Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere phức trong lớp F (f)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere phức trong lớp F (f)” làm đề tài nghiên cứu của mình, trong đó đã trình bày các kết quả gần đây của P. Ahag về giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F(f). Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere phức trong lớp F (f)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HOÀNG THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– HOÀNG THỊ HẢI YẾN BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN - 2016 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Hoàng Thị Hải Yến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo, bộ phận sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2016 Tác giả Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ...................................................................................................................i LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................................ii MỤC LỤC .............................................................................................................................iii MỞ ĐẦU ................................................................................................................................1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................2 3. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................................................2 4. Bố cục của luận văn ...........................................................................................................2 Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ...................................................................4 1.1. Hàm điều hòa dưới..........................................................................................................4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới.....................................................................................................5 1.3. Hàm cực trị tương đối .....................................................................................................7 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức .....................................................................................10 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor.........................................................................12 Chương 2: BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE -AMPÈRE PHỨC TRONG LỚP F ( f ) ...........................................................................................17 2.1. Dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep và F ................................ 17 2.2. Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp E( f ) ............................... 21 2.3. Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) ........27 KẾT LUẬN....................................................................................................... 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 41 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức được đặt như sau: Cho WÌ £ n là miền giả lồi chặt,  là độ đo Borel trên W. Hãy tìm lớp các hàm đa điều hòa dưới P (W) thích hợp trên đó toán tử Monge-Ampère phức (dd c .)n được xác định tốt sao cho với hàm h liên tục trên ¶ W, bài toán sau có nghiệm duy nhất: ìï u Î P (W), (dd c u )n = m; ï í (1.1) ïï lim u (z ) = h ( x), x Î ¶ W. ïî z ® x Bài toán Dirichlet đối với hàm đa điều hòa dưới đã được nghiên cứu đầu tiên bởi Brememann vào năm 1959. Sau đó, năm 1976, Bedford và Taylor đã giới thiệu toán tử Monge-Ampère phức và giải Bài toán Dirichlet (1.1) khi P (W) = PSH (W) Ç L¥loc (W) và độ đo  là liên tục tuyệt đối đối với độ đo Lebesgue. Từ đó một số tác giả như U.Cegrell, L.Persson và S.Kolodziej, Z.Blocki đã cố gắng giải bài toán bỏ qua tính liên tục của mật độ của m . Năm 1996, S.Kolodziej đã cho điều kiện đủ đối với tính giải được của bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trên lớp PSH (W) Ç L¥loc (W) . Đối với các độ đo kỳ dị, tính giải được của bài toán Dirichlet đã được giải quyết bởi L. Lempert, J.P.Demailly và P. Lelong. Năm 2004, U. Cegrell đã đưa ra định nghĩa tổng quát của toán tử Monge-Ampère, định nghĩa lớp năng lượng F và giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp đó. Theo híng nghiªn cøu trªn, chóng t«i chän ”Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere phức trong lớp F ( f ) ” làm đề tài nghiên cứu của mình, trong đó đã trình bày các kết quả gần đây của P. Ahag về giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
