Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:101

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương trình bày kiến thức cơ bản của tích phân, các phương pháp tính tích phân, ứng dụng của tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương pháp tính tích phân và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------ Phạm Thị Hồng Quyền CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI - NĂM 2013
Mục lục Mở đầu 3 1 Kiến thức cơ bản của tích phân 6 1.1 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Các tính chất của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích phân . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 Các tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Công thức Newton-Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Các lớp hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Các định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Các phương pháp tính tích phân 13 2.1 Phương pháp đổi biến và tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Một số phương pháp tính tích phân dưới dạng hiển . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Tích phân của hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.2 Tích phân của hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3 Tích phân của hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Một số phương pháp tính tích phân đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Tích phân đối với hàm chẵn và lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Tích phân đối với các hàm đặc trưng đặc biệt . . . . . . . . . . 40 2.3.3 Tích phân đối với hàm tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.4 Sử dụng các hệ thức truy hồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Một số ứng dụng của tích phân 53 3.1 Một số ứng dụng của tích phân trong đại số và giải tích . . . . . . . . . 53 3.1.1 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh đẳng thức . . . . . . . 53 3.1.2 Ứng dụng của tích phân vào chứng minh bất đẳng thức . . . . 56 3.1.3 Ứng dụng của tích phân trong các bài toán cực trị . . . . . . . . 60 3.1.4 Ứng dụng của tích phân vào phương trình, bất phương trình . . 63 3.1.5 Ứng dụng tích phân trong tính giới hạn của dãy số . . . . . . . 70 3.1.6 Ứng dụng tích phân trong xét sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số . 71 3.2 Một số ứng dụng của tích phân trong hình học . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1 Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1
3.2.3 Tính thể tích của một vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Một số ứng dụng của tích phân trong đời sống . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1 Tính công và nhiệt lương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.2 Tính mô men quay và khối tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Kết luận 99 Tài liệu tham khảo 100 2
MỞ ĐẦU Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học. Các học sinh năm cuối của bậc trung học phổ thông và các sinh viên năm thứ nhất của bậc đại học thường gặp một số khó khăn trong việc học và ứng dụng của chuyên đề này. Những người mới làm quen với tích phân thường chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết đặc biệt là khâu vận dụng các kiến thức vào giải các bài toán trong thực tế. Ngoài ra trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán quốc gia, Olympic Toán sinh viên toàn quốc thì các bài toán liên quan đến tích phân cũng hay đề cập đến và được xem như một dạng khó. Chính vì thế mà tích phân có vị trí rất đặc biệt trong toán học. Để các em học sinh, sinh viên và bạn đọc mỗi khi giải các bài toán về tích phân không phải lúng túng khi đưa ra phương pháp giải thì tôi đã chọn cho mình luận văn với đề tài "các phương pháp tính tích phân và ứng dụng" nhằm phần nào giúp đỡ được người học định hình được cách giải một số bài toán một cách nhanh nhất. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia làm 3 chương đề cập đến các vấn đề sau: Chương I. Kiến thức cơ bản của tích phân. Trong chương này, một số kiến thức cơ bản được nhắc lại. Luận văn nhắc lại định nghĩa nguyên hàm, tích phân, một số định lý và đặc biệt khai thác một số tính chất của lớp hàm cần tính tích phân, công thức Newton-Leibniz, các lớp hàm khả tích, định lý về giá trị trung bình. Chương II. Các phương pháp tính tích phân. Ở chương này luận văn đề cập đến các phương pháp tính tích phân, từ các phương pháp đó vận dụng vào giải một số ví dụ minh họa. Ngoài ra ở chương này đã khai thác triệt để các lớp hàm đặc biệt để đưa các tích phân tính toán phức tạp, cồng kềnh về các tích phân tính toán đơn giản. Chương III. Ứng dụng của tích phân. Chương này được chia ra thành ba phần: ứng dụng của tích phân trong 3
đại số và giải tích, ứng dụng của tích phân trong hình học, ứng dụng của tích phân trong đời sống. 4
Lời cảm ơn Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp toán sơ cấp; Ban chủ nhiệm khoa Toán-tin; Phòng sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên; Ban giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Thái Học, thành phố Vĩnh Yên, tỉnh Vĩnh Phúc đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả luận văn Phạm Thị Hồng Quyền 5
Chương 1 Kiến thức cơ bản của tích phân 1.1 Định nghĩa và các tính chất của nguyên hàm 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 (xem [5]). Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kì U (một đoạn, môt khoảng hay nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong tập số thực). Hàm khả vi F trên U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kỳ đó nếu F 0 (x) = f (x) với mọi x ∈ U . Định lý 1.1 (xem [5]). Nếu trong khoảng bất kỳ U hàm f có nguyên hàm thì nó có vô số nguyên hàm và các nguyên hàm của f trong U xác định sai khác nhau một hằng số cộng. Chứng minh Giả sử F là nguyên hàm của f trên U và C là một hằng số tùy ý. Khi đó (F (x) + C)0 = f (x) và F + C cũng là nguyên hàm của f . Nếu F và G là hai nguyên hàm của hàm f trên U và đặt H = F − G, thì H 0 (x) = F 0 (x) − G0 (x) = f (x) − f (x) = 0 với mọi x ∈ U , ta suy ra H là một hằng số C hay F = G + C. Định nghĩa 1.2 (xem [5]). Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ UZ được gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và ký hiệu là f (x)dx. Z Giả sử F là nguyên hàm của hàm f trên U theo định lý (1.1), ta có f (x)dx = F (x) + C, C là hằng số tùy ý. 6
1.1.2 Các tính chất của nguyên hàm Từ định nghĩa của nguyên hàm ta có thể trực tiếp suy ra các tính chất sau đây. Z Tính chất 1.1. d f (x)dx = f (x)dx. Z Tính chất 1.2. df (x) = f (x) + C, C là hằng số tùy ý. Tính chất 1.3. Với α, β là hai số thực bất kỳ, Z h i Z Z αf (x) + βg(x) dx = α f (x)dx + β g(x)dx. Z Tính chất 1.4. Nếu f (t)dt = F (t) + C thì 1 Z f (ax + b)dx = F (ax + b) + C với a 6= 0. a 1.2 Định nghĩa và các tính chất liên quan của tích phân 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.3 (xem [5]). Giả sử hàm y = f (x) xác định trên đoạn [a, b]. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần bởi các điểm chia xo = a < x1 < x2 < · · · < xn = b. Ta gọi đó là phép phân hoạch P . Trên mỗi đoạn [xi , xi+1 ]; i = 0, 1, 2, . . . , n − 1 ta lấy một điểm ξi tùy ý. Ta nói phép chọn điểm ξi nói trên là phép chọn C . Kí hiệu ∆xi = xi − xi−1 , i = 1, 2, . . . n − 1 và lập tổng n X Sn = ∆xi f (ξi ). (1.1) n=1 n P Khi ấy, nếu tồn tại lim ∆xi f (ξi ) không phụ thuộc vào phép max ∆xi →0 n=1 phân hoạch P và phép chọn C thì giá trị của giới hạn đó được gọi là tích Zb phân xác định của hàm số f (x) trên [a, b] và được kí hiệu là f (x)dx. a Hàm số f (x) được gọi là khả tích trên [a, b] theo Riemann. Xuất phát trực tiếp từ định nghĩa tích phân xác định, dễ dàng suy ra được một số tính chất cơ bản của nó. 7
1.2.2 Các tính chất của tích phân Ta xét các các đẳng thức sinh bởi tích phân. Tính chất 1.5. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] và mọi hằng số Zb Zb c ta có cf (x)dx = c f (x)dx. a a Tính chất 1.6. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ta có Zb Za f (x)dx = − f (x)dx. a b Tính chất 1.7. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] ta có Za f (x)dx = 0. a Tính chất 1.8. Giả sử f (x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b], với ∀α, β ∈ R ta có Zb Zb Zb [α.f (x) + β.g(x)]dx = α f (x)dx + β f (x)dx. a a a Tính chất 1.9. Giả sử hàm f (x) khả tích trên đoạn [a, b] và ∀c ∈ [a, b] ta có Zb Zc Zb f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c Nhận xét 1.1. Với giả thiết f (x) khả tích trên [a, b] ta có Zb Zb f (x)dx = f (t)dt. a a Tiếp theo, ta xét một số dạng bất đẳng thức tích phân cơ bản. Tính chất 1.10. Giả sử hàmf (x) khả tích trên đoạn [a, b] khi đó Zb Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b] thì f (x)dx ≥ 0. a 8
Zb Hơn nữa nếu f (x) > 0, ∀x ∈ [a, b] và a < b thì f (x)dx > 0. a Tính chất 1.11. Nếu f (x) và g(x) là các hàm khả tích trên [a, b] và Zb Zb f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b] (a ≤ b) thì f (x)dx ≤ g(x)dx. a a Zb Zb Hơn nữa nếu f (x) < g(x) ∀x ∈ [a, b] (a < b) thì f (x)dx < g(x)dx. a a Tính chất 1.12. Nếu f (x) là hàm khả tích trên đoạn [a, b] (a ≤ b) thì
Zb
Zb |f (x)| cũng khả tích trên đoạn đó và
f (x)dx
≤ |f (x)|dx.
a a Việc nghiên cứu tích phân của một hàm số trên một đoạn nào đấy trước tiên ta cần kiểm tra điều kiện khả tích của nó. 1.2.3 Công thức Newton-Leibniz Việc tính tích phân xác định theo định nghĩa gặp những khó khăn nhiều khi không vượt nổi vì các tích phân của các hàm số rất cồng kềnh không dễ biến đổi để đưa về dạng thuận tiện cho việc tìm giới hạn. Cống hiến vĩ đại của Newton - Leibniz trong vấn đề này là đã đề ra được phương pháp tính tích phân của một hàm số dựa vào nguyên hàm của nó. Định lý 1.2 (Định lý Newton-Leibniz- xem [5]). Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a, b]. Giả sử F (x) là một nguyên hàm của nó thế thì Zb f (x)dx = F (b) − F (a). (1.2) a Chứng minh. Ta chia đoạn [a, b] thành n phần nhỏ bởi các điểm a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b. Trên mỗi đoạn [xi−1 , xi ] với i = 1, 2, . . . n theo định lý Lagrange tồn tại một ξi sao cho F (xi ) − F (xi−1 ) = F 0 (ξi )(xi − xi−1 ) = ∆xi F 0 (ξi ) = ∆xi f (ξi ). 9
Cho i nhận lần lượt các giá trị tự nhiên từ 1 đến n và lấy tổng của n đẳng thức đó ta được n X F (b) − F (a) = ∆xi f (ξi ). (1.3) i=1 Vế trái là hằng số với mọi n vế phải là một tổng tích phân của hàm số f (x) trên [a, b]. Zb Cho n → ∞ và max ∆xi → 0 thì vế phải có giới hạn là f (x)dx. Vậy a n X Zb F (b) − F (a) = lim ∆xi f (ξi ) = f (x)dx. (1.4) max ∆xi →0 i=1 a Công thức (1.4) được gọi là công thức Newton-Leibniz. Nó không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm của hàm số f (x) vì nếu G(x) là nguyên hàm của f (x) thì ta có G(x) = F (x) + C, với C là một hằng số nào đó. Khi ấy G(b) − G(a) = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a). Trong thực hành ta viết Zb
b f (x)dx = F (x)
= F (b) − F (a).
a a 1.3 Các lớp hàm khả tích Định lý 1.3 (xem [5]). Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên đoạn đó. Định lý 1.4 (xem [5]). Nếu hàm f bị chặn trên đoạn [a, b] và chỉ có một số hữu hạn điểm gián đoạn trong [a, b] thì khả tích trong đoạn đó. Định lý 1.5 (xem [5]). Hàm f đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì khả tích trên đoạn đó. 10