Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán dưới thác triển đối với lớp Ey

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tập trung nghiên cứu trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị, trình bày một số kết quả về bài toán dưới thác triển trong các lớp F (W) và Ey. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán dưới thác triển đối với lớp Ey

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM --------------------------------- NGUYỄN THỊ SEN BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP Ey LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------- NGUYỄN THỊ SEN BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI LỚP Ey Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số:60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Nguyễn Thị Sen i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng Nhân dịp này tôi xin cám ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm- Bắc Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2017 Tác giả ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục luận văn 3 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Hàm đa điều hòa dưới 4 1.2. Hàm đa điều hòa dưới cực đại 7 1.3. Hàm cực trị tương đối 10 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức 14 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 16 Chương 2. BÀI TOÁN DƯỚI THÁC TRIỂN TRONG LỚP E y ( W) 21 2.1. Các lớp Cegrell 21 2.2. Dưới thác triển trong lớp F (W) 24 2.3. Dưới thác triển trong lớp Ey 26 KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 iii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài % là các miền trong C n và u Î PSH (W) . Một hàm Cho WÌ W %) được gọi là dưới thác triển của u nếu với mọi z Î W thì u%Î PSH (W u%(z ) £ u(z ) . Năm 1980, Elmir [9] đã đưa ra ví dụ về hàm đa điều hòa dưới trên song đĩa đơn vị mà hạn chế lên một song đĩa nhỏ hơn không có dưới thác triển lên toàn bộ không gian. Bài toán dưới thác triển trong lớp F (W) đã được giới thiệu bởi Cegrell và gần đây bài toán này nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Năm 2003, Cegrell và A.Zeriahi % là các miền siêu lồi bị chặn trong C n với [7], đã chứng minh rằng nếu W, W %) sao cho u%£ u trên W và % và u Î F (W) thì tồn tại u%Î F (W WÐ W ò (dd u%) £ ò (dd u ) . Năm 2005, U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi c n c n % W W trong [6, Định lý 5.1] đã chỉ ra rằng các hàm đa điều hòa dưới trong lớp F (W) có dưới thác triển toàn cục tới C n với cấp tăng logarithm tại vô cùng. Đối với lớp Ep (W), p > 0 , bài toán dưới thác triển được nghiên cứu bởi P.H.Hiệp [13]. Tác % C n là các miền siêu lồi và giả đã chứng minh rằng nếu WÌ WÌ %) sao cho u%< u trên W và u Î Ep (W), p > 0 thì tồn tại một hàm u%Î Ep (W e p (u%) = ò (- u%) (dd u%) £ ò (- u ) (dd u ) . Năm 2009, S.Belnekourchi [2] đã p c n p c n % W W đạt được kết quả về dưới thác triển trong các lớp năng lượng đa phức có trọng Ec (W) . Bài toán dưới thác triển liên quan tới các giá trị biên được quan tâm trong những năm gần đây. Năm 2008,R. Czyz và L. Hed trong [8] đã chỉ ra rằng nếu 1
W1 và W2 là hai miền siêu lồi bị chặn sao cho W1 Ì W2 Ì Cn , n ³ 1 và u Î F (W1 ) với các giá trị biên F Î E(W1 ) có thác triển v Î F (W2 ) với các giá trị biênG Î E(W2 ) I MPSH (W2 ) , trong đó MPSH (W) là lớp các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên W. Năm 2006, J.Wiklund [15] đã chứng minh rằng bài toán dưới thác triển không thể thực hiện trong lớp E(W) . Cụ thể là, với một miền siêu lồi W tùy ý, tác giả đã xây dựng một hàm u trong E(W) không có dưới thác triển tới một miền rộng hơn. Gần đây, dựa trên ý tưởng của J.Wiklund [15], L. Hed đã cho ví dụ chỉ ra rằng bài toán dưới thác triển không thực hiện được trong lớp con hẹp hơn N (W) của E(W) (xem ví dụ 5.2 trong [10]). Như vậy, bài toán dưới thác triển luôn thực hiện được trong F (W), Epp (W) và Ec (W) , nhưng không phải lúc nào cũng thực hiện được trong E(W) . Theo hướng nghiên cứu này chúng tôi chọn “Bài toán dưới thác triển trong lớp Ey ” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu bài toán dưới thác triển trong lớp F (W) và bài toán dưới thác triển trong lớp Ey . 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + Trình bày một số tính chất và kết quả cơ sở trong lý thuyết đa thế vị + Trình bày một số kết quả về bài toán dưới thác triển trong các lớp F (W) và Ey . 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 2
4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, được viết chủ yếu dựa vào các tài liệu [1], [7] và [12]. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford và Taylor. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. trình bày một số kết quả về các lớp Cegrell, bài toán dưới thác triển trong lớp F (W) , bài toán dưới thác triển trong lớp Ey . Cụ thể là trong mục 2.1, trình bày một vài lớp các hàm đa điều hòa dưới đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi Cegrell cùng với lớp E y (W) . Bài toán dưới thác triển trong lớp F (W) , được trình bày trong mục 2.2. Trong mục 2.3, chúng tôi trình bày một số kết quả về lớp E y (W) và bài toán dưới thác triển trong lớp Ey . Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 3
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dưới Định nghĩa 1.1.1. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® é- ¥ , ¥ ) là êë một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î Wvà b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Kí hiệu PSH (W) là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới: Mệnh đề 1.1.2. Nếu u, v Î PSH (W) và u = v hầu khắp nơi trong W, thì u º v. Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và u Î PSH (W) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W, u (z ) < sup lim sup u (y ) . wÎ ¶ W y ® w yÎ W Định lý 1.1.4. Cho Wlà một tập con mở trong £ n . Khi đó i ) Họ PSH (W) là nón lồi, tức là nếu a , b là các số không âm và u, v Î PSH (W) , thì a u + b v Î PSH (W) . 4
ii ) Nếu W là liên thông và {u } j jÎ ¥ Ì PSH (W) là dãy giảm, thì u = lim u j Î PSH (W) hoặc u º - ¥ . j® ¥ iii ) Nếu u : W® ¡ , và nếu {u j } Ì PSH (W) hội tụ đều tới u trên các tập jÎ ¥ con compact của W, thì u Î PSH (W) . iv ) Giả sử {u a } Ì PSH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị aÎ A aÎ A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong W. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử WÌ £ n là tập mở, w Ì W là tập con mở thực sự, khác rỗng của W. Giả sử u Î PSH (W), v Î PSH ( w) và lim supx ® y v(x ) £ v(y ) với mọi y Î ¶ w Ç W. Khi đó ìï m ax{u, v } t rong w w = ïí ïï u trong W\ w î là hàm đa điều hoà dưới trên W. Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ nếu a Î W, b Î £ n sao cho {a+ l b, l £ r } Ì W thì 2p 1 w(a ) £ ò w(a + re iq b)d q 2p 0 Với a Î W, b Î £ n , chọn r > 0 đủ bé để {a+ l b, l £ r } Ì w 5
Khi đó 1 2p 1 2p u (a ) £ ò u (a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò w(a + re i qb)d q 2p 0 2p 0 2p 2p 1 1 v(a ) £ ò v(a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò w(a + re i qb)d q 2p 0 2p 0 2p 1 Từ đó w(a ) £ ò w(a + re iq b)d q . 2p 0 Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó WwW là bao đóng của w lấy trong W. Chỉ cần xét trường hợp a Î wW Ç W. Khi đó w(a ) = u (a ) . Vậy 2p 2p 1 1 w(a ) = u (a ) £ ò u(a + re b)d q £ w(a ) £ 2p iq ò w(a + re iq b)d q 2p 0 0 và mệnh đề được chứng minh. W Định lý 1.1.6. Cho W là một tập con mở của £ n . i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong Wvà v > 0 . Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi, thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. ii ) Cho u Î PSH (W) , v Î PSH (W) , và v > 0 trong W. Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần, thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. iii ) Cho u, - v Î PSH (W) , u ³ 0 trong W , và v > 0 trong W . Nếu f : éêë0, ¥ )® é0, ¥ êë ) là lồi và f (0) = 0 , thì vf (u / v ) Î PSH (W) . Định lý 1.1.7. Cho W là một tập con mở của £n và F = {z Î W: v(z ) = - ¥ } 6
là một tập con đóng của Wở đây v Î PSH (W) . Nếu u Î PSH (W\ F ) là bị chặn trên, thì hàm u xác định bởi ìï u (z ) (z Î W\ F ) ïï u (z ) = í lim sup u (y ) (z Î F ) ïï y ® z ïî y Ï F là đa điều hoà dưới trong W. 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại Định nghĩa 1.2.1. Cho WÌ £ n là tập mở và u Î PSH (W) . Ta nói u là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên W và viết u Î MPSH (W) nếu với mọi tập con mở, compact tương đối G Ð W và mọi hàm v nửa liên tục trên trên G , v Î PSH (G ) và v £ u trên ¶ G thì v £ u trên G . Trường hợp n = 1 thì tập MPSH (W) trùng với tập các hàm điều hòa trên W. Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại: Mệnh đề 1.2.2. Cho WÌ £ n là tập mởvà u Î PSH (W) . Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i ) Với mọi tập con mở compact tương đối G Ð Wvà mọi hàm v Î PSH (W) , nếu lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0, với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ; z® x ii ) Nếu v Î PSH (W) và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ì Wsao cho u - v ³ e trong W\ K , thì u ³ v trong W. iii ) Nếu v Î PSH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của W, và u ³ v trên ¶ G thì u ³ v trong G ; 7
iv ) Nếu v Î PSH (W) , G là một tập con mở compact tương đối của W, và lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0, với mỗi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ; z® x (v ) u là hàm cực đại. Chứng minh. (i ) Þ (ii ) . Giả sử v Î PSH (W) thỏa mãn giả thiết của (ii ) và giả sử a Î Wsao cho u (a ) - v(a ) = h < 0 . Đặt h E = {z Î W: u (z ) < v(z ) + } 2 Theo giả thiết có compact K Ì W sao cho với mọi z Î W\ K thì u(z ) ³ h v (z ) + . Vậy E Ì K và do đó E là tập compact trong W. Tồn tại tập mở, 2 h compact tương đối G Ì W chứa E . Trên ¶ G ta có lim inf(u - (v + )) ³ 0 . z® ¶G 2 h Theo giả thiết (i ) , u ³ v + trên G và ta gặp mâu thuẫn vì a Î E Ì G mà 2 h u (a ) = v(a ) + h < v(a ) + . 2 (ii ) Þ (iii ) . Giả sử v Î PSH (W) , G là tập mở, compact tương đối trong W và u ³ v trên ¶ G . Đặt ìï m ax(u (z ), v(z )) , zÎ G u%(z ) = ïí ïï u (z ) , z Î W\ G î Theo Mệnh đề 1.1.5 ta có u%Î PSH (W) . Với e > 0 , lấy K = G là tập compact trong W và với z Î W\ K , u(z ) - u%(z ) = 0 > - e . Do đó bởi giả thiết u ³ u% trên G . 8
(iii ) Þ (iv ) . Giả sử v Î PSH (W) và G Ð W sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 G' z® x đúng cho mọi x Î ¶ G . Khi đó lim sup v(z ) £ u ( x) . Đặt G' z® x ìï m ax(u (z ), v(z )) , zÎ G u%(z ) = ïí ïï u (z ) , z Î W\ G î Khi đó theoMệnh đề 1.1.5, u%Î PSH (W) . Dễ thấy u = u%trên ¶ G . Vậy u ³ u% trên W và do đó u ³ v trên G (iv ) Þ (v ) . Giả sử G Ì W là tập mở, compact tường đối và v là hàm nửa liên tục trên trên G và v £ u trên ¶ G . Do tính compact tương đối của G trong W, ta có thể coi u là liên tục trên G và v £ u trên ¶ G . Thật vậy nếu trái lại ta xét họ u e = u * c e Î C ¥ (We ) Ç PSH (We ) với We É G . Nếu ta chứng tỏ trên G , v £ u e thì v £ u trên G vì trên G ta có lim u e = u . Từ e® 0 giả thiết v £ u trên ¶ G nên lim sup v(x ) £ u (y ) với y Î ¶ G . Do đó hàm G' x® y ìï m ax{u, v } t ren G u%= ïí ïï u t ren W\ G î là đa điều hoà dưới trên W. Ta thấy lim inf(u - u%) ³ 0 với mọi x Î ¶ G . Thật G' z® x vậynếu không có h < 0 và dãy {z n } Ì G, z n ® x mà u (z n ) - u%(z n ) £ h < 0 với mọi n . Từ đó u (z n ) £ u%(z n ) + h . Cho n ® ¥ ta có u (x) £ m ax(u( x), v( x)) + h = u( x) + h < u( x) và gặp mâu thuẫn. Vậy từ giả thiết u ³ u%trên G và chứng minh (iv ) Þ (v ) hoàn thành. 9
(v ) Þ (i ) . Giả sử G Ð W, v Î PSH (G ) và lim inf(u - v )(z ) ³ 0 với mọi G' z® x x Î ¶ G . Lại có thể coi u liên tục trên W. Khi đó xét ìï v(z ), zÎ G ï v%(z ) = ïí ïï lim sup v(t ), z Î ¶G ïî G ' t ® z Khi đó v%Î PSH (G ) và nửa liên tục trên trên G . Mặt khác từ lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0 kéo theo u(x) ³ v%( x) tại mọi x Î ¶ G . Từ đó suy ra G' z® x u ³ u%trên G , do đó u ³ v trên G . W 1.3. Hàm cực trị tương đối Định nghĩa 1.3.1. Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của W. Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là: { u E ,W(z ) = sup v(z ) : v Î PSH (W), v E £ - 1, v £ 0 ( z Î W).} Hàm (uE ,W)* là đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. Mệnh đề 1.3.2. Nếu E 1 Ì E 2 Ì W1 Ì W2 thì uE ,W ³ uE ,W ³ uE ,W . 1 1 2 1 2 2 Định nghĩa 1.3.3. Miền bị chặn WÌ £ n gọi là miềnsiêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục r : W® (- ¥ , 0) sao cho với " c > 0 {z Î } W: r (z ) < - c Ð W . Mệnh đề 1.3.4. Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có 10
lim u E ,W(z ) = 0 . z® w Chứng minh. Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 nào đó, M r < - 1 trên E . Như vậy M r £ uE ,W trong W. Rõ ràng, lim r (z ) = 0 z® w và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. Mệnh đề 1.3.5. Nếu WÌ £ n là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compactsao cho u K* ,W = - 1 thì u K ,W là hàm liên tục. K Chứng minh. Lấy u = u E ,Wvà ký hiệu F Ì PSH (W) là họ các hàm u . Giả sử r là hàm xác định của Wsao cho r < - 1 trên K. Khi đó r £ u trong W. Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C (W) Ç F . Sao cho u - e £ v £ u trong W. Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho u - e < r trong W\ Wh và K Ì Wh , trong đó Wh = {z Î W: dist (z, ¶ W) > h}. Theo định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và định lý Dini có thể tìm được s > 0 sao cho u * c d - e < r trên ¶W và u * c d - e < - 1 trên K . Đặt ìï r trong W\ Wh v e = ïí ïï max {u * c d - e, r } trong Wh . î Khi đó ve C( W) ∩ Fvà như vậy u - e £ max {u - e, r }£ ve £ u tại mỗi điểm trong W. 11