2 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) . 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh. + Trình bày kết quả nghiên cứu về giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong lớp F ( f ) . 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 41 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh và các hệ quả của nó. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu của chương, trình bày dáng điệu trên biên của hàm trong các lớp Ep , Định nghĩa toán tử Monge – Ampère trong lớp E( f ) và F . Trong mục 2.2 đã chỉ ra rằng có thể định nghĩa toán tử Monge-Ampère trên các lớp đó theo cách xấp xỉ. Mục 2.3 được dành để trình bày việc giải bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère trong lớp F ( f ) . Đặc biệt, trong [8], Cegrell giải bài toán Dirichlet đối với f = 0 . Phần Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
3 cuối cùng của chương này trình bày chứng minh nguyên lý so sánh, nhờ sử dụng phương pháp chứng minh của Định lý 2.3.3. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
4 Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm điều hòa dưới Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi a Î ¡ tập X a = {x Î X : u (x ) < a } là mở trong X . Hàm v : X ® (- ¥ , + ¥ ù û gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu ú - v là nửa liên tục trên X . Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau: Giả sử u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x Î X nếu " e > 0 tồn tại lân cận U x của x 0 trong X sao cho " e Î U x ta có: 0 0 u (x ) < u (x 0 ) + e nếu u (x 0 ) ¹ - ¥ 1 u (x ) < - nếu u (x 0 ) = - ¥ . e Giả sử E Ì X và u : E ® éëê- ¥ , + ¥ ) là hàm trên E . Giả sử x 0 Î E . Ta định nghĩa lim sup u (x ) = inf {sup{u(y ) : y Î V }} x ® x0 x Î E ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x 0 . Khi đó có thế thấy rằng hàm u : X ® éëê- ¥ , + ¥ ) là nửa liên tục trên tại x0 Î X nếu lim sup u(x ) £ u(x 0 ). Ta có kết quả sau. x ® x0 Định nghĩa 1.1.2. Giả sử W là tập mở trong £ . Hàm u : W® éêë- ¥ , + ¥ ) gọi là điều hòa dưới trên W nếu nó nửa liên tục trên trên W và thỏa mãn bất đẳng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
5 thức dưới trung bình trên W, nghĩa là với mọi w Î W tồn tại d > 0 sao cho với mọi 0 £ r £ d ta có 1 2p u ( w) £ 2p ò 0 u ( w + re it )dt . (1.2) Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên W là SH (W) . Mệnh đề 1.1.3. Giả sử u, v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trong £ . Khi đó: (i ) m ax(u , v ) là hàm điều hòa dưới trên W. (ii ) Tập các hàm điều hòa dưới trên W là một nón, nghĩa là nếu u, v Î SH (W) và a , b > 0 thì a u + b v cũng thuộc SH (W) . Định lý 1.1.4. Giả sử {u n } là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập mở W trên £ và u = lim u n . Khi đó u là hàm điều hòa dưới trên W. n® ¥ Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên W. Với mỗi a Î R, tập ¥ {z Î W: u(z ) < a } = U{z Î W: un (z ) < e}. n Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên W. Do mỗi u n thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lý hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên W. Do đó u là hàm điều hòa dưới trên W. 1.2. Hàm đa điều hoà dưới Định nghĩa 1.2.1. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® éêë- ¥ , ¥ ) là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
6 Kí hiệu PSH (W) là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới: Mệnh đề 1.2.2. Nếu u, v Î PSH (W) và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v. Mệnh đề 1.2.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và u Î PSH (W) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W, u(z ) < sup lim sup u(y ) . wÎ ¶ W y ® w yÎ W Định lý 1.2.4. Cho W là một tập con mở trong £ n . Khi đó i ) Họ PSH (W) là nón lồi, tức là nếu a , b là các số không âm và u , v Î PSH (W) , thì a u + b v Î PSH (W) . ii ) Nếu W là liên thông và {u } j jÎ ¥ Ì PSH (W) là dãy giảm, thì u = lim u j Î PSH (W) hoặc u º - ¥ . j® ¥ iii ) Nếu u : W® ¡ , và nếu {u j } Ì PSH (W) hội tụ đều tới u trên các tập jÎ ¥ con compact của W, thì u Î PSH (W) . iv ) Giả sử {u a }a Î A Ì PSH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị aÎ A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong W. Hệ quả 1.2.5. Cho W là một tập mở trong £ n và G là một tập con mở thực sự khác rỗng của W. Nếu u Î PSH (W) , v Î PSH (G ) , và lim v(x ) £ u (y ) với x® y mỗi y Î ¶ G Ç W, thì công thức ìï max {u, v } trong G w = ïí ïï u trong W\ G î xác định một hàm đa điều hoà dưới trong W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
7 Định lý 1.2.6. Cho W là một tập con mở của £ n . i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong W và v > 0 . Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi, thì v f (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. ii ) Cho u Î PSH (W) , v Î PSH (W) , và v > 0 trong W. Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần, thì v f (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. iii ) Cho u, - v Î PSH (W) , u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W. Nếu f : éêë0, ¥ )® é0, ¥ êë ) là lồi và f (0) = 0 , thì vf (u / v ) Î PSH (W) . Định lý 1.2.7. Cho W là một tập con mở của £n và F = {z Î W: v(z ) = - ¥ } là một tập con đóng của W ở đây v Î PSH (W) . Nếu u Î PSH (W\ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi ìï u (z ) (z Î W\ F ) ïï u (z ) = í lim sup u (y ) (z Î F ) ïï y ® z ïî y Ï F là đa điều hoà dưới trong W. 1.3. Hàm cực trị tương đối Định nghĩa 1.3.1. Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của W. Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là : { uE ,W(z ) = sup v(z ) : v Î PSH (W), v E £ - 1, v £ 0 } (z Î W). Hàm (u E ,W)* là đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. Mệnh đề 1.3.2. Nếu E 1 Ì E 2 Ì W1 Ì W2 thì u E ,W ³ u E , W1 ³ uE , W2 . 1 1 2 2 Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn WÌ £ n gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục r : W® (- ¥ , 0) sao cho với " c > 0 {z Î } W: r (z ) < - c Ð W. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
