Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế tích phân trên thang thời gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn trình bày một số bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế tích phân trên thang thời gian. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán đuổi bắt trong trò chơi tuyến tính với hạn chế tích phân trên thang thời gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ VĂN QUÝ BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- LÊ VĂN QUÝ BÀI TOÁN ĐUỔI BẮT TRONG TRÒ CHƠI TUYẾN TÍNH VỚI HẠN CHẾ TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN - 2017
Möc löc Mð ¦u 1 1 Kh¡i ni»m thang thíi gian 4 1.1 Thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Tæ pæ tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 C¡c ành ngh¾a cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 ¤o h m Hilger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 T½nh ch§t cõa ¤o h m Hilger . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Ph²p t½nh t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . 18 1.5.1 H m ti·n kh£ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.2 Ph²p t½nh t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 T½nh hçi quy tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.7 H m mô tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Trá chìi uêi bt tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian 26 2.1 H» ëng lüc tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.1 Ph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh ëng lüc tuy¸n t½nh bªc nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.2 Cæng thùc nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh ëng lüc tuy¸n t½nh bªc nh§t . . . . . . . . . . 27 2.1.3 H» ëng lüc tuy¸n t½nh câ hai tham sè i·u kiºn . . . 31 i
ii 2.2 Trá chìi uêi bt tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 Trá chìi uêi bt tuy¸n t½nh vîi thæng tin chªm v h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 K¸t luªn 44 T i li»u tr½ch d¨n 45
Mð ¦u Nh¬m thèng nh§t nghi¶n cùu c¡c h» ëng lüc li¶n töc (h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n) v h» ëng lüc ríi r¤c (h» ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n), Stefan Hilger n«m 1988, trong luªn ¡n Ti¸n s¾ cõa m¼nh, ¢ ÷a ra kh¡i ni»m thang thíi gian (time scale). Tø â ¸n nay ¢ câ mët sè quyºn s¡ch, h ng chöc luªn ¡n ti¸n s¾ v h ng ng n b i b¡o nghi¶n cùu v· gi£i t½ch (ph²p to¡n vi ph¥n, t½ch ph¥n) v h» ëng lüc tr¶n thang thíi gian. Thang thíi gian câ þ ngh¾a tri¸t håc s¥u sc: Thang thíi gian cho ph²p nghi¶n cùu hai m°t b£n ch§t cõa thüc t¸, â l t½nh li¶n töc v t½nh ríi r¤c. Trong to¡n håc, thang thíi gian cho ph²p nghi¶n cùu thèng nh§t nhi·u mæ h¼nh kh¡c nhau d÷îi còng mët kh¡i ni»m v cæng cö. Gi£i t½ch tr¶n thang thíi gian v h» ëng lüc tr¶n thang thíi gian ang ÷ñc nhi·u nhâm c¡c nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc quan t¥m. ¢ câ mët sè b i vi¸t v· ùng döng cõa thang thíi gian trong nghi¶n cùu kinh t¸ v¾ mæ, h» sinh th¡i, b i to¡n tèi ÷u. B i to¡n uêi bt l mët trong nhúng c¡c b i to¡n cì b£n cõa lþ thuy¸t trá chìi. Trong b i to¡n uêi bt th¼ ng÷íi ch¤y (gn vîi bi¸n i·u kiºn cõa m¼nh) luæn cè gng ch¤y c ng nhanh, c ng xa ng÷íi uêi c ng tèt. Cán ng÷íi uêi th¼ cè gng "ph¡t ra " nhúng i·u kiºn º ti¸n ¸n ng÷íi ch¤y c ng g¦n c ng tèt. Nh÷ng º trá chìi k¸t thóc th¼ ta ph£i °t gi£ thi¸t l ng÷íi uêi ph£i câ lñi th¸ hìn ng÷íi ch¤y nh÷ l h¤n ch¸ v· n«ng l÷ñng, ng÷íi uêi luæn bi¸t ÷ñc thæng tin v· bi¸n i·u kiºn cõa ng÷íi ch¤y...Trong luªn v«n n y chóng tæi nghi¶n cùu v· i·u ki»n õ º k¸t thóc trá chìi nh÷ vªy. 1
2 Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l nghi¶n cùu b i to¡n uêi bt trong trá chìi tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n tr¶n thang thíi gian. ÷a ra i·u ki»n º b i to¡n k¸t thóc vîi c¡c bi¸n i·u khiºn thäa m¢n h¤n ch¸ t½ch ph¥n (h¤n ch¸ n«ng l÷ñng). Nëi dung cõa luªn v«n gçm hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y kh¡i ni»m thang thíi gian. Düa theo [5], [6], [8] v mët sè t i li»u kh¡c, c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· thang thíi gian v c¡c v§n · v· gi£i t½ch tr¶n thang thíi gian ÷ñc tr¼nh b y ngn gån, t¤o i·u ki»n º nghi¶n cùu b i to¡n trá chìi êi bt tuy¸n t½nh tr¶n thang thíi gian trong Ch÷ìng 2. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y cæng thùc nghi»m cõa h» ëng lüc v trá chìi uêi bt tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n, b i to¡n trá chìi uêi bt tuy¸n t½nh vîi h¤n ch¸ t½ch ph¥n v thæng tin chªm tr¶n thang thíi gian. C¡c ành lþ trong ch÷ìng n y l c¡c k¸t qu£ chung cõa ba t¡c gi£ Vi Di»u Minh, L¶ Thà Thóy Ng v ÷ñc tr¼nh b y trong [3]. T¡c gi£ xin ÷ñc gûi líi c£m ìn s¥u sc tîi PGS. TS. T¤ Duy Ph÷ñng, ng÷íi th¦y ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o, t¤o i·u ki»n v gióp ï trong trang bà ki¸n thùc, trong nghi¶n cùu v têng hñp t i li»u º ho n th nh luªn v«n. T¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi Ban gi¡m hi»u, Pháng Sau ¤i håc, Pháng o t¤o, Khoa To¡n-Tin v c¡c th¦y cæ trong tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng. Xin ÷ñc c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Ban chuy¶n mæn còng c¡c çng nghi»p trong Tr÷íng trung håc phê thæng H÷ng Y¶n, t¿nh H÷ng Y¶n, nìi tæi cæng t¡c, ¢ t¤o måi i·u ki»n º tæi ho n th nh nhi»m vö håc tªp. Xin ch¥n th nh c£m ìn Th¤c s¾ Vi Di»u Minh, gi£ng vi¶n mæn To¡n, tr÷íng ¤i håc Næng L¥m, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ còng cëng t¡c v gióp ï tæi v· chuy¶n mæn trong suèt qu¡ tr¼nh l m luªn v«n. Cuèi còng t¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn °c bi»t ¸n nhúng ng÷íi th¥n,
