Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:72

Thêm vào BST

Báo xấu

81
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ để dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấp dẫn vũ trụ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ KIM THOA 1 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THỊ KIM THOA 2 TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN VỚI HẰNG SỐ HẤP DẪN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã số : 60. 44. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo PGS. TS Phan Hồng Liên, người thầy đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Vật lý đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ em có thêm kiến thức mới, những hiểu biết sâu sắc hơn về lĩnh vực Vật lý, đó là nền tảng tốt cho em về sau. Xin chân thành cảm ơn phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tổ chức đào tạo và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng vì điều kiện thời gian, kiến thức, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, Em kính mong sự chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và các bạn. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2012 Học viên Phạm Thị Kim Thoa 3
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU............................................................................................................3 Chương 1:..........................................................................................................6 BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN 1.1. Metric Minkowski và Bất biến Lozentz.....................................................10 1.1.1. Metric Minkowski........................................................................10 1.1.2. Bất biến Lorentz...........................................................................12 1.2. Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann............................................14 1.2.1. Tensor............................................................................................15 1.2.2. Metric Riemann không – thời gian cong.......................................19 1.3. Tensor độ cong............................................................................................25 1.4. Trường hấp dẫn.........................................................................................28 1.5. Phương trình Einstein và tác dụng bất biến...............................................29 Chương 2.........................................................................................................38 NGUYÊN LÝ ĐỐI NGẪU HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT VÀ CÁC TRƯỜNG VÔ HƯỚNG HẤP DẪN 2.1. Hình thức luận Tetrad ................................................................................38 2.1.1. Tetrad............................................................................................38 2.1.2. Mối liên hệ giữa Metric và Tetrad...............................................40 2.1.3. Nguyên lý bất biến......................................................................42 4
