Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giá trị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Luận văn được chia làm hai chương: Chương 1 - Tính chất của toán tử khả nghịch phải, Chương 2 - Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - NĂM 2015
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO NGUYỄN VÂN ANH PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH PHẢI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2015
Mục lục Mở đầu 2 1 Tính chất của toán tử khả nghịch phải 3 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Toán tử đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Toán tử Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Toán tử ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Các phép toán của toán tử nghịch đảo phải Volterra . . . . . 21 1.4 Đặc trưng của đa thức của toán tử khả nghịch phải . . . . . . 25 2 Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng 30 2.1 Phương trình với toán tử khả nghịch phải . . . . . . . . . . . 30 2.2 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 i
Mở đầu Phương trình vi phân đóng một vai trò quan trọng trong kĩ thuật, vật lý, kinh tế và một số ngành khác. Có nhiều phương pháp để giải một phương trình vi phân với các điều kiện ban đầu và một trong số các phương pháp đó là sử dụng lý thuyết toán tử khả nghịch phải. Mục tiêu của Luận văn là trình bày lý thuyết và cách giải bài toán giá trị ban đầu của lý thuyết toán tử khả nghịch phải áp dụng công thức Taylor- Gontcharov và trường hợp riêng của nó là công thức Taylor. Dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu, tác giả đã hoàn thành luận văn với đề tài "Phương trình vi phân với toán tử khả nghịch phải và áp dụng". Luận văn được chia làm hai chương: • Chương 1: Tính chất của toán tử khả nghịch phải. • Chương 2: Phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các lớp toán tử tuyến tính và tính chất của toán tử khả nghịch phải, công thức Taylor. Chương 2 nội dung chính của Luận văn, trình bày về phương trình với toán tử khả nghịch phải và áp dụng công thức Taylor vào việc giải các bài toán cụ thể. Mặc dù có nhiều cố gắng, song do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn để Luận văn được hoàn thiện hơn. Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH Nguyễn Văn Mậu, người Thầy đã truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau 1
đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, các thầy cô đã tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành bản luận văn này. Sau cùng tác giả xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến gia đình đã luôn tạo điều kiện tốt nhất trong suốt quá trình học cũng như thực hiện luận văn này. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2015 Tác giả Đào Nguyễn Vân Anh 2
