Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình hàm sai phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> -----------------------<br /> <br /> ĐỖ ĐỨC DUY<br /> <br /> PHƯƠNG TRÌNH HÀM SAI PHÂN<br /> <br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số:<br /> 60.46.01.13<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> <br /> TS. LÊ ĐÌNH ĐỊNH<br /> <br /> Hà Nội – Năm 2016<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 Kiến thức chuẩn bị<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Biểu diễn một số lớp hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn<br /> <br /> 7<br /> <br /> 2 Phương trình hàm sai phân bậc nhất<br /> 2.1<br /> <br /> 11<br /> <br /> Hàm số xác định bởi các phép biến đổi tịnh tiến và đồng<br /> dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 11<br /> <br /> 2.1.1<br /> <br /> Phương trình hàm với phép biến đổi tịnh tiến . .<br /> <br /> 11<br /> <br /> 2.1.2<br /> <br /> Phương trình hàm với phép biến đổi đồng dạng .<br /> <br /> 13<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Phương trình dạng f (ax + b) = cf (x) + d . . . . . . . .<br /> <br /> 16<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> Hàm số xác định bởi phép biến đổi phân tuyến tính . .<br /> <br /> 19<br /> <br /> 2.4<br /> <br /> Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 22<br /> <br /> 2.5<br /> <br /> Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 24<br /> <br /> 3 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc hai<br /> 3.1<br /> <br /> Phương trình hàm sai phân bậc hai với hàm tuần hoàn<br /> và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3.2<br /> <br /> 25<br /> 25<br /> <br /> Phương trình với hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn<br /> nhân tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 34<br /> <br /> 3.3<br /> <br /> Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 45<br /> <br /> 3.4<br /> <br /> Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 48<br /> <br /> 4 Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc ba<br /> 4.1<br /> <br /> 50<br /> <br /> Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất bậc ba 50<br /> 1<br /> <br /> 4.1.1<br /> <br /> Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất<br /> bậc ba với ba nghiệm đơn . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4.1.2<br /> <br /> Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất<br /> bậc ba với hai nghiệm đơn . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4.1.3<br /> <br /> 53<br /> <br /> Phương trình hàm sai phân tuyến tính thuần nhất<br /> bậc ba với nghiệm bội ba . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4.2<br /> <br /> 50<br /> <br /> 57<br /> <br /> Phương trình hàm sai phân tuyến tính không thuần nhất<br /> bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 64<br /> <br /> 4.3<br /> <br /> Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 65<br /> <br /> 4.4<br /> <br /> Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 68<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> 71<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 72<br /> <br /> 2<br /> <br /> Mở đầu<br /> Sai phân là một kiến thức quan trọng trong Toán học, có<br /> ứng dụng cao trong khoa học và các ngành kỹ thuật (Quá<br /> trình sản suất, quản lý xí nghiệp, điều tra dân số, nghiên cứu<br /> sinh học . . . ). Trong đó, phương trình hàm sai phân là mảng<br /> kiến thức khó, chưa được đề cập nhiều. Hầu hết kiến thức<br /> được tiếp cận ở các em học sinh trường chuyên. Đây là dạng<br /> bài toán đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức khi<br /> giải như kiến thức về phương trình hàm và kiến thức về sai<br /> phân.<br /> Việc xây dựng có hệ thống các kiến thức cơ bản về phương<br /> trình hàm sai phân, phân loại các dạng phương trình với sự<br /> tổng hợp các phương pháp giải sẽ đóng góp cho việc định<br /> hướng nghiên cứu, tìm hiểu cho học sinh.<br /> Luận văn được chia làm bốn chương với nội dung:<br /> Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.<br /> Chương trình bày các kiến thức cơ bản của Lý thuyết<br /> phương trình hàm, nhằm áp dụng cho các nội dung tiếp theo.<br /> Còn có ví dụ minh họa cho từng đơn vị kiến thức.<br /> Chương 2. Phương trình hàm sai phân bậc nhất.<br /> Chương trình bày nghiên cứu dạng phương trình hàm sinh<br /> bới các phép biến đổi hình học cơ bản như phép đồng dạng,<br /> phép tịnh tiến.<br /> Chương 3. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc<br /> hai.<br /> Chương trình bày phương trình hàm sai phân tuyến tính<br /> 3<br /> <br /> bậc hai với vế phải là hàm số đối với hàm tuần hoàn, phản<br /> tuần hoàn cộng tính, nhân tính.<br /> Chương 4. Phương trình hàm sai phân tuyến tính bậc<br /> ba.<br /> Nội dung xét về phương trình hàm sai phân thuần nhất bậc<br /> ba với các nghiệm đơn, nghiệm kép, nghiệm bội ba, phương<br /> trình không thuần nhất.<br /> Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của<br /> TS. Lê Đình Định - Trường Đại học Khoa học Tự nhiên ĐHQG Hà Nội cùng với sự nỗ lực của bản thân, sự giúp đỡ<br /> động viên của thầy cô, đồng nghiệp và bạn bè.<br /> Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Thầy<br /> hướng dẫn, các thầy cô trường Đại học Quốc gia Hà Nội, đã<br /> tận tâm chỉ dạy trong suốt thời gian qua. Đồng thời tác giả<br /> cũng xin cảm ơn đến Ban giám hiệu, các thầy cô trường THPT<br /> Yên Viên đã tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành khóa học<br /> cũng như nghiên cứu luận văn này. Xin cảm ơn gia đình, bạn<br /> bè đã động viên giúp đỡ tác giả.<br /> Cuối cùng, mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và<br /> kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những<br /> sai sót. Tác giả rất mong nhận sự đóng góp từ thầy cô, bạn<br /> bè, đồng nghiệp để hoàn thiện hơn.<br /> Hà Nội, Tháng 09 năm 2016<br /> Tác giả<br /> Đỗ Đức Duy<br /> <br /> 4<br /> <br />