2.1.4. Biểu thức của Tetrad...................................................................43 2.2. Tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát............................................................45 2.3. Các phương trình của trường vô hướng hấp dẫn......................................48 Chương 3:........................................................................................................51 VỀ HẰNG SỐ HẤP DẪN VŨ TRỤ Λ 3.1. Về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ....................................................................51 3.2. Các quan sát bằng chứng cho sự gia tốc Vũ trụ........................................57 KẾT LUẬN ......................................................................................................62 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….63 5
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tương tác cơ bản hay lực cơ bản là các loại lực của tự nhiên mà tất cả mọi lực, khi xét chi tiết, đều quy về các loại lực này. Mô hình vật lý hiện đại cho thấy có bốn loại tương tác cơ bản trong tự nhiên: tương tác hấp dẫn, tương tác điện từ, tương tác mạnh và tương tác yếu. Cuối thập niên 1960, người ta đã thống nhất được tương tác điện từ và tương tác yếu trong mô hình Glashow Weinberg Salam (lý thuyết điện yếu). Về sau, mô hình này kết hợp thêm với tương tác mạnh, ta có mô hình chuẩn (Standard model) [5]. Tương tác hấp dẫn hiện vẫn đang bị nằm ngoài sự thống nhất này. Tương tác hấp dẫn là sự hút lẫn nhau giữa bất kì hai vật thể vật lí nào, do liên quan với khối lượng của chúng gây ra. Tương tác hấp dẫn được thực hiện qua một thực thể trung gian là trường hấp dẫn lan truyền (sóng hấp dẫn) với vận tốc hữu hạn. Trong trường hấp dẫn yếu, các vật thể chuyển động chậm so với vận tốc ánh sáng (c) thì định luật vạn vật hấp dẫn của Newton có hiệu lực. Với các trường hấp dẫn mạnh và vật thể có vận tốc gần bằng c thì phải sử dụng Thuyết tương đối tổng quát của A. Einstein. Tương tác hấp dẫn là tương tác yếu nhất trong tất cả các tương tác giữa các hạt cơ bản, nhưng lại là nguyên nhân chi phối chuyển động của các thiên thể. Trên Trái Đất, tương tác hấp dẫn là nguyên nhân tạo nên trọng lượng của các vật, giữ cho các vật không rời khỏi mặt đất. Trong cơ học cổ điển, lực hấp dẫn xuất hiện như một ngoại lực tác động lên vật thể. Trong thuyết tương đối rộng lực hấp dẫn là bản chất của không – thời gian bị uốn cong bởi sự hiện diện của khối lượng, và không phải là một ngoại lực. Trong thuyết hấp dẫn lượng tử, hạt graviton được cho là hạt truyền tương tác của lực hấp dẫn. Nếu như Isaac Newton là người tìm ra Định luật vạn vật hấp dẫn vũ trụ nổi tiếng thế kỷ thứ XVII thì đầu thế kỷ thứ XX, Albert Einstein đã phát minh ra Thuyết tương đối hẹp (1905) và mở rộng thành Thuyết tương đối tổng quát (1916) đặt nền móng cho Lý thuyết hấp dẫn lượng tử. Cho đến nay Hấp dẫn 6
lượng tử và sự thống nhất bốn loại tương tác vẫn là một vấn đề lớn của Vật lý học thế kỷ 21. Einstein đã xây dựng Lý thuyết tương đối tổng quát (còn được gọi là Lý thuyết tương đối rộng) là một lý thuyết về trường hấp dẫn. Theo lý thuyết tương đối rộng, các vật hút nhau được là do sự uốn cong của không – thời gian và vật chất là yếu tố quyết định sự cong này. Nó có thể được coi là phần bổ sung và mở rộng của lý thuyết hấp dẫn của Newton ở tầm vĩ mô và với vận tốc lớn. Hình ảnh hai chiều về sự biến dạng của không – thời gian. Lý thuyết tương đối rộng của Einstein đã có rất nhiều đóng góp cho Vật lý, giải thích được chuyển động của điểm cận