Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:76

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là giới thiệu các phương pháp giải dạng toán này, cho bình luận về các phương pháp đó đồng thời đưa ra một số ứng dụng. Những ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn chỉ nêu ra một số ứng dụng cơ bản.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương pháp giải bài toán cực trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI VŨ THỊ HẢI THANH PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 40 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Đình Sang Hà Nội - 2012
Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 1 Cực trị hàm số 1 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Các phương pháp tìm cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ . . . . . . . 2 1.2.2 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . 9 1.3 Một số bài toán tổng quát và ứng dụng . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Bài toán tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Bài tập tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 19 2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số . . . 19 2.1.2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp 20 2.1.3 Một số tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4 Một số định lý về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 24 2.2 Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất . 26 2.2.1 Phương pháp sử dụng đạo hàm . . . . . . . . . . 26 2.2.2 Phương pháp tập giá trị . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3 Phương pháp lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.4 Phương pháp hình học . . . . . . . . . . . . . . . 44 i
MỤC LỤC 2.2.5 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức . . . . . . . 51 2.2.6 Một số bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . 63 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ii
Lời nói đầu Bài toán cực trị địa phương và cực trị tuyệt đối là những bài toán rất quan trọng trong giải tích toán học và có nhiều ứng dụng khác nhau trong toán học cũng như trong nhiều ngành khoa học khác như: Kinh tế, Khoa học công nghệ, ...v.v. Để giải bài toán cực trị, có nhiều phương pháp khác nhau. Mục đích của luận văn là giới thiệu các phương pháp giải dạng toán này, cho bình luận về các phương pháp đó đồng thời đưa ra một số ứng dụng. Những ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn chỉ nêu ra một số ứng dụng cơ bản. Bản luận văn gồm 2 chương: Chương 1: Cực trị hàm số. Trình bày bài toán cực trị địa phương, đưa ra điều kiện cần, điều kiện đủ để có cực trị. Cho những ví dụ không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng vẫn có cực trị. Trình bày các phương pháp khác nhau để giải bài toán cực trị, tổng quát hóa một số bài toán về cực trị với mong muốn đưa ra cách giải nhanh gọn cho các bài toán dạng này. Chương 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Phần đầu của chương trình bày định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập, điều kiện đủ để tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm một biến và các tính chất của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Trong phạm vi chương trình phổ thông, hàm số nhiều biến không được nghiên cứu. Vì vậy để tìm giá trị lớn nhất, giá nhỏ nhất của hàm nhiều biến, ta phải quy về bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một tập hợp số. Phần tiếp theo luận văn trình bày một số phương pháp khác nhau để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đó dành nhiều thời gian cho phương pháp bất đẳng thức. Phần cuối chương là một số bài toán vận dụng phối hợp nhiều phương pháp.
