Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

BEC với tính chất của siêu lỏng, tức là giống nhƣ một chất lỏng lƣợng tử. Vì thế những tính chất tĩnh là sức căng bề mặt, hiện tƣợng chuyển pha ƣớt,... có vai trò quan trọng trong công nghệ. Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu lực căng mặt ngoài của ngưng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc trên cơ sở lý thuyết về hệ BEC.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THANH LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 ====== NGUYỄN THỊ HỒNG THANH LỰC CĂNG MẶT NGOÀI CỦA NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN MỘT THÀNH PHẦN TRONG THỐNG KÊ CHÍNH TẮC Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết và Vật lí toán Mã số: 8 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên cho tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ đã định hƣớng và hƣớng dẫn giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin cảm ơn phòng Sau đại học, và thầy cô giáo khoa Vật lý trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong thời gian nghiên cứu, học tập và làm luận văn. Lời cuối cho tôi cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ, khích lệ và tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thanh
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn Thạc sĩ: “Lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose – Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc” dƣới sự hƣớng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Văn Thụ, hoàn thành bởi sự nhận thức của tôi và không trùng khớp các luận văn khác. Hà Nội, ngày 15 tháng 06 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Hồng Thanh
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chƣơng 1. Tổng quan nghiên cứu ngƣng tụ Bose - Einstein. ........................... 3 1.1. Hệ các hạt đồng nhất. ................................................................................. 3 1.2. Thống kê Bose - Einstein. .......................................................................... 3 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose - Einstein. ................................ 10 1.4. Thực nghiệm nghiên cứu ngƣng tụ Bose – Einstein. ............................... 12 1.4.1. Ngƣng tụ Bose - Einstein và chip nguyên tử. ....................................... 12 1.4.2. Các nhà vật lý Mỹ tạo ra vật chất đi ngƣợc lại Định luật II Newton, tiến lại gần ta khi ta đẩy nó ra xa. ................................................................... 14 KẾT LUẬN CHƢƠNG 1................................................................................ 17 Chƣơng 2. Trạng thái cơ bản của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc. ................................................................................. 18 2.1. Các hệ thống kê. ....................................................................................... 18 2.1.1. Hệ vi chính tắc. ..................................................................................... 18 Nếu thông số ngoại không đổi, hệ không trao đổi năng lƣợng với vật bên ngoài hay hệ đoạn nhiệt. Nhƣ vậy hiển nhiên, ................................................ 18 2.1.2. Hệ chính tắc........................................................................................... 20 2.1.3. Hệ chính tắc lớn. ................................................................................... 25 2.2. Phƣơng trình Gross - Pitaevskii không phụ thuộc thời gian. ................... 27 2.3. Gần đúng parabol kép. ............................................................................. 29 2.4. Trạng thái cơ bản trong gần đúng parabol kép. ....................................... 32 KẾT LUẬN CHƢƠNG 2................................................................................ 34 Chƣơng 3. Lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc. ........................................................................ 35 3.1. Sức căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc. ................................................................................. 35
3.2. Lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc. ................................................................................. 38 KẾT LUẬN CHƢƠNG 3................................................................................ 41 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO. .............................................................................. 43
DANH MỤC HÌNH Hình 1.1. Biểu đồ vận tốc chuyển động của Rubidi khi làm lạnh xuống nhiệt độ thấp (nguồn: internet). ..................................................................................... 11 Hình 1.2. Bẫy từ giữ giọt BEC. ............................................................................ 13 Hình 1.3. Cấu tạo chip nguyên tử xem nhƣ máy giao thoa. ................................ 14 Hình 1.4. Vật chất Rubidi. ................................................................................... 15 Hình 2.1. Thế VGP và VDPA theo tham số  . ......................................................... 32 Hình 2.2. Hàm sóng tại trạng thái cơ bản theo  với   2,L  10. ................ 33 mg 2 N 03 Hình 3.2. Sức căng mặt ngoài theo tham số L với  0  2 3 . ...................... 38 A Hình 3.3. Đồ thị lực căng mặt ngoài theo tham số L. .......................................... 40
1 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài. Khi làm lạnh khí boson loãng đến nhiệt độ gần 0K tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein. Lúc đó, lƣợng lớn boson ở mức năng lƣợng không lúc boson trong trạng thái không vận tốc. Einstein đã dự đoán hiện tƣợng này năm 1925 theo quan điểm của Bose về phân bố lƣợng tử của photon. Từ kết quả đạt đƣợc, Einstein chứng minh hệ sẽ ngƣng tụ khi ở trạng thái lƣợng tử thấp nhất và tạo ra trạng thái mới khi làm lạnh boson xuống nhiệt độ khá thấp. Từ những nguyên tử lạnh ta đã tạo thành ngƣng tụ Bose – Einstein đầu tiên (BEC) năm 1995. Nhờ đó, ta tìm hiểu các hiệu ứng Vật lý không có trong những dạng vật chất khác. BEC với tính chất của siêu lỏng, tức là giống nhƣ một chất lỏng lƣợng tử. Vì thế những tính chất tĩnh là sức căng bề mặt, hiện tƣợng chuyển pha ƣớt,... có vai trò quan trọng trong công nghệ. Chúng phụ thuộc mạnh vào thống kê mà ta khảo sát hệ. Tức là phụ thuộc vào cách thức tạo thành hệ trong thực nghiệm. Với các lí do này chúng tôi chọn “Lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc” làm đề tài nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc trên cơ sở lý thuyết về hệ BEC. Nhiệm vụ nghiên cứu. Nghiên cứu lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc. Đối tƣợng nghiên cứu. Hệ BEC một thành phần trong thống kê chính tắc.
2 Nghiên cứu lực căng mặt ngoài của ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc. Phƣơng pháp nghiên cứu. Hình thức luận Gross-Pitaevskii. Gần đúng parabol kép. Đóng góp mới của đề tài. Nghiên cứu trạng thái ngƣng tụ Bose - Einstein một thành phần trong thống kê chính tắc có nhiều đóng góp quan trọng trong Vật lý thống kê, cơ học lƣợng tử, và Vật lý lý thuyết nói chung.
3 Chƣơng 1. Tổng quan nghiên cứu ngƣng tụ Bose - Einstein. 1.1. Hệ các hạt đồng nhất. Hệ hạt có spin, khối lƣợng, điện tích,… không thể phân biệt đƣợc gọi là hệ hạt đồng nhất. Bằng việc tìm tọa độ, xung lƣợng của từng hạt ta phân biệt đƣợc các hạt. Dựa vào tính không phân biệt các hạt đồng nhất theo trạng thái ta phát biểu nguyên lý đồng nhất “trong một tập hợp các hạt đồng nhất chỉ tồn tại các trạng thái không thay đổi khi hoán vị các hạt”. Hệ đồng nhất phân loại theo tính chất nội tại của mỗi hạt gồm: + Hệ fermion: bao gồm hạt fermi với spin bán nguyên (nhƣ nucleon, electron,...). Hệ fermion theo nguyên lý loại trừ Pauli “không bao giờ có hai (hay nhiều hơn hai hạt) fermi có cùng trạng thái lƣợng tử”. + Hệ boson: bao gồm mỗi hạt bose có spin nguyên ( K - meson,  - meson , photon,...). Hệ không tuân theo nguyên lý loại trừ Pauli. Do đó, hạt boson có thể cùng một trạng thái lƣợng tử. Vì hệ boson đi theo thống kê Bose - Einstein, do đó áp dụng nó ta tìm ra ngƣng tụ Bose - Einstein là tính chất điển hình của hạt boson. 1.2. Thống kê Bose - Einstein. Chúng ta bắt đầu bằng biểu thức [1],   Ek g Wk  k e  , (1.1) N! với độ suy biến g k . Hệ có những hạt không tác dụng với nhau thì:  Ek    l nl , (1.2) l 0 với nl chính là số hạt có cùng năng lƣợng  l của một hạt riêng lẻ.
