Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tối ưu với ràng buộc là bài toán bù tổng quát

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

46
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày sơ lược về một số vẫn đề có liên quan như: Không gian vectơ Euclid Rn, P0 - hàm, P- hàm, P- hàm đều, hàm đơn điệu, hàm đơn điệu mạnh, P0 - ma trận, P0 - ma trận; giới thiệu bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chính Tikhonov cho bài toán cực trị tổng quát.... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tối ưu với ràng buộc là bài toán bù tổng quát

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THANH TM BI TON TÈI ×U VÎI RNG BUËC L BI TON BÒ TÊNG QUT LUN VN THC Sß TON HÅC THI NGUYN - 2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THANH TM BI TON TÈI ×U VÎI RNG BUËC L BI TON BÒ TÊNG QUT Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 60. 46. 01. 02 LUN VN THC Sß TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. NGUYN XUN TN THI NGUYN - 2017
i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng c¡c k¸t qu£ trong luªn v«n l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. C¡c sè li»u, k¸t qu£ n¶u trong luªn v«n ÷ñc tæi t¼m åc v tr½ch d¨n tø c¡c t i li»u [2], [11]. Th¡i Nguy¶n, ng y th¡ng n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thanh T¥m
ii Líi c£m ìn Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n tªn t¼nh cõa GS. TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n ng÷íi th¦y cõa m¼nh, trong mët thíi gian d i ¢ tøng b÷îc d¨n dt t¡c gi£ l m quen vîi bë mæn lþ thuy¸t tèi ÷u, ¢ truy·n cho t¡c gi£ nhúng kinh nghi»m trong nghi¶n cùu khoa håc, ëng vi¶n kh½ch l» t¡c gi£ v÷ñt qua nhúng khâ kh«n trong chuy¶n mæn v cuëc sèng. T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi c¡c gi¡o s÷, c¡c th¦y, cæ gi¡o cõa Vi»n To¡n håc v tr÷íng S÷ Ph¤m Th¡i Nguy¶n, nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh gi£ng d¤y, ¢ t¤o i·u ki»n v gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Cuèi còng, t¡c gi£ muèn b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi anh chà em håc vi¶n cao håc To¡n gi£i t½ch k23, nhúng ng÷íi th¥n trong gia ¼nh cõa m¼nh ¢ luæn ëng vi¶n, chia s´ v kh½ch l» º t¡c gi£ câ thº ho n th nh cæng vi»c håc tªp v nghi¶n cùu cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, ng y th¡ng n«m 2017 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thanh T¥m
iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 7 1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh . . . 9 1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh . . . . . . . . 9 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov . . . . . . . . . 10 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n cüc trà têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 B i to¡n bò . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.1 B i to¡n bò tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2 B i to¡n bò phi tuy¸n . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.3 B i to¡n bò têng qu¡t . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 B i to¡n cüc trà vîi r ng buëc l b i to¡n bò têng qu¡t 36 2.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