Mệnh đề 1.3.6. Cho WÌ £ n là tập mở liên thông, và E Ì W. Khi đó các điềukiện sau tương đương: (i ) u E* ,W º 0 ; (ii ) Tồn tại hàm v Î PSH (W) âmsao cho E Ì {z Î W: v(z ) = - ¥ } Chứng minh. (ii ) Þ (i ) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii ) , thì ev £ uE ,W với mọi e > 0 , từ đó u E ,W = 0 hầu khắp nơi trong W. Như vậy u E* ,W º 0 . Bây giờ giả sử u E* ,W º 0 . Khi đó tồn tại a Î W sao cho u E ,W(a ) = 0 . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một v j Î PSH (W) sao cho v j < 0, v j < - 1 và v j (a ) > - 2- j . E Đặt ¥ v(z ) = å j=1 v j (z ), z Î W. Chú ý rằng v(a ) > - 1 , v âm trong W, và v E = - ¥ . Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận v Î PSH (W) . W Mệnh đề 1.3.7. Cho W là tập con mở liên thông của £ n . Giả sử E = UEj j , trong đó E j Ì Wvới j = 1,2,... . Nếu u E* ,W º 0 với mỗi j , thì u E* ,W º 0 . j Chứng minh. Chọn v j Î PSH (W) sao cho v j < 0 và v j = - ¥ . Lấy điểm Ej a Î W\( Uv j - 1 j ) ({-¥ }) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số 12
- j dương thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) > - 2 . Khi đó v= åj v j Î PSH (W) , v < 0 và v E = - ¥ .Suy ra u E* ,W º 0 . Mệnh đề 1.3.8. Cho W là tập con siêu lồi của £ n và K là một tập con compact của W. Giả thiết rằng {Wj } là một dãy tăng những tập con mở của W sao cho ¥ W= UW và Kj Ì W1 . Khi đó lim u K ,W (z ) = u K ,W(z ), z Î W. j® ¥ j j=1 Chứng minh. Lấy điểm z 0 Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng K È {z 0 } Ì W1 . Giả sử r < 0 là một hàm vét cạn đối với W sao cho r < - 1 trên K . Lấy e Î (0,1) sao cho r (z 0 ) < - e . Khi đó tồn tại j 0 Î ¥ sao cho tập mở w = r - 1((- ¥ , - e)) là tập compact tương đối trong Wj . Lấy 0 u Î PSH (Wj ) sao cho u £ 0 trên Wj và u £ - 1 trên K . Khi đó 0 0 ìï max {u (z ) - e, r (z )}, zÎ w v(z ) = ïí ïï r (z ), z Î W\ w î xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v £ - 1 và v £ 0 . Như vậy K v(z 0 ) £ u K ,W(z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ u K ,W , nên ta có j0 u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) j0 Do đó ta có u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) £ u K ,W (z 0 ) với mọi j ³ j 0 và e j j nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 13
1.4. Toán tử Monge-Ampère phức Giả sử WÌ £ n và u Î PSH (W) . Nếu u Î C 2 (W) thì toán tử: é ¶ 2u ù (dd u ) := (14444444 c n dd u ) Ù42 c Ù (dd u43) = 4 n !det êê ...4444444 c n ú ú dV , ¶ z ¶ êë j k úz n û1£ j ,k £ n với dV là yếu tố thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampere. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 (W) trên W ò j (dd u ) c n C 0 (W) ' j a . W Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {um }m > 1 Ì PSH (W) Ç C ¥ sao cho um ] u và {( dd cum )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên Wtức là: lim ò j (dd cu m )n = ò j d m, " j Î C 0(W) . m W W Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u m } như trên, ta ký hiệu: (dd cu )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampe của u. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. Mệnh đề 1.4.1. Giả sử y Î C (¥p, p ) là ( p, p) - dạng lớp C ¥ trên tập mở WÌ £ n và T là (q, q) - dòng với p + q = n - 1 . Khi đó y Ù (dd cT )n - dd c y ÙT = d ( y Ù d cT - d c y ÙT ) . 14
Mệnh đề 1.4.2. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ n hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó a ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì m(E ) = lim mj (E ) . j® ¥ Chứng minh. a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact. Lấy j Î C 0 (G ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Ta có m(K ) = inf {m(V ) : V É K ,V Ì W ,V = V 0 }. Giả sử V là một lân cận mở của K và j Î C 0 (V ), 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó 15