Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng. Từ đó bài toán đưa về việc xác định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Motz và một số phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------**------------ NGUYỄN VŨ TRUNG BÀI TOÁN MOTZ VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM XẤP XỈ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60. 46. 01.12 Người hướng dẫn TS. VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN – NĂM 2016
1 MỤC LỤC Mục lục ..................................................................................................... 1 Lời cam đoan ........................................................................................... 3 Lời cảm ơn ............................................................................................... 4 Các ký hiệu............................................................................................... 5 Mở đầu ..................................................................................................... 6 Chương 1 Các kiến thức cơ bản ............................................................ 7 1.1 Không gian Sobolev ........................................................................ 7 1.1.1 Không gian C k (W)................................................................. 7 1.1.2 Không gian L p (W).................................................................. 9 1.1.3 Không gian W 1, p (W) ......................................................... 9 1 ( ) 1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm .................... 11 - 1 1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H - 1 (W) và H (¶ W) 12 2 1.2 Phương trình elliptic ..................................................................... 12 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình .............................. 13 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên .................................................... 14 1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản ................................................ 16 1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp ................................................................ 16 1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp ........................................................................................... 17 1.4 Phương pháp sai phân…………………….. ................................. 17 1.5 Giới thiệu thư viện RC2009 .......................................................... 20 1.5.1 Bài toán biên Dirichlet ........................................................... 20 1.5.2 Bài toán biên Neumann.......................................................... 22
2 Chương 2 Bài toán Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ ... 27 2.1 Giới thiệu bài toán Motz ............................................................... 27 2.2 Một số phương pháp khai triển thông qua các hệ hàm riêng ........ 28 2.2.1 Phương pháp BAMs............................................................... 28 2.2.2 Phương pháp GFIFs ............................................................... 30 2.2.3 Kết quả sử dụng các phương pháp BAMs ............................. 32 2.3 Phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ ............................................. 32 Chương 3 Một số kết quả thực nghiệm với bài toán Motz ............... 41 3.1 Kết quả đối với các phương pháp khai triển ................................. 41 3.1.1 Phương pháp BAMs............................................................... 41 3.1.2 Kết quả sử dụng phương pháp GFIFs .................................... 42 3.2 Ứng dụng của phương pháp chia miền đối với bài toán Motz ..... 45 3.3 Mở rộng phương pháp chia miền trong trường hợp tổng quát ..... 49 Phần kết luận ......................................................................................... 54 Tài liệu tham khảo ................................................................................ 55 Phần phụ lục .......................................................................................... 56
3 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái nguyên, Tháng 12 năm 2015 Người viết luận văn Nguyễn Vũ Trung Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thị Thu Thủy TS. Vũ Vinh Quang
4 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Vũ Vinh Quang - Trường Đại học Công Nghệ Thông Tin và Truyền Thông. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp cao học toán K7C (2014-2016) Trường Đại học Khoa Học – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Thái nguyên, tháng 12 năm 2015 Người viết luận văn Nguyễn Vũ Trung
5 CÁC KÝ HIỆU Miền giới nội trong không gian ¡ n W . ¡ n Không gian Euclide n chiều. ¶W Biên trơn Lipschitz. C k (W) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục. L2 (W) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích. W 1, p (W) Không gian Sobolev với chỉ số p . 1 H 2 (¶ W) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2 H 01 (W) Không gian các hàm có vết bằng không trên ¶ W. H - 1 (W) 1 Không gian đối ngẫu với H 0 W .( ) - 1 H 2 (¶ W) Không gian đối ngẫu với. × Chuẩn xác định trên không gian V . V ()× V Tích vô hướng xác định trên không gian V . C (W) Hằng số Poincare.
6 MỞ ĐẦU Một số bài toán trong cơ học các môi trường liên tục như các bài toán nghiên cứu về lý thuyết dao động qua mô hình hóa đều đưa về các bài toán biên cho phương trình elliptic cấp hai. Trong trường hợp khi môi trường là thuần nhất và điều kiện biên bình thường thì việc tìm nghiệm của bài toán có thể được thực hiện thông qua các phương pháp giải tích như các phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green hoặc các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ như các phương pháp sai phân hay phương pháp phần tử hữu hạn. Tuy nhiên khi điều kiện biên của bài toán là hỗn hợp mạnh tức là trên một đoạn biên trơn tồn tại 2 loại điều kiện biên dạng hàm (Dirichlet) và dạng đạo hàm (Neumann) thì trong thực tế điểm giao giữa 2 loại điều kiện này thường xảy ra các hiện tượng gãy nứt vật liệu. Các điểm giao này người ta thường gọi là các điểm kỳ dị. Trong trường hợp khi tồn tại các điểm kỳ dị thì các phương pháp kể trên không thể thực hiện được. Để giải quyết các bài toán này, người ta thường nghiên cứu theo 2 hướng sau đây:  Xây dựng các hệ hàm riêng trực giao xung quanh lân cận của điểm kỳ dị dưới dạng tọa độ cực và từ đó tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán dưới dạng khai triển tổng hữu hạn của các hệ hàm riêng. Từ đó bài toán đưa về việc xác định các hệ số của khai triển thông qua việc giải các hệ đại số tuyến tính.  Sử dụng các sơ đồ lặp chuyển bài toán có chứa điểm kỳ dị về các bài toán con không chứa điểm kỳ dị. Từ đó áp dụng các phương pháp sai phân để giải quyết các bài toán con qua đó xây dựng nghiệm của bài toán gốc ban đầu. Xuất phát từ phân tích đó, mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là tìm hiểu về một mô hình bài toán Motz, đây là mô hình bài toán elliptic cấp hai có chứa 1 điểm kỳ dị mẫu mực, thường sử dụng để test các phương pháp xấp xỉ trên thế giới, nghiên cứu cơ sở của phương pháp khai triển tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán Motz, đồng thời nghiên cứu cơ sở của phương pháp lặp
7 chuyển bài toán Motz về hai bài toán elliptic cấp hai, sử dụng phương pháp sai phân để xác định nghiệm của bài toán gốc. So sánh kết quả thực nghiệm của hai phương pháp. Các kết quả thực nghiệm được thực hiện trên máy tính điện tử. Nội dung chính của luận văn là tiến hành tìm hiểu nghiên cứu cơ sở lý thuyết của các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên elliptic cấp hai trong miền phức tạp hoặc điều kiện biên phức tạp, đặc biệt bằng phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ thông qua các hệ hàm mẫu dạng tọa độ cực xung quanh các điểm kỳ dị, so sánh với phương pháp chia miền và lập trình tính toán thử nghiệm trên nền ngôn ngữ Matlab. Luận văn cấu trúc gồm 3 chương: Chương 1: Đưa ra một số kiến thức cơ bản về không gian hàm và lý thuyết về phương trình elliptic, lý thuyết về các sơ đồ lặp. Cơ sở phương pháp chia miền và lý thuyết sai phân. Chương 2: Trình bày mô hình của bài toán Motz và các phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ. Chương 3: Một số kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS Vũ Vinh Quang, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành của mình đối với thầy. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán Học đã tham gia giảng dạy, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập nâng cao trình độ kiến thức. Tuy nhiên vì điều kiện thời gian và khả năng có hạn nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong các thầy cô giáo và các bạn đóng góp ý kiền để đề tài được hoàn thiện hơn.
8 CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Nội dung chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm, lý thuyết về các sơ đồ lặp và phương trình eliiptic cấp 2, lý thuyết về phương pháp sai phân. Đây là các kiến thức nền tảng, là cơ sở cho viện trình bày các nội dung trong chương 2 và chương 3 của luận văn. Các kiến thức được tham khảo trong các tài liệu [4, 5, 7, 8]. 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian C k (W) Giả sử W là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều ¡ n và W là bao đóng của W. Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, 2...) là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể cả k trong W, liên tục trong W. Ta đưa vào C k (W) chuẩn u C k (W) = å max D a u (x ) . xÎ W a £k ( Trong đó a = a 1, a 2 ,..., a n ) được gọi là đa chỉ số vectơ với các tọa độ nguyên không âm, a = a 1 + a 2 + ... + a n : a 1 + ...+ a n a ¶ u D u= a1 an . ¶ x ...¶ x 1 n Sự hội tụ theo chuẩn đã cho là sự hội tụ đều trong W của các hàm và tất cả đạo hàm của chúng đến cấp k . Rõ ràng tập C k (W) với chuẩn đã cho là không gian Banach.
9 1.1.2 Không gian L p (W) Giả sử W là một miền trong ¡ n và p là một số thực dương. Ta kí hiệu Lp (W) là lớp các hàm đo được f xác định trên W sao cho: p ò f (x ) dx < ¥ (*) W trong L p (W) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên W. Như vậy các phần tử của L p (W) là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (*) và hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên W. Vì : p p æ p pö f (x ) + g (x ) £ ( f (x ) + g (x ) ) £ 2p çç f (x ) + g (x ) ÷ ÷ ÷, è ø nên rõ ràng L p (W) là một không gian vectơ. Ta đưa vào L p (W) phiếm hàm . được xác định bởi: p 1 ìï ü ïï p u ï p = í ò u (x ) dx ý . p ïï W ïï î þ 1.1.3 Không gian W 1, p (W) 1.1.3.1 Định nghĩa Cho W là một miền trong ¡ n . Hàm u x( ) được gọi là khả tích địa () phương trong W nếu u x là một hàm trong W và với mỗi x 0 Î W đều tồn () tại một lân cận w của x 0 để u x khả tích trong w .
10 1.1.3.2 Định nghĩa Cho W là một miền trong ¡ n () () . Giả sử u x , v x là hai hàm khả tích địa phương trong W sao cho ta có hệ thức: ¶ kj k ¶ ku ò u ¶x k1 ...¶ x kn dx = (- 1) ò ¶x k1 ...¶ x kn j dx , W 1 n W 1 n () ( ) đối với mọi j x Î C 0 W , k = k1 + ... + kn , ki £ 0 i = 1, 2,..., n . k ( ) ¶ ku Khi đó k k được gọi là đạo hàm suy rộng cấp k của u x . () ¶ x 1 1 ...¶ x nn Kí hiệu: ¶ ku v (x ) = k1 kn . ¶ x ...¶ x 1 n 1.1.3.3 Định nghĩa Giả sử p là một số thực, 1 £ p < ¥ , W là một miền trong ¡ n . Không gian Sobolev W 1, p (W) được định nghĩa như sau: ïì ¶u ïü W 1, p (W) = ïí u | u Î Lp (W), Î Lp (W), i = 1,..., n ïý, ïï ¶ xi ïï î þ trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng. Với p = 2 , ta kí hiệu W 1,2 (W) = H 1 (W), nghĩa là: ïìï ¶u ïü H (W) = í u | u Î L (W), 1 2 Î L (W), i = 1, 2,..., n ïý. 2 ïï ¶ xi ïï î þ
11 1 ( ) 1.1.4 Không gian H 0 W và khái niệm vết của hàm 1.1.4.1 Định nghĩa Với bất kì 1 £ p < ¥ , không gian Sobolev W0 1, p (W) được định nghĩa ( ) như các bao đóng của D W (không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong W) tương ứng với chuẩn của W 1, p (W). Không gian H (W) 1 0 được xác định bởi H 01 (W) = W01,2 (W). 1.1.4.2 Định lý (Định lý vết) i) Tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục được gọi là vết ( ) g : H 1 R n - 1 ´ R +* a L2 R n - 1 , ( ) sao cho với bất kì u Î H R 1 ( n- 1 ) ( ) ´ R +* Ç C 0 R n - 1 ´ R + , ta có g (u ) = u |R n - 1 . sao cho ¶ W là liên tục Lipschitz n ii) Giả sử W là một tập mở trong R thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục: g : H 1 (W) ® L2 (¶ W), sao cho với bất kì u Î H 1 (W) Ç C (W) ta có g (u ) = 0 u |¶ W. Hàm g (u ) được gọi là vết của u trên ¶ W. 1.1.4.3 Định nghĩa 1 Giả sử biên ¶ W là liên tục Lipschitz, không gian H 2 (¶ W) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết g , tức là: 1 H 2 (¶ W) = g (H (W)). 1
12 - 1 1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm H - 1 (W) và H (¶ W) 2 1.5.1.1 Định nghĩa. Ta kí hiệu H - 1 (W) là một không gian Banach được xác định bởi: ' H - 1 (W) = H 01 (W) , ( ) với chuẩn: F,u H- 1 (W),H 01(W) F = sup . H- 1 (W) H 01 (W)\ {0} u H 01 (W) Trong đó F , u là tích năng lượng trên cặp không gian đối ngẫu. H- 1 (W),H 01(W) 1.1.5.2 Định nghĩa - 1 Giả sử ¶ W liên tục Lipschitz, ta kí hiệu H 2 (¶ W) là một không gian Banach được xác định như sau: ' (¶ W) = (H (¶ W)) , - 1 1 H 2 2 với chuẩn tương ứng 1.2 Phương trình elliptic Giả sử WÎ ¡ là miền giới nội với biên ¶ W= G . Xét phương trình n đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2m của ẩn hàm u x , x Î W () Au = å |a |£ 2m a a (x )D a u = f (x ), (1.1) () () trong đó a a x , f x là các hàm cho trước, A là một toán tử vi phân tuyến tính, ta có: i) Với m=1 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp hai.
13 ii) Với m=2 thì (1.1) là phương trình đạo hàm riêng cấp bốn. Bài toán tìm nghiệm của (1.1) được gọi là bài toán biên nếu trên biên G () nghiệm u x thỏa mãn một số điều kiện biên: B i (u ) = gi , i = 0,1,..., m - 1, () trong đó B i u , i = 0,1,..., m - 1 là các toán tử biên. 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình Xét phương trình: - Vu = f . (1.2) Giả sử u Î C 2 (W), f Î C (W) và phương trình (1.2) thỏa mãn trong miền W. Khi đó, u x ( ) được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2). ¥ Lấy hàm j bất kì thuộc D W = C 0 ( ) (W) nhân với hai vế của (1.2) rồi lấy tích phân ta được: - ò Vuj dx = ò f j dx . (1.3) W W Áp dụng công thức Green vào (1.3) và kết hợp với điền kiện j |¶ W= 0 ta có: n ¶j ¶u òå ¶ xi ¶ xi dx = ò f j dx , (1.4) W i= 1 W hay: ò Ñ u Ñ fdx = ò f j dx . W W Như vậy, nếu u là nghiệm của phương trình (1.2) thì có (1.4). Nhưng ( ) nếu f Î C W thì phương trình (1.2) không có nghiệm cổ điển. Vậy ta cần mở rộng khái niệm khi f Î L W . 2 ( )
14 1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử u Î H 1 (W), f Î L2 (W), u được gọi là nghiệm yếu của phương trình (1.1) nếu (1.3) được thỏa mãn. 1.2.1.2 Mệnh đề Nếu u là nghiệm yếu của phương trình (1.2) và u Î C 2 (W), f Î C (W) thì u là nghiệm cổ điển, tức là - Vu = f . Chứng minh. Giả sử u là nghiệm yếu của phương trình (1.2), tức là u Î H 1 (W) và ta có (1.4) với mọi hàm j Î D (W), kết hợp với điều kiện u Î C 2 (W) ta suy ra: ò (Vu + f )j dx = 0, " u Î D (W), W ( ) ( ) vì D W trù mật trong L W ,Vu + f trực giao vơi mọi j Î D W nên 2 ( ) Vu + f = 0 trong L2 (W). Nhưng vì Vu liên tục nên Vu + f º 0 trong C (W). Vậy u là nghiệm cổ điển của phương trình (1.2). W 1.2.2 Phát biểu các bài toán biên 1.2.2.1 Bài toán Dirichlet Xét bài toán: ìï - Vu = f , x Î W, ï í (1.5) ïï u = j , x Î ¶ W, î trong đó f Î L W . 2 ( ) Hàm u Î H 1 (W) được gọi là nghiệm yếu của bài toán (1.5) nếu:
15 u - w Î H 01 (W), (1.6) trong đó w là hàm thuộc H 1 (W), có vết bằng j và: ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx , " v Î H 01 (W). (1.7) W W 1.2.2.2 Nhận xét + Nghiệm yếu của bài toán (1.5) là nghiệm yếu của phương trình - Vu = f , vì ta đã định nghĩa nghiệm yếu của phương trình này là hàm u Î H 1 (W) ¥ thỏa mãn (1.7) với mọi v Î C 0 (W) Ì H 01 (W). + Nếu u là nghiệm yếu của bài toán (1.5) và đặt u , f , j đủ trơn thì nghiệm theo nghĩa cổ điển. 1.2.2.3 Bài toán Neumann Xét bài toán : ìï - Vf = u , x Î W, ïï í ¶u (1.8) ïï = h, x Î ¶ W, ïî ¶ n ( ) trong đó h Î C ¶ W , f Î C W , u Î C ( ) 2 (W) là nghiệm cổ điển. Nhân hai vế của phương trình - Vu = f với v Î H 1 (W) rồi lấy tích phân ta được: - ò vVudx = ò vfdx . (1.9) W W Áp dụng công thức Green vào (1.9) ta có: ¶ Du - òv ¶n dS + ò Ñ u Ñ vdx = ò vfdx . ¶W W W Kết hợp với (1.8) ta suy ra:
16 ò Ñ u Ñ vdx = ò fvdx + ò hvdS , " v Î H 1 (W). (1.10) W W ¶W 1.2.2.4 Định nghĩa ( ) ( ) Nếu h Î L ¶ W , f Î L W thì nghiệm yếu của bài toán Neumann (1.7) là 2 2 hàm u Î H 1 (W) thỏa mãn (1.10). 1.3 Kiến thức về các sơ đồ lặp cơ bản 1.3.1 Lược đồ lặp hai lớp Xét bài toán: Ay = f. (1.11) Trong đó A : H ® H là toán tử tuyến tính trong không gian Hilbert thực hữu hạn chiều H . Giả sử A là toán tử đối xứng, xác định dương, f Î H là vectơ tùy ý. Trong mỗi phương pháp lặp, xuất phát từ y 0 bất kì thuộc H , người ta đưa ra cách xác định nghiệm xấp xỉ y 1,y 2,..., y k ,... của phương trình (1.11). Các xấp xỉ như vậy được biết như là các cặp giá trị lặp với chỉ số lặp k = 1, 2,... , bản chất của những phương pháp này là giá trị y k + 1 có thể được tính thông qua các giá trị lặp trước: y k , y k - 1,... phương pháp lặp được gọi là phương pháp lặp một bước hoặc hai bước nếu xấp xỉ y k + 1 có thể được tính thông qua một hoặc hai giá trị trước đó. Dạng chính tắc của lược đồ lặp hai lớp là: yk + 1 - yk Bk + A y k = f , k = 0,1, 2,... (1.12) qk+1 lược đồ lặp (1.12) cho ta xấp xỉ các nghiệm y của phương trình (1.11) với bất kì toán tử B k và cách chọn tham số qk + 1 . Nếu B k = E thì lược đồ lặp (1.11) được gọi là lược đồ lặp hiện.
17 yk + 1 - yk + Ay = f , k = 0,1, 2,... (1.13) qk + 1 k trong trường hợp qk = q là hằng số thì lược đồ lặp (1.13) còn gọi là lược đồ lặp đơn giản. Nếu B k ¹ E thì lược đồ lặp (1.11) được gọi là lược đồ ẩn. 1.3.2 Lược đồ dừng, các định lý cơ bản về sự hội tụ của phương pháp lặp Lược đồ lặp (1.12) với toán tử B k = B , tham số qk + 1 = q không đổi (k = 0,1, 2,...) còn được gọi là lược đồ lặp dừng, có dạng: yk + 1 - yk B + Ay = f , k = 0,1, 2... (1.14) q k 1.3.2.1 Định lý Nếu A là toán tử đối xứng , xác định dương thì: 1 1 B> qA hay (Bx , x ) > q (Ax , x ), " x Î H , (1.15) 2 2 là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.13) trong không gian H A với r < 1 tốc độ hội tụ cấp số nhân. zk + 1 £ r zk , k = 0,1, 2,... (1.16) A A 1.4 Phương pháp sai phân Lưới sai phân ìï - D u = f , x Î W, Xét bài toán ï í (1.17) ïï u = g, x Î ¶ W, î { trong đó W= (x , y ) Î R , a £ x £ b, c £ y £ d , chọn 2 số nguyên 2 } N>1và M > 1, đặt h = (b - a)/N gọi là bước lưới theo x, k = (d - c)/M gọi là bước lưới theo y. Đặt x i = a + ih, y j = c + jk , i = 0...N , j = 0...M .
18 Mỗi điểm (x i , y j ) gọi là một nút lưới ký hiệu là nút (i,j). Tập tất cả các nút trong ký hiệu là Whk . Nút ở trên biên G gọi là nút biên, tập tất cả các nút biên kí hiệu là Ghk , tập Whk = Whk È Ghk gọi là một lưới sai phân trên W. Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của hàm lưới u(x,y) tại nút lưới (i,j) viết tắt là u i , j . Mỗi hàm u(i,j) xác định tại mọi (x , y ) Î W tạo ra hàm lưới u xác định bởi u i , j . Bài toán sai phân: Kí hiệu Lu = f là các hàm số hai biến x, y có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục trong W= WÈ G. Giả sử bài toán có nghiệm u Î C (W) , khi đó: 4 ¶ 4u max ( x ,y )Î W | (x , y ) |£ C 1 = const , ¶x4 ¶ 4u max ( x ,y )Î W | (x , y ) |£ C 2 = const . ¶y4 Do đó theo công thức Taylor ta có: u (x i + 1, y j ) = u (x i ) + h, y j ¶ u h 2 ¶ 2u h 3 ¶ 3u = u (x i , y j ) - h + - + O (h 4 ), ¶x 2! ¶ x 2 3! ¶ x 3 u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j ) ¶ 2u 2 hay = + O (h ). h2 ¶x2 Một cách tương tự: u (x i , y j + 1 ) = u (x i , y j + k ) ¶ u k 2 ¶ 2u k 3 ¶ 3u = u (x i , y j ) + k + + + O (k 4 ), ¶y 2! ¶ y 2 3! ¶ y 3
19 u (x i , y j - 1 ) = u (x i , y j - k ) 00. Do đó: u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 ) ¶ 2u 2 = + O (k ). k2 ¶y2 Vậy ta có: u (x i + 1, y j ) - 2u (x i , y j ) + u (x i - 1, y j ) 2 + h u (x i , y j + 1 ) - 2u (x i , y j ) + u (x i , y j - 1 ) 2 = k 2 2 D u + O (h + k ). Ta đặt: u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1, j u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1 D hk u º + . h2 k2 Khi đó chứng tỏ: D khu = D u + o(h 2 + k 2 ). 2 2 Số hạng O (h + k ) là một vô cùng bé bậc hai. Ta nói toán tử D kh xấp xỉ toán tử D , điều đó cho phép thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân: D hk u = fij , fij = f (x i , y j ), (x i , y j ) Î Whk , tức là: u i + 1, j - 2u i , j + u i - 1 j u i , j + 1 - 2u i , j + u i , j - 1 + = f (x i , y j ),(x i , y j ) Î Whk , (1.18) h2 k2 đồng thời thay điều kiện biên bằng điều kiện: u ij = g(x i , y j ), (x i , y j ) Î Ghk . (1.19)