iv 2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n °t ra . . 41 2.3 V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 T i li»u tham kh£o 51
1 Mð ¦u B i to¡n bò câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc: kinh t¸, t i ch½nh, kÿ thuªt, vªt lþ, sinh th¡i v i·u khiºn tèi ÷u,... Vi»c nghi¶n cùu b i to¡n bò hi»n nay v¨n ang l v§n · thíi sü, °c bi»t l vi»c t¼m ra ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n bò ang ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m . B i to¡n bò nguy¶n gèc ÷ñc ph¡t biºu : Cho f : Rn → Rn, T¼m x¯ ∈ Rn+ sao cho x) ∈ Rn+ f (¯ v < x¯, f (¯ x) >= 0, (0.1) trong â Rn l khæng gian Euclid n - chi·u v Rn+ = {x = (x1 , x2 , ...., xn ) ∈ Rn+ , xi ≥ 0, i = 1, 2, ...n} Trong nhúng n«m g¦n ¥y ng÷íi ta têng qu¡t th nh b i to¡n: T¼m x¯ ∈ Rn− sao cho g(¯ x) ≥ 0 v < g(¯ x) ≥ 0, h(¯ x) >= 0. Möc ½ch cõa x), h(¯ luªn v«n n y l vi¸t mët c¡ch têng quan v· vi»c gi£i b i to¡n tèi ÷u vîi r ng buëc têng qu¡t nh÷ sau: Cho C ⊆ Rn, tªp âng S1, S2 ⊆ Rn, b i to¡n t¼m x˜ ∈ C ∩ S˜ sao cho x) = min ϕ(y), C˜ = C ∩ S, ϕ(˜ ˜ (0.2) y∈C˜ trong â C l tªp âng, lçi trong khæng gian Euclid Rn, S˜ = S˜1 ∩ S˜2 v n o ˜ n ˜ S1 = x ∈ R : g˜(x) ≤ 0, h(x) = 0 , (0.3) S˜2 = {x ∈ Rn : g(x) ≤ 0, h(x) ≤ 0, hg(x), h(x)iRq = 0}
2 c¡c h m thüc ϕ : Rn → R, g˜ : Rn → Rm, h˜ : Rn → Rp, g v h: Rn → Rq l li¶n töc, kþ hi»u y = (y1, y2, ...., ym) ≤ 0 câ ngh¾a l yi ≤ 0, ∀i = 1, 2, ...n. Ta gi£ thi¸t nghi»m cõa c¡c b i to¡n (0.1), (0.2) v (0.3) l kh¡c réng. Tr÷íng hñp khi m = n, g(x) = −x, h(x) = −F (x), vîi F : Rn → Rn l ¡nh x¤ affin, ngh¾a l F (x) = M x + q, M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , b i to¡n (01) ÷ñc gåi l b i to¡n bò tuy¸n t½nh, kþ hi»u bði LCP(q,M). T¼m hiºu nghi»m cõa c¡c b i to¡n tr¶n ta ¢ thu ÷ñc k¸t qu£ sau. ành lþ 0.1. [8] Khi M ∈ Rn×n l P - ma trªn vîi t§t c£ c¡c ành thùc con ch½nh cõa M d÷ìng th¼ LCP(q,M) câ mët nghi»m vîi q ∈ Rn . ành lþ 0.2. [8] N¸u q khæng ¥m th¼ b i to¡n bò tuy¸n t½nh LCP (q, M ) luæn gi£i ÷ñc v x = 0 l mët nghi»m t¦m th÷íng cõa nâ. Nghi¶n cùu mèi quan h» giúa b i to¡n bò tuy¸n t½nh v b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, kþ hi»u bði VI(K,F), l b i to¡n t¼m mët vectì x ∈ K ⊂ Rn sao cho hy − x, F (x)i ≥ 0, ∀y ∈ K ð ¥y F : K → Rn l h m li¶n töc v K l tªp âng, lçi, ta câ th¶m ÷ñc k¸t qu£ sau. ành lþ 0.3. [8] N¸u F = M x + q, M ∈ Rn×n , q ∈ Rn , x ∈ Rn+ th¼ VI (F, Rn+ ) v b i to¡n bò tuy¸n t½nh LCP(q,M) câ nghi»m ho n to n tròng nhau.