nhật sao Thủy, tiên đoán được sự lệch tia sáng khi đi gần Mặt Trời. Sau đó ông còn sử dụng lý thuyết này để mô tả mô hình cấu trúc của toàn thể vũ trụ khi cho xuất hiện thêm hằng số vũ trụ Λ vào phương trình trường của mình. Mặc dù những nghiên cứu ngay sau đó đã bác bỏ hằng số này và chính bản thân Einstein cũng bác bỏ nó nhưng những nghiên cứu trong vài thập niên nay lại thấy cần thiết nhắc lại hằng số này. Xuất phát từ những vấn đề đề cập ở trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “ Trường vô hướng hấp dẫn với hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ ” là một vấn đề hay và thời sự nên muốn tìm hiểu, nghiên cứu. 2. Mục tiêu đề tài và phương pháp nghiên cứu Mục tiêu Nghiên cứu phương trình trường của Einstein khi có mặt hằng số vũ trụ Λ để dự đoán về sự tồn tại của một trường vô hướng mà khối lượng liên quan 7
đến hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ được nói ở trên, đồng thời bước đầu tìm hiểu về hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ theo quan điểm của Vũ trụ học ngày nay. Phương pháp nghiên cứu Luận văn được nghiên cứu dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối rộng của Albert Einstein xây dựng cùng với nền tảng toán học cho nó là hình học Riemann trong khôngthời gian 4 chiều Minkowski. Từ hình thức luận Tetrad xét trường vô hướng hấp dẫn liên quan đến hằng số hấp dẫn vũ trụ Λ . 3. Cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, Tài liệu tham khảo, cấu trúc của luận văn gồm 3 chương: Chương I. Giới thiệu tổng quan về lý thuyết tương đối tổng quát của Einstein và tương tác hấp dẫn. Chương II. Nghiên cứu về hình thức luận tetrad, tính đối ngẫu hiệp biến tổng quát, trên cơ sở đó xây dựng các phương trình cho trường vô hướng hấp dẫn. Chương III. Trình bày khái quát về hằng số hấp dẫn vũ trụ liên quan tới những giải thích của Vũ trụ học về giãn nở vũ trụ. 8
CHƯƠNG 1 BẤT BIẾN TƯƠNG ĐỐI RỘNG VÀ TƯƠNG TÁC HẤP DẪN Khi đề cập đến những khoảng cách lớn, vận tốc lớn thì những định luật mà ta đã biết trong cơ học cổ điển không còn áp dụng được nữa. Nói cụ thể hơn, quan hệ giữa không gian, thời gian, vật chất, vận động trở nên khác đi, không còn đơn giản như trước đây. Cơ học cổ điển được mở rộng ra để áp dụng cho phạm vi mới: đó là môn Cơ học tương đối tính, tức là môn cơ học có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối. Cha đẻ của lý thuyết này là nhà bác học người Đức Albert Einstein [7]. Thuyết tương đối đặc biệt (hẹp) dựa trên hai nguyên lý cơ bản mà Einstein nêu ra (1905), trên cơ sở kết quả thực nghiệm của Mikenson về sự không phụ thuộc vào hệ quy chiếu quán tính của vận tốc ánh sáng trong chân không và các thí nghiệm khác trong thiên văn trước đó, là như sau: 1. Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu quán tính (nguyên lí tương đối). Nói cách khác, các phương trình mô tả các định luật vật lí bất biến đối với phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác (hệ quy chiếu không gia tốc). Tổng quát hơn nguyên lí Galilei trong cơ học cổ điển, ở đây không những chỉ các định luật cơ học, mà cả các định luật vật lí đều bất biến trong các hệ quy chiếu quán tính. 2. Vận tốc ánh sáng (vận tốc truyền tương tác) trong chân không đều bằng nhau đối với mọi hệ quy chiếu quán tính, giá trị của nó bằng c = 2,99793.108 m / s 3.108 m / s. 9