4 Với xác suất khác nhau số hạt thuộc hệ sẽ biến đổi từ 0   . Cùng một giá trị Ek , ta đi tính số trạng thái khác nhau để tìm đƣợc g k . Chúng ta dùng phân bố chính tắc lớn thay thế phân bố chính tắc gk    W  n0 , n1,...  .exp  N     l nl    , (1.3) N!  l 0   với thế nhiệt động  , N   nl , thế hóa  . l 0 Vì khi hoán vị các hạt ta có xét tính không phân biệt và tính đồng nhất 1 các hạt nên số hạng xuất hiện trong công thức trên. N! Đặt: gk G  n0 , n1,...  , (1.4) N! ta có     n           l l W  n0 , n1,...  G  n0 , n1,... exp  l 0 . (1.5)        Theo (1.5) ta thấy: + Vì ta xem bên phải (1.5) phụ thuộc nl do đó, (1.5) coi là xác suất tìm n0 hạt ứng với  0 , nl hạt ứng với mức  l , gọi là xác suất chứa đầy. Tiếp đến, có số hạt trung bình ứng với mỗi mức năng lƣợng         l  nl    nl   ...G  n0 , n1,... nl .exp  l 0 . (1.6) n0 n1     
5 + Do có trạng thái mới khi tọa độ của hạt bị hoán vị nên xuất hiện G  n0 , n1,... trong công thức (1.5). Còn đối với hệ fermion và boson, vì trạng thái của hàm sóng không đổi lúc hoán vị nên không có trạng thái mới: 1 G  n0 , n1,...  . (1.7) n0 !n1 ! Tìm g k Vì mọi phép hoán vị khả dĩ tọa độ các hạt đều cùng  l nên tổng số trạng thái đƣợc tính bằng N ! chia cho n0 !n1 !... (là tổng hoán vị mỗi nhóm với cùng năng lƣợng). Ta có N! gk  , (1.8) n0 !n1 !... (1.8) lắp lại (1.4) thu (1.7). Ta gắn cho thế hóa học  trong (1.5) chỉ số l hay có cả tập hợp l và l   . Từ đó, ta viết lại  ...W  n0 , n1,...  e Z   1, (1.9) n0 n1 trong đó     nl     l     Z   ...G  n0 , n1,... exp  l 0 , (1.10) n0 n1        tức là    ln Z. (1.11) Do đó, đạo hàm của  theo l dựa vào công thức trên là
6         l nl     Z       ...G  n0 , n1,... exp  l 0  nk . l Z l n0 n1        (1.12) Đặt l   kết hợp (1.6) ta có  nl   . (1.13) l Vì G  n0 , n1,...  1 và trên các mức số hạt có giá trị bất kì từ 0 đến  nên theo (1.10) có: 1     ( n   l  l ) 1 Z   ...exp     l  l nl     e  n0 n1  l  0  l 0 n 0   (1.14)  1   . l 0  1     l    1  e  l Lúc này,  l  l       ln 1  e   . (1.15)  l 0   Từ (1.13) và (1.15) có 1 nl     l (1.16) 1  e  đây là biểu thức thống kê Bose - Einstein. Ta xác định  dựa vào:  N   nl . l 0 Theo (1.16) ta tính tổng số hạt trung bình với năng lƣợng thuộc     d của khí lí tƣởng là
7 dN    dn       (1.17) e  1 với dN   là số mức năng lƣợng thuộc     d . Tính dN   Ta có thể xem mỗi hạt boson ở thể tích V là sóng dừng De Broglie. Do đó, ta tính dN   theo biểu thức sau k2 dN  k   2 Vdk . (1.18) 2 Kết hợp với hệ thức De Broglie p  k, ta viết lại (1.18) V dN  p   p 2dp. (1.19) 2 2 3 Khi v c thì 1 2  p  p 2  2 m, p 2dp  2m3 d  . 2m Thay lại (1.19) có m3V dN      d . 2 3 2 Vì định hƣớng spin của các hạt là khác nhau nên cùng spin s, ta có số trạng thái khả dĩ g  1  2s. Từ đó, m3Vg dN      d . (1.20) 2 2 3 Từ (1.20) và (1.17) đƣợc:
8 m3Vg  d dn       . (1.21) 2 2 3 e  1 Tích phân (1.21) để tìm N   m3Vg  d N   dn        . (1.22) 2 2 3 0 0 e kT  1 Về nguyên tắc dựa vào phƣơng trình này ta tìm đƣợc  . Ta đi tìm hiểu về tính chất của  trong khí bose lí tƣởng. Trƣớc hết, ta có 
9    Vì 
10  mkT  2 Vg  3  m3Vg  d xdx N   0   2 3     N '. (1.27) 2   2 2 3 0 e 1 x 0 exp  1 kT  So sánh với (1.25) ta có 3 T 2 N   0   N '    N .  T0  Hay 3 T 2 N'    . (1.28)  T0  N Vì hệ N không đổi, ta thấy N '  N khi T  T0 , nhƣ vậy một phần hạt N ' trong tổng N phân bố theo các mức năng lƣợng nhƣ (1.17), nghĩa là 2m3Vg  N'  dn      d   d . (1.28) 2 2 3 e 1  3 2,310 e  1 2   N  N  hạt là phân bố khác đi, ví dụ chúng đều phân bố trên một pha là pha ' ngưng tụ. Do đó, khi T  T0 , đối với khí bose một phần hạt phân bố trên mức 1 năng lƣợng không, phần kia thì theo định luật  nằm ở các mức khác. e  1 Đây chính là sự ngưng tụ Bose . 1.3. Tình hình nghiên cứu về ngƣng tụ Bose - Einstein. Khi làm lạnh khí boson loãng đến nhiệt độ gần 0K ta tạo ra ngƣng tụ Bose – Einstein. Lúc đó, lƣợng lớn boson ở mức năng lƣợng không lúc boson trong trạng thái không vận tốc. Einstein đã dự đoán hiện tƣợng này năm 1925 theo quan điểm của Bose về phân bố lƣợng tử của photon.
11 Tính siêu dẫn ở nhiệt độ thấp của vật liệu và tính siêu lỏng của 4 He có thể giải thích trạng thái BEC đƣợc đề xuất bởi Fritz London năm 1938 [2]. Năm 1995, nhóm Carl Wieman cùng Eric Cornell làm việc tại Viện công nghệ tiêu chuẩn quốc gia Mĩ đã tạo ra ngƣng tụ đầu tiên, bằng cách làm lạnh khí Rubidi xuống 170nK [2]. Tại lúc đó, ngƣng tụ của Natri đƣợc tạo ra bởi Wolfgang Ketterle và tìm hiểu tính chất của hệ nhờ việc duy trì hệ 2000 nguyên tử ở thời gian nhất định. Do đó, Nobel Vật lý 2001 đã trao cho Ketterle, Wieman, Cornell. Hình 1.1. Biểu đồ vận tốc chuyển động của Rubidi khi làm lạnh xuống nhiệt độ thấp (nguồn: internet). Nhƣ ta đã trình bày ở trên, các hạt chia thành hai lớp cơ bản là fermion và boson. Dễ dàng thấy rằng, tính chất khí fermion khác boson lúc ở nhiệt độ thấp. Do chỉ có hạt fermi theo nguyên lí loại trừ Pauli nên hạt boson sẽ cùng năng lƣợng   0 nếu T  0 K , nên E  0 là trạng thái cơ bản. Ở điều kiện T  0 K , mỗi hạt fermion sẽ có E thuộc khoảng 0  fermi, lúc này tổng năng lƣợng là E  0 . Hệ boson (khí bose) hay hệ với spin là 0 hoặc bán nguyên dùng thống kê Bose – Einstein.
