Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn, tác giả nghiên cứu độ võng của tấm composite hình chữ nhật có độn các hạt hình cầu tựa bản lề tại các cạnh khi chịu ảnh hưởng của quá trình truyền nhiệt dừng và không dừng. Tác giả đã thu được biểu thức nghiệm giải tích uốn tấm khi có truyền nhiệt dừng và không dừng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt

Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt Nghiêm Thị Thu Hà 20/11/2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC Nghiêm Thị Thu Hà Tính toán tấm composite cốt hạt có tính đến sự truyền nhiệt LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngành: Cơ học vật thể rắn Người hướng dẫn: PGS. TSKH Nguyễn Đình Đức Hà Nội - 2011
Lời cảm ơn Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất tới PGS. TSKH Nguyễn Đình Đức. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn em kể từ khi em làm khóa luận tốt nghiệp đại học (2008) liên tục cho đến khi em hoàn thành luận văn này (2011). Em cũng vô cùng cám ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường ĐH Khoa học Tự nhiên - ĐH Quốc gia Hà Nội đã tận tình dạy bảo, tạo điều kiện giúp đỡ chúng em trong suốt những năm học qua. Nhân đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới gia đình cùng bạn bè đã động viên, khích lệ em những năm học qua. Em xin chân thành cảm ơn! Cuối cùng, em xin chúc thầy cô lời chúc sức khỏe, công tác tốt. Chúc các bạn mạnh khỏe, thành công trong cuộc sống. Hà Nội, tháng 11 năm 2011 Học viên Nghiêm Thị Thu Hà
Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời mở đầu 4 Chương 1. Các hệ thức cơ bản 6 1.1. Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5. Điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng 19 2.1. Modun đàn hồi và hệ số dãn nở nhiệt của composite cốt hạt . . . . . . 19 2.2. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng . . . . . . . . . . 21 2.3.1. Mặt giữa không biến dạng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 3. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng 30 3.1. Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng . . . . . . . 30 3.1.1. Sự phân bố nhiệt độ trong tấm . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2. Biểu thức nghiệm xác định uốn tấm . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Tính toán số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Kết luận chung 43 Những kết quả nghiên cứu của luận văn đã được công bố 45 Tài liệu tham khảo 46 Phụ lục 48 Phụ lục 1: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt dừng 48 Phụ lục 2: Độ võng của tấm khi có truyền nhiệt dừng 50 Phụ lục 3: Giải phương trình siêu việt bằng phương pháp chia đôi 54 Phụ lục 4: Sự phân bố nhiệt độ khi có truyền nhiệt không dừng 55 Phụ lục 5: Độ uốn của tấm tại t = 1200s 58 Phụ lục 6: Độ uốn của tấm tại điểm giữa 61 3