3 gia ¼nh, çng nghi»p v nhúng ng÷íi b¤n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi, ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n thi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, ng y 10 th¡ng 11 n«m 2017 Håc vi¶n L¶ V«n Quþ
Ch÷ìng 1 Kh¡i ni»m thang thíi gian Ch÷ìng n y tr¼nh b y kh¡i ni»m thang thíi gian. Düa theo [5], [6], [8] v mët sè t i li»u kh¡c, c¡c kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n v· thang thíi gian v c¡c v§n · v· gi£i t½ch tr¶n thang thíi gian ÷ñc tr¼nh b y. 1.1 Thang thíi gian ành ngh¾a 1.1 Thang thíi gian (time scale) l tªp con âng tòy þ kh¡c réng trong tªp sè thüc R. Thang thíi gian th÷íng ÷ñc kþ hi»u l T. V½ dö 1.1 1) C¡c tªp R, Z, N, [0; 1] ∪ [2; 3] l c¡c thang thíi gian v¼ chóng l nhúng tªp âng trong R. 2) C¡c tªp Q, R\Q; [0, 1) khæng ph£i l thang thíi gian v¼ chóng khæng ph£i l tªp âng trong R. Tªp c¡c sè húu t¿ Q, tªp c¡c sè væ t¿ R\Q khæng ph£i l thang thíi gian v¼ chóng tuy n¬m trong R nh÷ng khæng âng trong R. Thªt vªy, tr¶n Q x²t d¢y sè {xn }: 1; 1,4; 1,41; 1,414; . . . Ta th§y xn ∈Q, √ nh÷ng lim xn = 2 ∈ / Q n¶n Q khæng ph£i l tªp con âng tr¶n R. V¼ n→∞ vªy Q khæng ph£i l thang thíi gian. Tr¶n R\Q x²t d¢y sè √ √ √ √ 3 3 3 {xn } : 3; ; ;...; ;... 2 3 n 4
5 Ta th§y xn ∈ R\Q nh÷ng lim xn = 0 ∈ / R\Q n¶n R\Q khæng ph£i l tªp x→∞ con âng trong R. Suy ra R\Q khæng ph£i l thang thíi gian. Tªp [0;1) l kho£ng mð trong R n¶n khæng ph£i l thang thíi gian. 3) M°t ph¯ng phùc C khæng ph£i l thang thíi gian v¼ C khæng n¬m trong R, m°c dò nâ l tªp âng. 1.2 Tæ pæ tr¶n thang thíi gian Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i mët v i ki¸n thùc cõa tæpæ. Gi£ sû (X, τ ) l mët khæng gian tæpæ, M ⊂ X l mët tªp con n o â. Tæpæ c£m sinh τM tr¶n M tø τ ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau. Tªp mð trong τM l t§t c£ c¡c tªp câ d¤ng σM = M ∩ U trong â σ ∈ τ . Khi §y τM = {UM : UM = M ∩ U, U ∈ τ } l mët tæpæ tr¶n M . Thªt vªy ta câ 1) V¼ ∅ v X ·u thuëc τ n¶n d¹ th§y ∅ = ∅ ∩ M, M = M ∩ M suy ra ∅ v M ·u thuëc τM . 2) Gi£ sû V1 , V2 ∈ τM l hai tªp hñp b§t k¼, tùc l tçn t¤i U1 , U2 ∈ τ sao cho V1 = M ∩ U1 v V2 = M ∩ U2 . Ta câ V1 ∩ V2 = (M ∩ U1 ) ∩ (M ∩ U2 ) = M ∩ (U1 ∩ U2 ). V¼ U1 ∩ U2 ∈ τ n¶n suy ra V1 ∩ V2 ∈ τM (theo ành ngh¾a tªp τM ). 3) Gi£ sû {Vα }α∈I l mët hå b§t k¼ c¡c tªp thuëc τM . Khi â ta câ S Vα = α∈I Uα vîi Uα ∈ τ ∀α ∈ I . V¼ Uα ∈ τ n¶n suy ra S S S (M ∩ Uα ) = M ∩ α∈I α∈I α∈I V α ∈ τM . S α∈I Tø 1), 2), 3) suy ra τM l mët tæpæ v gåi l tæpæ c£m sinh tø τ tr¶n M . C°p (M, τM ) ÷ñc gåi l khæng gian tæpæ c£m sinh cõa khæng gian tæpæ (X, τ ) . Trong luªn v«n n y ta luæn gi£ thuy¸t r¬ng thang thíi gian T ÷ñc trang bà mët tæpæ c£m sinh tø tæpæ thæng th÷íng cõa tªp sè thüc (tæpæ thæng th÷íng tr¶n tªp sè thüc R l tæpæ t¤o bði c¡c kho£ng mð còng vîi
