Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

41
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là tìm hiểu và học tâp về các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác, từ đó hình thành một số chuyên đề phục vụ cho công tác giảng dạy và bồi dưỡng Toán cho học sinh trường THPT. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TRẦN HUY THỤY BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN NHIỀU TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Thái Nguyên - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
i Mục lục Danh mục ký hiệu iii Mở đầu 1 Chương 1. Bất đẳng thức đối với hai tam giác liên quan 4 1.1 Kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Các đại lượng và định lý thông dụng trong tam giác . . . 6 1.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Giới thiệu về Daniel Pedoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.3 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe mở rộng . . . . . . . . . . . 14 1.3 Tam giác trực tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Tam giác trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Mô tả bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin . . . . . . . . . . . . 28 1.5.1 Bất đẳng thức giữa các cạnh và các góc của các tam giác . 28 1.5.2 Một số hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Chương 2. Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác 36 2.1 Dãy các tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ii 2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.1.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Bất đẳng thức Oppenheim đối với nhiều tam giác . . . . . . . . . 38 2.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Bất đẳng thức giữa một tam giác với nhiều tam giác liên quan . 41 2.3.1 Bất đẳng thức diện tích cho hai tam giác có quan hệ với nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.2 Bất đẳng thức diện tích cho n tam giác . . . . . . . . . . . 43 2.3.3 Bất đẳng thức cho các góc của dãy n tam giác . . . . . . . 44 2.3.4 Bất đẳng thức bao gồm bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.5 Bất đẳng thức bao gồm nửa chu vi và bán kính đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3.6 Bất đẳng thức bao gồm diện tích và bán kính đường tròn ngoại tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3.7 Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
iii Danh mục ký hiệu ABC Tam giác ABC a, b, c Độ dài các cạnh BC, CA, AB ∆ Diện tích tam giác s Nửa chu vi tam giác ma , mb , mc Độ dài các trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c wa , wb , wc Độ dài các phân giác ứng với các cạnh a, b, c ha , hb , hc Độ dài các đường cao ứng với các cạnh a, b, c r, R Bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ra , rb , rc Bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với các cạnh a, b, c P a Tổng a + b + c P 2 a Tổng a2 + b2 + c2 P 2 02 (a a ) Tổng a2 a02 + b2 b02 + c2 c02 P cot A Tổng cot A + cot B + cot C {E} "Đẳng thức xảy nếu và chỉ nếu tam giác ABC là tam giác đều" {Sn } "Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n tam giác là đồng dạng". S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
