Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuyên đề bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng ở bậc trung học phố thông. Bất đẳng thức không chỉ là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số và Giải tích mà còn là công cụ đắc lực trong nhiều lĩnh vực khác của toán học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung luận văn

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bất đẳng thức và cực trị sinh bởi các đa thức đại số ba biến

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CÆNG CØ BT NG THÙC V CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC I SÈ BA BIN LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC D×ÌNG CÆNG CØ BT NG THÙC V CÜC TRÀ SINH BÐI CC A THÙC I SÈ BA BIN Chuy¶n ng nh: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP M¢ sè: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. Nguy¹n V«n Mªu THI NGUYN - 2019
i Möc löc MÐ U 1 Ch÷ìng 1. a thùc v c¡c h» thùc li¶n quan 3 1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc . . . . 3 1.2 a thùc bªc ba v mët sè h» thùc cì b£n . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Cæng thùc Vi±te v ph÷ìng tr¼nh bªc 3 . . . . . . . 9 1.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng ba ©n . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû . . . . . . . . . . . 16 1.2.4 T½nh chia h¸t cõa c¡c a thùc èi xùng . . . . . . . 18 1.3 a thùc bªc ba v c¡c h» thùc trong tam gi¡c . . . . . . . . 19 Ch÷ìng 2. C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 22 2.1 B§t ¯ng thùc sinh bði a thùc bªc ba . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 C¡c ành lþ cì b£n cõa a thùc ¤i sè ba bi¸n . . . . 24 2.2 C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n . . . 28 2.2.1 Mët sè m»nh · b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 p döng chùng minh b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . 33 2.3 Mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc ba bi¸n trong ph¥n thùc . . . . 35 Ch÷ìng 3. C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n 38 3.1 Cüc trà theo r ng buëc têng v t½ch ba sè . . . . . . . . . . 38 3.2 C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n . 41 3.3 Mët sè d¤ng to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 KT LUN 47 TI LIU THAM KHO 48
1 Mð ¦u Chuy¶n · b§t ¯ng thùc câ vai trá r§t quan trång ð bªc trung håc phê thæng. B§t ¯ng thùc khæng ch¿ l èi t÷ñng nghi¶n cùu trång t¥m cõa ¤i sè v Gi£i t½ch m cán l cæng cö c lüc trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c cõa to¡n håc. Ta ¢ bi¸t r¬ng c¡c b§t ¯ng thùc trong a thùc ¢ ÷ñc nhi·u nh to¡n håc kh£o s¡t nh÷ Newton, Lagrange, Berstein, Markov, Kolmogorov, Landau, . . . C¡c b§t ¯ng thùc d¤ng n y công câ thº chùng minh ÷ñc b¬ng nhi·u ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau cõa h¼nh håc nh÷ ph÷ìng ph¡p v²ctì v ph÷ìng ph¡p tåa ë, ph÷ìng ph¡p sè phùc,. . . Tuy nhi¶n, c¡c d¤ng b§t ¯ng thùc ùng vîi lîp a thùc têng qu¡t th¼ ng÷íi ta c¦n ¸n c¡c cæng cö cõa gi£i t½ch (t½nh lçi, lãm) º kh£o s¡t chóng. º ¡p ùng nhu c¦u bçi d÷ïng gi¡o vi¶n v bçi d÷ïng håc sinh giäi v n¥ng cao nghi»p vö cõa b£n th¥n v· chuy¶n · b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n, tæi chån · t i luªn v«n "B§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n". Luªn v«n n y nh¬m cung c§p mët sè d¤ng b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè còng mët sè d¤ng li¶n quan. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v 3 ch÷ìng. Ch÷ìng 1. a thùc v c¡c h» thùc li¶n quan. Ch÷ìng 2. C¡c b§t ¯ng thùc sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n. Ch÷ìng 3. C¡c d¤ng to¡n cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n l kh£o s¡t mët sè lîp b§t ¯ng thùc v cüc trà sinh bði c¡c a thùc ¤i sè ba bi¸n v x²t c¡c mð rëng cõa chóng º ¡p döng trong kh£o s¡t c¡c b i to¡n cüc trà li¶n quan. T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi GS.TSKH. Nguy¹n V«n Mªu ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n v gióp ï t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu luªn v«n. T¡c gi£ công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Th¦y Cæ trong khoa To¡n-Tin tr÷íng ¤i håc Khoa håc, ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ gi£ng d¤y v gióp ï cho t¡c gi£ trong suèt thíi gian håc tªp t¤i Tr÷íng.
2 çng thíi, t¡c gi£ công xin gûi líi c£m ìn tîi gia ¼nh v c¡c b¤n çng mæn ¢ luæn gióp ï v ëng vi¶n tæi trong thíi gian håc tªp v trong qu¡ tr¼nh ho n th nh luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, 12 th¡ng 05 n«m 2019. T¡c gi£ D÷ìng Cæng Cø
3 Ch÷ìng 1. a thùc v c¡c h» thùc li¶n quan Möc ½ch cõa ch÷ìng n y l tr¼nh b y mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc nâi chung, a thùc bªc ba nâi ri¶ng v x²t mët sè h» thùc cì b£n. Mët ph¦n cõa ch÷ìng n y ÷ñc d nh º n¶u v· a thùc bªc ba v c¡c h» thùc trong tam gi¡c. C¡c k¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng ÷ñc tham kh£o tø c¡c t i li»u [2], [3]. 1.1 Mët sè b§t ¯ng thùc cê iºn li¶n quan ¸n a thùc ành ngh¾a 1.1. A Cho l mët v nh giao ho¡n câ ìn và. Ta gåi a thùc bªc n bi¸n x l mët biºu thùc câ d¤ng fn (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (an 6= 0), (1.1) trong â c¡c ai ∈ A ÷ñc gåi l h» sè, an l h» sè cao nh§t v a0 l h» sè tü do cõa a thùc. Bªc cõa a thùc fn (x) l sè mô cao nh§t cõa lôy thøa câ m°t trong (1.1) v ÷ñc kþ hi»u l deg(f ). Khi â n¸u trong (1.1) an 6= 0 th¼ deg(f ) = n. N¸u ai = 0, i = 1, . . . , n v a0 6= 0 th¼ ta câ bªc cõa a thùc l 0. N¸u ai = 0, i = 0, . . . , n th¼ ta coi bªc cõa a thùc l −∞ v gåi a thùc khæng (nâi chung th¼ ng÷íi ta khæng ành ngh¾a bªc cõa a thùc khæng). Tªp hñp t§t c£ c¡c a thùc vîi h» sè l§y trong v nh A ÷ñc kþ hi»u l A[x]. Khi A=K K[x] l mët v nh giao ho¡n câ ìn l mët tr÷íng th¼ v nh và. Ta th÷íng x²t A = Z, ho°c A = Q ho°c A = R ho°c A = C. Khi â, ta câ c¡c v nh a thùc t÷ìng ùng l Z[x], Q[x], R[x], C[x].
4 C¡c ph²p t½nh tr¶n a thùc Cho hai a thùc f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , g(x) = bn xn + bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 . Ta ành ngh¾a c¡c ph²p t½nh sè håc f (x) + g(x) = (an + bn )xn + · · · + (a1 + b1 )x + a0 + b0 , f (x) − g(x) = (an − bn )xn + · · · + (a1 − b1 )x + a0 − b0 , f (x)g(x) = c2n x2n + c2n−1 x2n−1 + · · · + c1 x + c0 , trong â ck = a0 bk + a1 bk−1 + · · · + ak b0 , k = 0, . . . , n. C¡c t½nh ch§t cì b£n ành lþ 1.1. Gi£ sû A l mët tr÷íng, f (x) v g(x) 6= 0 l hai a thùc cõa v nh A[x], th¸ th¼ bao gií công câ c°p a thùc duy nh§t q(x) v r(x) thuëc A[x] sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) vîi deg r(x) < deg g(x). N¸u r(x) = 0 ta nâi f (x) chia h¸t cho g(x). n ai x i P Gi£ sû a l ph¦n tû tòy þ cõa v nh A, f (x) = l a thùc tòy i=0 n ai ai P þ cõa v nh A[x], ph¦n tû f (a) = câ ÷ñc b¬ng c¡ch thay x bði a i=0 ÷ñc gåi l gi¡ trà cõaf (x) t¤i a. N¸u f (a) = 0 th¼ ta gåi a l nghi»m cõa f (x). B i to¡n t¼m c¡c nghi»m cõa f (x) trong A gåi l gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤i sè bªc n trong A. an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 (an 6= 0). ành lþ 1.2. Gi£ sû A l mët tr÷íng, a ∈ A v f (x) ∈ A[x]. D÷ sè cõa ph²p chia f (x) cho x−a ch½nh l f (a). ành lþ 1.3. a l nghi»m cõa f (x) khi v ch¿ khi f (x) chia h¸t cho (x−a). Gi£ sû A a ∈ A, f (x) ∈ A[x] v m l mët sè tü nhi¶n l mët tr÷íng, lîn hìn ho°c b¬ng 1. Khi â a l nghi»m bëi c§p m cõa f (x) khi v ch¿ khi f (x) chia h¸t cho (x − a)m v f (x) khæng chia h¸t cho (x − a)m+1 .
5 Trong tr÷íng hñp m = 1 th¼ ta gåi a l nghi»m ìn cán khi m = 2 th¼ a ÷ñc gåi l nghi»m k²p. Sè nghi»m cõa mët a thùc l têng sè c¡c nghi»m cõa a thùc â kº c£ bëi cõa c¡c nghi»m (n¸u câ). V¼ vªy, ng÷íi ta coi mët a thùc câ mët nghi»m bëi c§p m nh÷ mët a thùc câ m nghi»m tròng nhau. L÷ñc ç Horner Gi£ sû f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ A[x] (vîi A l mët tr÷íng). Khi â th÷ìng g¦n óng cõa f (x) cho (x − a) l mët a thùc câ bªc b¬ng n − 1, câ d¤ng q(x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , trong â bn−1 = an , bk = abk+1 + ak+1 , k = 0, . . . , n − 2, v d÷ sè r = ab0 + a0 . ành lþ 1.4 (ành l½ Vi±te) . a. Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 (an 6= 0) (1.2) câ n nghi»m (thüc ho°c phùc) x1 , x2 , . . . , xn th¼  an−1  E1 (x) := x1 + x2 + · · · + xn =− an      E2 (x) := x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn an−2  = an (1.3) ......... ......      a0 = (−1)n .  En (x) := x1 x2 . . . xn   an b. Ng÷ñc l¤i n¸u c¡c sè x1 , x2 , . . . , xn thäa m¢n h» tr¶n th¼ chóng l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.2). H» (1.3) câ n th nh ph¦n v ð v¸ tr¡i cõa k th nh ph¦n thù k câ Cn sè h¤ng. c. C¡c h m E1 (x), E2 (x), . . . , En (x) ÷ñc gåi l h m (a thùc) èi xùng sì c§p Vi±te bªc 1, 2, . . . , n, t÷ìng ùng. ành lþ 1.5. Méi a thùc thüc bªc n ·u câ khæng qu¡ n nghi»m thüc.
6 H» qu£ 1.1. a thùc câ væ sè nghi»m l a thùc khæng. H» qu£ 1.2. N¸u a thùc câ bªc ≤ n m nhªn còng mët gi¡ trà nh÷ nhau t¤i n+1 iºm ph¥n bi»t cõa èi sè th¼ â l a thùc h¬ng. H» qu£ 1.3. Hai a thùc bªc ≤ n m nhªn n + 1 tròng nhau t¤i n + 1 iºm ph¥n bi»t cõa èi sè th¼ chóng çng nh§t b¬ng nhau. ành lþ 1.6. Måi a thùc f (x) ∈ R[x] câ bªc n v câ h» sè ch½nh (h» sè cao nh§t) an 6= 0 ·u câ thº ph¥n t½ch (duy nh§t) th nh nh¥n tû d¤ng m Y s Y f (x) = an (x − di ) (x2 + bk x + ck ) i=1 k=1 vîi di , bk , ck ∈ R, 2s + m = n, b2k − 4ck < 0, s, m, n ∈ N∗ . ành ngh¾a 1.2. 1) Måi nghi»m x0 cõa a thùc (1.1) ·u thäa m¢n b§t ¯ng thùc A |x0 | ≤ 1 + , A = max |ak |. |a0 | 1≤k≤n r n B 2) N¸u am l h» sè ¥m ¦u ti¶n cõa a thùc (1.1) th¼ sè 1+ l am cªn tr¶n cõa c¡c nghi»m d÷ìng cõa a thùc ¢ cho, trong â B l gi¡ trà lîn nh§t cõa mæun c¡c h» sè ¥m. 3) Khi a thùc fn (x) d¤ng (1.1) vi¸t d÷îi d¤ng fn (x) = g(x)q(x) vîi deg(g) > 0 v deg(q) > 0 th¼ ta nâi g l ÷îc cõa fn (x) v ta vi¸t g(x)|fn (x) . hay fn (x)..g(x). N¸u g(x)|f (x) v g(x)|h(x) th¼ ta nâi g(x) l ÷îc chung cõa f (x) v h(x). N¸u hai a thùc f (x) v h(x) ch¿ câ ÷îc chung l c¡c a thùc bªc 0 th¼ ta nâi r¬ng chóng nguy¶n tè còng nhau v vi¸t (f (x), h(x)) = 1. ành lþ 1.7. i·u ki»n c¦n v õ º hai a thùc f (x) v h(x) nguy¶n tè còng nhau l tçn t¤i c°p a thùc u(x) v v(x) sao cho f (x)u(x) + h(x)v(x) ≡ 1. T½nh ch§t 1.1. N¸u c¡c a thùc f (x) v g(x) nguy¶n tè còng nhau v c¡c a thùc f (x) v h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ c¡c a thùc f (x) v g(x)h(x) công nguy¶n tè còng nhau. T½nh ch§t 1.2. N¸u c¡c a thùc f (x), g(x), h(x) thäa m¢n i·u ki»n f (x)h(x) chia h¸t cho g(x), g(x) v h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ f (x) chia h¸t cho g(x).
7 T½nh ch§t 1.3. N¸u a thùc f (x) chia h¸t cho c¡c a thùc g(x) v h(x) vîi g(x) v h(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ f (x) chia h¸t cho g(x)h(x). T½nh ch§t 1.4. N¸u c¡c a thùc f (x) v g(x) nguy¶n tè còng nhau th¼ m n [f (x)] v [g(x)] s³ nguy¶n tè còng nhau vîi måi m, n nguy¶n d÷ìng. Mët sè b§t ¯ng thùc ¤i sè cì b£n Trong ph¦n n y tr¼nh b y c¡c b§t ¯ng thùc li¶n quan ¸n c¡c a thùc ¤i sè cì b£n. ành lþ 1.8 (B§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n) . Gi£ sû x1 , x2 , . . . , xn l c¡c sè khæng ¥m. Khi â x1 + x2 + · · · + xn √ ≥ n x1 x2 . . . xn . (1.4) n D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x1 = x2 = . . . = xn . B§t ¯ng thùc (1.4) câ trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi»t v ÷ñc gåi l b§t ¯ng thùc Cæsi (Cauchy). Tuy nhi¶n, trong c¡c t i li»u n÷îc ngo i b§t ¯ng thùc tr¶n câ t¶n ti¸ng Anh l AM-GM Inequality, cho n¶n v· sau, ta gåi b§t ¯ng thùc (1.4) l B§t ¯ng thùc giúa trug b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n. B§t ¯ng thùc (1.4) kh¡ quen thuëc vîi a sè b¤n åc v ¢ ÷ñc chùng minh trong nhi·u t i li»u b¬ng ti¸ng Vi»t, n¶n chóng tæi s³ khæng tr¼nh b y chùng minh m ch¿ x²t v½ dö ¡p döng. V½ dö 1.1. Cho c¡c sè khæng ¥m x, y, z . Chùng minh b§t ¯ng thùc x y z + + ≥ x1/2 y 1/3 z 1/6 . 2 3 6 Líi gi£i. B§t ¯ng thùc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi 3x + 2y + z p ≥ 6 x3 y 2 z. 6 Ta vi¸t v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ð d¤ng 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z = . 6 6 Theo b§t ¯ng thùc giúa trung b¼nh cëng v trung b¼nh nh¥n ta câ 3x + 2y + z x+x+x+y+y+z p = ≥ 6 x3 y 2 z. 6 6 B§t ¯ng thùc ÷ñc chùng minh.
8 ành lþ 1.9 (B§t ¯ng thùc Cauchy - Schwarz) . Vîi hai d¢y sè thüc tòy þ x1 , x2 , . . . , xn v y1 , y2 , . . . , yn ta luæn câ b§t ¯ng thùc (x21 + x22 + · · · + x2n )(y12 + y22 + · · · + yn2 ) ≥ (x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn )2 . (1.5) D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi (x1 , x2 , . . . , xn ) v (y1 , y2 , . . . , yn ) l hai bë t l», tùc l xi = kyi ∀i = 1, n. ành lþ 1.10 (B§t ¯ng thùc Schwarz) . Cho x1 , x2 , . . . , xn v y1 , y2 , . . . , yn l hai d¢y sè thüc, trong â yi > 0, ∀i = 1, 2, . . . , n. Ta luæn câ b§t ¯ng thùc (x1 + x2 + · · · + xn )2 x2 x2 x2 ≤ 1 + 2 + · · · + n. y1 + y2 + · · · + yn y 1 y2 yn x1 x2 xn D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi = = ... = . y1 y2 yn ành lþ 1.11 (B§t ¯ng thùc Chebyshev) . Cho d¢y sè thüc tòy þ x1 , x2 , . . . , xn sao cho x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn . Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a) N¸u y1 ≤ y 2 ≤ . . . ≤ y n th¼ 1 x 1 y1 + x 2 y 2 + · · · + x n yn ≥ (x1 + x2 + . . . + xn )(y1 + y2 + . . . + yn ). n b) N¸u y 1 ≥ y2 ≥ . . . ≥ yn th¼ 1 x 1 y1 + x 2 y 2 + · · · + x n yn ≤ (x1 + x2 + . . . + xn )(y1 + y2 + . . . + yn ). n D§u ¯ng thùc x£y ra khi v ch¿ khi x1 = x2 = . . . = xn ho°c y1 = y2 = . . . = yn . ành lþ 1.12 (B§t ¯ng thùc Jensen) . Gi£ sû h m sè f (x) I(a, b), trong â I(a, b) ÷ñc ng¦m hiºu li¶n töc tr¶n l mët trong sè c¡c tªp [a, b], [a, b), (a, b], (a, b). Khi â i·u ki»n c¦n v õ º h m sè f (x) lçi tr¶n I(a, b) l x1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) f ≤ , ∀x1 , x2 ∈ I(a, b). 2 2 1.2 a thùc bªc ba v mët sè h» thùc cì b£n Möc n y tr¼nh b y mët sè h» thùc cì b£n cõa a thùc bªc ba.
9 1.2.1 Cæng thùc Vi±te v ph÷ìng tr¼nh bªc 3 M°c dò c¡ch gi£i ph÷ìng tr¼nh bªc ba têng qu¡t khæng ÷ñc giîi thi»u ð bªc phê thæng nh÷ng c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n ph÷ìng tr¼nh bªc ba l¤i th÷íng g°p trong c¡c k¼ thi v o ¤i håc v thi håc sinh giäi. Trong möc n y tr¼nh b y mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n cæng thùc Vi±te cõa a thùc bªc ba. ành lþ 1.13 (Cæng thùc Vi±te) . N¸u x1 , x2 , x3 l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a 6= 0), th¼ b   σ1 := x1 + x2 + x3 =− , a    c σ2 := x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = ,  a   d σ3 := x1 x2 x3 =− .  a Chùng minh. Ta câ çng nh§t thùc a(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 ) ≡ ax3 + bx2 + cx + d ⇔ ax3 − (x1 + x2 + x3 )ax2 + a(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )x − ax1 x2 x3 ≡ ax3 + bx2 + cx + d. So s¡nh h» sè c¡c lôy thøa còng bªc cõa x ð hai v¸ cõa ¯ng thùc tr¶n, suy ra i·u ph£i chùng minh. ành lþ 1.14. X²t ph÷ìng tr¼nh bªc ba x3 + ax2 + bx + c = 0 (1.6) vîi c¡c h» sè l c¡c sè thüc v 4 = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 (1.7) ÷ñc gåi l bi»t thùc cõa ph÷ìng tr¼nh. Khi â: a) N¸u 4 > 0, th¼ t§t c£ c¡c nghi»m x1 , x2 , x3 l c¡c sè thüc v kh¡c nhau. b) N¸u 4 < 0, th¼ mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l thüc, cán hai nghi»m kia l phùc li¶n hñp còng nhau. 2 c) N¸u 4 = 0 v a − 3b 6= 0, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ ba nghi»m thüc, trong â câ hai nghi»m tròng nhau (nghi»m k²p), nghi»m cán l¤i kh¡c hai
10 nghi»m tr¶n. N¸u 4=0 v a2 − 3b = 0 th¼ ph÷ìng tr¼nh câ ba nghi»m thüc còng nhau (nghi»m bëi). Chùng minh. Gi£ sû x1 , x2 , x3 l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.6) (câ thº l c¡c sè phùc, nh÷ng ½t nh§t câ mët nghi»m l thüc). Khi â theo cæng thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh bªc ba, ta câ σ1 = x1 + x2 + x3 = −a, σ2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = b, σ3 = x1 x2 x3 = −c. X²t b¼nh ph÷ìng cõa a thùc ph£n èi xùng ìn gi£n nh§t cõa x1 , x2 , x3 . 4 = T 2 = (x1 − x2 )2 (x1 − x3 )2 (x2 − x3 )2 . Tø c¡c h» thùc Vi±te tr¶n ¥y, ta câ 4 = −4a3 c + a2 b2 + 18abc − 4b3 − 27c2 . Rã r ng l n¸u t§t c£ c¡c nghi»m ·u l thüc v kh¡c nhau th¼ T l sè 2 thüc v kh¡c khæng, do â 4 = T > 0. i·u ng÷ñc l¤i ÷ñc suy ra tø d÷îi ¥y. b) Gi£ sû x1 l nghi»m thüc, cán x2 , x3 l phùc li¶n hñp câ d¤ng: x2 = α + iβ v x3 = α − iβ . Khi â, ta câ T = (x1 − α − iβ)(x1 − α + iβ)2iβ = 2iβ[(x1 − α)2 + β 2 ]. Do â 4 = T 2 = −4β 2 [(x1 − α)2 + β 2 ] < 0. c) Tø k¸t qu£ tr¼nh b y trong ph¦n b) ta th§y n¸u ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ hai nghi»m b¬ng nhau th¼ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ·u l thüc v 4 = 0. º l m s¡ng tä khi n o ch¿ câ hai nghi»m b¬ng nhau (nghi»m k²p), ho°c c£ ba nghi»m b¬ng nhau (nghi»m bëi), ta x²t biºu thùc 41 = (x1 − x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 − x1 )2 = 2(σ12 − 3σ2 ) = 2(a2 − 3b). Rã r ng n¸u x1 , x2 , x3 l c¡c sè thüc th¼ 41 = 0, tùc l a2 = 3b khi v ch¿ khi ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ ba nghi»m thüc b¬ng nhau (nghi»m bëi). Vªy n¸u 4 = 0 v a2 = 3b th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.6) câ nghi»m bëi, cán n¸u 4 = 0 v a2 6= 3b th¼ ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m sè k²p. ành lþ ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.2. Th nh lªp mët ph÷ìng tr¼nh bªc ba câ c¡c nghi»m l b¼nh ph÷ìng c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh u3 − 2u2 + u − 12 = 0.
11 Líi gi£i. K½ hi»u u1 , u2 , u3 l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho v r1 , r2 , r3 l c¡c a thùc èi xùng sì c§p cõa c¡c bi¸n u1 , u2 , u3 . Theo ành lþ Vi±te ta câ r1 = u1 + u2 + u3 = 2, r2 = u1 u2 + u2 u3 + u3 u1 = 1, r3 = u1 u2 u3 = 12. Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh c¦n lªp câ d¤ng x 3 − σ1 x 2 + σ2 x − σ3 = 0 v x1 , x2 , x3 l c¡c nghi»m cõa nâ. Theo i·u ki»n cõa · b i ta câ σ1 = x1 + x2 + x3 = u21 + u22 + u23 = r12 − 2r2 = 22 − 2 = 2, σ2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = u21 u22 + u22 u23 + u23 u21 = r22 − 2r1 r3 = 1 − 2.2.12 = −47. σ3 = x1 x2 x3 = u21 u22 u23 = r32 = 122 = 144. Vªy ph÷ìng tr¼nh bªc ba c¦n lªp s³ l x3 − 2x2 − 47x − 144 = 0. V½ dö 1.3. Cho x1 , x2 , x3 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ax3 − ax2 + bx + b = 0, (a.b 6= 0). Chùng minh r¬ng 1 1 1 (x1 + x2 + x3 ) + + = −1. x1 x2 x3 Líi gi£i. Theo ành lþ Vi±te, ta câ b b σ1 = x1 + x2 + x3 = 1, σ2 = x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = , σ3 = x1 x2 x3 = − . a a Khi â 1 1 1 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 σ2 + + = = = −1. x1 x2 x3 x1 x2 x3 σ3 Do â ta câ 1 1 1 (x1 + x2 + x3 ) + + = −1. x1 x2 x3 V½ dö 1.4. T¼m a º c¡c nghi»m x1 , x2 , x3 cõa a thùc f (x) = x3 − 6x2 + ax + a
12 thäa m¢n ¯ng thùc (x1 − 3)2 + (x2 − 3)2 + (x3 − 3)2 = 0. Líi gi£i. °t y = x − 3. B i to¡n trð th nh: T¼m a º c¡c nghi»m y1 , y2 , y3 cõa a thùc g(y) = f (y + 3) = (y + 3)3 − 6(y + 3)2 + a(y + 3) + a = y 3 + 3y 2 + (a − 9)y + 4a − 27 thäa m¢n h» thùc y13 + y23 + y33 = 0. Theo ành lþ Vi±te, ta câ σ1 = y1 + y2 + y3 = −3, σ2 = y1 y2 + y2 y3 + y3 y1 = a − 9, σ3 = y1 y2 y3 = 27 − 4a. Khi â y13 + y23 + y33 = σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 = (−3)3 − 3(−3)(a − 9) + 3(27 − 4a) = −27 − 3a. Do â, ta câ y13 + y23 + y33 = 0 ⇔ −27 − 3a = 0 ⇔ a = −9. Vªy gi¡ trà c¦n t¼m cõa a l a = −9. V½ dö 1.5. Bi¸t r¬ng t, u, v l ba nghi»m thüc cõa ph÷ìng tr¼nh x3 + ax2 + bx + c = 0, (1.8) trong â a, b, c l c¡c sè thüc. T¼m i·u ki»n cõa a, b, c º t3 , u3 , v 3 nghi»m óng ph÷ìng tr¼nh x3 + a3 x2 + b3 x + c3 = 0. (1.9) Líi gi£i. p döng cæng thùc Vi±te cho ph÷ìng tr¼nh (1.8), ta câ σ1 = t + u + v = −a, σ2 = tu + uv + vt = b, σ3 = tuv = −c. (1.10)
13 Gi£ sû t3 , u3 , v 3 l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9). Theo cæng thùc Vi±te, ta câ     t3 + u3 + v 3 = −a3 ,   σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 = −a3 ,   t3 u3 + u3 v 3 + v 3 t3 = b3 , ⇔ σ23 − 3σ1 σ2 σ3 + 3σ32 = b3 ,     t3 u3 v 3 = −c3 .  σ = −c3 .  3 Thay c¡c gi¡ trà cõa σ1 , σ2 , σ3 tø (1.10) v o h» tr¶n v rót gån, ta thu ÷ñc h» thùc c = ab. Vîi c = ab, ph÷ìng tr¼nh (1.8) trð th nh x3 + ax2 + bx + ab = 0 ⇔ (x + a)(x2 + b) = 0. V¼ t§t c£ c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh ¢ cho l thüc, n¶n ta ph£i câ b ≤ 0. Vªy, i·u ki»n c¦n v õ cõa a, b, c l c = ab v b ≤ 0. 1.2.2 H» ph÷ìng tr¼nh èi xùng ba ©n Gi£ sû P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) l c¡c a thùc èi xùng. X²t h» ph÷ìng tr¼nh    P (x, y, z) = 0,  Q(x, y, z) = 0, (1.11)   R(x, y, z) = 0.  B¬ng c¡ch °t x + y + z = σ1 , σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz, ta ÷a h» (1.11) v· d¤ng  p(σ , σ , σ ) = 0,  1 2 3   q(σ1 , σ2 , σ3 ) = 0, (1.12)   r(σ , σ , σ ) = 0.  1 2 3 H» ph÷ìng tr¼nh (1.12) th÷íng ìn gi£n hìn h» (1.11) v ta câ thº d¹ d ng t¼m ÷ñc nghi»m σ1 , σ2 , σ3 . Sau khi t¼m ÷ñc c¡c gi¡ trà cõa σ1 , σ2 , σ3 , c¦n ph£i t¼m c¡c gi¡ trà cõa c¡c ©n sè x, y, z . i·u n y d¹ d ng thüc hi»n ÷ñc nhí ành l½ sau ¥y.
14 ành lþ 1.15 (xem [3]) . Gi£ sû σ1, σ2, σ3 l c¡c sè thüc n o â. Khi â ph÷ìng tr¼nh bªc ba u3 − σ1 u2 + σ2 u − σ3 = 0 (1.13) v h» ph÷ìng tr¼nh    x+y+z = σ1 ,  xy + yz + zx = σ2 , (1.14)   xyz  = σ3 . li¶n h» vîi nhau nh÷ sau: n¸u u1 , u2 , u3 l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13), th¼ h» (1.14) câ c¡c nghi»m    x = u1 , x = u1 , x = u2 ,  1  2  3       y1 = u2 , y2 = u3 , y3 = u1 ,       z = u ;  z = u ;  z = u ;  1 3 2 2 3 3    x = u2 , x = u3 , x = u3 ,  4  5  6       y4 = u3 , y5 = u1 , y6 = u2 ,       z = u ;  z = u ;  z = u ;  4 1 5 2 6 1 v ngo i ra khæng cán c¡c nghi»m n o kh¡c. Ng÷ñc l¤i, n¸u x = a, y = b, z = c l nghi»m cõa h» (1.14), th¼ c¡c sè a, b, c l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13). Chùng minh. Gi£ sû u1 , u2 , u3 l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13). Khi â ta câ çng nh§t thùc u3 − σ1 u2 + σ2 u − σ3 = (u − u1 )(u − u2 )(u − u3 ). Tø â ta câ c¡c h» thùc Vi±te:  u + u2 + u3 = σ1 ,  1   u1 u2 + u1 u3 + u2 u3 = σ2 ,   u u u  = σ3 . 1 2 3 Suy ra u1 , u2 , u3 l c¡c nghi»m cõa h» (1.14). Ngo i ra cán n«m nghi»m núa nhªn ÷ñc b¬ng c¡ch ho¡n và c¡c gi¡ trà cõa c¡c ©n sè. V§n · h»
15 (1.14) khæng cán nghi»m n o kh¡c s³ ÷ñc l m s¡ng tä d÷îi ¥y. Gi£ sû x = a, y = b, z = c l c¡c nghi»m cõa h» (1.14), ngh¾a l     a+b+c = σ1 ,  ab + bc + ac = σ2 ,   abc  = σ3 . Khi â ta câ u3 − σ2 u2 + σ2 u − σ3 = u3 − (a + b + c)u2 + (ab + bc + ca)u − abc = (u − a)(u − b)(u − c). i·u â chùng tä r¬ng c¡c sè a, b, c l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc ba (1.13). ành lþ ÷ñc chùng minh. ành lþ 1.16. Gi£ sû σ1, σ2, σ3 l c¡c sè thüc ¢ cho. º c¡c sè x, y, z x¡c ành bði h» ph÷ìng tr¼nh (1.14) l c¡c sè thüc, i·u ki»n c¦n v õ l 4 = −4σ13 σ3 + σ12 σ22 + 18σ1 σ2 σ3 − 4σ23 − 27σ3 ≥ 0. (1.15) Ngo i ra, º c¡c sè x, y, z l khæng ¥m, th¼ σ1 ≥ 0, σ2 ≥ 0, σ3 ≥ 0. Chùng minh. Gi£ sû x, y, z l nghi»m cõa h» (1.14). Khi â theo ành lþ 1.15, x, y, z l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13). Theo ành lþ 1.14, ph÷ìng tr¼nh (1.13) câ nghi»m thüc khi v ch¿ khi bi»t thùc cõa nâ khæng ¥m, ngh¾a l (1.15) ÷ñc thäa m¢n. Ngo i ra, n¸u c¡c sè x, y, z l khæng ¥m, th¼ hiºn nhi¶n σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3). Ng÷ñc l¤i, n¸u σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3) v (1.15) ÷ñc thäa m¢n, th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.13) khæng thº câ nghi»m ¥m. Thªt vªy, trong (1.13) thay u = −v ta câ ph÷ìng tr¼nh v 3 + σ1 v 2 + σ2 v + σ2 = 0. (1.16) V¼ σi ≥ 0 (i = 1, 2, 3), n¶n ph÷ìng tr¼nh (1.16) khæng thº câ nghi»m d÷ìng, do â ph÷ìng tr¼nh (1.13) khæng thº câ nghi»m ¥m. Tø â suy ra x, y, z l c¡c sè khæng ¥m. ành lþ ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.6. Gi£i h» ph÷ìng tr¼nh    x + y + z = 2,  x2 + y 2 + z 2 = 6,   x3 + y 3 + z 3 = 8. 
16 Líi gi£i. °t x + y + z = σ1 , σ2 = xy + yz + zx, σ3 = xyz. Sû döng cæng thùc Waring ta câ x2 + y 2 + z 2 = σ12 − 2σ2 , x3 + y 3 + z 3 = σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 . Do â h» ph÷ìng tr¼nh ban ¦u trð th nh  σ = 2,  1   σ12 − 2σ2 = 6,   σ 3 − 3σ σ + 3σ = 8.  1 1 2 3 Gi£i h» n y ta t¼m ÷ñc σ1 = 2, σ2 = −1, σ3 = −2. Theo ành lþ 1.15, ta câ x, y, z l c¡c nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh u3 − 2u2 − u + 2 = 0 ⇔ (u2 − 1)(u − 2) = 0. Nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh n y l u1 = −1, u2 = 1, u3 = 2. Tø â suy ra nghi»m cõa h» ¢ cho l nhúng bë (x, y, z) sau ¥y: (−1, 1, 2), (−1, 2, 1), (1, −1, 2), (1, 2, 1), (2, −1, 1), (2, 1, −1). 1.2.3 Ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû Trong möc n y tr¼nh b y c¡c ùng döng cõa a thùc èi xùng v ph£n èi xùng ba bi¸n v o c¡c b i to¡n v· ph¥n t½ch th nh nh¥n tû. Gi£ sû f (x, y, z) l a thùc èi xùng ba bi¸n. º ph¥n t½ch f (x, y, z) th nh nh¥n tû, tr÷îc h¸t c¦n ph£i biºu di¹n nâ qua c¡c a thùc èi xùng cì sð σ1 , σ2 , σ3 ϕ(σ1 , σ2 , σ3 ), sau â cè gng ph¥n t½ch a º ÷ñc a thùc thùc cuèi còng th nh nh¥n tû. N¸u trong c¡c nh¥n tû cõa f (x, y, z) câ a thùc khæng èi xùng h(x, y, z), th¼ do f (x, y, z) l èi xùng s³ ph£i câ c¡c nh¥n tû nhªn ÷ñc tø h(x, y, z) b¬ng c¡ch ho¡n và c¡c bi¸n x, y, z ngh¾a l câ c¡c nh¥n tû d¤ng: h(x, y, z), h(x, z, x), h(y, x, z), h(y, z, x), h(z, x, y), h(z, y, x). N¸u trong c¡c nh¥n tû câ nh¥n tû g(x, y, z) l a thùc èi xùng ch¿ vîi hai bi¸n, th½ dö èi vîi x, y ngh¾a l g(x, y, z) = g(y, x, z), th¼ c¡c nh¥n tû còng d¤ng s³ l g(x, y, z), g(y, z, x), g(z, x, y).
17 N¸u nh÷ trong c¡c nh¥n tû câ nh¥n tû k(x, y, z) èi xùng ch®n, ngh¾a l k(x, y, z) = k(y, z, x) = k(z, x, y), th¼ c¡c nh¥n tû còng d¤ng s³ l k(x, y, z), k(y, z, x). Nh÷ vªy, trong ph¥n t½ch th nh nh¥n tû cõa a thùc èi xùng f (x, y, z) câ thº g°p c¡c nh¥n tû d¤ng sau ¥y: 1) Nh¥n tû l a thùc èi xùng p(x, y, z). 2) Nh¥n tû câ d¤ng k(x, y, z), k(y, z, x), trong â k(x, y, z) l èi xùng ch®n. 3) Nh¥n tû câ d¤ngg(x, y, z), g(y, z, x), g(z, x, y), trong â g(x, y, z) èi xùng theo hai bi¸n, th½ dö x, y . 4) Nh¥n tû d¤ng h(x, y, z), h(x, z, x), h(y, x, z), h(y, z, x), h(z, x, y), h(z, y, x), trong â h(x, y, z) khæng câ t½nh èi xùng. èi vîi a thùc ph£n èi xùng f (x, y, z), ta câ ph¥n t½ch f (x, y, z) = T (x, y, z)g(x, y, z), trong â T (x, y, z) l a thùc ph£n èi xùng ìn gi£n nh§t, cán g(x, y, z) l a thùc èi xùng. Ngo i ra, èi vîi a thùc ph£n èi xùng thu¦n nh§t câ k¸t qu£ sau ¥y. M»nh · 1.1. K½ hi»u θm(x, y, z) l a thùc ph£n èi xùng bªc m. Khi â θ3 (x, y, z) = aT (x, y, z), θ4 (x, y, z) = aT (x, y, z)σ1 , θ5 (x, y, z) = T (x, y, z)(aσ12 + bσ2 ), θ6 (x, y, z) = T (x, y, z)(aσ13 + bσ1 σ2 + cσ3 ), trong â a, b, c l c¡c h¬ng sè. Ta x²t c¡c v½ dö sau ¥y. V½ dö 1.7. Ph¥n t½ch a thùc sau th nh nh¥n tû f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3 − 3xyz. Líi gi£i. Ta câ f (x, y, z) = (σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ) − 3σ3 = σ13 − 3σ1 σ2 = σ1 (σ12 − 3σ2 ) = (x + y + z)[(x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx)] = (x + y + z)(x2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx).