Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và ổn định hóa có vai trò rất quan trọng. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kỹ thuật,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –––––––––––––––––––– NGUYỄN MINH TRANG BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. VŨ NGỌC PHÁT THÁI NGUYÊN - 2016
Líi cam oan Tæi xin cam oan nëi dung trong luªn v«n Th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi · t i "B i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹" ÷ñc ho n th nh bði nhªn thùc cõa tæi, khæng tròng l°p vîi luªn v«n, luªn ¡n v c¡c cæng tr¼nh ¢ cæng bè. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Nguy¹n Minh Trang i
Líi c£m ìn Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn tîi GS. TSKH Vô Ngåc Ph¡t, ng÷íi ¢ ành h÷îng chån · t i v tªn t¼nh h÷îng d¨n, cho tæi nhúng nhªn x²t quþ b¡u º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n. Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi pháng Sau ¤i håc, c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y cao håc chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gióp ï v t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu khoa håc. Nh¥n dàp n y tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh, b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Minh Trang ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc ii Mð ¦u 1 Mët sè kþ hi»u vi¸t tt 3 1 Cì sð to¡n håc 4 1.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 B i to¡n ên ành hâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 B i to¡n ên ành hâa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 C¡c bê · bê trñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 B i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹ 11 iii
2.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹ . . . . . . . 14 2.3 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n khæng ætænæm câ tr¹ . . . 27 K¸t luªn chung 45 T i li»u tham kh£o 46 iv
Mð ¦u Trong lþ thuy¸t ành t½nh c¡c h» ëng lüc, b i to¡n ên ành v ên ành hâa câ vai trá r§t quan trång. Sü nghi¶n cùu b i to¡n ên ành h» thèng ¢ trð th nh mët h÷îng nghi¶n cùu khæng thº thi¸u trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng v ùng döng. T½nh ên ành l mët trong nhúng t½nh ch§t quan trång cõa lþ thuy¸t ành t½nh c¡c h» ëng lüc v ÷ñc sû döng nhi·u trong c¡c l¾nh vüc cì håc, vªt lþ to¡n, kÿ thuªt,... Nâi mët c¡ch h¼nh t÷ñng, mët h» thèng ÷ñc gåi l ên ành t¤i tr¤ng th¡i c¥n b¬ng n o â n¸u c¡c nhi¹u nhä cõa c¡c dú ki»n ho°c c§u tróc ban ¦u cõa h» thèng khæng l m cho h» thèng thay êi nhi·u so vîi tr¤ng th¡i c¥n b¬ng â. Sü nghi¶n cùu b i to¡n ên ành h» thèng ÷ñc bt ¦u tø cuèi th¸ k XIX bði nh to¡n håc V. Lyapunov v ¸n nay ¢ trð th nh mët h÷îng nghi¶n cùu khæng thº thi¸u trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng v ùng döng. Tø nhúng n«m 60 cõa th¸ k XX, song song vîi sü ph¡t triºn cõa lþ thuy¸t i·u khiºn v do nhu c¦u nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t ành t½nh cõa h» thèng i·u khiºn, ng÷íi ta bt ¦u nghi¶n cùu t½nh ên ành c¡c h» i·u khiºn d¤ng x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0(0.1) b i to¡n ên ành hâa cõa h» l t¼m h m i·u khiºn ng÷ñc: u(t, x) = h(t, x) sao 1
cho h» ëng lüc x(t) ˙ = f (t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t)) l ên ành ho°c ên ành ti»m cªn t¤i tr¤ng th¡i c¥n b¬ng. Trong c¡c b i to¡n ên ành hâa têng qu¡t, h» i·u khiºn (0.1) th÷íng ÷ñc mæ h¼nh hâa vîi c¡c t¡c ëng cõa i·u khiºn ng÷ñc, cõa c¡c nhi¹u i·u khiºn v quan s¡t,... Nh÷ vªy möc ½ch cõa v§n · ên ành hâa mët h» thèng i·u khiºn l t¼m c¡c h m i·u khiºn ng÷ñc sao cho h» thèng ¢ cho ùng vîi i·u khiºn â trð th nh h» thèng ên ành ÷ñc t¤i tr¤ng th¡i c¥n b¬ng. Cì sð to¡n håc cõa b i to¡n ên ành hâa l lþ thuy¸t ên ành Lyapunov. Düa tr¶n nhúng k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa t½nh ên ành Lyapunov ng÷íi ta ¢ nghi¶n cùu, ph¡t triºn v ùng döng v o gi£i b i to¡n ên ành hâa c¡c h» thèng i·u khiºn. Nëi dung cõa b£n luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y cì sð to¡n håc h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn, ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov trong lþ thuy¸t ên ành, b i to¡n ên ành hâa v c¡c bê · li¶n quan. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y b i to¡n h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹, h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹, h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n khæng ætænæm câ tr¹. 2
Mët sè kþ hi»u vi¸t tt R+ Tªp hñp c¡c sè thüc khæng ¥m. Rn Khæng gian Euclid n chi·u. < x, y > ho°c xT y T½ch væ h÷îng cõa 2 v²ctì x, y . kxk Chu©n v²ctì Euclid cõa x. Rn×r Khæng gian c¡c ma trªn n × r chi·u. AT Ma trªn chuyºn và cõa A. I Ma trªn çng nh§t. λ(A) Gi¡ trà ri¶ng cõa A. λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}. η(A) Chu©n phê cõa ma trªn ÷ñc x¡c ành bði: p η(A) = λmax (AT A). µ(A) ë o cõa ma trªn A x¡c ành bði : 1 µ(A) = λmax (A + AT ). 2 L2 ([0, t], Rn ) Khæng gian kh£ t½ch bªc 2 tr¶n [0, t] gi¡ trà trong Rn . A≥0 Ma trªn x¡c ành khæng ¥m. A>0 Ma trªn x¡c ành d÷ìng. C([−h, 0], Rn ) Khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n [−h, 0] gi¡ trà trong Rn . kxt k = sups∈[−h,0] kx(t + s)k. BM + (0, ∞) Tªp hñp c¡c h m ma trªn x¡c ành khæng ¥m v bà ch°n tr¶n [0, ∞). 3