1 Mở đầu Bất đẳng thức liên quan đến hai hay nhiều tam giác, hoặc một dãy các tam giác cho biết mối quan hệ mật thiết nào đó giữa các đại lượng của các tam giác. Các bất đẳng thức này thuộc loại khó và có số lượng rất khiêm tốn so với các bất đẳng thức trong một tam giác. Cho tam giác ABC , với a, b, c là các cạnh, s, R, r và ∆ lần lượt là nửa chu vi, bán kính đường tròn ngoại tiếp, bán kính đường tròn nội tiếp, và diện tích. wa , wb , wc lần lượt là các phân giác trong của các góc, và ha , hb , hc lần lượt là các chiều cao. Tương tự, đối với tam giác A0 B 0 C 0 , độ dài các cạnh và các đại lượng khác được ký hiệu là a0 , b0 , c0 , ... Đã có một thời gian dài các học giả nghiên cứu về bất đẳng thức giữa hai tam giác. Hai trong những bất đẳng thức nổi tiếng đó là bất đẳng thức của Neuberg–Pedoe [5] a02 (b2 + c2 − a2 ) + b02 (c2 + a2 − b2 ) + c02 (a2 + b2 − c2 ) ≥ 16∆∆0 và bất đẳng thức Klamkin [2] a02 + b02 + c02 ≥ (−1)n+1 (2a0 b0 cos nC + 2b0 c0 cos nA + 2c0 a0 cos nB). Gần đây, các học giả Trung Quốc đã tìm thêm một số bất đẳng thức mới liên quan hai tam giác (xem [5]). Chẳng hạn như, Zhang và Gao đã chứng minh bất đẳng thức như sau đây a2 a02 + b2 b02 + c2 c02 ≥ 16∆∆0 , √ a0 (b + c − a) + b0 (c + a − b) + c0 (a + b − c) ≥ 48∆∆0 . S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
2 Mục đích của đề tài luận văn là tìm hiểu và học tập về các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác, từ đó hình thành một số chuyên đề phục vụ cho công tác giảng dạy và bồi dưỡng Toán cho các học sinh ở bậc THPT. Trong luận văn này, tên gọi của các chương, các mục và các tiểu mục là do chúng tôi tự đặt ra để cho phù hợp với nội dung tương ứng. Luận văn có bố cục: Mở đầu, hai chương, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Bất đẳng thức đối với hai tam giác trình bày các bất đẳng thức đối với hai tam giác có liên quan đặc biệt nào đó (tam giác Trực tâm, tam giác Trung tuyến), các bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng độ dài, diện tích và các góc của hai tam giác bất kỳ (các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe, ...). Chương 2: Các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác trình bày các bất đẳng thức liên quan đến nhiều tam giác. Các vấn đề được trình bày trong chương này có thể tóm lược như sau. Trước hết là các bất đẳng thức liên quan đến dãy các tam giác. Bắt đầu với tam giác ABC , chúng ta liên tục xây dựng dãy các tam giác (An Bn Cn )n∈N , với A0 B0 C0 = ABC và số đo góc và độ đo cạnh được định nghĩa một cách đệ quy bởi π − An π − Bn π − Cn An+1 = , Bn+1 = , Cn+1 = , 2 2 2 p p an+1 = an (bn + cn − an ), bn+1 = bn (cn + an − bn ), p cn+1 = cn (an + bn − cn ). Tiếp đó, giả sử rằng Ai , Bi , Ci (i = 0, 1, ..., n − 1) là n tam giác với độ dài các cạnh ai , bi , ci . Xét tam giác An Bn Cn , có các cạnh an , bn , cn được định nghĩa bởi các phương trình n−1 X n−1 X n−1 X a2n = a2i , b2n = b2i , c2n = c2i . 0 0 0 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
3 Sau cùng, xét các bất đẳng thức giữa tam giác ABC và n tam giác Ai Bi Ci liên quan với nhau theo hệ thức X X X a= w i ai , b = wi bi , c = w i ci , i i i hoặc X X X A= wi A i , B = wi Bi , C = w i Ci , i i i P trong đó wi là các số dương cho trước với i wi = 1. Trong suốt quá trình học tập và làm luận văn, bên cạnh sự nỗ lực học tập, nghiên cứu của bản thân là sự hướng dẫn tận tình của Thầy hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Ngọc, Trường Đại học Thăng Long. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến Thầy. Em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin của Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các thầy, các cô giảng dạy lớp cao học toán K8YB đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình em học tập tại Trường cũng như quá trình làm luận văn. Em xin cảm ơn các thầy, cô trong Ban giám hiệu, các đồng nghiệp trường Trung học Phổ thông trường THPT Mù Cang Chải, Yên Bái nơi mà em đang công tác đã luôn tạo điều kiện giúp đỡ và động viên. Xin cảm ơn bạn bè và các học viên trong lớp cao học toán K8YB đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Sự quan tâm, động viên và khích lệ của gia đình cũng là nguồn động viên lớn để em hoàn thành khóa luận này. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016 Tác giả Trần Huy Thụy S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