Cũng cần nói rõ thêm là ánh sáng với góc độ hạt là các photon không khối lượng, các photon này luôn luôn chuyển động với vận tốc tối đa c, không phụ thuộc vào người quan sát. Nói rộng hơn, các hạt có khối lượng m=0 đều chuyển động với vận tốc c. Còn những hạt có khối lượng m 0 sẽ chuyển động với vận tốc V luôn luôn nhỏ hơn c, dù có thể rất gần với c. Phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác chính là phép biến đổi Lorentz [1]. Thuyết tương đối hẹp đã loại bỏ khỏi khoa học các khái niệm không gian tuyệt đối, thời gian tuyệt đối, và ête đứng yên trong không gian tuyệt đối. Nó đã mở rộng nguyên lí tương đối Galilei (các quy luật cơ bản của cơ học đều diễn ra như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính khác nhau) thành nguyên lí tương đối Einstein (Các quy luật vật lí học cơ bản đều diễn ra như nhau trong hệ quy chiếu quán tính). Einstein là người tin tưởng mãnh liệt vào tính quy luật và tính thống nhất của thiên nhiên. Ông đã nêu lên rằng trong thiên nhiên không có cái gì là tùy tiện, thiên nhiên tuân theo một số không nhiều các quy luật rất tổng quát và rất đơn giản, lí tưởng cao nhất của khoa học là xuất phát từ những quy luật bộ phận có vẻ như rời rạc, lẻ tẻ, phải tìm ra những quy luật tổng quát nhất đó. Với tư tưởng đó, ngay sau khi xây dựng được những luận điểm cơ bản của thuyết tương đối hẹp, ông đã tiếp tục suy nghĩ tìm cách mở rộng lí thuyết của mình, cụ thể là mở rộng nguyên lí tương đối thêm một mức nữa và áp dụng nó cho các hệ quy chiếu không quán tính. Einstein tiếp tục nghiên cứu phát triển những ý tưởng trên, và xây dựng một lí thuyết mới mà ông gọi là thuyết tương đối rộng (thuyết tương đối tổng quát). µ1µ2 Dựa trên hai định luật: định luật vạn vật hấp dẫn của Newton F = , r2 với µ là khối lượng hấp dẫn và định luật Newton thư hai F = mω , với m là khối lượng quán tính – một quy luật thiên nhiên cơ bản được xác lập bằng thực 10
nghiệm là đối với mọi vật tỉ lệ giữa khối lượng hấp dẫn µ và khối lượng quán µ tính m là như nhau: là một hằng số nào đấy. Người ta mở rộng tính chất cơ m bản của trường hấp dẫn: tất cả các vật, không phụ thuộc vào khối lượng của chúng, chuyển động trong trường hấp dẫn đều giống nhau (với các điều kiện ban đầu cho trước). Sự đồng nhất của khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính, cũng như tính chất nêu trên dẫn đến một hệ quả sâu sắc đã được Einstein lấy làm cơ sở của lý thuyết tương đối rộng. Đó là nguyên lý tương đương: Nguyên lý. Các tính chất của chuyển động trong hệ quy chiếu không quán tính cũng giống như trong hệ quán tính với sự có mặt của trọng trường. Nói một cách khác, hệ quy chiếu không quán tính tương đương với một trọng trường (trường hấp dẫn) nào đó. Điều này có nghĩa là thiết lập được sự tương tự giữa chuyển động của các vật trong trọng trường với chuyển động của các vật không đặt trong một ngoại trường nào, nhưng được khảo sát dưới quan điểm của hệ quy chiếu không quán tính. Chú ý rằng các trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính không hoàn toàn đồng nhất với các trường hấp dẫn “thực”, tồn tại ngay cả trong hệ quán tính. Trường tương đương với hệ quy chiếu không quán tính sẽ biến mất khi ta chuyển về hệ quán tính [1]. Mối quan hệ giữa vật chất với không thời gian là nội dung cơ bản của thuyết tương đối tổng quát, mà Einstein hoàn thành vào năm 1915. Ở đây ông đã sử dụng rộng rãi những khái niệm cơ bản và công cụ toán học của hình học Riemann. Trong trường hấp dẫn bất kì (biến thiên theo tọa độ và thời gian), thì trong một miền không gian dV và một khoảng thời gian dt vô cùng nhỏ, bao giờ ta cũng có thể chọn được một hệ tọa độ H 0 tương đương với một hệ quán tính 11