6 giao húu h¤n v hñp b§t k¼ cõa chóng), ngh¾a l c¡c tªp mð cõa T l giao cõa c¡c tªp mð trong R vîi T. C¡c kh¡i ni»m l¥n cªn, giîi h¤n, li¶n töc...÷ñc hiºu l l¥n cªn, giîi h¤n, li¶n töc... trong tæpæ c£m sinh. 1.3 C¡c ành ngh¾a cì b£n ành ngh¾a 1.2 Cho T l thang thíi gian. To¡n tû nh£y ti¸n (forward jump) l to¡n tû σ:T→T ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}. To¡n tû nh£y lòi (backward jump) l to¡n tû ρ:T→T ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}. Quy ÷îc inf ∅ = sup T, sup ∅ = inf T. Suy ra σ(M ) = M n¸u M l ph¦n tû lîn nh§t (n¸u câ) cõa T; ρ(m) = m n¸u m l ph¦n tû nhä nh§t (n¸u câ) cõa T. V½ dö 1.2 1) Vîi thang thíi gian T = Z (thang thíi gian ríi r¤c) th¼ σ(t) = t + 1 v ρ(t) = t − 1 vîi måi t ∈ T. Xem H¼nh 1.1(b). 2) Vîi thang thíi gian T = R (thang thíi gian li¶n töc) th¼ σ(t) = ρ(t) = t vîi måi t ∈ T. Xem H¼nh 1.1(a). H¼nh 1.1
7 3) X²t ∞ [ T= [2k, 2k + 1] k=0,k∈N +) N¸u t ∈ (2k, 2k + 1) th¼ σ(t) = inf{s ∈ T : s > t} = t; ρ(t) = sup{s ∈ T : s < t} = t. +) N¸u t = 2k th¼ σ(t) = σ(2k) = 2k, ρ(t) = ρ(2k) = 2k − 1. +) N¸u t = 2k + 1 th¼ σ(t) = σ(2k + 1) = 2k + 2, ρ(t) = ρ(2k + 1) = 2k + 1. 4) Cho thang thíi gian T = {2z : z ∈ Z} ∪ {0}. N¸u t ∈ T th¼ tçn t¤i z ∈ Z sao cho t = 2z suy ra σ(t) = 2t v ρ(t) = 12 t. ành ngh¾a 1.3 Cho T l thang thíi gian. iºm t ∈ T ÷ñc gåi l iºm cæ lªp ph£i (right-scattered) n¸u σ(t) > t; iºm t ∈ T ÷ñc gåi l iºm cæ lªp tr¡i (left-scattered) n¸u ρ(t) < t; iºm t ∈ T ÷ñc gåi l iºm cæ lªp (insolated) n¸u ρ(t) < t < σ(t). ành ngh¾a 1.4 Cho T l thang thíi gian. iºm t ∈ T ÷ñc gåi l iºm trò mªt ph£i (right-dence) n¸u σ(t) = t. iºm t ∈ T ÷ñc gåi l iºm trò mªt tr¡i (left-dence) n¸u ρ(t) = t. iºm t ∈ T ÷ñc gåi l iºm trò mªt (dence) n¸u ρ(t) = t = σ(t). Ta câ b£ng tâm tt 1.1 B£ng 1.1 B£ng 1.2 d÷îi ¥y mæ t£ h¼nh £nh h¼nh håc cõa c¡c iºm
8 B£ng 1.2 ành ngh¾a 1.5 Cho T l thang thíi gian. H m h¤t (grainiess) l µ : T → [0; ∞) ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc µ(t) := σ(t) − t. ành ngh¾a 1.6 Cho T l thang thíi gian v h m f := T → R. Ta kþ hi»u h m fσ : T → R x¡c ành theo cæng thùc f σ (t) = f (σ(t)). ành ngh¾a 1.7 Tªp Tk ÷ñc x¡c ành nh÷ sau. N¸u T câ ph¦n tû lîn nh§t M l iºm cæ lªp tr¡i th¼ °t Tk := T\{M } v Tk := T trong tr÷íng hñp cán l¤i. V½ dö 1.3 1) Vîi thang thíi gian T = R th¼ σ(t) = ρ(t) = t, µ(t) = 0 vîi måi t ∈ T. Måi iºm t ∈ T ·u l iºm trò mªt. 2) Vîi thang thíi gian T = Z th¼ σ(t) = t + 1, µ(t) = 1 v ρ(t) = t − 1 vîi måi t ∈ T. Måi iºm t ∈ T ·u l iºm cæ lªp. 3) Cho thang thíi gian T = n2 : n ∈ N0 vîi N0 l tªp c¡c sè tü nhi¶n v sè 0. Ta câ σ(t) = t + 21 , ρ(t) = t − 1 2 v µ(t) = 1 2 vîi måi t > 0, t ∈ T. iºm t = 0 l iºm cæ lªp ph£i v måi t ∈ T, t 6= 0 ·u l iºm cæ lªp. 4) Cho h > 0 l mët sè cè ành. X¡c ành thang thíi gian hZ nh÷ sau