Chương 1 Tính chất của toán tử khả nghịch phải 1.1 Một số lớp toán tử tuyến tính 1.1.1 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.1 ([1]-[2]). Giả sử X và Y là hai không gian tuyến tính trên cùng một trường vô hướng F . Một ánh xạ A từ tập tuyến tính dom A của X vào Y được gọi là toán tử tuyến tính nếu A(x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ dom A, A(tx) = tAx với mọi x ∈ dom A, t ∈ F. Tập dom A được gọi là miền xác định của toán tử A. Giả sử G ∈ dom A. Đặt AG = {Ax : x ∈ G}. Theo định nghĩa, AG ⊂ Y . Tập AG được gọi là ảnh của tập G. Tập Adom A được gọi là miền giá trị của toán tử A (tập giá trị của A) và là không gian con của Y . Tập tất cả các toán tử tuyến tính với miền xác định chứa trong không gian X và miền giá trị chứa trong không gian Y ký hiệu bởi L(X → Y ). Định nghĩa 1.2 ([1]-[2]). Toán tử đồng nhất trong không gian X là toán tử IX xác định bởi IX x = x với mọi x ∈ X . Sau này nếu không gây nhầm lẫn, ta sẽ ký hiệu I thay cho IX . Định nghĩa 1.3 ([1]-[2]). Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) là tương ứng 1-1 thì 3
toán tử nghịch đảo A−1 được định nghĩa theo cách: Với mỗi y ∈ Adom A A−1 y = x, trong đó x ∈ dom A và y = Ax. Để ý rằng, theo giả thiết, mỗi y ứng với một x ∈ dom A duy nhất và dom A−1 = A dom A ⊂ Y, A−1 dom A−1 = dom A ⊂ X . Với mỗi x ∈ dom A, nếu y = Ax thì (A−1 A)x = A−1 (Ax) = A−1 y = x, và (AA−1 )y = A(A−1 y) = Ax = y . Do đó A−1 A = Idom A , AA−1 = IAdom A . Cho nên A−1 xác định duy nhất nghịch đảo của A. Dễ dàng kiểm tra rằng A−1 cũng là một toán tử tuyến tính. Nếu toán tử A ∈ L(X → Y ) có toán tử nghịch đảo thì ta nói A khả nghịch. Định nghĩa 1.4 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L(X → Y ) được gọi là đẳng cấu nếu dom A = X, A dom A = Y và nếu A là tương ứng 1-1. Theo định nghĩa, nếu A đẳng cấu thì nó khả nghịch, toán tử nghịch đảo A cũng là tương ứng 1-1 và dom A−1 = Y, A−1 dom A−1 = X . Do đó A−1 −1 cũng là đẳng cấu. Định nghĩa 1.5 ([1]-[2]). Hai không gian X và Y được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một đẳng cấu A ánh xạ X lên Y . Định nghĩa 1.6 ([1]-[2]). Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X → Y ) và tích của toán tử với vô hướng được xác định như sau dom (A + B) = dom A ∩ dom B và (A + B)x = Ax + Bx vớix ∈ dom A ∩ dom B, (tA)x = t(Ax) với x ∈ dom A, t ∈ F. (1.1) Nếu dom A = dom B = dom C thì (A + B) + C = A + (B + C) và A + B = B + A. Để ý rằng toán tử C mà A + C = B với A, B ∈ L(X → Y ) không nhất thiết phải tồn tại. Điều này suy ra từ việc miền xác định của A và B có thể khác nhau. Nếu toán tử C tồn tại thì C = B − A và C được gọi là hiệu của các toán tử B và A; phép toán "-" được gọi là phép trừ. Theo định nghĩa, nếu B − A xác định tốt thì B − A = B + (−A) trên dom A ∩ dom B . Đặt L0 (X → Y ) = {A ∈ L(X → Y ) : dom A = X}. Do tổng của hai toán tử tùy ý thuộc L0 (X → Y ) xác định tốt, thỏa mãn tính kết hợp và giao 4
hoán, ứng với mỗi cặp toán tử A, B ∈ L0 (A → B) tồn tại toán tử C = B −A nên L0 (X → Y ) là một nhóm Abel. Phần tử trung hòa của nhóm này là toán tử Θ sao cho Θx = 0 với mọi x ∈ X . Sau này ta ký hiệu toán tử không này bởi 0. Từ công thức (1.1) ta suy ra nhóm Abel L0 (X → Y ) là không gian tuyến tính trên trường F . Định nghĩa 1.7 ([1]-[2]). Giả sử X, Y, Z là các không gian tuyến tính trên trường vô hướng, A ∈ L(X → Y ), B ∈ L(Y → Z) và B dom B ⊂ dom A ⊂ Y . Tích của AB của