8 Mệnh đề 1.3.4. Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có lim uE ,W(z ) = 0 . z® w Chứng minh. Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào đó, M r < - 1 trên E . Như vậy M r £ u E ,W trong W. Rõ ràng, lim r (z ) = 0 z® w và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. Mệnh đề 1.3.5. Nếu WÌ £ n là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact sao cho u K* ,W = - 1 thì u K ,W là hàm liên tục. K Chứng minh. Lấy u = u E ,W và ký hiệu F Ì PSH (W) là họ các hàm u . Giả sử r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K. Khi đó r £ u trong W. Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C (W) Ç F . Sao cho u - e £ v £ u trong W. Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho u - e < r trong W\ Wh và K Ì Wh , trong đó Wh = {z Î W: dist (z , ¶ W) > h}. Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có thể tìm được s > 0 sao cho u * c d - e < r trên ¶ W và u * c d - e < - 1 trên K . Đặt ìï r trong W\ Wh v e = ïí ïï max {u * c d - e, r } trong Wh . î Khi đó v e  C( W) ∩ F và như vậy u - e £ max {u - e, r } £ v e £ u tại mỗi điểm trong W. Mệnh đề 1.3.6. Cho WÌ £ n là tập mở liên thông, và E Ì W. Khi đó các điều kiện sau tương đương : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
9 (i ) u E* ,W º 0 ; (ii ) Tồn tại hàm v Î PSH (W) âm sao cho E Ì {z Î W: v(z ) = - ¥ } Chứng minh. (ii ) Þ (i ) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii ) , thì ev £ u E ,W với mọi e > 0 , từ đó u E ,W = 0 hầu khắp nơi trong W. Như vậy u E* ,W º 0 . Bây giờ giả sử u E* ,W º 0 . Khi đó tồn tại a Î W sao cho u E ,W(a ) = 0 . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một v j Î PSH (W) sao cho v j < 0, v j < - 1 và v j (a ) > - 2- j . E Đặt ¥ v (z ) = å j=1 v j (z ), z Î W. Chú ý rằng v(a ) > - 1 , v âm trong W, và v = - ¥ . E Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận v Î PSH (W) . W Mệnh đề 1.3.7. Cho W là tập con mở liên thông của £ n . Giả sử E = UE j j , trong đó E j Ì W với j = 1, 2,... . Nếu u E* ,W º 0 với mỗi j , thì u E* ,W º 0 . j Chứng minh. Chọn v j Î PSH (W) sao cho v j < 0 và v j = - ¥ . Lấy điểm Ej a Î W\( Uv j - 1 j ) ({-¥ }) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) > - 2- j . Khi đó v= å j v j Î PSH (W) , v < 0 và v E = - ¥ . Suy ra u E* ,W º 0 . Mệnh đề 1.3.8. Cho W là tập con siêu lồi của £ n và K là một tập con compact của W. Giả thiết rằng {Wj } là một dãy tăng những tập con mở của W ¥ sao cho W= UW và Kj Ì W1 . Khi đó lim u K ,W (z ) = u K ,W(z ), z Î W. j® ¥ j j=1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
10 Chứng minh. Lấy điểm z 0 Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng K È {z 0 } Ì W1 . Giả sử r < 0 là một hàm vét cạn đối với W sao cho r < - 1 trên K . Lấy e Î (0,1) sao cho r (z 0 ) < - e . Khi đó tồn tại j 0 Î ¥ sao cho tập mở w = r - 1((- ¥ , - e)) là tập compact tương đối trong Wj . Lấy 0 u Î PSH (Wj ) sao cho u £ 0 trên Wj và u £ - 1 trên K . Khi đó 0 0 ìï max {u (z ) - e, r (z )}, zÎ w v(z ) = ïí ïï r (z ), z Î W\ w î xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v £ - 1 và v £ 0 . Như vậy K v(z 0 ) £ u K ,W(z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ u K ,W , nên ta có j0 u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) j0 Do đó ta có u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) £ u K ,W (z 0 ) với mọi j ³ j 0 và e j j nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Giả sử WÌ £ n và u Î PSH (W) . Nếu u Î C 2 (W) thì toán tử: é ¶ 2u ù (dd u ) := (14444444 c n dd u ) Ù42c Ù (dd u43) = 4 n !det êê ...4444444 c n ú ú dV , ê¶ z ¶ z ú n ë j k û1£ j ,k £ n với dV là yếu tố thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 (W) trên W ò j (dd u ) c n C 0(W) ' j a . W Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {um }m > 1 Ì PSH (W) Ç C ¥ sao cho u m ] u và {( dd c u m )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