Lời mở đầu Vật liệu composite là vật liệu được chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu thành phần khác nhau, nhằm tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những vật liệu thành phần ban đầu, khi những vật liệu này làm việc riêng rẽ. Vì vậy, nó có nhiều tính năng ưu việt nổi trội như nhẹ, bền, đáp ứng được những đòi hỏi khắt khe của kĩ thuật và công nghệ hiện đại.... Và nhờ những ưu điểm nổi bật đó mà chúng ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp hiện đại như ngành chế tạo máy, hàng không, vũ trụ, tên lửa, xây dựng, ô tô, chế tạo tàu thuyền,... và trong đời sống. Ví dụ tấm composite được ứng dụng trong làm bảng biển, pano trong ngành quảng cáo, trang trí nội thất, ngoại thất trong các công trình xây dựng, ốp mặt nền nhà, làm trần nhà, mái vòm, hay ốp nội thất cho ô tô, tàu thuyền,.... Trong những năm gần đây, ứng xử của tấm dưới tác dụng của tải nhiệt được nhiều tác giả nghiên cứu. Shariyat M. [14] đã nghiên cứu giải tích uốn nhiệt của tấm nhiều lớp composite hình chữ nhật có tính chất của vật liệu biến đổi với nhiệt độ dưới sự tăng nhiệt độ đều nhưng sử dụng lý thuyết tấm lớp lớn, xác định được nhiệt độ uốn, từ đó nghiên cứu ảnh hưởng của các tham số tính chất hình học và cơ học của tấm composite vào nhiệt độ uốn. Shiau, Kuo và Chen [15] đã sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn nghiên cứu chi tiết ứng xử uốn nhiệt của tấm composite nhiều lớp. Wu Lanhe [10] dựa trên lý thuyết biến dạng trượt cấp một suy ra phương trình cân bằng và ổn định của tấm dày vừa phải hình chữ nhật tựa bản lề được làm từ FGM dưới ảnh hưởng của hai loại tải nhiệt là sự tăng nhiệt đều và gradient nhiệt thông qua bề dày của tấm, suy ra nhiệt độ uốn, thảo luận ảnh hưởng của tỉ số hướng, sự dày tương đối và chỉ số gradient và trượt ngang vào nhiệt độ uốn. Trong [11, 13], các tác giả trình bày giải tích uốn nhiệt của tấm chức năng hình chữ nhật nhưng trong [11], các tác giả nghiên cứu tấm dưới tác dụng của nhiệt riêng trong mặt phẳng và sự tăng nhiệt đều thông qua bề dày của tấm, đánh giá ảnh hưởng của tính không đồng nhất vật liệu, tỉ
số hướng và khoảng nhiệt vào nhiệt độ uốn tới hạn, còn trong [13], với lý thuyết tấm cổ điển suy ra các phương trình cân bằng, ổn định, tương thích của tấm FGM không hoàn hảo dưới tác dụng của ba loại tải nhiệt như sự tăng nhiệt đều, sự tăng nhiệt phi tuyến thông qua bề dày của tấm, và sự tăng nhiệt dọc trục, thu được các nghiệm hoàn toàn cho sự biến đổi nhiệt độ uốn tới hạn. Trong luận văn, tác giả nghiên cứu độ võng của tấm composite hình chữ nhật có độn các hạt hình cầu tựa bản lề tại các cạnh khi chịu ảnh hưởng của quá trình truyền nhiệt dừng và không dừng. Tác giả đã thu được biểu thức nghiệm giải tích uốn tấm khi có truyền nhiệt dừng và không dừng. Trên cơ sở nghiệm giải tích tìm được, tác giả tính toán số để nghiên cứu ứng xử uốn của tấm được làm từ vật liệu composite nền PVC cốt hạt Titan, qua đó làm rõ vai trò các hạt. Hiện nay, Vật liệu composite polyme độn các hạt Titan được ứng dụng rộng rãi ở Việt Nam cũng như trên thế giới. Ở Việt Nam, composite polyme hạt Titan được ứng dụng rộng rãi trong công nghiệp đóng tàu, trong ống dẫn dầu khí, hóa chất và gần đây là các chíp sinh học cũng như sử dụng trong các vật liệu phát quang OLED. Các hạt Titan có vai trò cải thiện đáng kể tính năng cơ lý của vật liệu. Lưu ý là bài toán truyền nhiệt không dừng cho các ống kỹ thuật bằng composite độn các hạt Titan đã được nghiên cứu trong [3]. Luận văn gồm: Chương 1: Các hệ thức cơ bản. Chương 2: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt dừng. Chương 3: Uốn tấm composite mỏng khi có truyền nhiệt không dừng. Kết luận chung. Mặc dù đã rất cố gắng trình bày vấn đề một cách mạch lạc và cô đọng nhưng chắc chắn luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tác giả mong nhận được sự nhận xét, đánh giá và góp ý của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện. 5
Chương 1 Các hệ thức cơ bản 1.1. Phương trình truyền nhiệt Tính truyền nhiệt trong môi trường đàn hồi đẳng hướng tuân theo định luật truyền nhiệt Fourier [1]: c j = −kT, j (1.1) trong đó, c j ( j = 1, 2, 3) là các thành phần của vectơ dòng nhiệt, k là hệ số truyền nhiệt của môi trường, nó phải dương để bảo toàn tốc độ sản entropi dương. Quá trình nhiệt đàn hồi là quá trình thuận nghịch, nên phương trình năng lượng có dạng: 1 du = σi j d εi j + dq, (1.2) ρ và định luật thứ hai nhiệt động lực học có dạng dq = T ds, (1.3) ở đây tốc độ dòng nhiệt trên một đơn vị khối lượng môi trường bằng dq 1 = − c j, j . (1.4) dt ρ Kết hợp (1.2) và (1.3), ta thu được: 1 du = σi j d εi j + T ds, (1.5) ρ Đưa vào hàm năng lượng tự do Helmholz f (εi j , T ) xác định bởi hệ thức f = u −sT với sự biến đổi trạng thái vô cùng nhỏ của môi trường, d f là vi phân toàn phần: d f = du − sdT − T ds, (1.6)
Thay (1.5) vào (1.6) ta có: 1 df = σi j d εi j − sdT, (1.7) ρ mặt khác: ∂f ∂f df = + dT (1.8) ∂ εi j ∂ T So sánh hai hệ thức của d f , suy ra ∂f ∂f σi j = ρ , s=− ∂ εi j ∂T Gọi F = ρ f , S = ρ s là hàm năng lượng tự do và entropi trên một đơn vị thể tích, các hệ thức tên có thể viết dưới dạng ∂F ∂F σi j = , S=− . (1.9) ∂ εi j ∂T Định luật cơ bản của nhiệt đàn hồi tuyến tính có dạng [1]: 1+ν ν εij = σij − σkk δij + α ∆T δij , (1.10) E E trong đó, ∆T = T − T0 , (1.11) với T0 là nhiệt độ tuyệt đối của tấm ở trạng thái tự nhiên. từ đây, ta biểu thị ngược lại ứng suất qua biến dạng: σij = λ εkk δij + 2µεij − (3λ + 2µ ) α ∆T δij . (1.12) Từ hệ thức đầu của (1.9) và (1.12) ta tính biểu thức của hàm năng lượng tự do λ F= (εkk )2 + µεij εij − (3λ + 2µ ) α ∆T εkk + F0 , 2 F0 chỉ là hàm của T . Thay F vào hệ thức thứ hai của (1.9) ta tính entropi dF0 S = (3λ + 2µ ) αεkk − . (1.13) dT Đặt i = j = k trong (1.10) ta được σkk εkk = + 3α ∆T , (3λ + 2µ ) 7