các toán tử A và B xác định bởi (AB)x = A(Bx) với mọi x ∈ dom B. (1.2) Theo định nghĩa, AB ∈ L(X → Z), dom AB = dom B , AB dom AB = AB . Tích (nếu nó xác định tốt) có tính phân phối đối với phép cộng các toán tử và tính kết hợp. Định nghĩa 1.8 ([1]-[2]). Hai toán tử A và B được gọi là giao hoán nếu cả hai tích AB, BA đều tồn tại và AB = BA trên dom A = dom B . Đặt L(X) = L(X → X) và L0 (X) = L0 (X → X) = {A ∈ L(X) : dom A = X}. Công thức (1.2) chỉ ra rằng L0 (X) không những là không gian tuyến tính mà còn là vành tuyến tính theo phép nhân các toán tử A, B ∈ L0 (X) xác định bởi tích AB của chúng. Thật vây, nếu A, B ∈ L0 (X) thì dom B ⊂ dom A = X . Do đó, AB xác định tốt với mọi A, B ∈ L0 (X). Vành tuyến tính L0 (X) có đơn vị là toán tử đồng nhất IX = I . Tuy nhiên, L0 (X) là vành không giao hoán và không có ước của 0. Định nghĩa 1.9 ([1]-[2]). Toán tử P ∈ L0 (X) được gọi là toán tử chiếu nếu P 2 = P , trong đó P 2 = P.P . Nếu P ∈ L0 (X) là toán tử chiếu thì I − P cũng là toán tử chiếu. Mỗi toán tử chiếu xác định sự phân chia không gian X thành tổng trực tiếp X = Y ⊕ Z , trong đó Y = {x ∈ X : P x = x}, Z = {x ∈ X : P x = 0}. Thật vậy, nếu x ∈ Y ∩ Z thì x = 0 vì x = P x = 0. Nếu x ∈ X thì z = x − P x ∈ Z bởi vì P (x − P x) = P x − P 2 x = P x − P x = 0 và x = y + z trong đó y = P x ∈ Y, z = x − P x = (I − P )x ∈ Z . Định nghĩa 1.10 ([1]-[2]). Giả sử A ∈ L(X → Y ). Tập hợp Ker A = {x ∈ dom A : Ax = 0} 5
được gọi là nhân của toán tử A. Tập hợp Ker A là không gian con tuyến tính của A. Số chiều của nhân của toán tử A ∈ L(X → Y ) được gọi là số khuyết (nullity) của A và ký hiệu bởi αA , tức là αA = dim Ker A. Định nghĩa 1.11 ([1]-[2]). Không gian khuyết của toán tử A ∈ L(X → Y ) là không gian thương Y /Adom A. Số khuyết (deficiency) βA của toán tử A ∈ L(X → Y ) xác định bởi công thức βA = dim Y /Adom A. Theo định nghĩa số khuyết βA chính là đối chiều của miền giá trị của A. Định nghĩa 1.12 ([1]-[2]). Một toán tử tuyến tính A mà miền xác định của nó dom A = X và lấy giá trị trên trường vô hướng F (trường các số thực R hay các trường số phức C) được gọi là phiếm hàm tuyến tính xác định trong không gian X . Ta ký hiệu X 0 là tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trong không gian X . Nếu X là không gian n chiều sinh bởi các phần tử (x1 , . . . , xn ) thì mỗi n P P n phiếm hàm tuyến tính f có dạng f (x) = tj aj trong đó x = tj xj ∈ j=1 j=1 X, t1 , . . . , tn ∈ F và aj = f (xj ) (j = 1, . . . , n), tức là f xác định một cách duy nhất bởi các giá trị của nó trên các phần tử của cơ sở của X . Giả sử X là không gian tuyến tính n chiều với cơ sở {x1 , . . . , xn } và Y là không gian tuyến tính m chiều với cơ sở {y1 , . . . , ym } trên cùng một Pn trường vô hướng F . Cho A ∈ L0 (X → Y ) và x = tj xj ∈ X , trong đó j=1 n P n P t1 , . . . , tn ∈ F tùy ý. Khi đó Ax = A tj x j = tj Axj . Mặt khác, do j=1 j=1 m P Ax ∈ Y nên ta có thể tìm được c1 , . . . , cm ∈ F sao cho Ax = c k yk . k=1 m P Thật vậy, do Axj ∈ Y nên ta có Axj = ajk yk , trong đó ajk ∈ F (j = k=1 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , m). Vì thế, n X n X m X m X X n Ax = tj Axj = tj ajk yk = tj ajk yk . j=1 j=1 k=1 k=1 j=1 n P Vậy ta có ck = tj ajk (k = 1, 2, . . . , m). Các hệ số ajk xác định phép j=1 biến đổi cơ sở {x1 , . . . , xn } thành cơ sở {y1 , . . . , ym } bởi toán tử A. Do đó, 6
tồn tại sự tương ứng 1-1 giữa các toán tử A ∈ L0 (X → Y ) và các ma trận   a11 a21 . . . an1    a12 a22 . . . an2   . . . . . . . . . . . .  = (ajk )j=1,...,n;k=1,...,m .     a1m a2m . . . anm Ta sẽ ký hiệu toán tử A và ma trận của nó cùng một ký tự A. Định nghĩa 1.13 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X → Y ) được gọi là hữu hạn chiều nếu miền giá trị của nó hữu hạn chiều. Nếu dim Adom A = n thì ta nói A là toán tử n chiều. Định nghĩa 1.14 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X → Y ) được gọi là khả nghịch phải (trái) nếu tồn tại toán tử B ∈ L0 (Y → X) sao cho AB = IY (tương ứng BA = IX ). Ta cũng chứng minh được rằng (i) A khả nghịch phải khi và chỉ khi nó là toàn ánh, tức là βA = 0, (ii) A khả nghịch trái nếu Ker A = {0}, tức là βA = 0, (iii) Nếu A vừa khả nghịch trái vừa khả nghịch phải thì A khả nghịch. 1.1.2 Toán tử đại số Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường đóng đại số F và A ∈ L0 (X). Vô hướng λ ∈ F được gọi là giá trị chính quy của A nếu toán tử A − λI khả nghịch. Định nghĩa 1.15 ([1]-[2]). Giả sử F = C. Ta nói toán tử A ∈ L0 (X) là toán tử đại số nếu tồn tại đa thức P (t) = p0 + p1 t + · · · + pN tN ∈ C sao cho P (A) = 0 trên X . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử P (t) định chuẩn tức là pN = 1. Toán tử đại số A ∈ L0 (X) là toán tử bậc N nếu không tồn tại đa thức định chuẩn Q(t) bậc m < N sao cho Q(A) = 0 trên X . Đa thức P (t) như thế được gọi là đa thức đặc trưng của A và nghiệm của nó được gọi là nghiệm đặc trưng của A. 7
1.1.3 Toán tử Volterra Định nghĩa 1.16 ([1]-[2]). Toán tử A ∈ L0 (X) được gọi là toán tử Volterra nếu toán tử I − λA khả nghịch với mọi vô hướng λ. Tập hợp các toán tử Volterra thuộc L0 (X) ký hiệu là V (X). Nếu A ∈ V (X) thì phương trình thuần nhất (I − λA)x = 0 chỉ có nghiệm không với mọi vô hướng λ. 1.2 Toán tử khả nghịch phải 1.2.1 Toán tử khả nghịch phải Cho X là một không gian tuyến tính trên trường vô hướng F . Định nghĩa 1.17 ([1]-[2]). Toán tử D ∈ L(X) được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại một toán tử R ∈ L0 (X) sao cho RX ⊂ dom D và DR = I . Toán tử R được gọi là nghịch đảo phải của D. Tập hợp tất cả các toán tử khả nghịch phải được kí hiệu là R(X), còn tập hợp tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D ∈ R(X) là RD . Ta cũng viết RD = {Rγ }γ∈Γ Định nghĩa 1.18 ([1]-[2]). Giả sử x là một phần tử tùy ý cho trước của không gian X . Cho D ∈ R(X), tập hợp RD x = Rγ xγ ∈ Γ được gọi là tích phân bất định của x. Mỗi phần tử Rγ với γ ∈ Γ được gọi là một nguyên hàm của x. Theo định nghĩa, nếu y là một nguyên hàm của x thì Dy = x. Thật vậy, nếu y là một nguyên hàm của x thì tồn tại một chỉ số γ ∈ Γ sao cho y = Rγ x. Từ đó suy ra Dy = DRγ x = x do DRγ = I . Định nghĩa 1.19 ([1]-[2]). Giả sử D ∈ R(X). Khi đó, nhân của toán tử D được gọi là không gian các hằng số trên D và được kí hiệu là Ker D. Mỗi phần tử z ∈ Ker D được gọi là một hằng số. Để ý rằng, theo định nghĩa, một phần tử z ∈ X là một hằng số của D nếu và chỉ nếu Dz = 0. Các tính chất của toán tử khả nghịch phải 1. Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD thì Dk Rk = I với k = 1, 2, . . . . 8
2. Giả sử rằng D ∈ R(X), R1 , R2 ∈ RD và y1 = R1 x, y2 = R2 x trong đó x ∈ X là phần tử tùy ý. Khi đó y1 − y2 ∈ Ker D. Bằng lời: Hiệu của hai nguyên hàm của một phần tử x ∈ X cho trước là một hằng. từ đó suy ra một tích phân bất định được xác định tốt nếu ta biết ít nhất một nghịch đảo phải. 3. Nếu D ∈ R(X), R ∈ RD thì tích phân bất định của một phần tử x ∈ X có dạng: RD x = {Rx + z : z ∈ Ker D} = Rx + Ker D. Bằng lời: Tích phân bất định của một phần tử x ∈ X là tổng của một nguyên hàm và một hằng số tùy ý. 4. Nếu D ∈ R(X) thì với mỗi R ∈ RD ta có: dom D = RX ⊕ Ker D. (1.3) 5. Giả sử D ∈ R(X) và R1 ∈ RD . Khi đó mỗi nghịch đảo phải của D có dạng: R = A + R1 (I − DA) = R1 + (I − R1 D)A, (1.4) trong đó A ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D, tức là R ∈ RD = R1 + (I − R1 D)A : A ∈ L0 (X), AX ⊂ dom D. Nhận thấy rằng nếu D ∈ R(X) và R ∈ RD x ∈ X thì từ Rx = 0 suy ra x = 0. Thật vậy, x = DRx = 0. Bổ đề 1.1. Cho t0 ∈ [a, b] và một số thực tùy ý c. Nếu hàm số x(t) xác định trên khoảng [a,b] có nguyên hàm ξ(t) thì tồn tại một nguyên hàm η(t) của x(t) sao cho η(t0 ) = c. Bổ đề 1.2. Nếu dãy {xn } ⊂ C[a, b] hội tụ đều đến hàm số x và mỗi hàm số xn (t) có nguyên hàm là ξn (t) thì hàm số x có nguyên hàm. Bổ đề 1.3. Mỗi hàm số liên tục trên khoảng đóng có một nguyên hàm trong khoảng này. 1.2.2 Toán tử ban đầu Định nghĩa 1.20 ([1]-[2]). Toán tử F ∈ L(X) được gọi là toán tử ban đầu của toán tử D ∈ R(X) ứng với nghịch đảo phải R của D nếu (i.) F là một phép chiếu lên không gian các hằng số, nghĩa là F 2 = F, F X = Ker D 9
(ii.) F R = 0. Từ định nghĩa ta suy rằng F z = z, với mỗi z ∈ Ker D. (1.5) Hơn nữa, ta có DF = 0 trên X , Ker F = RX và Ker D ∩ Ker F = {0}. Thật vậy, theo định nghĩa F x ∈ Ker D với mỗi x ∈ X , do đó DF x = 0. Do x tùy ý nên DF = 0. Từ tính chất F R = 0 suy ra rằng Ker F = RX . Giả sử bây giờ z ∈ Ker D và F Z = 0. Khi đó, theo (1.5), ta có z = F z = 0. Điều này chứng tỏ Ker D ∩ Ker F = {0}. Định lý 1.1. Cho D ∈ R(X). Điều kiện cần và đủ để toán tử F ∈ L(X) là toán tử ban đầu của D ứng với R ∈ RD là F = I − RD trên dom D. (1.6) d Rt Ví dụ 1.1. Giả sử X = C[a, b], D = và (Rx)(t) = x(s)ds, trong đó dt t0 1 a ≤ t0 ≤ b cố định tùy ý. Nếu x ∈ dom D = C [a, b] thì (F x)(t) = (I − RD)x(t) = x(t) − (RDx)(t) Zt = x(t) − x0 (s)ds t0 = x(t) − x(t) + x(t0 ) = x(t0 ). Mệnh đề 1.1. Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch thì toán tử ban đầu khác 0 của A không tồn tại. Chứng minh. Thật vậy, cho B ∈ L(X) là một nghịch đảo của A, tức là BA = I, AB = I . Nếu ta đặt F = I −BA thì ta có F = I −BA = I −I = 0. Từ mệnh đề này suy ra các toán tử ban đầu không tầm thường chỉ tồn tại với toán tử khả nghịch phải mà không khả nghịch. Từ đó, ta có định lý sau Định lý 1.2. Họ RD = {Rγ }γ∈Γ tất cả các nghịch đảo phải của toán tử D ∈ R(X) cảm sinh duy nhất họ FD = {Fγ }γ∈Γ các toán tử ban đầu của D được xác định bởi đẳng thức Fγ = I − Rγ D trên dom D với mỗi γ ∈ Γ. 10