4 Chương 1 Bất đẳng thức đối với hai tam giác liên quan Chương này trình bày một số kiến thức bổ trợ về bất đẳng thức của dãy số và về tam giác, các bất đẳng thức đối với hai tam giác có liên quan đặc biệt nào đó (tam giác trực tâm, tam giác trung tuyến), các bất đẳng thức liên quan đến các đại lượng độ dài, diện tích và các góc của hai tam giác bất kỳ (Các bất đẳng thức Barrow-Tomescu-Klamkin, Pedoe,.... Nội dung cơ bản của Chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [3-5]. 1.1 Kiến thức bổ trợ 1.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản Các bất đẳng thức đại số được ứng dụng rất sâu rộng trong chứng minh bất đẳng thức hình học. Trong luận văn này xin trình bày lại một số bất đẳng thức đại số cơ bản nhất đó là bất đẳng thức AM − GM (Arithmetic Mean - Geometric Mean), bất đẳng thức Cauchy - Schawrz, bất đẳng thức Chebyshev... Định lý 1.1. (Bất đẳng thức AM −GM ).Với n số thực không âm bất kì a1 , a2 , . . . , an , ta có bất đẳng thức a1 + a2 + . . . + an √ > n a1 .a2 . . . . .an . n Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an . S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
5 Hệ quả 1.1. (Bất đẳng thức GM − HM ).Với mọi bộ số dương ta đều có √ n n a1 .a2 . . . . .an > . 1 1 1 + + ... + a1 a2 an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an . Hệ quả 1.2. Với mọi bộ số dương a1 , a2 , . . . , an ta đều có 1 1 1 1 n + + ... + > . n a1 a2 an a1 + a2 + . . . + an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = . . . = an . Hệ quả 1.3. Với mọi bộ số không âm a1 , a2 , . . . , an và m = 1, 2, . . . ta đều có am m m 1 + a2 + . . . + an a + a + · · · + a m > 1 2 n . n n Định lý 1.2. (Bất đẳng thức Cauchy - Schawrz). Xét hai bộ số thực tùy ý a1 , a2 , · · · , an và b1 , b2 , · · · , bn . Khi đó ta có (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 6 (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ). a1 a2 an Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ··· = , (với quy ước nếu mẫu bằng b1 b2 bn 0 thì tử cũng bằng 0). Định lý 1.3. (Bất đẳng thức Chebyshev). 1. Nếu (a1 , a2 , ..., an ) và (b1 , b2 , ..., bn ) là hai dãy số đồng dạng (cùng đơn điệu tăng hoặc cùng đơn điệu giảm) thì a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn a + a + ... + a b + b + ... + b 1 2 n 1 2 n ≥ . (1.1) n n n 2. Nếu (a1 , a2 , ..., an ) và (b1 , b2 , ..., bn ) là hai dãy ngược nhau (một dãy đơn điệu tăng, còn dãy kia đơn điệu giảm) thì a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn a + a + ... + a b + b + ... + b 1 2 n 1 2 n ≤ . (1.2) n n n S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
6 Định lý 1.4. (Bất đẳng thức Holder) Cho a = (a1 , a2 , ..., an ) và b = (b1 , b2 , ..., bn ) 1 1 là hai bộ n số thực dương và p > 1, + = 1. Khi ấy p q n n ! p1 n ! 1q X X X ai b i ≤ api bqi . (1.3) i=1 i=1 i=1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ ap và bq tỉ lệ, nghĩa là api = kbqi với mọi i ∈ {1, 2, , . . . , n}. Định lý 1.5. (Bất đẳng thức Minkovski cho dãy số thực) Cho a = (a1 , a2 , ..., an ) và b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Rn và p > 1. Khi ấy " n # p1 n ! p1 n ! p1 X X X (ai + bi )p ≤ api + bpi . (1.4) i=1 i=1 i=1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a và b tỉ lệ, nghĩa là ai = kbi với mọi i ∈ {1, 2, ..., n}. 