rồi đem thay vào (1.13), kết quả nhận được biểu thức khác của entropi dF0 S = ασkk + 3 (3λ + 2µ ) α 2 ∆T − . (1.14) dT Nhờ biểu thức (1.12) và (1.13) của entropi có thể tính tỉ nhiệt Cv khi biến dạng không đổi và tỉ nhiệt Cp khi ứng suất không đổi. Kết hợp (1.3) và (1.4) ta được 1 ds − c j, j = T , ρ dt mặt khác ds ∂ s d εi j ∂ s dT = + , dt ∂ εi j dt ∂ T dt suy ra ∂ S d εi j ∂ S dT −c j, j = T + (1.15) ∂ εi j dt ∂ T dt từ đây suy ra khi biến dạng không đổi d εi j = 0 thì T ∂∂St xác định tỉ nhiệt Cv . Vậy, ∂ S (εi j , T ) d 2 F0 Cv = T = −T ∂T dT 2 và tương tự ∂ S (σi j , T ) d 2 F0 Cp = T = 3 (3λ + 2µ ) α 2 T − T . ∂T dT 2 Xem rằng Cv ,Cp , α cũng như λ , µ là hằng số của vật liệu không phụ thuộc nhiệt dộ, từ hệ thức của Cv tìm được biểu thức của F0 ZT ZT Cv F0 = dT dT T T0 T0 Đặt kết quả này vào (1.13) ta nhận được biểu thức của entropi T S = (3λ + 2µ ) αεkk +Cv ln . (1.16) T0 Dùng các biểu thức của c j theo (1.1) và của S, ta đưa phương trình (1.15) về dạng ∂T ∂ εkk kT, j j = Cv + (3λ + 2µ ) α T. ∂t ∂t 8
hay ∂T ∂ εkk k∇2 T = Cv + (3λ + 2µ ) α T. (1.17) ∂t ∂t Phương trình (1.17) được gọi là phương trình truyền nhiệt và là phương trình cơ bản tham gia trong bài toán biên của lý thuyết đàn hồi nhiệt. ∂ εkk Nếu trong phương trình (1.17), ta bỏ qua số hạng ∂t , thì khi đó phương trình có dạng ∂T k∇2 T = Cv . ∂t Phương trình trên có thể thu được nhờ điều kiện cân bằng nhiệt. Lượng nhiệt hấp thụ trên đơn vị thể tích của vật thể trong một đơn vị thời gian là bằng Cρ ∂∂Tt trong đó C là nhiệt dung riêng của vật liệu, ρ là mật độ khối. Mặt khác, lượng nhiệt mất trên một đơn vị thể tích vật thể trong một đơn vị thời gian là div c, trong đó c là vectơ dòng nhiệt. Giả thiết nguồn nhiệt trong vật thể sinh ra nhiệt c0 trên một đơn vị thể tích và đơn vị thời gian, và tính đến phương trình (1.1), điều kiện cân bằng nhiệt cung cấp phương trình truyền nhiệt ∂T div(k gradT ) + c0 = Cρ (1.18) ∂t Khi hệ số dẫn nhiệt k là hằng số, (1.18) dẫn tới c0 1 ∂T ∇2 T + = (1.19) k a1 ∂ t trong đó, a1 = k/ (Cρ ) là độ khuếch tán nhiệt. Nếu không có nguồn nhiệt (c0 = 0), phương trình (1.19) trở thành 1 ∂T ∇2 T = (1.20) a1 ∂ t Nghiệm của (1.20) xác định trường nhiệt độ không dừng. Với trường nhiệt độ dừng, phương trình (1.20) đưa về phương trình Laplace ∇2 T = 0 , (1.21) Để nghiệm của phương trình (1.19) là duy nhất, các điều kiện biên và đầu cần được đưa vào. Các điều kiện biên thường được kết hợp với sự trao đổi nhiệt phức trên 9