ở nơi không có trường hấp dẫn. Đối với hệ H 0 đó thì khoảng cách giữa hai điểm lân cận trong không gian 4 chiều được xác định bởi: dS 2 = dx12 + dx22 + dx32 + dx42 Đối với mọi hệ tọa độ H khác thì dS được xác định bởi một hệ thức phức tạp hơn: 4 dS =2 g ik dxi dxk i ,k =1 Mặc dù biểu thức của dS là khác nhau trong các hệ tọa độ khác nhau, nhưng bản thân dS có giá trị không đổi, không phụ thuộc cách chọn hệ tọa độ, và là một bất biến với mỗi điểm của không gian 4 chiều. Trong tất cả các hệ H (trừ hệ H 0 ), các hiện tượng vật lí diễn ra không giống nhau như trong các hệ quán tính. Theo cơ học Newton, đó là do tác dụng của trường hấp dẫn. Theo thuyết tương đối rộng, đó là do không gian 4 chiều bị cong đi. Tensor G gọi là tensor metric, xác định độ cong của không gian 4 chiều tại từng điểm của nó. Ở miền có trường hấp dẫn lớn thì không gian bị cong nhiều. Ở miền không có trường hấp dẫn thì không gian là phẳng. Ở miền có trường hấp dẫn yếu thì không gian được coi gần đúng là phẳng. Trường hấp dẫn là yếu khi nó làm cho các vật rơi tự do với vận tốc v
rộng lí thuyết trường hấp dẫn của Newton, có kể đến các hiệu ứng của thuyết tương đối [8]. 1.1. Metric Minkowski và Bất biến Lozentz Một trong những phát minh quan trọng nhất của Vật lí học vào khoảng đầu thế kỉ 20 là tính chất sóng và hạt của ánh sáng, thể hiện trong luận thuyết của Planck đưa ra năm 1900 về lượng tử ánh sáng. Đó chính là tiền đề cho một nguyên lý cơ bản của Cơ lượng tử tính đối ngẫu của vật chất do De Broglie đề xướng năm 1924 nhằm tổng quát hóa ý tưởng của Planck, khẳng định rằng mọi vật thể vi mô đều tự thể hiện đồng thời với hai tính chất tương phản nhau là sóng và hạt. Ánh sáng là sóng điện từ đồng thời cũng là dòng hạt photon. Ta nói rằng hạt photon tương ứng với trường điện từ và các lượng tử của trường điện từ chính là các hạt photon. Một cách tổng quát, bất kì một hạt vi mô nào cũng tương ứng với một trường và các lượng tử của trường này chính là các hạt đó. Mỗi trường đều được mô tả bằng một hàm ϕ ( x) phụ thuộc vào tọa độ không thời gian x gọi là hàm trường, nói chung hàm trường có thể là hàm phức 13
nhiều thành phần, do đó để tổng quát hóa ta viết ϕi ( x), i = 1, 2,..., n (n là số thành phần). Một trong những nguyên lý cơ bản nhất của lý thuyết trường nói riêng và của Vật lý học hiện đại nói chung là nguyên lý bất biến tương đối tính, khẳng định rằng mọi hệ quy chiếu diễn ra như nhau, cũng có nghĩa là các phương trình vật lý đều có dạng như nhau, trong hệ quy chiếu không thời gian liên hệ với nhau bởi phép biến đổi Lorentz. 1.1.1. Metric Minkowski Minkowski đã đưa ra ý tưởng thống nhất không gian ba chiều thông thường và thời gian thành không thời gian 4 chiều. Trong đó thời gian được xem là chiều thứ tư. Kí hiệu xµ là các tọa độ của vector 4 chiều không thời gian x: xµ { x0 ; x1; x2 ; x3} trong đó: x0= ct là tọa độ thời gian (c là vận tốc ánh sáng, t là thời gian) x1; x2; x3 là các tọa độ không gian µ = 0,1,2,3 là các chỉ số Lorentz r Đôi khi ta còn viết: x = { x0 , x} trong đó x là vector không gian 3 chiều r thông thường. Để thuận tiện người ta thường dùng hệ đơn vị trong đó c=1 và hằng số Planck h = 1 , khi đó x0 t. Tích vô hướng của hai vector x và y được định nghĩa là: xy = η µν xµ yν (1.1.1) với η µν là tensor metric với các thành phần 14
η 00 = 1,η 11 = η 22 = η 33 = −1 (1.1.2) η µν = 0, µ ν đôi khi còn viết: η µν = diag (1, −1, −1, −1) Ở đây, cũng như về sau ta quy ước rằng khi trong biểu thức có các chỉ số lặp lại hai lần thì lấy tổng theo các chỉ số đó. Như vậy (1.1.1) phải hiểu là: 3 rr xy = η µν xµ yν = x0 y0 − x. y µ ,ν =1 Tensor metric liên hệ vector (hoặc tensor nói chung) có các chỉ số dưới với các vector có các chỉ số trên theo quy tắc: Aµ = η µν Aν (1.1.3) Bên cạnh tensor η µν ta còn dùng tensor η µν để viết ra công thức ngược của (1.1.3): Aµ = η µν Aν (1.1.4) Viết tường minh là: A0 = A0 , Ai = − Ai , i = 1,2,3 (ta thường dùng các chỉ số Hy Lạp µ ,ν ... cho 0, 1, 2, 3 và các chỉ số Latinh cho 1, 2, 3). Với (1.1.4) ta viết lại (1.1.1) thành: xy = η µν xµ yν = η µν .xµ .ηνµ . y µ = xµ y µ = x µ y µ từ đây ta suy rằng: η µν = η µν ;η µνηνρ = δ ρµ (1.1.5) µ trong đó δ ρ là kí hiệu Dirac thông thường 15
1, µ = ρ δ ρµ = 0, µ ρ 1.1.2. Bất biến Lorentz Một số phép biến đổi Lorentz cơ bản: Phép biến đổi Lorentz đồng nhất: xµ x 'µ = Λνµ xν (1.1.6) trong đó: xµ { x0 ; x1; x2 ; x3} là các tọa độ của vector 4 chiều không thời gian. Λνµ là các hệ số thực và để tích vô hướng của hai vector bất kì không thay đổi: x’y’=xy (1.1.7) Các phép biến đổi này gọi là phép biến đổi Lorentz đồng nhất. Dễ dàng ν thấy rằng các hệ số Λ µ thỏa mãn hệ thức: η µν Λ µρ .Λνσ = η ρσ (1.1.8) Nếu kí hiệu: Λ là ma trận 4x4 có phần tử hàng µ , cột ν là Λ µ ν 1 0 0 0� � � 0 − 1 0 0 � η là ma trận có các phần tử η :η = � µν � 0 0 −1 0 � � � � 0 0 0 −1� � Ta có thể viết lại (1.1.8) dưới dạng phương trình ma trận như sau: Λ ΤηΛ = η ( Λ Τ là ma trận chuyển vị của Λ ) (1.1.9) Nhân hai vế của (1.1.9) với η , ta được: ηΛ ΤηΛ = η 2 = I 16
với I là ma trận đơn vị cấp 4 và từ đó suy ra: ηΛ Τη = Λ −1 η σρ Λνρη µν = (Λ −1 )σµ Dùng hệ thức này kết hợp với quy luật biến đổi của xµ ta suy ra quy luật biến đổi của x µ như sau: x 'µ = η µλ x 'λ = η µλ Λνλ xν = η µλ Λνληνρ x ρ = (Λ −1 ) µρ x ρ (1.1.10) x 'µ = (Λ −1 ) µρ x ρ −1 µ Từ (1.1.7) và (1.1.10) ta thấy các hệ số (Λ ) ρ phải thỏa mãn các điều kiện tương tự (1.1.10): η µν (Λ −1 ) µρ ( Λ −1 )νσ = η ρσ (1.1.11) Từ đó ta thấy rằng: det Λ = 1 Tập hợp các phép biến đổi Lorentz đồng nhất có det Λ = +1 thường được kí hiệu bởi L+, có det Λ = −1 kí hiệu bởi L Bên cạnh các phép biến đổi Lorentz đồng nhất (1.1.6) ta còn xét các phép biến đổi không đồng nhất dạng: x 'µ = Λνµ xν + aµ (1.1.12) trong đó thông số aµ có thể nhận mọi giá trị thực tùy ý và được gọi là vector tịnh tiến. Các phép biến đổi Lorentz không đồng nhất còn được gọi là phép biến đổi Poincare’. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det Λ = 1 thường được kí hiệu bởi P+. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ (1.1.12) với det Λ = −1 thường được kí hiệu bởi P. Tập hợp các phép biến đổi Poincare’ không chứa 17