1.1.2 Các đại lượng và định lý thông dụng trong tam giác Trong phần này ta luôn giả sử tam giác ABC có: • BC = a, CA = b, AB = c; • ∆ là diện tích tam giác; • s là nửa chu vi tam giác; • ma , mb , mc , wa , wb , wc , ha , hb , hc lần lượt là độ dài các trung tuyến, các phân giác và các đường cao tương ứng với các cạnh a, b, c; • r, R, ra , rb , rc lần lượt là các bán kính đường tròn nội tiếp, bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn bàng tiếp với các cạnh a, b, c của tam giác ABC. P • a = a + b + c. S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
7 Định lý 1.6. (Định lý hàm số sin). Trong mọi tam giác ABC có hệ thức a b a = = = 2R. sin A sin B sin A Định lý 1.7. (Định lý hàm số cosin). Trong mọi tam giác ABC có hệ thức a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos A. Như một hệ quả của Định lý hàm số cosin, ta có khẳng định Định lý Pytago nổi tiếng Định lý 1.8. (Định lý Pytago). Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi a2 = b 2 + c 2 . Định lý 1.9. (Định lý Apollonius-Pappus). Tam giác ABC có các hệ thức sau đây về đường trung tuyến 2b2 + 2c2 − a2 m2a = , 4 2c2 + 2a2 − b2 m2b = , 4 2a2 + 2b2 − c2 m2c = . 4 Định lý 1.10. (Định lý đường phân giác). Tam giác ABC có các hệ thức sau đây về các đường phân giác 2bc 2ca 2ab wa = , wb = , wc = . b+c c+a a+b Định lý 1.11. (Định lý về diện tích của tam giác). Diện tích ∆ của tam giác S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
8 ABC được tính theo các công thức 1 1 1 ∆ = aha = bhb = chc 2 2 2 1 1 1 = ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 2 2 abc = 4R = sr = (s − a)ra = (s − b)rb = (s − c)rc p = s(s − a)(s − b)(s − c) (Công thức Heron). Định lý 1.12. (Bán kính đường tròn nội tiếp). Trong tam giác ABC ta có A B C r = (s − a) tan = (s − b) tan = (s − c) tan . 2 2 2 Định lý 1.13. (Bán kính đường tròn bàng tiếp). Trong tam giác ABC ta có A B C ra = s tan , rb = s tan , rc = s tan . 2 2 2 Định lý 1.14. (Công thức Euler). Trong tam giác ABC, ta có R(R − 2r) = OI 2 , trong đó O và I tương ứng ký là tâm của đường tròn ngoại tiếp và tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh. Giả sử DP là đường kính của đường tròn (O) và vuông góc với cạnh BC ; IL là đường vuông góc hạ từ I xuống DP và M là trung điểm cạnh BC (xem hình 1.1). _ _ Ta có, D [ IC bằng nửa tổng số đo các cung AE và DC . Mặt khác, ta có _ _ _ _ AE=BE và DC=BD . _ _ Do đó D [ IC bằng nửa tổng số đo các cung BE và BD, tức là nửa số đo cung _ DE . Suy ra D [ IC = I[ CD hay DIC là tam giác cân tại D. Do đó DC = DI. S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
9 P A O I L B C M D Hình 1.1: Theo hệ thức Pytago, ta có DC 2 = DM.DP hay DC 2 = 2R.DM. Áp dụng Định lý cosin cho tam giác OID, ta có d2 = OD2 + DI 2 − 2OD.DL = R2 + DC 2 − 2R.DL = R2 + 2R.DM − 2R.DL = R2 + 2R(DM − DL) = R2 − 2Rr. Như vậy Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.4. Trong một tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp không bé hơn đường kính của đường tròn nội tiếp. Chứng minh. Từ Định lý 1.14 và vì d ≥ 0 nên ta có R2 ≥ 2Rr ⇔ R ≥ 2r. S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