Ch÷ìng 1 Cì sð to¡n håc Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð to¡n håc v· h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn, ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov, b i to¡n ên ành hâa v c¡c bê · bê trñ. Nëi dung ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b y tø t i li»u [1], [2]. 1.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n i·u khiºn H» ph÷ìng tr¼nh i·u khiºn mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n hay ríi r¤c d¤ng: x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, x(k + 1) = f (k, x(k), u(k)), k = 0, 1, 2, ... trong â x(t)(x(k)) ∈ Rn l v²ctì tr¤ng th¡i, u(t)(u(k)) ∈ Rm , n ≥ m, l v²ctì i·u khiºn v h m f (t, x, u) : R+ × Rn × Rm → Rn . C¡c èi t÷ñng i·u khiºn trong c¡c mæ h¼nh i·u khiºn h» ëng lüc ÷ñc mæ t£ nh÷ nhúng dú li»u ¦u v o câ t¡c ëng quan trång, ð mùc ë n y ho°c mùc ë kh¡c, câ thº l m £nh h÷ðng ¸n sü vªn h nh ¦u ra cõa h» thèng. Nh÷ vªy, ta hiºu mët 4
h» thèng i·u khiºn l mët mæ h¼nh to¡n håc ÷ñc mæ t£ bði ph÷ìng tr¼nh to¡n håc biºu thà sü li¶n h» v o - ra : u(t) → x˙ = f (t, x, u) → x(t). Mët trong nhúng möc ½ch ch½nh cõa b i to¡n i·u khiºn h» thèng l t¼m i·u khiºn (¦u v o) sao cho h» thèng (¦u ra) câ nhúng t½nh ch§t m ta mong muèn. Thæng th÷íng, vi»c chuyºn mët h» thèng câ i·u khiºn tø và tr½ n y sang và tr½ kh¡c câ thº thüc hi»n b¬ng nhi·u ph÷ìng ph¡p d÷îi t¡c ëng bði c¡c i·u khiºn kh¡c nhau. C«n cù v o nhúng möc ½ch cö thº cõa h» thèng ¦u ra ng÷íi ta x¡c ành c¡c b i to¡n i·u khiºn kh¡c nhau: b i to¡n i·u khiºn ÷ñc, b i to¡n ên ành hâa, b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u, v.v... Trong luªn v«n n y chóng ta ch¿ x²t b i to¡n ên ành hâa. 1.2 B i to¡n ên ành hâa B i to¡n ên ành hâa l b i to¡n ên ành (ên ành Lyapunov) c¡c h» i·u khiºn. Do â cì sð to¡n håc cõa b i to¡n ên ành hâa l lþ thuy¸t ên ành Lyapunov. Düa tr¶n nhúng k¸t qu£ ¢ bi¸t cõa t½nh ên ành Lyapunov ng÷íi ta ¢ nghi¶n cùu, ph¡t triºn v ùng döng v o gi£i b i to¡n ên ành hâa c¡c h» thèng i·u khiºn. T½nh ên ành l mët trong nhúng t½nh ch§t quan trång cõa lþ thuy¸t ành t½nh c¡c h» ëng lüc v ÷ñc sû döng nhi·u trong c¡c l¾nh vüc cì håc, vªt lþ to¡n,... Nâi mët c¡ch h¼nh t÷ñng, mët h» thèng ÷ñc gåi l ên ành t¤i mët tr¤ng th¡i c¥n b¬ng n o â n¸u c¡c nhi¹u nhä cõa c¡c dú ki»n ho°c c§u tróc ban ¦u cõa h» thèng khæng l m cho h» thèng thay êi 5
nhi·u so vîi tr¤ng th¡i c¥n b¬ng â. Sü nghi¶n cùu b i to¡n ên ành h» thèng ÷ñc bt ¦u tø cuèi th¸ k¿ XIX bði nh to¡n håc V. Lyapunov v ¸n nay ¢ trð th nh mët h÷îng nghi¶n cùu khæng thº thi¸u trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, lþ thuy¸t h» thèng v ùng döng. Tr÷îc ti¶n ta ph£i °t b i to¡n ên ành (ên ành Lyapunov) cho h» ëng lüc khæng câ i·u khiºn. X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ 0. (1.1) ành ngh¾a 1.2.1. Nghi»m x(t) cõa h» (1.1) gåi l ên ành n¸u vîi måi sè > 0, t0 ≥ 0 s³ tçn t¤i δ > 0 (phö thuëc , t0 ) sao cho b§t k¼ nghi»m y(t), y(t0 ) = y0 cõa h» thäa m¢n ky0 − x0 k < 0 th¼ s³ nghi»m óng b§t ¯ng thùc ky(t) − x(t)k < , ∀t ≥ t0 . Nâi c¡ch kh¡c, nghi»m x(t) l ên ành khi måi nghi»m kh¡c cõa h» câ gi¡ trà ban ¦u õ g¦n vîi gi¡ trà ban ¦u cõa x(t) th¼ v¨n õ g¦n nâ trong suèt thíi gian t ≥ t0 . ành ngh¾a 1.2.2. Nghi»m x(t) cõa h» (1.1) gåi l ên ành ti»m cªn n¸u nâ l ên ành v câ mët sè δ > 0 sao cho vîi ky0 − x0 k < δ th¼ lim ky(t) − x(t)k = 0. t→∞ Ngh¾a l , nghi»m x(t) l ên ành ti»m cªn n¸u nâ ên ành v måi nghi»m y(t) kh¡c câ gi¡ trà ban ¦u y0 g¦n vîi gi¡ trà ban ¦u x0 s³ ti¸n g¦n tîi x(t) khi t ti¸n tîi væ còng. 6
Nhªn x²t r¬ng b¬ng ph²p bi¸n êi (x − y) 7→ z, (t − t0 ) 7→ τ h» ph÷ìng tr¼nh (1.1) s³ ÷ñc ÷a v· d¤ng z˙ = F (τ, z), (1.2) trong â F (τ, 0) = 0 v khi â sü ên ành cõa mët nghi»m x(t) n o â cõa h» (1.1) s³ ÷ñc ÷a v· nghi¶n cùu t½nh ên ành cõa nghi»m 0 cõa h» (1.2). º ngn gån, tø nay ta s³ nâi h» (1.2) l ên ành thay v o nâi nghi»m 0 cõa h» l ên ành. Do â tø b¥y gií ta x²t h» (1.1) vîi gi£ thi¸t h» câ nghi»m 0, tùc l , f (t, 0) = 0, t ∈ R+ . Ta nâi : H» (1.1) l ên ành n¸u vîi b§t k¼ > 0, t0 ∈ R+ s³ tçn t¤i sè δ > 0 (phö thuëc v o , t0 ) sao cho b§t k¼ nghi»m x(t): x(t0 ) = x0 thäa m¢n kx0 k < δ vîi måi t ≥ t0 th¼ kx(t)k < , ∀t ≥ 0. H» (1.1) l ên ành ti»m cªn n¸u h» l ên ành v câ mët sè δ > 0 sao cho n¸u kx0 k < δ th¼ lim kx(t)k = 0. t→∞ ành ngh¾a 1.2.3. H» (1.1) l ên ành mô n¸u tçn t¤i c¡c sè M > 0, δ > 0 sao cho måi nghi»m cõa h» (1.1) vîi x(t0 ) = x0 thäa m¢n kx(t)k ≤ M e−δ(t−t0 ) kx0 k, ∀t ≥ t0 . i·u n y câ ngh¾a l nghi»m 0 cõa h» khæng nhúng ên ành ti»m cªn m nghi»m cõa nâ ti¸n tîi 0 nhanh vîi tèc ë theo h m sè mô. B i to¡n ên ành hâa cõa h» (1.1) l t¼m h m i·u khiºn (câ thº phö thuëc v o bi¸n tr¤ng th¡i m ng÷íi ta th÷íng gåi l h m i·u khiºn ng÷ñc): 7
u(t) = h(t, x(t)) sao cho h» âng: x(t) ˙ = f (t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t)) l ên ành ti»m cªn (ho°c ên ành mô). Nh÷ vªy möc ½ch cõa v§n · ên ành hâa h» thèng i·u khiºn l t¼m c¡c h m i·u khiºn ng÷ñc sao cho h» thèng ¢ cho ùng vîi i·u khiºn â trð th nh h» thèng ên ành. 1.2.1 Ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov º gi£i b i to¡n ên ành c¡c h» phi tuy¸n ng÷íi ta hay dòng ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov. Ph÷ìng ph¡p n y düa v o sü tçn t¤i cõa mët lîp h m trìn °c bi»t gåi l h m Lyapunov m t½nh ên ành cõa h» ÷ñc thû trüc ti¸p qua d§u cõa ¤o h m theo nghi»m (h m v¸ ph£i) cõa h» ¢ cho. X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n (1.1). Tr÷îc h¸t ta x²t lîp h m K l tªp c¡c h m li¶n töc t«ng ch°t a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0. H m V (t, x) : R+ × Rn → R gåi l h m Lyapunov n¸u: i) V (t, x) l h m x¡c ành d÷ìng theo ngh¾a ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ii) ¤o h m theo nghi»m l khæng ¥m: ∂V ∂V Df V (t, x) = + f (t, x) ≤ 0, ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . ∂t ∂x Tr÷íng hñp V (t, x) l h m Lyapunov v thäa m¢n th¶m i·u ki»n: iii) ∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b(kxk), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn . iv) ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ(kxk), ∀x ∈ Rn \ 0, th¼ gåi l h m Lyapunov ch°t. 8
ành lþ 1.2.4. N¸u h» phi tuy¸n khæng døng (1.1) câ h m Lyapunov th¼ h» l ên ành. N¸u h m Lyapunov â l ch°t th¼ h» l ên ành ti»m cªn. 1.2.2 B i to¡n ên ành hâa X²t h» i·u khiºn mæ t£ bði h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n   x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0,  (1.3)  x(0) = x0 .  ành ngh¾a 1.2.5. H» (1.3) gåi l ên ành hâa ÷ñc n¸u tçn t¤i h m h(x) : Rn → Rm sao cho h» âng : x(t) = f (t, x(t), h(x(t))), t ≥ 0, l ên ành ti»m cªn (ho°c ên ành mô). H m u(t) = h(x(t)) th÷íng gåi l h m i·u khiºn ng÷ñc. Tr÷íng hñp h» (1.3) l h» tuy¸n t½nh x˙ = Ax + Bu th¼ h» l ên ành ho¡ ÷ñc n¸u tçn t¤i ma trªn K sao cho h» âng x(t) ˙ = (A + BK)x(t) l ên ành ti»m cªn, ho°c nâi c¡ch kh¡c l n¸u ma trªn (A + BK) l ên ành (t.l. gi¡ trà ph¦n thüc cõa c¡c gi¡ trà ri¶ng cõa ma trªn l ¥m). 1.3 C¡c bê · bê trñ Bê · 1.3.1. ( B§t ¯ng thùc ma trªn Cauchy). 9
(i) Gi£ sû S ∈ Rn×n l mët ma trªn èi xùng x¡c ành d÷ìng v Q ∈ Rn×n , ta câ: 2 < Qy, x > − < Sy, y >≤< QS −1 QT x, x >, ∀y, x ∈ Rn . (ii) Gi£ sû N ∈ Rn×n l mët ma trªn èi xùng x¡c ành d÷ìng, ta câ: ±2xT y ≤ xT N x + y T N −1 y, ∀x, y ∈ Rn . Bê · 1.3.2. Cho ma trªn h¬ng Z = Z T > 0 b§t k¼ v c¡c ¤i l÷ñng h, h, 0 < h < h sao cho c¡c t½ch ph¥n sau l x¡c ành th¼ ta câ: Rt T 1 Rt Rt (i) T x (s)Zx(s)ds ≥ ( x(s)ds) Z( x(s)ds); t−h h t−h t−h −h t 2 −h R Rt −h R Rt (ii) R R T x (τ )Zx(τ )dτ ds ≥ ( x(τ )dτ ds)T Z( x(τ )dτ ds. h2 − h2 −h t+s −h t+s −h t+s Bê · 1.3.3. ( Bê · Schur) Cho c¡c ma trªn X, Y, Z, trong â Y = Y T > 0, X = X T , ta câ   T T −1 X Z  X +Z Y Z
Ch÷ìng 2 B i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹ Ch÷ìng n y tr¼nh b y b i to¡n ên ành hâa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹ v h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n khæng ætænæm câ tr¹. Nëi dung tr¼nh b y tø t i li»u [3], [4]. 2.1 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ Cho r ∈ R, r > 0, C([a, b], Rn ) l khæng gian c¡c h m li¶n töc ¡nh x¤ tø [a,b] v o Rn vîi chu©n kφk = sup kφ(t)k, t∈[a,b] trong â φ ∈ C[a, b]. N¸u [a, b] = [−r, 0], ta °t C = C([−r, 0], Rn ) vîi chu©n trong C kφkc = sup kφ(t)k. t∈[−r,0] 11
Vîi t0 ∈ R, A ≥ 0 v x ∈ C([t0 − r, t0 + A], Rn ), th¼ vîi b§t k¼ t ∈ [t0 , t0 + A] ta x¡c ành ÷ñc xt ∈ C nh÷ sau: xt (θ) = x(t + θ), −r < θ < 0. D¤ng têng qu¡t cõa h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ l x(t) ˙ = f (t, xt ), (2.1) trong â x(t) ∈ Rn , f : R × C → Rn , xt : C → Rn . Tø (2.1) ta th§y r¬ng ¤o h m cõa bi¸n tr¤ng th¡i x t¤i t phö thuëc v o t v x(s) vîi t − r ≤ s < t. Nh÷ vªy, º x¡c ành ÷ñc tr¤ng th¡i x(t) ð thíi iºm t ≥ t0 ta c¦n bi¸t tr¤ng th¡i ban ¦u tr¶n kho£ng ë d i r, tùc l xt0 = φ, (2.2) trong â φ ∈ C. Hay x(t0 + φ) = φ(θ), −r ≤ θ ≤ 0. Vîi mët sè A > 0, mët h m x ÷ñc gåi l nghi»m cõa (2.1) tr¶n [t0 −r, t0 + A] n¸u trong kho£ng n y x l h m li¶n töc v thäa m¢n RFDE (Retarded Functional Differential Equation) (2.1) v (t, xt ) n¬m trong mi·n x¡c ành cõa h m f . N¸u nghi»m công thäa m¢n i·u ki»n ban ¦u (2.2) ta nâi nâ l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh RFDE (2.1) vîi i·u ki»n ban ¦u (2.2), hay ìn gi£n l nghi»m t¤i (t0 , φ). Ta k½ hi»u x(t0 , φ, f ) khi c¦n ch¿ rã nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.1) vîi i·u ki»n ban ¦u (t0 , φ). Gi¡ trà cõa x(t0 , φ, f ) t¤i t k½ hi»u x(t; t0 , φ, f ). N¸u khæng g¥y nh¦m l¨n ta s³ t¤m qu¶n i f v vi¸t x(t0 , φ) ho°c x(t; t0 , φ). T÷ìng tü nh÷ ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng ta công câ cæng thùc nghi»m d¤ng t½ch ph¥n cõa h» (2.1) v (2.2) l x t0 = φ 12
Zt x(t) = φ(0) + f (s, xs )ds, t ≥ t0 . t0 Ta công câ ành ngh¾a v· ên ành cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n câ tr¹ t÷ìng tü nh÷ cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng. ành ngh¾a 2.1.1. Nghi»m x(t) = 0 cõa h» (2.1) ÷ñc gåi l ên ành n¸u ∀ > 0, ∀t0 > 0 ·u tçn t¤i δ = δ(t0 , ) > 0 sao cho måi nghi»m x(t, t0 , φ) thäa m¢n kxt0 k < 0 th¼ kx(t, t0 , φ)k ≤ , ∀t ≥ t0 . ành ngh¾a 2.1.2. Nghi»m x(t) = 0 cõa h» (2.1) ÷ñc gåi l ên ành ti»m cªn n¸u nâ ên ành v hìn núa vîi b§t k¼ t0 > 0, ∀ > 0, tçn t¤i δa = δa (t0 , ) > 0 sao cho måi nghi»m x(t, t0 , φ) cõa h» thäa m¢n kxt0 k < δa th¼ lim kx(t, t0 , φ)k = 0. t→t0 º gi£i b i to¡n ên ành h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ ta sû döng ph÷ìng ph¡p h m Lyapunov nh÷ vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng khæng câ tr¹: H m V (t, xt ) : R+ × C → R gåi l h m Lyapunov n¸u: i) V (t, xt ) l h m x¡c ành d÷ìng theo ngh¾a ∃a(.) ∈ K : V (t, xt ) ≥ a(kxk), ∀(t, xt ) ∈ R+ × C. ii) ¤o h m theo nghi»m l khæng ¥m: ∂V ∂V Df V (t, xt ) = + f (t, xt ) ≤ 0, ∀(t, xt ) ∈ R+ × C. ∂t ∂x 13
Tr÷íng hñp V (t, xt ) l h m Lyapunov v thäa m¢n th¶m i·u ki»n: iii) ∃a(.) ∈ K : V (t, xt ) ≤ b(kxt k), ∀(t, xt ) ∈ R+ × C. iv) ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, xt ) ≤ −γ(kxt k), ∀x ∈ Rn \ 0, th¼ gåi l h m Lyapunov ch°t. Ta câ ti¶u chu©n ên ành cho h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n câ tr¹ sau: ành lþ 2.1.3. N¸u tçn t¤i h m Lyapunov V (t, xt) v c¡c sè λ1, λ2 > 0 sao cho thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (i) λ1 kx(t)k2 ≤ V (t, xt ) ≤ λ2 kxt k2 , (ii) V˙ (t, xt ) ≤ 0, th¼ måi nghi»m x(t) cõa h» l bà ch°n. ∃N > 0 : kx(t, φ)k ≤ N kφk, ∀t ≥ 0. Hìn núa, n¸u i·u ki»n (ii) ÷ñc thay th¸ bði (iii) ∃λ3 > 0 : V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt ) th¼ nghi»m 0 cõa h» l to n bë sü ên ành h m sè mô ∃N > 0 : kx(t, φ)k ≤ N kφke−λ3 t , ∀t ≥ 0. 2.2 H» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹ X²t h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n phi tuy¸n ætænæm câ tr¹   x(t)  ˙ = Ax(t) + Dx(t − h(t)) + f (x(t)) + g(x(t − h(t)) + Bu(t), t ≥ 0,  x(t) = φ(t), t ∈ [−h2 , 0],  (2.3) 14
trong â x(t) ∈ Rn l v²ctì tr¤ng th¡i, u(t) ∈ Rm l v²ctì i·u khiºn, A, D v B l c¡c ma trªn câ sè chi·u t÷ìng ùng th½ch hñp v φ(t) ∈ C 1 ([−h2 , 0]; Rn ) l h m ban ¦u vîi chu©n kφkC 1 = max{supt∈[−h2 ,0] kφ(t)k, supt∈[−h2 ,0] kφ(t)k}. ˙ H m tr¹ h(t), thäa m¢n i·u ki»n sau: 0 < h1 ≤ h(t) ≤ h2 , t ≥ 0, (2.4) ð â h1 , h2 l c¡c h¬ng sè tr¹ cho tr÷îc. ành ngh¾a 2.2.1. Cho α > 0. H» (2.3) vîi u(t) = 0 l α - ên ành n¸u tçn t¤i mët sè d÷ìng β > 0 sao cho måi nghi»m x(t, φ) cõa h» thäa m¢n i·u ki»n sau: kx(t, φ)k ≤ βe−αt kφkC 1 , ∀t ∈ R+ . ành ngh¾a 2.2.2. Cho α > 0. H» (2.3) l α - ên ành hâa n¸u tçn t¤i h m i·u khiºn ng÷ñc u(t) = Kx(t) sao cho h» âng x(t) ˙ = (A + BK)x(t) + Dx(t − h(t)) + f (x(t)) + g(x(t − h(t))), (2.5) l α - ên ành. º ph¡t biºu ành lþ ta ÷a v o c¡c kþ hi»u (vn tt) sau: λ =λmin (P −1 ), A =λmax (P −1 ) + h1 λmax (P −1 Q1 P −1 ) + h2 λmax (P −1 Q2 P −1 ) + (h2 − h1 )λmax (P −1 Q3 P −1 ) 1 + h21 [λmax (P −1 S1 P −1 ) + λmax (P −1 S3 P −1 )] 2 15