Lời cảm ơn Hoàn thành được luận văn này, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tôi đã nhận được sự chỉ bảo, giúp đỡ từ nhiều phía của các thầy, cô giáo, gia đình và bạn bè. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính mến PGS.TS. Nguyễn Đình Sang, người đã trực tiếp truyền thụ kiến thức, quyết định hướng nghiên cứu và tận tình hướng dẫn cho tôi hoàn thành bản luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Ứng dụng của bài toán cực trị có rất nhiều, nhưng vì giới hạn trong phương pháp toán sơ cấp và hạn chế trong một luận văn thạc sĩ nên bản luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó. Do thời gian có hạn và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên Vũ Thị Hải Thanh
Bảng kí hiệu N tập các số tự nhiên N∗ tập các số tự nhiên khác không Z tập các số nguyên Z+ tập số nguyên không âm Z∗+ tập số nguyên dương R tập số thực R∗ tập số thực khác không R+ tập số thực không âm R∗+ tập số thực dương C tập số phức [a; b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b} (a; b) = {x ∈ R|a < x < b} (a; b] = {x ∈ R|a < x ≤ b} v
Chương 1 Cực trị hàm số Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày khái niệm về cực trị hàm số. Điều kiện để có cực trị hàm số, đưa ra một số ví dụ minh họa điều kiện cần, điều kiện đủ cũng như giới thiệu các phương pháp tìm cực trị kèm theo các ví dụ và bài tập. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Định nghĩa 1.1. Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R. Ta nói rằng, hàm f đạt cực đại địa phương(tương ứng cực tiểu địa phương) tại x0 ∈ (a; b) nếu: ∃δ sao cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) và f (x0 ) ≥ f (x) (tương ứng f (x0 ) ≤ f (x)), với mọi x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) và f không phải là một hằng số trong một lân cận nào đó của x0 . Điểm x0 mà tại đó hàm đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Định lý 1.1. (Định lý Fermat - Điều kiện cần để hàm số có cực trị) Cho khoảng (a; b) ⊂ R và hàm số f : (a; b) → R. Nếu điểm c ∈ (a; b) là điểm cực trị của hàm số f và nếu tồn tại f 0 (c) thì f 0 (c) = 0. Điểm x0 mà tại đó f 0 (x0 ) = 0 hoặc đạo hàm không xác định được gọi là điểm dừng của hàm f . Nhận xét: Nếu hàm f : (a; b) → R là hàm khả vi trên (a; b) thì những điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng của f . Định lý 1.2. (Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị) Giả sử hàm số f liên tục trên (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên 1
Chương 1. Cực trị hàm số các khoảng (a; x0 ) và (x0 ; b). - Nếu f 0 (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . - Nếu f 0 (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 . Định lý 1.3. Giả sử hàm số f (x) xác định trên khoảng (a; b), x0 là một điểm dừng của f (x). Hàm f (x) khả vi cấp 1 và cấp 2 tại x0 . Khi đó: - Nếu f 00 (x0 ) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại x0 . - Nếu f 00 (x0 ) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại x0 . 1.2 Các phương pháp tìm cực trị 1.2.1 Áp dụng điều kiện cần, điều kiện đủ Dựa vào điều kiện cần, điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị, ta xây dựng các quy tắc tìm cực trị của hàm số f (x) liên tục trên khoảng (a; b) sau đây: Quy tắc 1. - Tìm f 0 (x) ; - Tìm các điểm xi , (i = 1, 2, 3, ...) mà tại đó f có đạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm; - Xét dấu f 0 (x).Nếu f 0 (x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi . Ví dụ 1.1. Tìm cực trị của hàm số: p y = 3 x(1 − x)2 Lời giải. Hàm y xác định và liên tục trên R. Với mọi x 6= 0 và x 6= 1 0 1 − 3x y = p 3 3 x2 (1 − x) 2
Chương 1. Cực trị hàm số 1 y0 = 0 ⇔ x = 3 Lập bảng biến thiên của hàm y: 1 x −∞ 0 3 1 +∞ y0 + + 0 − + √ 3 4 +∞ 3 y 0 −∞ 0 Từ bảng biến thiên ta thấy: √ 3 Hàm số đạt cực đại tại x = 13 , giá trị cực đại của hàm số là y( 13 ) = 34 . Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu của hàm số là y(1) = 0. Chú ý: Khi qua điểm x = 0 đạo hàm y 0 không đổi dấu nên hàm số đã cho không có cực trị tại điểm x = 0. Ví dụ 1.2. Tìm cực trị của hàm số: y =
−x2 + 2x + 3
Lời giải. Hàm y xác định trên R. Ta có
2
p y = −x + 2x + 3
= (|−x2 + 2x + 3|)2
(−x2 + 2x + 3)(−2x + 2) f (x) ⇔y= = |−x2 + 2x + 3| |−x2 + 2x + 3| x = ±1 Xét f (x) = (−x2 + 2x + 3)(−2x + 2) = 0 ⇔ x=3 Lập bảng biến thiên của hàm y x −∞ −1 1 3 +∞ y0 − + 0 − + +∞ 4 +∞ y 0 0 3
Chương 1. Cực trị hàm số Từ bảng biến thiên ta suy ra Giá trị cực đại của hàm số y(1) = 4 Giá trị cực tiểu của hàm số y(−1) = 0; y(3) = 0 Ví dụ 1.3. Tìm cực trị của hai hàm số sau: −1 xe x với x 6= 0 f (x) = 0 với x = 0 −1 e x2 với x 6= 0 g(x) = 0 với x = 0 Lời giải. Ta có: 1 2 − 12 f 0 (x) = e− x2 + e x , ∀x 6= 0 x2 Nhận thấy f 0 (x) > 0, ∀x 6= 0 Mặt khác, do 1 lim− xe− x = −∞ x→0 Nên hàm f (x) không liên tục tại x = 0. Từ đó suy ra hàm f (x) không có cực trị. 1 Hàm g(x) liên tục với mọi x,vì lim e− x2 = 0. x→0 Ta thấy với mọi x 6= 0 2 − 12 g 0 (x) = e x x3 Lập bảng biến thiên của hàm g(x): x −∞ 0 +∞ g 0 (x) − + +∞ +∞ g(x) 0 4
Chương 1. Cực trị hàm số Từ bảng biến thiên suy ra, giá trị cực tiểu của hàm số là g(0) = 0. Nhận xét: Hai hàm f (x) và g(x) đều có đạo hàm không xác định tại điểm x = 0. Nhưng khi qua điểm x = 0: hàm g(x) có đạo hàm đổi dấu nên g(x) mới có cực trị, còn hàm f (x) thì đạo hàm không đổi dấu nên không tồn tại cực trị. Ví dụ 1.4. Tìm cực trị của hàm số: x2 xn −x y = (1 + x + + ... + )e , n ∈ N∗ . 2! n! Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có 0 xn −x y =− e , n ∈ N∗ n! • Với n = 2k, k ∈ N Khi đó 0 xn −x y = − e < 0, ∀x ∈ R n! Do đó hàm số không có cực trị. • Với n = 2k + 1, k ∈ N Ta có y 0 = 0 ⇔ x = 0 Lập bảng biến thiên của hàm y : x −∞ 0 +∞ y0 + 0 − 0 y −∞ −∞ Vậy giá trị cực đại của hàm y là y(0) = 0. Ví dụ 1.5. Tìm cực trị của hàm số sau: 2 − x2 (2 + sin x1 ) với x 6= 0 f (x) = 2 với x = 0 5
Chương 1. Cực trị hàm số Lời giải. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R vì lim f (x) = 2. x→0 2 1 Nhận thấy: f (x) − f (0) = −x (2 + sin x) < 0, ∀x 6= 0 Mặt khác 1 1 f 0 (x) = −2x(2 + sin ) + cos x x 1 Với xk = kπ , k ∈ Z, ta có: 1 1 với k chẵn cos = xk −1 với k lẻ ( f 0 (x) > 0 với k chẵn Từ đó suy ra: f 0 (x) < 0 với k lẻ. Như vậy f 0 (x) đổi dấu trong khoảng (0; kπ 1 ) Tuy vậy ta vẫn kết luận được giá trị cực đại của hàm f (x) là f (0) = 2. Nhận xét: Như vậy không phải hàm số nào cũng có đạo hàm không đổi dấu về một lân cận ở phía phải (hay phía trái) của điểm cực trị. Hàm số trong ví dụ (1.5) không thỏa mãn điều kiện đủ nhưng vẫn có cực trị. Các hàm sơ cấp thường không có tình trạng này. Quy tắc 2. - Tìm f 0 (x) ; - Tìm các nghiệm xi , (i = 1, 2, 3, ...) của phương trình f 0 (x) = 0; - Tìm f 00 (x) và tính f 00 (xi ) : Nếu f 00 (xi ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi . Nếu f 00 (xi ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi . Ví dụ 1.6. Tìm cực trị của hàm số: y = x − sin2x + 2 Lời giải. Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có y 0 = 1 − 2 cos 2x; π y0 = 0 ⇔ x = ± + kπ (k ∈ Z) 6 6