bề mặt của vật thể nơi cả ba loại truyền nhiệt (dẫn nhiệt, đối lưu, bức xạ) có thể xảy ra đồng thời. Trong lý thuyết dẫn nhiệt ta sử dụng các điều kiện biên sau [9, 19]: 1. Nhiệt độ bề mặt xác định T (xk ,t) = f (xk ,t) , (1.22) trong đó xk là một điểm trên bề mặt của vật thể và f (xk ,t) là hàm đã cho. Ví dụ: Hình 1.1, điều kiện biên là T (0,t) = 1500C , T (L,t) = 700C . 2. Dòng nhiệt qua mặt vật thể xác định ∂ T (xk ,t) c (xk ,t) = −k , (1.23) ∂n trong đó n là pháp tuyến ngoài từ bề mặt ngoài của vật thể tại điểm xk . Ví dụ: Như hình 1.2, với tấm có bề dày L, dòng nhiệt đều là 50K/m2 từ hai phía của tấm, khi đó ta có ∂ T (0,t) ∂ T (L,t) − = 50 , −k = 50 ∂x ∂x Trong trường hợp cụ thể c = 0, ta có điều kiện biên đoạn nhiệt cho vật thể mà được cách ly trao đổi nhiệt bên ngoài ∂ T (xk ,t) = 0, (1.24) ∂n Ví dụ: Hình 1.3, điều kiện biên sẽ là ∂ T (0,t) = 0 , T (L,t) = 600C ∂x 10
3. Nhiệt độ môi trường xác định ϑ và luật trao đổi nhiệt đối lưu giữa bề mặt và môi trường xung quanh ∂ T (xk ,t) −k = β [T (xk ,t) − ϑ ] (1.25) ∂n trong đó β là hệ số truyền nhiệt bề mặt (hay độ dẫn biên). Hệ số truyền nhiệt bề mặt β phụ thuộc vào các đặc trưng nhiệt dộ và vật lý của bề mặt và môi trường xung quanh. Ví dụ: Hình 1.4 1.2. Liên hệ ứng suất - chuyển vị Giả thiết Kirchhoff [1, 16]: 1. Pháp tuyến với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ trở thành pháp tuyến của mặt giữa sau khi biến dạng (giả thiết về pháp tuyến thẳng). 2. Ứng suất pháp theo hướng trực giao với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng suất khác, nên có thể bỏ qua. Ta gọi bản hay tấm mỏng là một vật thể có chiều cao h nhỏ so với các kích thước của mặt đáy. Mặt phẳng song song với mặt đáy và chia đôi bề dày h của bản gọi là mặt 11
giữa. Chọn hệ trục tọa độ như sau: trục Ox, Oy nằm trong mặt giữa, còn trục z thẳng góc với mặt giữa. Đối với tấm mỏng, ta có trạng thái ứng suất phẳng suy rộng nên σzz = 0 tại mọi nơi còn σxz = σyz = 0 tại z = ±h 2 và các thành phần khác theo (1.12) ta có: σxx = λ (εxx + εyy + εzz ) + 2µεxx − (3λ + 2µ ) α ∆T σyy = λ (εxx + εyy + εzz ) + 2µεyy − (3λ + 2µ ) α ∆T σzz = λ (εxx + εyy + εzz ) + 2µεzz − (3λ + 2µ ) α ∆T σxy = 2µεxy Vì σzz = 0 nên ta có λ (εxx + εyy + εzz ) + 2µεzz − (3λ + 2µ ) α ∆T = 0 suy ra: λ λ 3λ + 2 µ εzz = − εxx − εyy + α ∆T λ + 2µ λ + 2µ λ + 2µ thay vào các hệ thức của σxx , σyy ta được: 4 µ (λ + µ ) 2µλ 2µ (3λ + 2µ ) σxx = εxx + εyy − α ∆T, λ + 2µ λ + 2µ λ + 2µ 4µ (λ + µ ) 2µλ 2µ (3λ + 2µ ) (1.26) σyy = εyy + εxx − α ∆T, λ + 2µ λ + 2µ λ + 2µ σxy = 2µεxy . 12
Eν với µ = E 2(1+ν ) , λ= (1+ν )(1−2ν ) , (1.26) có thể viết lại như sau: E σxx = (εxx + νεyy − (1 + ν ) α ∆T ) , 1 − ν2 E σyy = (εyy + νεxx − (1 + ν ) α ∆T ) , (1.27) 1 − ν2 E σxy = εxy . 1+ν Theo công thức Cauchy, tính biến dạng của tấm [8, 9]: ∂u ∂ 2w εxx = −z 2 , ∂x ∂x ∂v ∂ 2w εyy = −z 2 , (1.28) ∂y ∂y 1 ∂u ∂v ∂ 2w εxy = + −z . 2 ∂y ∂x ∂ x∂ y trong đó, u, v, w các chuyển vị của các điểm tại mặt giữa theo trục x, y, z tương ứng. Thay (1.28) vào (1.27), ta được liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị: ∂u ∂v ∂ w ∂ 2w 2 E σxx = +ν −z + ν 2 − (1 + ν ) α ∆T , 1 − ν2 ∂ x ∂y ∂ x2 ∂y ∂v ∂u ∂ w ∂ 2w 2 E σyy = +ν −z + ν 2 − (1 + ν ) α ∆T , (1.29) 1 − ν2 ∂ y ∂x ∂ y2 ∂x ∂u ∂v ∂ 2w E σxy = + − 2z . 