Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

159
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân. Luận văn được chia thành 3 chương: Chương 1 - Kiến thức chuẩn bị, Chương 2 - Các tính chất của phép biến đổi Laplace, Chương 3 - Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phép biến đổi laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân

Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Điều kiện hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Phép biến đổi Laplace ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1 Công thức Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Điều kiện đủ để tồn tại gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3 Tính tích phân Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.4 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 15 2.1 Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Tính chất tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Tính chất đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.3 Các định lý dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.5 Ảnh của hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1 Định lý về tích phân gốc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Định lý về tích phân ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4 Tích chập các hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.5 Tích phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân 38 1
3.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.1 Phương pháp chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số hằng . . . . . 39 3.1.3 Phương trình vi phân với hệ số là đa thức . . . . . . . . . . . . 42 3.1.4 Giải phương trình vi phân tuyến tính bằng phương pháp tích phân Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.5 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN Nguyễn Thị Bích Hạnh Hà Nội, 2010
LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm luận văn, tôi đã nhận được sự hướng dẫn rất tận tình và chu đáo của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn. Thầy đã cho tôi những lời khuyên quý báu không chỉ về các vấn đề xoay quanh luận văn mà còn về phương pháp học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã cung cấp cho tôi những tri thức khoa học cũng như những bài học cuộc sống giản dị trong suốt thời gian học tập tại Khoa. Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã luôn ở bên động viên, khích lệ. Đó cũng là động lực rất lớn để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, ngày 06 tháng 12 năm 2010 Nguyễn Thị Bích Hạnh i
LỜI MỞ ĐẦU Leonard Euler là người đầu tiên đã đưa ra ý tưởng về phép biến đổi tích phân (vào các năm 1763 và 1769), ông đã nghiên cứu các phép biến đổi này trong khi sử dụng phép biến đổi Laplace ngược để giải các phương trình vi phân thường tuyến tính bậc hai. Sau đó, Laplace cùng với Euler giới thiệu về phép biến đổi tích phân trong cuốn sách Théorie analytique des probabilités (1812). Năm 1878, Spitzer là người đã gắn tên của Laplace với biểu thức mà Euler đã sử dụng Zb y= esx Φ(s)ds. a Biểu thức này có thể được coi là phương trình vi phân nếu thay y là một hàm chưa biết của biến x. Vào nửa cuối thế kỷ 19, phép biến đổi Laplace đã được mở rộng thành dạng phức bởi Poincare và Pincherle, mở rộng cho trường hợp hai biến bởi Picard, được Abel và nhiều người khác tiếp tục nghiên cứu. Ứng dụng đầu tiên của phép biến đổi Laplace hiện đại xuất hiện trong tác phẩm của Bateman (1910), người đã biến các phương trình trong các công trình của Rutherford nghiên cứu về sự phân rã phóng xạ dP = −λi P, dt bằng cách đặt Z∞ p(x) = e−xt P (t)dt 0 và thu được phương trình biến đổi. Năm 1920, trong bài viết của mình về hàm theta, Bernstein đã sử dụng biểu thức Z∞ f (s) = e−su Φ(u)du 0 và gọi đó là biến đổi Laplace. Vào những năm 1920 và 1930, Doetsch đã ứng dụng biến đổi Laplace vào các phương trình vi phân, tích phân và phương trình vi - tích phân. Nói về phép biến đổi Laplace, ta không thể không nhắc đến những công trình nghiên cứu của Oliver Heaviside, người đã đưa ra một loạt những vấn đề liên quan đến phép ii
tính toán tử, chủ yếu trong lĩnh vực vật lý. Và Bromwich đã đưa ra khái niệm về phép biến đổi Laplace ngược γ+i∞ Z 1 X(t) = ets κ(s)ds 2πi γ−i∞ với γ thuộc bên phải các đường kỳ dị của κ. Đến ngày nay, ta thấy phép biến đổi Laplace có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của Toán học, Vật lý, Cơ học,... Chẳng hạn, trong Toán học, ta có thể sử dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi tích phân,... (xem [4], [5], [6]). Tư tưởng cơ bản của phép tính toán tử là phép thay các hàm được nghiên cứu (hàm gốc) bởi những hàm khác nào đó (hàm ảnh) theo những quy tắc nào đó (mà thường là phép biến đổi Laplace). Luận văn trình bày những kiến thức cô đọng nhất của phép biến đổi Laplace và ứng dụng trong giải phương trình vi phân và tích phân. Luận văn được chia thành 3 chương: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Các tính chất của phép biến đổi Laplace • Chương 3: Ứng dụng phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân và tích phân Mặc dù đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn. iii
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Các phương trình vi phân thường và phương trình vi phân đạo hàm riêng mô tả cách thức một đại lượng nhất định thay đổi theo thời gian, ví dụ như dòng điện trong mạch điện, sự dao động của lớp màng đang rung, ... Các phương trình này thường đi kèm với các điều kiện mô tả trạng thái ban đầu của hệ. Một kỹ thuật rất mạnh để giải các bài toán này là phép biến đổi Laplace, biến đổi phương trình vi phân ban đầu thành biểu thức đại số sơ cấp. Biểu thức đại số này lại có thể được biến đổi thành nghiệm của bài toán ban đầu. Kỹ thuật này được gọi là "phép biến đổi Laplace". Chương này xây dựng cơ sở lý thuyết và các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace. 1.1 Định nghĩa phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.1.1. Giả sử rằng f là một hàm nhận giá trị thực hoặc phức của biến (thời gian) t > 0 và s là một tham số thực hoặc phức. Biến đổi Laplace của hàm f là Z∞ Zτ −st F (s) = L(f (t)) = e f (t)dt = lim e−st f (t)dt (1.1.1) τ →∞ 0 0 nếu giới hạn này tồn tại (là một số hữu hạn). Khi đó, tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ. Nếu giới hạn này không tồn tại, tích phân được gọi là phân kỳ và f không có biến đổi Laplace. Ký hiệu L(f ) được gọi là biến đổi Laplace của f và tích phân này là tích phân Riemann thông thường. Tham số s thuộc miền xác định nào đó trên đường thẳng thực hoặc trong mặt phẳng phức. Ta sẽ chọn s thích hợp để đảm bảo tính hội tụ của tích phân (1.1.1). Về mặt toán học và kỹ thuật, miền xác định của s khá quan trọng. Tuy nhiên về mặt thực 1
hành, khi giải các phương trình vi phân, miền xác định của s thường bị bỏ qua. Khi s là số phức, ta sử dụng ký hiệu s = x + iy. Ký hiệu L là biến đổi Laplace tác động lên hàm f = f (t) và sinh ra một hàm mới, F (s) = L(f (t)). Ví dụ 1. Nếu f (t) ≡ 1 với t ≥ 0, thì Z∞ 1 L(f (t)) = e−st 1dt = (1.1.2) s 0 với điều kiện là s > 0 (nếu s là số thực). Do đó ta có 1 L(1) = (s > 0). (1.1.3) s Nếu s ≤ 0 thì tích phân sẽ phân kỳ và sẽ không có biến đổi Laplace của hàm này. Nếu 1 ta lấy s là một biến phức, tính toán tương tự với 0, ta cũng được L(1) = . s Ví dụ 2. Tính L(eiωt ), L(e−iωt ). Giải Ta có Z∞
τ iωt −st iωt e(iω−s)t
1 L(e )= e e dt = lim = , τ →∞ iω − s
s − iω 0 0 iωτ −sτ −xτ do lim |e e | = lim e = 0, với điều kiện x = 0. τ →∞ τ →∞ 1 Tương tự, L(e−iωt ) = . s + iω 1.2 Sự hội tụ Mặc dù toán tử Laplace có thể được áp dụng cho rất nhiều hàm nhưng có những hàm tích phân (1.1.1) không hội tụ. 2 Ví dụ 3. Đối với hàm f (t) = et , Zτ Zτ t2 2 −st lim e−st e dt = lim et dt = ∞ τ →∞ τ →∞ 0 0 với mọi s, vì miền lấy tích phân tăng vô hạn khi τ → ∞. Hai kiểu hội tụ của tích phân Laplace. Hội tụ tuyệt đối: Tích phân (1.1.1) được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu Zτ lim |e−st f (t)|dt τ →∞ 0 2
tồn tại. Nếu L(f (t)) hội tụ tuyệt đối thì
Zτ 0
Zτ 0
e−st f (t)dt
≤ |e−st f (t)|dt → 0