9 T = hZ = {hn : n ∈ Z} = {..., −3h, −2h, −h, 0, h, 2h, 3h, ...}. Ta câ σ(t) = t + h, ρ(t) = t − h, µ(t) = h vîi måi t ∈ T. Xem H¼nh 1.2(c). V¼ h > 0 n¶n måi iºm t ∈ T ·u l iºm cæ lªp. Chó þ r¬ng h > 0 câ thº l √ sè væ t¿, v½ dö h = 2. 5) Cho thang thíi gian T ∞ [ Pa,b = [k (a + b) , k (a + b) + a]. k=0,k∈N Xem H¼nh 1.2(d). +) N¸u t ∈ (k(a + b); k(a + b) + a) th¼ σ(t) = t, ρ(t) = t v µ(t) = 0. Måi t ∈ (k(a + b); k(a + b) + a) ·u l iºm trò mªt. +) N¸u t = k(a + b) th¼ σ(t) = t, ρ(t) = t − b, v µ (t) = 0. D¨n ¸n σ(t) = t, ρ(t) < t n¶n t = k(a + b) l iºm trò mªt ph£i, çng thíi l iºm cæ lªp tr¡i. +) N¸u t = k(a + b) + a th¼ σ(t) = t + b, ρ(t) = t v µ (t) = b. D¨n ¸n σ(t) > t, ρ(t) = t n¶n t = k(a + b) + a l iºm trò mªt tr¡i, çng thíi l iºm cæ lªp ph£i. H¼nh 1.2 H¼nh 1.3
10 6) Cho q > 1 l mët sè thüc cè ành, x¡c ành thang thíi gian q Z nh÷ sau q Z ={q n : n ∈ Z} ∪ {0}= ..., q −3 , q −2 , q −1 , 0, 1, q, q 2 , q 3 , ... . Ta câ σ(t) = qt, ρ(t) = v µ(t) = (q − 1) t. Xem H¼nh 1.3(a) t q 7) Cho thang thíi gian T = N20 = n2 : n ∈ N0 . Vîi t ∈ T th¼ tçn t¤i sè √ n ∈ N0 sao cho t = n2 hay t = n. √ 2 √ Ta câ σ(t) = σ(n2 ) = (n + 1)2 = t + 1 , µ(t) = 2 t + 1 v ρ(t) = √ 2 ρ(n2 ) = (n − 1)2 = t − 1 . Xem H¼nh 1.3(b) √ 8) Cho thang thíi gian T = { n : n ∈ N0 }. √ N¸u t ∈ T th¼ tçn t¤i sè n ∈ N0 sao cho t = n hay n = t2 , √ √ √ √ n − 1 = t2 − 1, n + 1 = t2 + 1. √ √ √ Ta câ σ(t) = t2 + 1, ρ(t) = t2 − 1, v µ(t) = t2 + 1 − t vîi måi t 6= 0, t ∈ T. iºm t = 0 l iºm cæ lªp ph£i. Måi iºm t ∈ T, t 6= 0 ·u l iºm cæ lªp. Ta câ b£ng tâm tt c¡c thang thíi gian th÷íng g°p T σ(t) µ(t) ρ(t) Z t+1 1 t−1 R t 0 t t 2N 2t t 2 t q N (q > 1) qt (q − 1)t q √ 2 √ √ 2 N20 t+1 2 t+1 t−1 √ √ √ √ N0 t2 + 1 t2 + 1 − t t2 − 1
11 1.4 Ph²p t½nh vi ph¥n tr¶n thang thíi gian 1.4.1 ¤o h m Hilger ành ngh¾a 1.8 Gi£ sû f : T → R v t ∈ Tk . Delta ¤o h m (¤o h m Hilger) cõa f t¤i t ∈ Tk l mët sè (n¸u tçn t¤i), k½ hi»u l f ∆ (t), n¸u vîi méi ε > 0 cho tr÷îc tçn t¤i mët l¥n cªn U cõa t (ngh¾a l U = (t − δ; t + δ) ∩ T vîi δ > 0 n o â), sao cho |[f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s]| ≤ ε|σ(t) − s| vîi måi s ∈ U. (∗) ành ngh¾a 1.9 H m f ÷ñc gåi l ∆ kh£ vi (ngn gån l kh£ vi) tr¶n Tk n¸u câ ¤o h m t¤i måi iºm t ∈ Tk . Nhªn x²t 1.1 1) X²t thang thíi gian li¶n töc T = R ta câ σ(t) = t vîi måi t ∈ R. Theo (*) ta câ [f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t).(σ(t) − s)| ≤ ε.|(σ(t) − s)|
f (t)−f (s)
⇔