Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các PI.đại số không có nil-ideal khác(0)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> NGUYỄN ĐÌNH HIỀN<br /> <br /> CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0)<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> TP.HỒ CHÍ MINH - NĂM 2003<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.Hồ CHÍ MINH<br /> <br /> NGUYỄN ĐÌNH HIỀN<br /> <br /> CÁC PI.ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NIL-IDEAL KHÁC (0)<br /> CHUYÊN NGÀNH : ĐẠI SỐ<br /> MÃ SỐ : 1.01.03<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ<br /> <br /> TP.HỒ CHÍ MINH - năm 2003<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................................. 1<br /> CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN. . 3<br /> 1.1. Cấu trúc Radical (Jacobson) của vành: ............................................................................ 3<br /> 1.2. Một vành đặc biệt : .......................................................................................................... 9<br /> 1.3. Mối quan hệ giữa các vành nửa đơn vành Artin vành đơn. ........................................... 11<br /> 1.4. Tổng trực tiếp con : ........................................................................................................ 13<br /> CHƢƠNG2: CÁC PI. ĐẠI SỐ TRÊN VÀNH GIAO HOÁN CÓ ĐƠN VỊ. ........................... 15<br /> 2.1. PI. đại số trên vành giao hoán có đơn vị : ..................................................................... 15<br /> 2.2. Định lý Kaplansky - Amitsur - Levitzky : ..................................................................... 19<br /> 2.3. Đa thức tâm của đại số ma trận ...................................................................................... 30<br /> CHƢƠNG 3: MỘT SỐ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CÁC PI. ĐẠI SỐ KHÔNG CÓ NILIDEAL KHÁC KHÔNG. .......................................................................................................... 34<br /> 3.1. Tổng quan về lớp vành không có nil-ideal khác không ................................................. 34<br /> 3.2. Đồng nhất thức thực sự của đại số nguyên tố ................................................................ 39<br /> 3.3. PI.đại số không có ideal lũy linh khác 0. ....................................................................... 48<br /> KẾT LUẬN ................................................................................................................................... 51<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> <br /> Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn tôn kính Quý Thầy, Cô trong tổ Đại số Trƣờng Đại<br /> học Sƣ phạm TP. Hồ Chí Minh và trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minh đã trang<br /> bị cho tôi đủ kiến thức làm nền tảng cho quá trình viết luận văn này, cùng toàn thể Quý Thầy, Cô<br /> Khoa Toán, Phòng Khoa học Công nghệ & Sau Đại Học và Ban Giám Hiệu Trƣờng ĐHSP<br /> TP.HỒ Chí Minh, cùng các bạn đồng nghiệp Trƣờng Cao đẳng Sƣ phạm Bình Thuận, đã tạo<br /> nhiều điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu hoàn thành chƣơng trình khoa học. Tôi xin<br /> chân thành bày tỏ lòng biết ơn đặc biệt đôi với thầy PGS.TS. Bùi Tường Trí đã tận tình hƣớng<br /> dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo trong quá trình xây dựng hoàn thành luận văn này.<br /> Quá trình xây dựng luận văn, tôi đã nhận đƣợc nhiều sự động viên về mặt tinh thần của<br /> các học viên cao học khoa 11. Xin các anh, chị cùng toàn thể các bạn ghi nhận nơi đây một tấm<br /> lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất.<br /> <br /> Tác giả luận văn.<br /> <br /> 1<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> Mục đích của luận văn này là: Từ các kết quả định lý Kaplansky-Amitsur-Levitiky trên<br /> PI. đại số nguyên thủy, mở rộng dần kết quả đó trên lớp các PI. đại số không có nil-ideal khác<br /> (0) và trên lớp các PI.đại số không có ideal lũy linh khác (0). Đồng thời hệ thống lại một số kiến<br /> thức cơ bản có liên quan, nhằm làm cơ sở lý luận cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu<br /> trong luận văn này.<br /> Như chúng ta đã biết nhà toán học Wedderburn đã chứng minh được "Định lý dày đặc",<br /> còn trong PI.đại số ta có định lý Kaplansky-Amitsur-Levitzky, đã đặt nền móng trong việc xây<br /> dựng cấu trúc đại số đơn, đồng thời mở ra những phương hướng nghiên cứu mới trong toán học.<br /> Sau những kết quả quan trọng này, nhiều nhà toán học trên thế giới đã phát triển và mở rộng<br /> các kết quả này theo nhiều hướng khác nhau.<br /> Do phạm vi nghiên cứu của đề tài, trong luận văn này không thể đề cập hết được các<br /> công trình nghiên cứu của các nhà toán học nói trên, mà luận văn chì trình bày những kết quả<br /> nghiên cứu theo định hướng nói trên cho lớp PI. đại số không có nil-ideal khác 0 và trên lớp các<br /> PI. đại số không có ideal lũy linh khác (0). Tuy nhiên một số định lý, bổ đề và hệ quả ở chương 1<br /> luận văn bỏ qua phép chứng minh (do đặc điểm của chương 1) mà chỉ nêu ra để vận dụng, làm<br /> cơ sở cho các phép chứng minh các kết quả ở chương 2 và chương 3.<br /> Nội dung luận văn đƣợc chia thành ba chƣơng nhƣ sau:<br /> <br />