3 Tr÷íng hñp khi n = m, g(x) = −x, h(x) = −F (x) vîi F l ¡nh x¤ phi tuy¸n tø Rn v o Rn, b i to¡n (0.1) ÷ñc gåi l b i to¡n bò phi tuy¸n, kþ hi»u bði NCP(F), â l b i to¡n t¼m vectì x ∈ Rn sao cho x ≥ 0, F (x) ≥ 0, hx, F (x)i = 0, (0.4) hi»n nay c¡c nh khoa håc ¢ t¼m ra r§t nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i cho c¡c lo¤i b i to¡n n y. T§t c£ c¡c ph÷ìng ph¡p ÷a ra ·u d¨n tîi gi£i mët b i to¡n cüc tiºu ho°c mët h» ph÷ìng tr¼nh t÷ìng ÷ìng. Nhi»m vö cõa luªn v«n l gi£i b i to¡n tèi ÷u vîi r ng buëc l b i to¡n bò têng qu¡t b¬ng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh. Tr÷îc h¸t ta nhc l¤i mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n bò têng qu¡t tr¶n. 1. Ph÷ìng ph¡p sû döng h m kho£ng Þ t÷ðng cõa ph÷ìng ph¡p n y l bi¸n êi b i to¡n bò phi tuy¸n NCP(F) v· b i to¡n tèi ÷u qua vi»c sû döng c¡c h m kho£ng. Cæng cö thuªn ti»n º thi¸t lªp h m kho£ng l C - h m, â l h m φ : R2 → R thäa m¢n c¡c t½nh ch§t: φ(a, b) = 0 ⇔ ab = 0, a ≥ 0, b ≥ 0. Ta câ mët sè C - h m sau: 1. φN R (a, b) = min {a, b} ; 2. φM S (a, b) = ab + 2α1 (max{0, a − αb}2 − a2 +max {0, b − αa}2 − b2), α > 1; √ 3. φF B (a, b) = a2 + b2 − a − b. H m kho£ng ÷ñc x¥y düng tr¶n h m φN R ÷ñc gåi l h m sè d÷ tü nhi¶n. H m φF B khæng ¥m tr¶n R2 v h m kho£ng ÷ñc x¥y düng tr¶n nâ gåi l
4 h m Lagrange ©n ÷ñc ÷a v o bði c¡c nh khoa håc nh÷ Mangasarian v Solodov. H m φF B ÷ñc gåi l h m Fischer. G¦n ¥y, düa tr¶n h m φF B nhi·u nh khoa håc ¢ mð rëng nghi¶n cùu v ÷a ra mët sè h m mîi câ t½nh ch§t tèt hìn. Luo v Tseng ¢ ÷a ra mët lîp c¡c h m kho£ng mîi f˜ : Rn → R x¡c ành bði n X f˜(x) = ψ0 (hx, F (x)iRn ) + ψi (−xi , −Fi ), i=1 ð ¥y ψ0 :→ [0, ∞) v ψi : R2 → [0, ∞) , i = 1, 2, ..., n l c¡c h m li¶n töc. Þ t÷ðng mîi n y ÷ñc Kanzow C., Yamashita N. v Fukushima M. [10] sû döng º x¥y düng h m kho£ng mîi. 2. Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Ta sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov b¬ng c¡ch nhi¹u h m ban ¦u th nh mët d¢y c¡c b i to¡n °t ch¿nh. L÷ñc ç hi»u ch¿nh Tikhonov trong [5], [6] èi vîi b i to¡n bò bao gçm vi»c gi£i d¢y c¡c b i to¡n: x ≥ 0, Fε (x) ≥ 0, hx, Fε (x)iRn = 0, (0.5) ð ¥y, Fε(x) = F (x) + εx v ε l tham sè d÷ìng hëi tö tîi 0. 3. Ph÷ìng ph¡p k¸t hñp h m kho£ng v hi»u ch¿nh º gi£i b i to¡n ta düa tr¶n h m H l h m i tø khæng gian Rn+1 tîi Rn+1 , ÷ñc x¥y düng bði H (ε, z) = 0 ⇔ ε = 0, x ∈ S 0 , (0.6) trong â S 0 l tªp nghi»m cõa (0.4), z := (ε, x) ∈ R × Rn , H(ε, z) := hε, G(ε, z)i
5 v h m kho£ng G : Rn+1 → Rn, vîi Gi (ε, x) := φ(xi , Fε,i (x)), i = 1, 2, ..., n, trong â φ(.) l h m Fischer, Fε,i l th nh ph¦n thù i cõa Fε. Sü hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh èi vîi (0.5) v (0.6) ch¿ ÷ñc thi¸t lªp trong tr÷íng hñp F l ìn i»u ho°c P0 - h m. Hìn núa, tèc ë hëi tö cõa nghi»m hi»u ch¿nh v¨n ch÷a ÷ñc xem x²t. Trong [3], N. B÷íng ¢ sû döng ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov º bi¸n êi b i to¡n (0.2) th nh b i to¡n khæng r ng buëc. Ti¸p nèi vîi þ t÷ðng tr¶n trong luªn v«n n y, chóng tæi ¢ nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n cüc trà trong tr÷íng hñp b i to¡n câ r ng buëc l b i to¡n bò têng qu¡t. Nh÷ vªy, trong nhúng tr÷íng hñp °c bi»t, b i to¡n bò câ nhi·u ph÷ìng ph¡p gi£i kh¡c nhau. Tuy nhi¶n, c¡c k¸t qu£ ÷a ra ·u ái häi c¡c h m trong b i to¡n ph£i câ t½nh ch§t ìn i»u ho°c l P0 - h m. M°t kh¡c, èi vîi b i to¡n bò têng qu¡t, ch÷a câ thuªt to¡n hi»u ch¿nh. Ch½nh v¼ vªy, luªn v«n n y tªp trung nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh b i to¡n bò têng qu¡t nh¬m kh¡c phöc nhúng nh÷ñc iºm tr¶n. Chóng tæi ¢ ti¸p cªn b i to¡n theo h÷îng kh¡c v ÷a ra mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n n y. Ph÷ìng ph¡p mîi y¶u c¦u h m g(x) v h(x) ph£i câ t½nh ch§t P0 - h m. Thuªt to¡n hi»u ch¿nh d¨n tîi cüc tiºu mët phi¸m h m phö thuëc tham sè nh÷ng khæng r ng buëc, do â b i to¡n trð n¶n ìn gi£n hìn r§t nhi·u. C¡c k¸t qu£ ÷ñc giîi thi»u trong luªn v«n bao gçm: 1. Tr¼nh b y thuªt to¡n hi»u ch¿nh cho b i to¡n bò têng qu¡t;
6 2. Tr¼nh b y thuªt to¡n hi»u ch¿nh cho b i to¡n tèi ÷u vîi r ng buëc l b i to¡n bò têng qu¡t; 3. Minh håa c¡c ph÷ìng ph¡p ÷a ra b¬ng b i to¡n cö thº. Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v danh möc c¡c t i li»u tham kh£o, luªn v«n ÷ñc bè cöc gçm hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 câ t½nh ch§t bê trñ, tr¼nh b y sì l÷ñc v· mët sè v§n · câ li¶n quan nh÷: Khæng gian vectì Euclid Rn, P0 - h m, P - h m, P - h m ·u, h m ìn i»u, h m ìn i»u m¤nh, P0 - ma trªn, P - ma trªn; giîi thi»u b i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n cüc trà têng qu¡t. Ch÷ìng 1 công tr¼nh b y kh¡i ni»m v· b i to¡n bò tuy¸n t½nh, b i to¡n bò phi tuy¸n v mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n n y. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y b i to¡n cüc trà vîi r ng buëc l b i to¡n bò têng qu¡t, bao gçm: ành ngh¾a v mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu g¦n ¥y; ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n n y v mët sè ành lþ chùng minh sü tçn t¤i nghi»m. Cuèi ch÷ìng l v½ dö minh håa cho ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov.
7 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v k¸t qu£ quen bi¸t v· c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n bò nh÷ ph÷ìng ph¡p sû döng h m kho£ng, ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh, v c¡c ki¸n thùc v· b i to¡n °t khæng ch¿nh, ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov. Mët sè kh¡i ni»m trong ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b y düa tr¶n c¡c t i li»u [2] v [16]. 1.1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n ành ngh¾a 1.1. Cho V l mët khæng gian vector tr¶n tr÷íng R. T½ch væ h÷îng tr¶n V l mët ¡nh x¤ ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: h., .i : V × V → R, (x, y) 7→< x, y > thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: i). hx, yi = hy, xi , ∀x, y ∈ V ; ii). hx + y, zi = hx, yi + hy, zi , ∀x, y, z ∈ V ; iii). hλx, yi = λ hx, yi , ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ V ; iv). hx, xi ≥ 0, ∀x ∈ V, hx, xi = 0 ⇔ x = 0. hx, yi ÷ñc gåi l t½ch væ h÷îng cõa hai vectì x v y.
8 R còng vîi t½ch væ h÷îng n y ÷ñc gåi l khæng gian ti·n Hilbert. Ti¸p theo ta ÷a ra mët sè ành ngh¾a v· ¡nh x¤ tø Rn v o Rn. ành ngh¾a 1.2. nh x¤ F : Rn → Rn ÷ñc gåi l : • P0 - h m n¸u vîi måi x, y ∈ Rn , x 6= y tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho xi 6= yi , (xi − yi )(Fi (x) − Fi (y)) ≥ 0; • P - h m n¸u vîi måi x, y ∈ Rn , x 6= y tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho xi 6= yi , (xi − yi )(Fi (x) − Fi (y)) > 0; • P - h m ·u n¸u tçn t¤i mët h¬ng sè d÷ìng µ sao cho vîi måi x, y ∈ Rn tçn t¤i mët ch¿ sè i sao cho (xi − yi ) (Fi (x) − Fi (y)) ≥ µkx − yk2 ; • H m ìn i»u n¸u vîi måi x, y ∈ Rn , hx − y, F (x) − F (y)i ≥ 0; • H m ìn i»u m¤nh n¸u vîi måi x, y ∈ Rn v µ >0 cè ành: hx − y, F (x) − F (y)i ≥ µkx − yk2 . Tø c¡c ành ngh¾a tr¶n ta suy ra h m ìn i»u l P0 - h m v h m ìn i»u m¤nh l P - h m ·u. Vîi ma trªn ta câ ành ngh¾a sau ành ngh¾a 1.3. Ma trªn M ∈ Rn×n ÷ñc gåi l • P0 - ma trªn n¸u vîi måi x ∈ Rn , x 6= 0 tçn t¤i mët ch¿ sè i0 = i0 (x) sao cho xi0 6= 0, xi0 [M x]i0 ≥ 0;
9 • P - ma trªn n¸u vîi måi x, y ∈ Rn , x 6= 0 max xi [M x]i > 0. i 1.2 B i to¡n °t khæng ch¿nh v ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Trong ph¦n n y ta · cªp ¸n kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh d÷îi d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû, còng vîi ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho lîp b i to¡n n y. 1.2.1 Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh Ta tr¼nh b y kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh ð d¤ng mët ph÷ìng tr¼nh to¡n tû, cö thº: X²t b i to¡n t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh A(x) = f, (1.1) trong â A l to¡n tû tø khæng gian m¶tric X v o khæng gian m¶tric Y vîi c¡c kho£ng c¡ch t÷ìng ùng l ρX , ρY v f ∈ Y . Theo Hadamard J. b i to¡n (1.1) gåi l °t ch¿nh (ch½nh quy) n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: i). ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ nghi»m xf , ∀f ∈ Y ; ii). nghi»m xf ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t; iii). nghi»m xf phö thuëc li¶n töc v o f . N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng ÷ñc thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l b i to¡n °t khæng ch¿nh.V º gi£i ÷ñc c¡c b i to¡n d¤ng n y th¼ ta c¦n ph÷ìng ph¡p mîi.
10 1.2.2 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov Ta tr¼nh b y mët c¡ch sì l÷ñc v· ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov, â l º t¼m nghi»m x§p x¿ cõa b i to¡n (1.1) khi khæng bi¸t thæng tin v· nghi»m ch½nh x¡c x0, Tikhonov N. A. ¢ ÷a ra mët kh¡i ni»m mîi. ÷ñc gåi l ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh düa tr¶n vi»c x¥y düng to¡n tû hi»u ch¿nh v c¡ch chån gi¡ trà cõa mët tham sè mîi ÷a v o. Gi£ sû A−1 khæng li¶n töc v thay cho f ta bi¸t fδ : ρY (fδ , f ) ≤ δ → 0. B i to¡n °t ra l düa v o thæng tin v· (A, fδ ) v mùc sai sè δ, t¼m mët ph¦n tû xδ x§p x¿ nghi»m ch½nh x¡c x0 cõa b i to¡n (1.1). Rã r ng ta khæng thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ xδ theo quy tc xδ = A−1fδ , v¼ thù nh§t l A−1 câ thº khæng x¡c ành vîi måi f ∈ Y , thù hai l A−1 khæng li¶n töc, n¶n n¸u A−1fδ tçn t¤i, công ch÷a chc ¢ x§p x¿ A−1f . Tham sè δ ch¿ cho ta mùc ë sai sè v¸ ph£i cõa (1.1). V¼ vªy mët i·u n£y sinh tü nhi¶n l li»u câ thº x¥y düng ph¦n tû x§p x¿ phö thuëc v o mët tham sè n o â v tham sè n y ÷ñc chån t÷ìng th½ch vîi δ sao cho khi δ → 0 th¼ ph¦n tû x§p x¿ n y hëi tö ¸n nghi»m x0. Ta công th§y n¸u ÷ñc th¼ tø fδ ∈ Y ta câ ph¦n tû x§p x¿ thuëc X , tùc l tçn t¤i mët to¡n tû n o â t¡c ëng tø khæng gian Y v o khæng gian X . Ta câ ành ngh¾a v· to¡n tû hi»u ch¿nh nh÷ sau: ành ngh¾a 1.4. To¡n tû R(f, α) phö thuëc tham sè α t¡c ëng tø Y v o X ÷ñc gåi l mët to¡n tû hi»u ch¿nh cho b i to¡n (1.1) n¸u: i). Tçn t¤i hai sè d÷ìng α1 v δ1 sao cho to¡n tû R(f, α) x¡c ành vîi måi α ∈ (0, α1 ) v vîi måi fδ ∈ Y : ρY (fδ , f ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 ); ii). Tçn t¤i mët sü phö thuëc α = α(fδ , f ) sao cho vîi måi ε > 0, ∃δ(ε) ≤ δ1 º vîi måi fδ ∈ Y thäa m¢n ρY (fδ , f ) ≤ δ ≤ δ1 th¼ ρX (xα , x0 ) ≤ ε, ð ¥y x0 l nghi»m ch½nh x¡c cõa (1.1) v xα ∈ R(fδ , α(fδ , f )). Ph¦n tû xα ÷ñc gåi l nghi»m hi»u ch¿nh cõa b i to¡n (1.1) v α =
11 α(fα , δ) gåi l tham sè hi»u ch¿nh. Chó þ 1.1. Tr÷íng hñp α = δ, ành ngh¾a v· to¡n tû hi»u ch¿nh câ d¤ng ìn gi£n sau; i). Tçn t¤i mët sè d÷ìng δ1 sao cho to¡n tû R(f, δ) x¡c ành vîi måi 0 ≤ δ ≤ δ1 v vîi måi f ∈ Y sao cho ρY (f, f0 ) ≤ δ; ii). Vîi ε > 0 b§t k¼, tçn t¤i δ0 = δ0(ε, fδ ) ≤ δ1 sao cho tø ρY = (fδ , f0) ≤ δ ≤ δ0 ; ρX = (xδ , x0 ) ≤ ε, ð ¥y xδ ∈ R(fδ , δ). Chó þ 1.2. To¡n tû hi»u ch¿nh R(fδ , δ) câ thº l mët ¡nh x¤ a trà. 1.2.3 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov cho b i to¡n cüc trà têng qu¡t X²t b i to¡n tèi ÷u phi tuy¸n câ r ng buëc nh÷ sau: t¼m x˜ ∈ Rn sao cho ϕN (˜ x) = min ϕN (x), (1.2) x∈S S = {x ∈ Rn : fi (x) = 0, i = 1, 2, ..., m; ϕ˜j (x) ≤ 0, j = 1, 2, ..., N − 1} ð ¥y fi, i = 1, 2, ...m; ϕ˜j , j = 1, 2, ..., N − 1 v ϕN l nhúng h m li¶n töc x¡c ành trong khæng gian Euclide Rn. °t: S0 := {x ∈ Rn : fi (x) = 0} , i = 1, 2, ..., m, Sj := {x ∈ Rn : ϕ˜j (x) ≤ 0} , j = 1, 2, ..., N − 1, th¼ S = ∩j=0 Sj . Gi£ sû S 0 := x˜ ∈ S : ϕN (˜ x) = min ϕN (x) 6= ∅. N −1 x∈S Trong tr÷íng hñp S = R , b i to¡n (1.2) l b i to¡n cüc trà khæng r ng n buëc, câ ngh¾a l b i to¡n t¼m mët ph¦n tû x˜ ∈ Rn sao cho ϕj (˜ x) = min ϕj (x) , j = 1, 2, ..., N, (1.3) x∈S0 S0 = {x ∈ Rn : F (x) = 0} , ð ¥y F (x) = (f1 (x) , ...., fm (x))T . B i to¡n (1.3) câ thº gi£i b¬ng c¡ch x²t b i to¡n tèi ÷u khæng r ng buëc:
12 t¼m mët ph¦n tû xα ∈ Rn sao cho Fα (xα ) = min n Fα (x) , α > 0, x∈ N X Fα (x) = kF (x)k2Rm + αµj ϕj (x) + α kx − x∗ k2Rn , (1.4) j=1 0 ≤ µ1 < µ2 < .... < µN < 1, j = 2, 3, ..., N − 1, ð ¥y, x∗ l ph¦n tû n o â trong Rn. Trong [17] b i to¡n (1.4) ¢ ÷ñc gi£i ra v câ mët nghi»m xα vîi méi α > 0. Khæng l m m§t t½nh têng qu¡t, câ thº gi£ thi¸t ϕN (x) ≥ 0 ∀x ∈ Rn . Hìn núa, gi£ sû ϕN câ nhúng tªp mùc âng, ngh¾a l {x ∈ Rn : ϕN (x) ≤ c} l âng vîi måi c > 0. Ph¡t triºn b i to¡n (1.4) ta thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau: ành lþ 1.1. ([1]) N¸u αk → 0 khi k → ∞ th¼ måi d¢y xk , ð ¥y xk := xαk l mët nghi»m cõa (1.4) vîi α thay bði αk , câ mët d¢y hëi tö. Giîi h¤n cõa måi d¢y con hëi tö l nghi»m cõa (1.2). Hìn núa, n¸u x˜ l nghi»m duy nh§t th¼ lim xk = x˜. k→∞ Trong tr÷íng hñp {fi, ϕj } ÷ñc cho bði c¡c x§p x¿ fiδ , ϕδj thäa m¢n c¡c i·u ki»n:
fi (x) − f δ (x)
≤ δ, i = 1, 2, ..., m,