11 lim ò j (dd cu m )n = ò j d m, " j Î C 0 (W) . m W W Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy { u m } như trên, ta ký hiệu: (dd cu )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère. Mệnh đề 1.4.1. Giả sử y Î C (¥p, p ) là ( p, p) - dạng lớp C ¥ trên tập mở WÌ £ n và T là (q, q) - dòng với p + q = n - 1 . Khi đó y Ù (dd cT )n - dd c y ÙT = d ( y Ù d cT - d c y ÙT ) . Mệnh đề 1.4.2. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ n hội tụ yếu tới độ đo Radon m . Khi đó a ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì m(E ) = lim mj (E ) . j® ¥ Chứng minh. a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact. Lấy j Î C 0 (G ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Ta có m(K ) = inf {m(V ) : V É K ,V Ì W ,V = V 0 }. Giả sử V là một lân cận mở của K và j Î C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
12 m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Mặt khác m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(E ) ³ lim sup mj (E ) Þ m(E ) = lim mj (E ) . W j® ¥ j® ¥ Mệnh đề 1.4.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) sao cho u, v £ 0 trên W và lim u(z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1) - dòng z® ¶W dương, đóng trên W. Khi đó ò vdd u ÙT £ ò udd v ÙT c c . W W Đặc biệt, nếu lim v(z ) = 0 thì ò vdd u ÙT = ò udd v ÙT . c c z® ¶W W W 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor Định lý 1.5.1. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó z® ¶W ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . (1.3) {u < v } {u < v } Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , nghĩa là với mọi z® ¶W e > 0 tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn nữa khi thay u bởi u + d, d> 0 , thì {u + d < v } Z {u < v } khi d ] 0 . Nếu bất đẳng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
13 thức (1.2) đúng trên {u + d < v} thì cho d ] 0 suy ra (1.2) đúng trên {u < v } . Vì vậy có thể giả sử lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy z® ¶W {u < v } Ð W. a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v} là tập mở, u, v liên tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max{u + e, v } . Từ giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay z® ¶W u (z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶ W. Vậy u e = u (z ) + e gần biên ¶ W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta có ò (dd u ) ò (dd u ) c n c n e = , hay W¢ W¢ ò (dd cu e )n = ò (dd cu )n . {u < v } {u < v } Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv )n . Vậy ta có ò (dd cv )n £ lim inf e® 0 ò (dd cu e )n = ò (dd cu )n . {u < v } {u < v } {u < v } b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2} Ð w Ð W. Tồn tại hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm liên tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v = j trên F = W\ G . Ta có ò (dd cv )n = lim j® ¥ ò (dd cv )n . {u < v } {u j < v } Nhưng {u j < v} Ì {u j < j } È G và vì {u j < j } là tập mở nên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
14 ò (dd cv )n £ ò (dd cv )n + ò (dd v ) £ lim ò (dd cvk )n + e , c n k® ¥ {u j < v } {u j < j } G {u j < v } vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . Từ {u j < j } Ì {u j < v } È G và {u j < v } Ì {u j < vk } suy ra ò (dd cvk )n £ ò (dd cvk )n + ò (dd v ) £ ò (dd cvk )n + e . c n k {u j < j } {u j < v } G {u j < vk } Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được ò (dd cvk )n = ò (dd cu j )n . {u j < vk } {u j < vk } Do đó ò (dd cv )n £ lim inf lim inf j® ¥ k® ¥ ò (dd cu j )n + 2e {u < v } {u j < v j } £ lim sup j® ¥ ò (dd cu j )n + 2e . {u j £ v } Hơn nữa ò (dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e {u j £ v } {u j £ v }ÇF và do {u £ v } Ç F là tập compact và {u j £ v } Ì {u £ v} nên ta có lim sup j® ¥ ò (dd cu j )n £ ò (dd cu )n £ ò (dd cu )n . {u j £ v }ÇF {u £ v }ÇF {u £ v } Do e > 0 tùy ý nên ta được ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . {u < v } {u £ v } Từ đó với mọi h > 0 ta có ò ( dd cv )n £ ò ( dd c (u + h))n = ò (dd cu )n . {u + h< v } {u + h£ v } {u + h£ v } Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
15 Nhưng {u + h < v} Z {u < v} và {u + h £ v} Z {u < v} khi h ] 0 . Do đó ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . W {u < v } {u < v } Hệ quả 1.5.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử W là miền bị chặn trong £ n và u, v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , (dd cu )n £ (dd cv )n z® ¶W trên W. Khi đó u ³ v trên W. 2 Chứng minh. Đặt y (z ) = z - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0 trên W. Giả sử {u < v } ¹ Æ. Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey } ¹ Æ và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.5.1 ta có ò (dd cu )n ³ ò (dd c (v + ey ))n {u < v + ey } {u < v + ey } ³ ò (dd cv )n + en ò (dd c y )n {u < v + ey } {u < v + ey } ³ ò (dd cv )n + en 4n n !l n ({u < v + ey }) {u < v + ey } > ò (dd cv )n ³ ò (dd cu )n {u < v + ey } {u < v + ey } và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u £ v trên W. W Hệ quả 1.5.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 và z® ¶W ò ( dd cu )n = 0 . Khi đó u ³ v trên W. {u < v } Chứng minh. Tương tự như trong Hệ quả 1.5.2. Giả sử {u < v } ¹ Æ. Khi đó có e > 0 sao cho {u < v + ey } ¹ Æ và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn