Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

36
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài "Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia" đã đưa ra một bài toán mà miền nguyên không giao hoán không thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rất nổi tiếng của Mal’ Cev. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khôi BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phạm Đình Khôi BÀI TOÁN NHÚNG ĐẲNG CẤU MIỀN NGUYÊN KHÔNG GIAO HOÁN VÀO VÀNH CHIA Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỞNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn “Bài toán nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào vành chia” do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS. Bùi Tưởng Trí. Nội dung luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả từ nguồn sách, tạp chí, bài báo được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về luận văn của mình. Tác giả luận văn Phạm Đình Khôi
LỜI CẢM ƠN Trong quá trình học tập tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tôi đã được Quý Thầy Cô cung cấp cho tôi những kiến thức chuyên sâu, giúp tôi trưởng thành trong học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi xin gửi lời biết ơn đến tất cả Quý Thầy Cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tại trường. Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Bùi Tưởng Trí. Thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Đặc biệt, tôi đã được học ở Thầy phương pháp làm việc khoa học và sự am hiểu thấu đáo của riêng Thầy. Xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô trong Hội đồng Bảo vệ Luận văn Thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn. Tôi cũng xin được phép gửi lời cảm ơn đến Quý Thầy Cô công tác tại Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, thực hiện luận văn. Cuối cùng, xin khắc sâu công ơn Cha Mẹ, cảm ơn người thân, bạn bè luôn ủng hộ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt khóa học. TP. Hồ Chí Minh, tháng 01 năm 2020 Phạm Đình Khôi
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các kí hiệu MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ............................................... 3 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán ....................................... 3 1.1.1. Định nghĩa nhóm ............................................................................. 3 1.1.2. Luật giản ước ................................................................................... 3 1.1.3. Đại số ............................................................................................... 4 1.1.4. Đại số nửa nhóm.............................................................................. 4 1.1.5. Định nghĩa vành .............................................................................. 4 1.1.6. Định nghĩa ideal .............................................................................. 5 1.1.7. Khái niệm ideal nguyên tố .............................................................. 5 1.1.8. Khái niệm ideal cực đại ................................................................... 5 1.1.9. Mệnh đề ........................................................................................... 5 1.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu ......... 7 1.2.1. Định nghĩa vành địa phương ............................................................. 7 1.2.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán .............................................. 9 Chương 2. VẤN ĐỀ ĐỊA PHƯƠNG HÓA KHÔNG GIAO HOÁN ........ 14 2.1. Một số khái niệm cơ bản về vành không giao hoán ...................................... 15 2.1.1. Miền nguyên (không giao hoán) ................................................... 15 2.1.2. Vành chia ....................................................................................... 15 2.1.3. Nửa nhóm (không giao hoán)........................................................ 15 2.1.4. Nửa nhóm tự do ............................................................................. 15
2.1.5. Đại số nửa nhóm kH trong một vành không giao hoán có đơn vị ............................................................................................. 17 2.2. Bổ đề ................................................................................................................................. 17 2.3. Định lí............................................................................................................................... 19 2.4. Định lí............................................................................................................................... 21 Chương 3. MỘT SỐ HƯỚNG NGHIÊN CỨU GỢI MỞ LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN ................................................ 23 3.1. Vấn đề bổ sung thứ tự trên H ............................................................................... 23 3.2. Tựa - đồng nhất thức (Quasi – identities) ..................................................... 23 3.3. Một số định nghĩa và định lý liên quan địa phương hóa trong vành không giao hoán ............................................................................................. 24 3.3.1. Mệnh đề ........................................................................................... 27 3.3.2. Ví dụ ................................................................................................ 27 3.4. Những điều kiện cần cho khả năng nhúng của một miền R vào một vành chia ............................................................................................................. 29 KẾT LUẬN..................................................................................................... 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................. 31
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập số tự nhiên. : Tập số nguyên. : Tập số hữu tỉ. : Tập số thực. : Tập số phức.  : Tổng. RS : Địa phương hóa của miền nguyên R tại tập nhân S. U (R) : Nhóm các phần tử khả nghịch của vành R . IBN : Đồng cấu vào trong trường k.
1 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết trong vành giao hoán (có đơn vị) thì mọi miền nguyên đều có thể nhúng đẳng cấu vào một trường (trường các thương của nó). Bài toán hoàn toàn tương tự cho các vành không giao hoán là khả năng nhúng một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì liệu có đơn giản như vậy hay không. Vì vành giao hoán (có đơn vị) và vành không giao hoán (có đơn vị) có vài nét khác nhau nên việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên giao hoán vào một trường thì luôn luôn làm được nhưng việc nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì lại không đơn giản như vậy. Chính vì vậy, tôi chọn đề tài này để đưa ra một bài toán mà miền nguyên không giao hoán không thể nhúng đẳng cấu vào vành chia qua một ví dụ rất nổi tiếng của Mal’ Cev. Luận văn gồm ba chương : _ Chương 1: Những kiến thức cơ bản. Chương này trình bày một số khái niệm, định nghĩa và tính chất đã biết trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán, sau đó là giới thiệu đôi nét về việc địa phương hóa trong vành giao hoán. _ Chương 2 : Vấn đề địa phương hóa trong vành không giao hoán. Chương này trình bày đôi nét về việc địa phương hóa trong vành không giao hoán và đưa ra câu trả lời phủ định cho câu hỏi: “ phải chăng mọi miền nguyên không giao hoán đều có thể nhúng được vào trong một vành chia không giao hoán” thông qua ví dụ nổi tiếng của Mal’ Cev. _ Chương 3: Một số hướng nghiên cứu gợi mở liên quan đến bài toán.
2 Phần mở rộng này trình bày một số vấn đề gợi mở làm tiền đề cho những nghiên cứu tiếp theo cho việc tìm ra điều kiện cần và đủ để có thể nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào trong một vành chia.
3 Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này sẽ nhắc lại một số khái niệm, tính chất đã biết trong đại số giao hoán và đại số không giao hoán có liên quan. Sau đó giới thiệu đôi nét về việc địa phương hóa trong một vành giao hoán, và dẫn đến một số tính chất cần thiết cho chương sau. 1.1. Một số định nghĩa và tính chất trên vành giao hoán 1.1.1. Định nghĩa nhóm Cho G là tập hợp khác rỗng, trên G được trang bị một phép toán hai ngôi *. *: GxG → G ( x, y ) x* y a) Nếu phép toán * ở trên thỏa tính chất kết hợp, tức là : ( x * y ) * z = x * ( y * z ) thì ( G ,*) được gọi là nửa nhóm. b) Nếu nửa nhóm G có thêm phần tử trung hòa, tức là : e  G : x  G : x * e = e * x = x thì ( G ,*) được gọi là vị nhóm. c) Trong vị nhóm, nếu như mọi phần tử khác phần tử trung hòa đều khả nghịch, tức là : x  G, y  G : x * y = y * x = e thì khi đó ( G ,*) trở thành một nhóm. 1.1.2. Luật giản ước a) Một phần tử a trong ( G,*) có tính chất giản ước trái nếu : b, c  G : a * b = a * c  b = c . b) Một phần tử a trong ( G,*) có tính chất giản ước phải nếu : b, c  G : b*a = c * a  b = c .
4 c) Một nửa nhóm ( G,*) có tính chất giản ước trái (hoặc giản ước phải) nếu mọi phần tử a trong ( G,*) là giản ước trái (hoặc giản ước phải). 1.1.3. Đại số Cho K là một vành giao hoán có đơn vị. A được gọi là đại số trên K nếu thỏa mãn: • A là K -module. • A là vành. • k  K , a, b  A : k (ab) = (ka)b = a(kb) . 1.1.4. Đại số nửa nhóm Cho H là nửa nhóm nhân, giao hoán, có luật giản ước và cho F là trường thì đại số nửa nhóm FH là tập hợp các tổng hình thức : k11 + k2 2 + ... + kn n , k j  F ,  i  H . . Phép cộng theo nghĩa thông thường. . Phép nhân : Phân phối với các tổng hình thức. . Nửa nhóm luôn có đơn vị. • Đặc biệt, trong đại số giao hoán đã chứng minh được rằng nếu H là nửa nhóm giao hoán có luật giản ước hai phía thì FH (không có ước của 0) là miền nguyên. • Tuy nhiên, trong các vành không giao hoán thì kết quả tương tự là không còn đúng. Việc trình bày lập luận này ta sẽ dành ở phần tiếp theo. 1.1.5. Định nghĩa vành Một vành là một tập hợp R được trang bị hai phép toán hai ngôi, được gọi là phép cộng và phép nhân và thường kí hiệu là “ + ” và “ . ” . Để tạo thành một vành, hai phép toán này phải đáp ứng một số tính chất:
5 . Vành phải là một nhóm Abel với phép toán cộng. . Có tính kết hợp với phép toán nhân. . Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng. Các phần tử đơn vị của phép cộng và phép nhân được biểu thị bằng 0 và 1. a) Nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là a.b = b.a thì vành R được gọi là vành giao hoán. b) Nếu trong vành R tồn tại hai phần tử a  0, b  0 sao cho a.b = 0 thì các phần tử a, b được gọi là ước của 0. c) Vành giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0 được gọi là miền nguyên. 1.1.6. Định nghĩa ideal Một tập con  của vành R được gọi là ideal của R nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i)  là nhóm con của nhóm cộng ( R; + ) . ii) Nếu x  R và y  thì x. y  . 1.1.7. Khái niệm ideal nguyên tố Ideal p của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu p  R và nếu x. y  p thì x  p hay y  p . 1.1.8. Khái niệm ideal cực đại Ideal  được gọi là ideal cực đại của vành R nếu   R và bất kì ideal I chứa  nghiêm ngặt thì I = R . 1.1.9. Mệnh đề i) p là ideal nguyên tố của vành R  vành thương R p là miền nguyên. ii)  là ideal cực đại của vành R  vành thương R  là trường.
6 Chứng minh: i) (  ) Cho p là ideal nguyên tố của R. Ta chứng minh R p không có ước của 0. Thật vậy, lấy  = a + p ,  = b + p ;  ,   R p ; a, b  R sao cho  . = 0 .  ( a + p ) .(b + p ) = 0  a.b + p = 0  a.b  p  a  p  = 0 Mà p là ideal nguyên tố    . b  p   = 0 Do đó R p là miền nguyên. (  ) Cho R p là miền nguyên. Ta chứng minh p là ideal nguyên tố. Lấy a, b  p sao cho a.b  p .  a.b + p = 0  ( a + p )( b + p ) = 0 (với ( a + p ) , ( b + p )  R p ). a + p = 0 a  p Mà R p là miền nguyên    . b + p = 0 b  p Vậy p là ideal nguyên tố. ii) (  ) Lấy a +   R  \ 0 . Dẫn đến a +   0  a   . Nên ta có ideal của R là aR +  chứa hoàn toàn  . Mà  là ideal cực đại của R nên aR +  = R . Khi đó, tồn tại b  R, x   sao cho: ab + x = 1 .  1 − a.b = x    a.b +  = 1 +   ( a +  ) .(b +  ) = 1 +  Vậy tồn tại b +   R  \ 0 sao cho ( a +  ) . ( b +  ) = 1 +  . Nên a +  là phần tử khả nghịch.
7 Do đó R  là trường. (  ) Lấy I là ideal của R sao cho I chứa hoàn toàn  . Lấy a  I \  thì a +   0 . Do R  là trường nên tồn tại b +   R  \ 0 sao cho ( a +  ) . ( b +  ) = 1 +  .  1 − a.b   . Và khi đó tồn tại x   sao cho 1 − a.b = x  a.b + x = 1 . Vì a  I \   a.b  I và x    I  x  I . Nên 1 I . Do đó I = R . Vậy  là ideal cực đại của vành R • Đặc biệt: Nếu (0) là ideal nguyên tố thì R là miền nguyên. (Vì nếu có a, b  R sao cho a.b = 0  (0) và do (0) là ideal nguyên tố nên a = 0 hay b = 0 ) 1.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán và bài toán nhúng đẳng cấu 1.2.1. Định nghĩa vành địa phương Vành địa phương là vành giao hoán có đơn vị, trong đó có một ideal cực đại duy nhất. Ví dụ 1: Bất kì trường nào cũng là vành địa phương. m  Ví dụ 2: Đặt R =  m  , ( n, 2 ) = 1 thì R là vành địa phương. n  Chứng minh: * Chứng minh R là vành: _ R   (hiển nhiên) a c a c a.d − b.c _  , R: − =  R (vì a.d − b.c  và do ( b, 2 ) = 1 và ( d, 2 ) = 1 nên b d b d b.d ( b.d , 2 ) = 1 ) a c a c a.c _  , R: . =  R (vì a.c  và do ( b, 2 ) = 1 và ( d, 2 ) = 1 nên ( b.d , 2 ) = 1 ) b d b d b.d
8 * Chứng minh R có ideal cực đại duy nhất là m  M =  m = 2k , n = 2h + 1; k , h   . Thật vậy: n  _ M là ideal thực sự vì trong R còn có các phần tử dạng m   m = 2k + 1, n = 2h + 1; k , h   . n  _ Giả sử có ideal thực sự I của R mà I chứa hoàn toàn M : m   I \ M  m = 2k + 1, k  n −1 −1 m m m      R : .   = 1 I (vì I là ideal) n n n  I = R (!) Do đó M là ideal cực đại của R . _ Giả sử có N là ideal cực đại của R mà N  M thì: m   N \ M  m = 2k + 1, k  n −1 −1 m m m      R : .   = 1 N (vì N là ideal) n n n  N = R (!) Do đó M là ideal cực đại duy nhất của R . Vậy R là vành địa phương. m  Ví dụ 3: Đặt R =  m  , ( n, p ) = 1 thì R là vành địa phương, với p là n  số nguyên tố. Ví dụ 4: Vành số nguyên không là vành địa phương vì các ideal cực đại p. = p không là duy nhất.
9 1.2.2. Địa phương hóa trong vành giao hoán a) Tập con đóng nhân Cho R là một vành có đơn vị, một tập con S của R được gọi là một tập con đóng nhân của R nếu: 1 S , 0  S . S đóng đối với phép toán nhân được định nghĩa trong R. b) Địa phương hóa theo một ideal nguyên tố Cho R là vành giao hoán có đơn vị bất kì, p là ideal nguyên tố thực sự của R. Xét tập S = R \ p thì S là tập đóng nhân . (vì : 0  S ; 1 S ; a, b  p  a.b  p ;  a, b  S  a.b  S ) r  Xét tập RS = S −1R =  r  R, s  S , s  p  s  Khi đó , RS là vành địa phương vì có một ideal cực đại duy nhất là r  M =  r  p, s  S , s  p  s . Chứng minh M là ideal cực đại duy nhất: _ Giả sử có ideal thực sự I của RS mà I chứa hoàn toàn M : r r  p r   I \ M    p s s  p s −1 r    khả nghịch. s  I  RS (!) Do đó M là ideal cực đại của RS . _ Giả sử có N là ideal cực đại của RS mà N  M thì: r r  p r  N \M    p s  s  p s
10 −1 r    khả nghịch. s  N  RS (!) Do đó M là ideal cực đại duy nhất của RS . Vậy RS là vành địa phương. • Tuy nhiên, nếu chọn M =  f  R f n  0, n  0 và S = 1, f , f 2 ,..., f n ,... là tập đóng nhân thì RS không là vành địa phương vì không có ideal cực đại duy nhất. • Đặc biệt, khi R là miền nguyên thì (0) là ideal nguyên tố và r r S = R \ 0 thì khi đó RS là trường (vì   0  r  0  r  S  khả s s nghịch  RS là trường). Một trong những điều quan trọng mà chúng ta đã được biết là cho bất kỳ miền nguyên R giao hoán, ta có thể tùy ý nghịch đảo các phần tử khác 0 của R để tạo thành một trường các thương duy nhất của R . c) Định nghĩa vành S – khả nghịch Với một tập hợp nhân trong vành R, tức là một tập con S  R sao cho S được đóng bởi phép nhân , 0  S ,1  S . Một đồng cấu  : R → R ' được gọi là S – khả nghịch nếu  ( S )  U (R') . ( U (R') là nhóm các phần tử khả nghịch của vành R’). d) Định nghĩa vành các thương RS Chúng ta được biết về quy trình chung của địa phương hóa một vành giao hoán R bất kỳ với một tập nhân S = R \ p , với p là một ideal nguyên tố thực sự của R. Quy trình này mang lại một vành giao hoán RS và một đồng cấu vành  : R → RS sao cho  ( s ) là một phần tử khả nghịch trong RS cho mọi
11 s  S , và  là “ phổ dụng “ với tương ứng cho tính chất này. Hơn thế nữa, chúng ta có 2 chú ý sau đây cho  và RS : a) Mỗi phần tử trong RS có dạng  (r ). (s)−1 , khi r  R, s  S . b) Ker  = r  R | s  S : rs = 0 (là một ideal trong R) . Vành RS được gọi là vành các thương của R theo một ideal nguyên tố p . Để đơn giản hóa kí hiệu, ta viết phần tử của RS là phân số r / s hay r .s −1 thay cho  (r ). (s)−1 . Ta cộng phân số bằng cách lấy mẫu số chung, và nhân phân số bằng cách nhân tử số và mẫu số. Trường hợp cổ điển về việc nhúng miền nguyên giao hoán R vào vành thương của nó tương ứng với việc địa phương hóa của R tại tập nhân R \ 0 . e) Mệnh đề Cho R là một miền nguyên giao hoán, S  R là một tập con đóng nhân, khi đó tồn tại một đồng cấu S – khả nghịch  đi từ R đến một vành nào đó , kí hiệu là RS , với tính chất phổ dụng sau: Cho bất kỳ đồng cấu S – khả nghịch  : R → R ' , x  R ' : x =  ( r ) . ( s ) . Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành −1 f : RS → R ' sao cho  = f o . Chứng minh: (  ) Với vành R, tập con đóng nhân S  R . r  Đặt RS = S −1R =  r  R, s  S , s  p  . s  Khi đó , RS là vành địa phương vì có một ideal cực đại duy nhất là r  M =  r  p, s  S , s  p  s .
12 Đặt  : R → RS r  (r ) = r1 .  Ta có: ker ( ) = r  R r 1 = 0 = 01  r = 0 .  Do đó  là đơn cấu. _ s  S ,  ( s ) = s 1 . Khi đó  1 s  RS sao cho: s 1 . 1 s = s s = 11 . _  r s  RS : r s = r 1 . 1 s =  ( r ) . ( s ) . −1 (  ) x  R ' : x =  ( r ) . ( s ) . −1 Giả sử có đồng cấu  là S – khả nghịch.  : R → R' r  (r ) = r ' s  (s) = s '. Khi đó, f : RS → R ' .  ( r ) . ( s )  ( r ) . ( s ) −1 −1 Nói tóm lại, trong trường hợp vành R là vành giao hoán có đơn vị, ta đã giải quyết được trọn vẹn bài toán địa phương hóa vành R theo tập con đóng nhân S, nghĩa là tồn tại vành RS và đồng cấu  : R → RS với các tính chất sau: i) s  S :  ( s ) khả nghịch trong RS . ii) Đồng cấu  có tính phổ dụng, nghĩa là với mọi đồng cấu  : R → R ' có tính chất  ( s ) là khả nghịch s  S thì tồn tại đồng cấu f : RS → R ' sao cho  = f  . Trong trường hợp đặc biệt, khi S = R \ p , trong đó p là ideal nguyên tố thì  là một đơn cấu và RS là vành địa phương. Đặc biệt hơn nữa khi R là
13 miền nguyên giao hoán thì (0) là ideal nguyên tố và S = R \ 0 ta có RS là một trường, gọi là trường các thương của R, do đó  là phép nhúng R vào RS . Và bây giờ nếu R là một vành không giao hoán bất kỳ thì liệu các tính chất của RS và  có còn thu được kết quả tốt như vậy hay không. Ta sẽ nghiên cứu về câu hỏi này chương sau.