gần đúng. Điều này có thể đạt được bằng cách sử dụng phương pháp Fouldy – Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton được chéo hóa thành công ở các bậc cao Trong cơ học lượng tử phi tương đối tính số hạng này được giải thích cổ điển như sau: 1 Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trường ở vị trí của electron và tương tác với spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2. 20