2 (1 + ν ) ∂ y ∂ x ∂ x∂ y 1.3. Lực dãn, lực tiếp, mômen uốn và mômen xoắn Ta có Zh/2 Zh/2 Zh/2 Nx = σxx dz, Ny = σyy dz, Nxy = σxy dz (1.30) −h/2 −h/2 −h/2 Thay (1.29) vào (1.30), tích phân, ta được biểu thức xác định các lực ∂u ∂v Eh NT Nx = + ν − , 1 − ν2 ∂ x ∂y 1−ν ∂v ∂u Eh NT Ny = + ν − , (1.31) 1 − ν2 ∂ y ∂x 1−ν ∂u ∂v Eh Nxy = + . 2 (1 + ν ) ∂ y ∂ x 13
Các lực Nx , Ny biểu thị lực dãn, còn Nxy = Nyx biểu thị lực tiếp trên một đơn vị dài. Tương tự, thay (1.29) vào các biểu thức sau Zh/2 Zh/2 Zh/2 Mx = σxx zdz, My = σyy zdz, Mxy = σxy zdz (1.32) −h/2 −h/2 −h/2 rồi thực hiện tích phân, ta được các biểu thức xác định mômen ∂ w ∂ 2w 2 MT Mx = −D + ν − , ∂ x2 ∂ y2 1−ν ∂ w ∂ 2w 2 MT My = −D +ν 2 − , (1.33) ∂y 2 ∂x 1−ν ∂ 2w Mxy = −D (1 − ν ) . ∂ x∂ y trong đó, Zh/2 Zh/2 Eh3 NT = α E ∆T dz , MT = α E z∆T dz , D = . (1.34) 12 (1 − ν 2 ) −h/2 −h/2 Các mômen Mx , My gọi là mômen uốn, còn Mxy = −Myx là mômen xoắn trên một đơn vị dài. D gọi là độ cứng trụ khi uốn. 1.4. Phương trình cơ bản xác định uốn tấm Ta thiết lập phương trình cân bằng của phân tố tấm dưới tác dụng của lực cắt ngoài q (x, y) và các lực trong [1, 7]. Tổng hình chiếu các lực lên trục x: ∂ Nx ∂ Nxy Nx + dx dy − Nx dy + Nxy + dy dx − Nxy dx = 0 , ∂x ∂y suy ra ∂ Nx ∂ Nxy + = 0. (1.35) ∂x ∂y tương tự theo trục y ta có ∂ Nxy ∂ Ny + = 0. (1.36) ∂x ∂y 14
Phương trình các mômen theo đường nằm trong mặt phẳng bên phía trái và song song với trục y: ∂ Mx ∂ Mxy Mx + dx dy − Mx dy + Mxy + dy dx− ∂x ∂y dx ∂ Qy ∂ Qx dx − Mxy dx − qdxdy − dydx − Qx + dx dxdy = 0 2 ∂y 2 ∂x Bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được ∂ Mx ∂ Mxy + − Qx = 0 . (1.37) ∂x ∂y Tương tự, theo chiều song song với trục x ∂ Mxy ∂ My + − Qy = 0 . (1.38) ∂x ∂y Khi chiếu các lực lên trục z ta cần chú ý đến độ võng của tấm. Xét uốn bản trong mặt phẳng xz, hình chiếu của lực Nx lên trục z có giá trị khác không; với chú ý sin α ≈ ∂w tg α = ∂x , cosα ≈ 1, thành phần lực này lên trục z bằng ∂w ∂ Nx ∂ w ∂ 2w −Nx dy + Nx + dx + dx dy ∂x ∂x ∂ x ∂ x2 bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao dẫn đến ∂ 2w ∂ Nx ∂ w Nx 2 dxdy + dxdy . ∂x ∂x ∂x Lập luận tương tự, ta nhận được hình chiếu của lực Ny ∂ 2w ∂ Ny ∂ w Ny dxdy + dxdy . ∂ y2 ∂y ∂y 15
và của lực tiếp Nxy = Nyx ∂ 2w ∂ Nxy ∂ w ∂ Nxy ∂ w 2Nxy dxdy + + dxdy . ∂ x∂ y ∂x ∂y ∂y ∂x Lực cắt trên mặt trực giao với trục x chiếu lên trục z với chú ý về góc như trên sẽ bằng ∂ Qx ∂ Qx −Qx dy + Qx + dx dy = dxdy . ∂x ∂x Tương tự, lực cắt Qy chiếu lên trục z sẽ là ∂ Qy dxdy ∂x và lực cắt ngoài qdxdy . Vậy, tổng các lực chiếu lên trục z ∂ 2 w ∂ Nx ∂ w ∂ 2 w ∂ Ny ∂ w ∂ 2w Nx + + Ny + + 2Nxy + ∂ x2 ∂x ∂x ∂ y2 ∂y ∂y ∂ x∂ y ∂ Nxy ∂ w ∂ Nxy ∂ w ∂ Qx ∂ Qy + + + + +q = 0, ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y hay ∂ Qx ∂ Qy ∂ Nx ∂ Nxy ∂ w ∂ Ny ∂ Nxy ∂ w + + + + + + ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w +Nx 2 + Ny 2 + 2Nxy +q = 0, (1.39) ∂x ∂y ∂ x∂ y Với chú ý (1.35) và (1.36), khi đó (1.39) trở thành ∂ Qx ∂ Qy ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w + + Nx 2 + Ny 2 + 2Nxy +q = 0, (1.40) ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ x∂ y Rút Qx , Qy từ (1.37) và (1.38) và thay vào (1.40) dẫn đến phương trình sau: ∂ 2 Mx ∂ 2 Mxy ∂ 2 My ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w + + + Nx 2 + 2Nxy + Ny 2 + q = 0 . (1.41) ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ y2 ∂x ∂ x∂ y ∂y Phương trình (1.41) chính là phương trình cơ bản để nghiên cứu bài toán cân bằng bản và ổn định của tấm. Trong trường hợp không có cắt ngoài q, phương trình (1.41) có dạng ∂ 2 Mx ∂ 2 Mxy ∂ 2 My ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w + 2 + + Nx + 2Nxy + Ny =0. (1.42) ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ y2 ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ y2 16
Thế (1.33) vào (1.42), ta được ∂2 ∂ w ∂ 2w ∂ 4w 2 MT −D +ν 2 − − 2D (1 − ν ) 2 2 + ∂ x2 ∂ x2 ∂y 1−ν ∂x ∂y ∂2 ∂ w ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 MT + 2 −D + ν − + N x + 2N xy + Ny =0. ∂y ∂ y2 ∂ x2 1−ν ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ y2 hay ∂ 4w ∂ 4w ∂ 4w ∂ MT ∂ 2 MT 2 1 D +2 2 2 + 4 + + − ∂ x4 ∂x ∂y ∂y 1−ν ∂ x2 ∂ y2 ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w −Nx − 2Nxy − Ny = 0. (1.43) ∂ x2 ∂ x∂ y ∂ y2 phương trình (1.43) có thể viết lại như sau: 1 ∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w D∇ ∇ w + 2 2 ∇ MT − Nx 2 − 2Nxy 2 − Ny 2 = 0 . (1.44) 1−ν ∂x ∂ x∂ y ∂y trong đó ∇2 là toán tử Laplace ∂2 ∂2 ∇2 = + . ∂ x2 ∂ y2 1.5. Điều kiện biên Xét một số trường hợp đơn giản về điều kiện biên thường gặp trong các bài toán đối với tấm hình chữ nhật 1. Biên tựa bản lề: (Hình 1.8) chẳng hạn cạnh y = 0 tựa tự do, khi đó điều kiện biên là (w)y=0 = 0 , (1.45) (My )y=0 = 0 . hay (w)y=0 = 0 , ∂ 2w ∂ 2w MT −D +ν 2 − =0 ∂ y2 ∂x 1 − ν y=0 (1.46) 17
Hệ thức (1.45) có thể viết lại như sau ∂ 2w MT −D 2 − =0 (1.47) ∂y 1 − ν y=0 2. Biên bị ngàm: (Hình 1.9) ví dụ cạnh y = 0 bị ngàm, thì điều kiện biên sẽ là ∂w (w)y=0 = 0 , = 0. (1.48) ∂ y y=0 3. Biên tự do: giả sử cạnh y = 0 tự do. Theo Poisson, điều kiện biên sẽ là (My )y=0 = 0 , (Mxy )y=0 = 0 , (Qy )y=0 = 0 . (1.49) Nhưng theo Kirchhoff, tại cạnh đó điều kiện biên sẽ là ∂ Mxy (My )y=0 = 0 , Qy + = 0. ∂x y=0 (1.50) Thay (1.33) vào (1.37) và (1.38), ta được biểu thức xác định lực cắt như sau ∂ w ∂ 3w 1 ∂ MT 3 Qx = −D + − , ∂x 3 ∂ x∂ y 2 1−ν ∂x (1.51) ∂ 3w ∂ 3w 1 ∂ MT Qy = −D + − . ∂ y3 ∂ x2 ∂ y 1−ν ∂y (1.52) Khi đó,(1.50) trở thành ∂ 2w ∂ 2w MT −D +ν 2 − = 0, ∂ y2 ∂x 1 − ν y=0 (1.53) ∂ w ∂ 3w 1 ∂ MT 3 −D + (2 − ν ) 2 − = 0. ∂ y3 ∂x ∂y 1 − ν ∂ y y=0 18