12 Xét về khía cạnh vĩ mô, ngƣng tụ Bose – Einstein gồ hạt với spin nguyên thuộc trạng thái cơ bản ở nhiệt độ thấp và mật độ cao. Lúc giảm nhiệt độ ở hố thế không có photon và triệt tiêu thế hóa nên bức xạ của vật đen không chuyển pha. Về lý thuyết, khi nghiên cứu trong quá trình nhiệt ta coi số photon là bảo toàn, tiếp đến muốn tạo ra ngƣng tụ ta dùng tán xạ photon – photon. Thời gian này, ngƣng tụ Bose – Einstein của photon đƣợc trình bày ở thí nghiệm tìm hiểu khí photon hai chiều nằm ở trạng thái lấp đầy của vi hốc. Khối lƣợng của các photon có ảnh hƣởng hay không và thế giam cầm đƣợc quyết định bởi dạng của các vi hốc. 1.4. Thực nghiệm nghiên cứu ngƣng tụ Bose – Einstein. 1.4.1. Ngưng tụ Bose - Einstein và chip nguyên tử. Vài chục năm trƣớc đây ít ai nghĩ rằng sẽ tạo thành ngƣng tụ BEC có nhiều hứa hẹn về ứng dụng vào công nghệ, khoa học. Vậy mà vào 2005, những bộ óc thông minh nhất mới tập trung tìm hiểu kỹ hơn về cách ứng dụng các công trình của ông, và nhận thấy rằng công nghệ làm chip nguyên tử có cơ sở chính là ngƣng tụ Bose – Einstein. Einstein đã phát triển phƣơng pháp thống kê không những với những hạt không có khối lƣợng (photon) mà còn với những hạt có tính thống kê nhƣ vậy nhƣng có khối lƣợng. Fermi và Dirac gọi các hạt có tính thống kê nhƣ electron là hạt Fermi ( fecmion) còn thống kê mà hai ông tìm đƣợc đối với loại hạt này gọi là thống kê Fermi-Dirac và thống kê với boson có tên là thống kê Bose - Einstein. Vậy có gì khác nhau giữa hai loại hạt và hai kiểu thống kê? Ta biết rằng hạt vi mô có một thuộc tính rất đặc biệt là spin. Với spin bán nguyên hạt Fermi có đặc điểm là khi gần nhau không bao giờ chịu ở cùng một trạng thái. Còn photon cũng nhƣ các hạt Bose khác có spin nguyên có thể
13 xích lại gần nhau trên cùng trạng thái không. Lúc này, các hạt bose ngƣng tụ lại tạo thành ngƣng tụ BEC. Xu hƣớng tạo chip nguyên tử Giọt BEC với các đặc điểm đặc biệt và mới. Ở tính chất sóng, chúng cùng pha và bƣớc sóng. Giống nhƣ laze tạo thành từ một chùm photon, giọt BEC cũng tạo thành từ một chùm nguyên tử khi giọt này chảy theo một đƣờng. Do đó, bằng nó ta làm đƣợc laze của nguyên tử. Những ứng dụng của giọt BEC trong kỹ thuật và công nghệ là rất lớn. Giọt BEC nhỏ xíu đƣợc dùng khi thí nghiệm cơ bản, nhƣng để tạo ra nó ta phải dùng các dụng cụ làm lạnh cùng từ trƣờng khá là lớn. Do đó, ta phải để giọt này chảy theo đƣờng dẫn li ti và chùm nguyên tử tạo ra hiệu ứng đƣợc đo một cách dễ dàng. Tạo ra giọt BEC nhƣ vậy thì ta mới ứng dụng rộng rãi chùm laze nguyên tử đƣợc. Ví dụ về các thành quả đạt đƣợc từ việc chế tạo chip nguyên tử. - Khi từ Hình 1.2. Bẫy từ giữ giọt BEC. trƣờng địa phƣơng song song với momen từ của các phân tử, ta sẽ sử dụng nó nhằm nhốt chúng lại. Lúc này, chúng sẽ di chuyển xung quanh một điểm nhất định. Cho I1 đi vào đƣờng dẫn điện tạo thành trên bề mặt nguyên tử thì nó tạo thành từ trƣờng. Ta làm ra vùng từ trƣờng có giá trị không bằng cách kết hợp từ trƣờng đều Bbias  I1 và từ trƣờng do I1 sinh ra. Giọt nguyên tử sẽ bị bẫy ở khu vực này. Nó sẽ có dạng là đoạn thẳng khi I 2  I1 . Các phân tử thuộc bẫy sẽ chuyển động điều hoà do từ trƣờng phụ Boffset . Bây giờ, chúng ta đã tạo đƣợc