10 Định lý 1.15. (Bất đẳng thức Weizenbock, 1885-1955, Thụy Sĩ) Giả sử a,b,c là độ dài ba cạnh còn ∆ là diện tích của một tam giác thì √ a2 + b2 + c2 ≥ 4 3∆. (1.5) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Chứng minh. • Cách 1. Theo công thức Heron, ta có a+b+c ∆2 = s(s − a)(s − b)(s − c), s = . 2 Vận dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có s 3 (s − a)(s − b)(s − c) ≤ . 3 Dấu đẳng thức xảy ta khi và chỉ khi s − a = s − b = s − c ⇔ a = b = c. Suy ra s4 11 11 ∆2 ≤ = . (a + b + c)4 . 27 27 16 Vì vậy, 1 1 ∆ = √ . (a + b + c)2 . 3 3 4 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được 1 1 1 1 1 ∆ = √ . (a + b + c)2 ≤ √ . (1 + 1 + 1)(a2 + b2 + c2 ) = √ (a2 + b2 + c2 ). 3 3 4 3 3 4 4 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c = = . 1 1 1 Từ đó suya ra điều phải chúng minh. • Cách 2.Thật vậy, ta có √ √ 1 a2 + b2 + c2 − 4 3∆ = 2(b2 + c2 ) − 2bc cos A − 4 3 sin A 2 √ π 1 3 2 2 = 2(b + c ) − 4bc cos A + sin A = 2(b2 + c2 ) − 4bc cos(A − ) 2 2 3 ≥ 2(b2 + c2 ) − 4bc = 2(b − c)2 ≥ 0. π Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = c và A = , tức tam giác ABC đều. 3 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
11 Định lý 1.16. (Định lý Weizenbock mở rộng). Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn các điều kiện x + y, y + z, z + x, xy + yz + zx ≥ 0. Đặt a,b,c là độ dài 3 cạnh và ∆ là diện tích tam giác ABC. Khi đó √ xa2 + yb2 + zc2 ≥ 4 xy + yz + zx∆. (1.6) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c √ =√ =√ . (1.7) y+z x+z x+y Chứng minh. Áp dụng định lý hàm số cosin c2 = a2 + b2 − 2abcosC và công thức 1 diện tích tam giác ∆ = ab sin C, ta có 2 √ xa2 + yb2 + zc2 ≥ xy + yz + zx∆, √ ⇔ xa2 + yb2 + z(a2 + b2 − 2ab cos C) ≥ xy + yz + zx2ab sin C √ ⇔ (x + z)a2 + (y + z)b2 ≥ 2ab[ xy + yz + zx sin C + z cos C] a b √ ⇔ (x + z) + (y + z) ≥ 2[sin C xy + yz + zx + z cos C]. (1.8) b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có √ [sin C xy + yz + zx + z cos C]2 ≤ (xy + yz + zx + z 2 )(sin2 C + cos2 C) = xy + yz + zx + z 2 = (x + z)(y + z). Mặt khác h a b i2 (x + z) + (y + z) ≥ 4(x + z)(y + z). b a Do  đó (1.8) đúng. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (x + z) a = (y + z) b  b a  cosC = √ sinC  z xy + yz + zx a b √ =√   y+z x+z ⇔ 2C cos sin2 C sin2 C + cos2 C 1  2 = = =   z xy + yz + zx xy + yz + zx + z 2 (x + z)(y + z) Thay b cos C tương ứng vào biểu thức c = a + b2 − 2bc cosC bởi các biểu thức 2 2 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
12 tương ứng ở trên, ta có r x+z x+z z c2 = a2 + a2 − 2a2 y+z y + z (x + z)(y + z) p r c x+z z c x+y a c ⇔ ( )2 = 1 + −2 ⇔ = ⇔√ =√ . Vậy đẳng thức a y+z y+z a y+z y+z x+y xảy ra khi và chỉ khi a b c √ =√ =√ . (1.9) y+z x+z x+y Định lý được chứng minh. 1.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe 1.2.1 Giới thiệu về Daniel Pedoe Daniel Pedoe là giáo sư Toán học ở trường Đại học của Minnesota. Được sinh ra, lớn lên và học tập ở Anh. Ông nhận được bằng Tiến sĩ ở Đại học Cambridge năm 1937 và có một năm là thành viên của Viện nghiên cứu cao cấp Princeton. Năm 1947 ông nhận được học bổng Leverhulme, và trở lại Cambridge để làm việc với William Hodge về vấn đề "Phương pháp đại số hình học" (Cambridge University Press). Ba công trình của nội dung được đánh giá cao này đã được dịch sang tiếng Nga, và hai tập đầu tiên đã được tái phát hành bởi Đại học Cambridge. Pedoe đã được phong học hàm Giáo sư ở Sudan và Singapore. Ông trở thành công dân Hoa Kỳ vào năm 1962. Ông là tác giả của nhiều cuốn sách toán học, tất cả đều thể hiện sự quan tâm sâu sắc của ông trong hình học. Ông đã có một món quà cho triển lãm được thể hiện bởi sự thành công của "Nghệ thuật dịu dàng của Toán học" (The Gentle Art of Mathematics), xuất bản bởi Penguin Books, và các học bổng của giải thưởng Lester R. Ford cho triển lãm của Hiệp hội toán học của Mỹ. 1.2.2 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe được phát biểu bởi Định lý sau: S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