Các tính chất của toán tử ban đầu. 1. Với mọi α, β ∈ Γ, ta có Fα Fβ = Fβ , (1.7) Fβ Rα = Rα − Rβ . (1.8) 2. Với α, β, γ ∈ Γ toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ không phụ thuộc vào cách chọn toán tử Rγ ∈ RD . Tính chất này chỉ ra rằng toán tử Fβ Rγ − Fα Rγ chỉ phụ thuộc vào các chỉ số α, β . Điều này cho phép ta đặt Iαβ = Fβ Rγ − Fα Rγ , ∀ α, β, γ ∈ Γ. (1.9) Ta nói Iαβ là toán tử tích phân xác định. Với mỗi x ∈ X phần tử Iαβ x được gọi là tích phân xác định của x. Các chỉ số α và β được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân. Do Fβ Rγ − Fα Rγ = Rγ − Rβ − (Rγ − Rα ) = Rα − Rβ = Fβ Rα nên Iαβ = Fβ Rα , với α, β ∈ Γ. (1.10) 3. Với bất kỳ x ∈ X, α, β ∈ Γ ta có Iαβ x = z ∈ Ker D. Bằng lời: Tích phân xác định của một phần tử tùy ý là một hằng. 4. Với bất kỳ α, β ∈ Γ ta có Iαβ = −Iβα . (1.11) Bằng lời: Sự thay đổi vị trí cận trên và cận dưới của tích phân sẽ làm thay đổi dấu của toán tử tích phân xác định và dẫn đến sự thay đổi dấu của tích phân xác định của một phần tử tùy ý. 5. Với bất kỳ α, β, δ ∈ Γ ta có Iαδ + Iδβ = Iαβ . (1.12) 6. Với bất kỳ α, β ∈ Γ ta có Iαβ D = Fβ − Fα , (1.13) tức là, Iαβ Dx = Fβ x − Fα x với x ∈ dom D. (1.14) Phần tử F x bất kỳ, trong đó x ∈ X và F là một toán tử ban đầu, được gọi là giá trị ban đầu của phần tử x. Vì x ∈ dom D là một nguyên hàm của 11
y = Dx nên ta có thể phát biểu lại tính chất 6 như sau: Nếu x ∈ X, α, β ∈ Γ tùy ý và y ∈ X là một nguyên hàm bất kỳ của x thì Iαβ x = Fβ y − Fα y. (1.15) Bằng lời: Tích phân xác định bằng hiệu các giá trị ban đầu của một nguyên hàm tùy ý ứng với cận trên và cận dưới của tích phân. 7. Giả sử D ∈ R(X), dim Ker D 6= 0, F và F1 6= F là các toán tử ban đầu của D, và F tương ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD . Khi đó với mỗi z ∈ Ker D tồn tại một x ∈ X sao cho F1 x = z . Bằng lời: Với mỗi hằng số tồn tại một phần tử sao cho tích phân xác định của phần tử này bằng hằng số đã cho. Các Định lý 1.1 và 1.2 đặc trưng các toán tử ban đầu bởi các nghịch đảo phải. Định lý sau chỉ ra rằng các nghịch đảo phải cũng có thể đặc trưng bởi các toán tử ban đầu. Định lý 1.3. Giả sử D ∈ R(X), F ∈ L0 (X) là phép chiếu lên không gian các hằng số. Khi đó F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R = R1 − F R1 với mọi R1 ∈ RD và R được xác định một cách duy nhất, không phụ thuộc vào việc chọn R1 ∈ RD . 8. Nếu D ∈ R(X) và R, R1 ∈ RD giao hoán thì R1 = R. 9. Nếu D ∈ R(X) và F, F1 là các toán tử ban đầu của D giao hoán thì F1 = F . 10. Giả sử D ∈ R(X) và F1 , F2 là các toán tử ban đầu của D lần lượt tương ứng với nghịch đảo phải R1 , R2 . Nếu R1 = R2 thì F1 = F2 . Đảo lại, nếu F1 = F2 thì R1 = R2 . Định lý 1.4. Nếu D ∈ R(X) và F là toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R của D thì tập hợp RD tất cả các nghịch đảo phải của D có dạng RD = {R + F A : A ∈ L0 (X)}. (1.16) và tập hợp FD tất cả các toán tử ban đầu của D có dạng FD = {F (I − AD) : A ∈ L0 (X)}. (1.17) Định lý 1.5. Giả sử F0 , F1 , . . . , Fm là các toán tử ban đầu của D ∈ R(X) M P ứng với các nghịch đảo phải R0 , R1 , . . . , Rm tương ứng. Đặt F = ak F k k=0 trong đó a0 , a1 , . . . , am là các vô hướng không đồng thời bằng 0. Khi đó F là 12
m P toán tử ban đầu của D nếu và chỉ nếu ak = 1. k=0 Nếu điều kiện này được thỏa mãn thì toán tử ban đầu F ứng với nghịch Pm đảo phải R = ak Rk . k=0 d Rt Ví dụ 1.2. Giả sử X = C[a, b], D = và (Rx)(t) = x(s)ds, trong đó dt t0 a 6 t0 6 b cố định tùy ý. Theo Định lý 1.1, nếu x ∈ dom D = C 1 [a, b] thì Rt (F x)(t) = (I − RD)x(t) = x(t) − (RDx)(t) = x(t) − x0 (s)ds t0 = x(t) − x(t) + x(t0 ) = x(t0 ). Rt Xét tập hợp {Rc }c∈[a,b] trong đó (Rc x)t = x(s)ds với x ∈ C[a, b]. Theo c định lý 1.2 họ cảm sinh của các toán tử ban đầu có dạng {Fc }c∈[a,b] , trong đó (Fc x)t = x(c). Nếu y là nguyên hàm tùy ý của x ∈ C[a, b] và c1 , c2 cố định tùy ý trong [a, b] thì theo (1.13) ta tìm được Zc2 x(s)ds = y(c2 ) − y(c1 ), trong đó y 0 = x. (1.18) c1 Do vậy, công thức tính tích phân từng phần có dạng Zc2 Zc2 c x(s)y 0 (s)ds = x(s)y(s) c2 − x0 (s)y(s)ds, (1.19) 1 c1 c1 trong đó x, y ∈ C[a, b] và ta đặt [u(s)]cc21 = u(c2 ) − u(c1 ), với u ∈ C[a, b], a 6 c1 , c2 6 b. d Rt Ví dụ 1.3. Giả sử X = C[a, b], D = và (Rx)(t) = (s)ds. Ta chứng dt a minh được rằng R là toán tử Volterra, tức là toán tử I − λR khả nghịch với mọi vô hướng và Zt [(I − λR)−1 x](t) = x(t) + λ eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b]. (1.20) t0 Thật vậy, giả sử B là một toán tử được định nghĩa bằng hàm mũ Zt (Bx)(t) = eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b] (1.21) t0 13
trong đó t0 ∈ [a, b] cố định tùy ý. Ta cần chứng minh (I + λB)(I − λR) = (I − λR)(I − λD) = I với mọi λ ∈ R. (1.22) Không mất tổng quát ta giả sử λ 6= 0. Do đó, sử dụng tích phân từng phần với x ∈ C[a, b] [(I + λB)(I − λR)x](t) = [(I + λB − λR − λ2 BR)x](t) = [x + λ(B − R)x − λ2 BRx](t) h Zt Zt i λ(t−s) = x(t) + λ e x(s)ds − x(s)ds t0 t0 Zt h Zs i − λ2 eλ(t−s) x(u)du ds t0 t0 Zt h i λ(t−s) = x(t) + λ e − 1 x(s)ds t0 Zt h Zs i 2 λt −λs −λ e e x(u)du ds t0 t0 Zt = x(t) + λ [eλ(t−s) − 1]x(s)ds t0 Zt Zt nh 1 it 1 −λs o − λ2 eλt − e−λs x(u)du − − e x(s)ds λ t0 λ t0 t0 Zt = x(t) + λ [eλ(t−s) − 1]x(s)ds t0 Zt Zt +λ x(u)du − λ eλ(t−s) x(s)ds t0 t0 Zt = x(t) + λ [eλ(t−s) − 1 + 1 − eλ(t−s) ]x(s)ds = x(t). t0 Do đó, (I + λB)(I − λR) = I . Chứng minh tương tự ta được, (I − λR)(I + λB) = I . Vì vậy, từ (1.22) suy ra toán tử R khả nghịch với mọi vô 14
hướng λ và (I − λR)−1 = I + λB , hay Zt [(I − λR)−1 x](t) = x(t) + λ eλ(t−s) x(s)ds với x ∈ C[a, b]. t0 Rb Ví dụ 1.4. Giả sử X = C[a, b] và q ∈ C[a, b]. Đặt q0 = q(s)ds 6= 0. Ta a định nghĩa toán tử F như sau Zb 1 (F x)(t) = q(s)x(s)ds với x ∈ C[a, b]. (1.23) q0 a Ta sẽ chứng minh rằng F là toán tử ban đầu của D = d/dt ứng với nghịch đảo phải xác định bởi Zt Zs 1 Z h i (Rx)(t) = x(s)ds − b q(s) x(u)du ds với x ∈ C[a, b]. (1.24) q0 a a a Thật vậy, vì các giá trị của F x là các hằng số nên F X ⊂ Ker D. Giả sử c ∈ R. Khi đó hàm số z(t) ≡ c là hàm hằng, do đó z ∈ Ker D và Zb Zb Zb 1 1 c c (F z)(t) = q(s)z(s)ds = cq(s)ds = q(s)ds = q0 = z(t). q0 q0 q0 q0 a a a Vì thế, F z = z với z ∈ Ker D, tức là F là toàn ánh lên Ker D. Cho x ∈ X cố định tùy ý. Đặt z = F x. Khi đó z ∈ Ker D và F 2 x = F (F x) = F z = z = F X . Do x ∈ X tùy ý nên ta suy ra F là phép chiếu lên không gian các hằng số Ker D. Tất cả các giả thiết của Định lý 1.3 đều được thỏa mãn. Vậy F là toán tử ban đầu ứng với nghịch đảo phải R = R0 − F R0 với Rt (R0 x)(t) = x(s)ds. Từ đó, R có dạng (1.24). a 1 Rb Khi q(t) ≡ 1 thì với x ∈ X, (F x)(t) = x(s)ds và b−a a Zt Zb b−s (Rx)(t) = x(s)ds − x(s)ds với x ∈ X. b−a a a 15
Thật vậy, theo công thức tích phân từng phần ta tìm được Zt Zb h Zs 1 i (Rx)(t) = [(R0 − F R0 )x](t) = x(s)ds − x(u)du ds b−a a a a Zt Zs ib Zb 1 nh o = x(s)ds − s x(u)du − sx(s)ds b−a a a a a Zt Zb Zb 1 h i = x(s)ds − b x(s)ds − sx(s)ds b−a a a a Zt Zb b−s = x(s)ds − x(s)ds. b−a a a Ví dụ 1.5. Cho X = C[a, b] và d ∈ R cố định tùy ý. Toán tử F được định nghĩa như sau: (F x)(t) = dx(a) + (1 − d)x(b), với x ∈ X . Trong ví dụ 1.2 ta đã chỉ ra rằng các toán tử (Fa x)(t) = x(a) và (Fb x)(t) = x(b) là các toán tử ban đầu của toán tử D = d/dt. Do vậy, theo Định lý 1.5, ta suy ra F là một toán tử ban đầu của D = d/dt vì F = dFa + (1 − d)Fb và tổng các hệ số d, 1 - d bằng 1. Các toán tử ban đầu Fa và Fb tương ứng với các nghịch đảo phải Ra và Rb được xác định theo thứ tự như sau Zt Zt (Ra x)(t) = x(s)ds, (Rb x)(t) = x(s)ds, với x ∈ X. a b Vì thế, theo Định lý 1.5 toán tử F ứng với nghịch đảo phải của R = Rt Rt dRa + (1 − d)Rb , tức là (Rx)(t) = d x(s)ds + (1 − d) x(s)ds, với x ∈ X . a b Ví dụ 1.6. Cho X = C[0, 1] và d ∈ R cố định tùy ý. Toán tử F được định R1 nghĩa như sau: (F x)(t) = dx(0) + (1 − d) x(s)ds. Theo Định lý 1.5 và ví 0 dụ 1.4 (với a = 0, b = 1) ta có F là toán tử ban đầu của toán tử D = d/dt ứng với nghịch đảo phải R xác định bởi Zt h Zt Z1 i (Rx)(t) = d x(s)ds − (1 − d) x(s)ds − (1 − s)x(s)ds 0 0 0 16
Zt Z1 = x(s)ds + (d − 1) (1 − s)x(s)ds. 0 0 1.2.3 Công thức Taylor Định lý 1.6 (Công thức Taylor-Gontcharov). Giả sử rằng D ∈ R(X) và FD = {Fγ }γ∈Γ là họ các toán tử ban đầu cảm sinh bởi RD = {Rγ }γ∈Γ . Cho {γn } ⊂ Γ là dãy tùy ý các chỉ số. Khi đó, với mỗi số nguyên dương N ta có đẳng thức sau N X −1 I = Fγ0 + Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk + Rγ0 . . . RγN −1 DN trên dom DN . (1.25) k=1 Chứng minh. (Bằng phương pháp quy nạp). Với N = 1 thì công thức (1.25) ta có I = Fγ0 + Rγ0 D trên miền xác định của D. Giả sử đẳng thức (1.25) đúng với mỗi N > 1 cố định. Khi đó theo giả thiết quy nạp ta có Rγ0 . . . RγN DN +1 = Rγ0 . . . RγN −1 (RγN D)DN = Rγ0 . . . RγN −1 (I − FγN )DN = Rγ0 . . . RγN −1 DN − Rγ0 . . . RγN −1 FγN DN = · · · = N X −1 = I − Fγ0 − Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk − Rγ0 . . . RγN −1 Fγn DN k=1 XN = I − Fγ0 − Rγ0 . . . Rγk−1 Fγk Dk k=1 trên miền xác định của DN +1 . Nếu cho RγN = R và FγN = F với n = 0, 1, 2 . . . ta có ngay hệ quả sau Hệ quả 1.1. (Công thức Taylor). Nếu D ∈ R(X) và F là một toán tử ban đầu của D ứng với nghịch đảo phải R ∈ RD thì N X −1 I= Rk F Dk + RN DN trên dom DN (N = 1, 2, . . . ). (1.26) k=0 17