phép đảo tọa độ được gọi là phép biến đổi Poincare’ riêng và được kí hiệu bởi P+ . Như đã biết, khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều là đại lượng bất biến đối với phép biến đổi Galilei. Còn trong không thời gian 4 chiều, khoảng cách S giữa điểm M được xác định bởi 4 vector x và điểm N được xác định bởi 4 vector y là đại lượng được định nghĩa như sau: S 2 = ( x − y ) = η µν ( xµ − yµ )( xν − yν ) (1.1.13) 2 Ta thấy S 2 là bất biến đối với phép biến đổi (1.1.12). Nếu M và N là hai điểm vô cùng gần nhau thì (1.1.13) trở thành: dS 2 = η µν dxµ dxν hay dS 2 = η µν dx µ dxν (1.1.14) Với dS 2 gọi là khoảng cực vi giữa hai điểm trong không thời gian phẳng Minkowski. Chú ý, các phép biến đổi (1.1.12) không làm biến đổi đại lượng ( x − y ) 2 nhưng làm biến đổi đại lượng x2. 1.2. Bất biến tương đối rộng và Metric Riemann Nguyên lý bất biến tương đối tổng quát khẳng định rằng mọi quá trình vật lý đều diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và do đó các phương trình vật lý tương ứng phải bất biến với phép biến đổi tổng quát: xµ x 'µ = f µ ( x ) (1.2.1) Phép biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp của (1.2.1) xµ x 'µ = Λνµ xν + a µ khi f µ ( x) = Λνµ xν + a µ , 18
trong đó Λνµ là thông số biến đổi Lorentz, a µ là thông số tịnh tiến hay vectơ tịnh tiến. Để xây dựng các đại lượng vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến trên, ta đưa vào khái niệm tensor. Đây là khái niệm quan trọng giúp ta tìm được Lagrangian bất biến và do đó xây dựng được các lý thuyết vật lý thỏa mãn nguyên lý bất biến. 1.2.1. Tensor Dựa vào phép biến đổi (1.2.1) tensor được định nghĩa như sau: Tensor phản biến (Contravariant) cấp n là tập hợp các thành phần 1 2 ... n T ( x) biến đổi theo quy luật: x 'µ1 x 'µ2 x 'µn ν1ν 2 ...ν n T' µ1µ2 ... µn ( x ') = ν1 ν2 ... ν n T ( x) (1.2.2) x x x Tensor hiệp biến (Covariant) cấp n là tập hợp các thành phần Tµ1µ2 ...µn ( x) biến đổi theo qui luật: xν1 xν 2 xν n T ' µ1µ2 ... µn ( x ') = µ1 µ2 ... ' µn Tν1ν 2 ...ν n ( x) (1.2.3) x' x' x Một cách tổng quát, tensor hỗn hợp phản biến cấp m và hiệp biến cấp n µ µ ... µm (còn gọi là Mixed (m, n) tensor) là tập hợp các thành phần Tν1ν12 ...2ν n ( x) biến đổi theo qui luật: x 'µ1 x 'µ2 x ' µ m x σ 1 xσ 2 xσ n λ1λ2 ...λm T 'νµ11νµ2 2......ν nµm ( x ') = ... ... Tσ1σ 2 ...σ n ( x) x λ1 x λ2 x λm x 'ν1 x 'ν 2 x 'ν n (1.2.4) 19
� x λ1 x λ2 x λm x 'ν1 x 'ν 2 x 'ν n � Nhân 2 vế của (1.2.4) với � µ1 . µ2 ... µm . σ1 . σ 2 ... σ n � �x ' x' x' x x x � ta suy ra công thức biến đổi ngược: x λ1 x λ2 x λm x 'ν1 x 'ν 2 x 'ν n µ1µ2 ...µm λ1λ2 ...λm ... ... T 'ν ν ν ( x ') = Tσ 1σ 2 ...σ n ( x) x 'µ1 x 'µ2 x 'µm xσ1 xσ 2 xσ n 1 2 ... n λ1λ2 ...λm x λ1 x λ2 x λm x 'ν1 x 'ν 2 x 'ν n µ1µ2 ...µm hay T σ 1σ 2 ...σ n ( x) = µ1 ... µm σ1 σ 2 ... σ n T 'ν1ν 2 ...ν n ( x ') (1.2.5) x ' x 'µ2 x' x x x Công thức (1.2.5) cũng có thể được suy ra từ tính bình đẳng giữa x và x’. Ta có nhận xét: µ µ ... µ s µ1µ 2 ... µ p Nếu Tν ν1 ...2 ν ( x ) và Sν ν ( x ) là tensor hỗn hợp cấp (s,r) và (p,q) 1 2 r 1 2 ...ν q thì: µ µ ...µ Fν1ν122...ν rs++qp ( x) Tνµ1ν12µ...2 ν...rµs ( x).Sν rs++1ν1 r +s +22...ν r +s +p p ( x) µ µ ... µ (1.2.6) là tensor hỗn hợp cấp (s+p, r+q). Chứng minh: Ta có x 'α1 x 'α s xν1 xν r µ1µ2 ...µs T 'αβ11αβ22 ......αβ rs ( x ') = ... . ... Tν ν ...ν ( x) x µ1 x µs x 'β1 x 'β r 1 2 r α ν α s +1α s + 2 ...α s + p x 'α s +1 x ' s + p xν r +1 x r + q µs +1µs + 2 ... µs + p S' β r +1β r + 2 ...β r + p ( x ') = µs +1 ... µs + p . βr +1 ... βr + q Sν r +1ν r + 2 ...ν r + p ( x) x x x' x' Nên 20