13 Định lý 1.17. Ký hiệu ai , bi , ci , ∆i tương ứng là độ dài các cạnh và diện tích của tam giác Ai Bi Ci , i = 1, 2. Khi đó có bất đẳng thức a21 (b22 + c22 − a22 ) + b21 (a22 + c22 − b22 ) + c21 (a22 + b22 − c22 ) ≥ 16∆1 ∆2 . (1.10) Để chứng minh Định lý 1.17 ta có Bổ đề 1.1 sau. Bổ đề 1.1. Với các số dương ai , bi , ci , i = 1, 2 có bất đẳng thức a21 (a22 + b22 − c22 ) + b21 (b22 + c22 − a22 ) + c21 (a22 + c22 − b22 ) ≥ 0. (1.11) Chứng minh. Bất đẳng thức (1.11) tương đương với (a21 + b21 + c21 )(a22 + b22 + c22 ) ≥ 2(a21 a22 + b21 b22 + c21 c22 ). Theo công thức Heron ta có 16∆2i = (a2i + b2i + c2i )2 − 2(a4i + b4i + c4i ) ≥ 0, hay q a2i + b2i + c2i ≥ 2(a4i + b4i + c4i ). Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy ra q (a21 + b21 + c21 )(a22 + b22 + c22 ) ≥ 2 (a41 + b41 + c41 )(a42 + b42 + c42 ) ≥ 2(a21 a22 + b21 b22 + c21 c22 ). Theo Bổ đề 1.1 ta có L = a21 (b22 + c22 − a22 ) + b21 (a22 + c22 − b22 ) + c21 (a22 + b22 − c22 ) ≥ 0. Ta cần chứng minh L2 ≥ (16∆21 )((16∆22 ). Có thể kiểm tra đồng nhất thức L2 − (16∆21 )((16∆22 ) = −4(U V + V W + W U ), S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
14 trong đó U = b21 c22 − b22 c21 , V = c21 a22 − c22 a21 , W = a21 b22 − a22 b21 . Sử dụng đồng nhất thức a21 b21 a21 U + b21 V + c21 W, hay W = − U − V c21 c21 ta có a21 c21 − a21 − b21 ) 2 4a21 b21 − (c21 − a21 − b21 )2 2 UV + V W + W U = − U − V − V c21 2a21 4a21 c21 a21 c21 − a21 − b21 ) 2 16∆21 2 =− U − V − 2 2 V ≤ 0. c21 2a21 4a1 c1 Từ đó suy ra điều phải chứng minh. • Chứng minh bất đẳng thức Neuberg-Pedoe Chứng minh. Xét các tam giác A1 B1 C1 , A2 B2 C2 trong R2 và giả sử các đỉnh của các tam giác có tọa độ A1 (p1 , 0), B1 (0, p2 ), C1 (0, p3 ), A2 (q1 , 0), B2 (0, q2 ), C2 (0, q3 ). Theo bất đẳng thức x2 + y 2 ≥ 2|xy|, ta có a21 (b22 + c22 − a22 ) + b21 (a22 + c22 − b22 ) + c21 (a22 + b22 − c22 ) = (p3 − p2 )2 (2q12 + 2q1 q2 ) + (p21 + p23 )(2q2 − 2q2 q3 ) + (p21 + p22 )(2q3 − 2q2 q3 ) = 2(p3 − p2 )2 q12 + 2(q2 − q3 )2 p21 + 2(p3 q2 − p2 q3 )2 ≥ 2[(p3 − p2 )q1 ]2 + 2[(q3 − q2 )p1 ]2 ≥ 4|(p3 − p2 )p1 |.|(q3 − q2 )q1 | = 16∆1 ∆2 . Vậy bất đẳng thức được chứng minh. 1.2.3 Bất đẳng thức Neuberg-Pedoe mở rộng Định lý của Pedoe mà chúng ta sẽ thảo luận đưa ra một bất đẳng thức liên quan đến các cạnh của hai tam giác và các thành phần liên quan. Chính xác S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
15 hơn, với vế lớn hơn chúng tôi có một biểu thức đối xứng liên quan giữa sáu cạnh của hai tam giác, và ở vế nhỏ hơn chúng tôi có một biểu thức đối xứng liên quan tới các thành phần của chúng. Ký hiệu và các bổ đề cơ bản Cho tam giác ABC và tam giác A0 B 0 C 0 là hai tam giác giác bất kì. a, b, c là các cạnh của tam giác ABC tương ứng đối diện với các góc A, B, C. Diện tích tam giác ABC kí hiệu là ∆. Tương tự như vậy, các kí hiệu a0 , b0 , c0 , A0 , B 0 , C 0 và ∆0 được kí hiệu cho tam giác A0 B 0 C 0 . a2 kí hiệu là tổng một biểu thức đối xứng mà trong đó a2 là P Tiếp theo, P 2 P 02 số hạng đại diện, a = a2 + b2 + c2 . Tương tự như vậy, chúng ta có a = a02 + b02 + c02 , (a2 a02 ) = a2 a02 + b2 b02 + c2 c02 và P P cot A = cot A + cot B + cot C, ... Trong suốt mục này, chúng ta sẽ kí hiệu hai biểu thức sau D = a02 (b2 + c2 − a2 ) + b02 (c2 + a2 − b2 ) + c02 (a2 + b2 − c2 ) và r X X X X E= a2 a02 − 2 a4 a04 . Bây giờ chúng tôi sẽ phát biểu và chứng minh lại một trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy. pP (a2 a02 ) ≤ a04 ) và đấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi P P Bổ đề 1.2. ( a4 )( tam giác ABC đồng dạng với tam giác A0 B 0 C 0 . Chứng minh. Xét hai véc tơ → − u = (a2 , b2 , c2 ) và → − v = (a02 , b02 , c02 ) S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn