Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên tục

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> KIM THỊ HƯỜNG<br /> <br /> CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM<br /> DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM<br /> LIÊN TỤC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC<br /> <br /> HÀ NỘI - NĂM 2016<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> KIM THỊ HƯỜNG<br /> <br /> CÁC PHƯƠNG TRÌNH HÀM<br /> DẠNG ABEL TRONG LỚP HÀM<br /> LIÊN TỤC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC<br /> <br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số: 60.46.01.13<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học<br /> GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU<br /> <br /> HÀ NỘI - NĂM 2016<br /> <br /> 1<br /> <br /> Mục lục<br /> Mở đầu<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1 Một số kiến thức cơ bản<br /> 1.1 Hàm chẵn, lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2 Hàm tuần hoàn, phản tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2.1 Hàm tuần hoàn cộng tính, phản tuần hoàn cộng tính .<br /> 1.2.2 Hàm tuần hoàn nhân tính, phản tuần hoàn nhân tính<br /> 1.3 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4 Phép lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.5 Đặc trưng của một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.6 Tập trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.7 Hàm chuyển đổi các phép tính số học . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> 5<br /> 6<br /> 6<br /> 7<br /> 9<br /> 15<br /> 15<br /> 18<br /> 18<br /> <br /> 2 Các phương trình hàm dạng Abel<br /> 2.1 Phương trình hàm dạng mũ . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.1.1 Nghiệm thực của phương trình hàm dạng mũ .<br /> 2.1.2 Nghiệm phức của phương trình hàm dạng mũ<br /> 2.2 Phương trình hàm với hàm arctan . . . . . . . . . . .<br /> 2.3 Phương trình hàm sinh bởi hàm lượng giác . . . . . .<br /> 2.4 Một số dạng phương trình hàm khác . . . . . . . . .<br /> 2.4.1 Phương trình lặp . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.4.2 Phương trình dạng Pexider với các phép tính số<br /> 2.4.3 Về nghiệm của một số hệ phương trình . . . .<br /> <br /> 20<br /> 21<br /> 21<br /> 21<br /> 23<br /> 24<br /> 26<br /> 26<br /> 26<br /> 33<br /> <br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> . . .<br /> học<br /> . . .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 3 Một số lớp phương trình đa ẩn hàm<br /> 35<br /> 3.1 Phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan . . . . 35<br /> 3.2 Phương trình D’Alembert trong lớp hàm số liên tục . . . . . . 39<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4 Một số dạng toán về phương trình hàm từ các đề thi Olympic<br /> 4.1 Phương trình hàm với cặp biến tự do . . . . . . . . . . . . .<br /> 4.1.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam . . . . . . . . . . .<br /> 4.1.2 Các bài thi Olympic các nước và khu vực . . . . . . .<br /> 4.1.3 Đề thi toán Olympic quốc tế (IMO) . . . . . . . . . .<br /> 4.2 Phương trình hàm một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 4.2.1 Các đề thi học sinh giỏi Việt Nam . . . . . . . . . . .<br /> 4.2.2 Các đề thi Olympic các nước và khu vực . . . . . . . .<br /> 4.3 Phương trình hàm trên tập rời rạc . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 48<br /> 48<br /> 48<br /> 53<br /> 72<br /> 73<br /> 73<br /> 74<br /> 75<br /> <br /> Kết luận<br /> <br /> 80<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 81<br /> <br /> 3<br /> <br /> Mở đầu<br /> Hiện nay, ở một số trường phổ thông, phương trình hàm vẫn chưa được<br /> đề cập nhiều. Phần lớn các học sinh tiếp cận với phương trình hàm là các<br /> học sinh lớp chuyên toán, đối với học sinh đại trà phương trình hàm là một<br /> dạng toán xa lạ. Các học sinh tìm hiểu về phương trình hàm đều cảm thấy<br /> khó bởi vì khi học giải phương trình hàm không những đòi hỏi người học<br /> phải vận dụng nhiều kiến thức mà còn phải có khả năng tư duy tốt, khả<br /> năng khái quát, nhận dạng tìm ra cách giải hợp lí.<br /> Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, olympic toán khu vực và quốc<br /> tế, thường xuất hiện các dạng toán liên quan đến phương trình hàm.<br /> Xuất phát từ thực tế đó, tôi chọn đề tài: "Các phương trình hàm dạng<br /> Abel trong lớp hàm liên tục" làm đề tài luận văn thạc sĩ. Với mục tiêu chính<br /> của luận văn là cung cấp thêm cho các em học sinh - sinh viên đặc biệt là<br /> các em học sinh- sinh viên khá, giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toán<br /> tài liệu tham khảo. Ngoài những kiến thức lý thuyết cơ bản luận văn còn<br /> nghiên cứu thêm một số phương trình hàm dạng Abel trong lớp hàm liên<br /> tục; phương trình hàm Pexider và các dạng toán liên quan; phương tình<br /> D’Alembert trong lớp hàm liên tục; một số dạng toán về phương trình hàm<br /> từ các đề thi Olympic.<br /> Để hoàn thành luận văn này, tác giả đã thu thập, phân tích, nghiên cứu<br /> các tài liệu về phương trình hàm đặc biệt là các phương trình hàm dạng Abel<br /> trong lớp hàm liên tục thông qua các tài liệu tham khảo như sách, Internet,<br /> trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến của thầy hướng dẫn, của các chuyên<br /> gia và đồng nghiệp rồi tổng hợp, hệ thống lại.<br /> Cấu trúc của luận văn gồm ba phần: phần mở đầu, phần nội dung và<br /> phần kết luận.<br /> Nội dung luận văn gồm bốn chương:<br /> - Chương 1. Một số kiến thức cơ bản.<br /> Trong chương này trình bày các định nghĩa về hàm chẵn, hàm lẻ, hàm<br /> tuần hoàn, hàm phản tuần hoàn; các định nghĩa và các định lý, tính chất<br /> <br />