Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cấp tăng và sự phân bố không điểm của hàm nguyên

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

74
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cấp tăng và sự phân bố không điểm của hàm nguyên trình bày các tính chất của cấp tăng của hàm nguyên, sau đó xem xét các tính chất liên quan đến phân bố không điểm của hàm nguyên. Mời các bạn tham khảo luận văn để nắm bắt nội dung cụ thể.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cấp tăng và sự phân bố không điểm của hàm nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ____________________________________ HUỲNH THÁI SƠN CẤP TĂNG VÀ SỰ PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM CỦA HÀM NGUYÊN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH-2011
MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................................................................2 0T T 0 MỞ ĐẦU....................................................................................................................................................................5 0T T 0 1. Lý do chọn đề tài ...............................................................................................................................................5 0T 0T 2. Mục đích nghiên cứu .........................................................................................................................................5 0T 0T 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................................................................................5 0T 0T 4. Ý nghĩa khoa học, thức tiễn..............................................................................................................................5 0T 0T Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .......................................................................................................................6 0T 0T 1.1. Hàm giải tích..................................................................................................................................................6 0T 0T 1.1.1 Định nghĩa................................................................................................................................................6 0T 0T 1.1.2 Định lý ......................................................................................................................................................6 0T T 0 1.2. Tích phân phức, tích phân Stieljes ...............................................................................................................6 0T 0T 1.2.1 Định lý ......................................................................................................................................................6 0T T 0 1.3. Lý thuyết Cauchy ..........................................................................................................................................7 0T 0T 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy).........................................................................................................................7 0T 0T 1.3.2 Định lý (Sự tồn tại của nguyên hàm) ......................................................................................................8 0T T 0 1.3.3 Định lý (Sự tồn tại logarit).......................................................................................................................8 0T 0T 1.3.4 Định lý (Công thức tích phân Cauchy) ...................................................................................................8 0T T 0 1.3.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) ........................................................................8 0T T 0 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) .........................................................................................................................9 0T 0T 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đối với đạo hàm) ...................................................................................9 0T T 0 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) ......................................................................................................................9 0T 0T 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) ......................................................................................................9 0T T 0 1.4. Hàm điều hòa .................................................................................................................................................9 0T 0T 1.4.1 Định nghĩa................................................................................................................................................9 0T 0T 1.4.2 Định lý ................................................................................................................................................... 10 0T T 0 1.4.3 Định lý ................................................................................................................................................... 10 0T T 0 1.5. Lý thuyết chuỗi ........................................................................................................................................... 10 0T 0T 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) .............................................................................................................. 10 0T 0T 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor)........................................................................................................................ 10 0T 0T 1.5.3 Định lý (Định lý duy nhất).....................................................................................................................11 0T 0T 1.5.4 Định lý ....................................................................................................................................................11 0T T 0 1.5.5 Định lý (Định lý Laurent)..................................................................................................................... 12 0T 0T
1.5.6 Định nghĩa............................................................................................................................................. 12 0T 0T 1.6. Hàm nguyên và hàm phân hình................................................................................................................ 12 0T 0T 1.6.1 Định nghĩa............................................................................................................................................. 12 0T 0T 1.6.2 Định lý ................................................................................................................................................... 13 0T T 0 1.6.3 Định nghĩa............................................................................................................................................. 13 0T 0T Chương 2. CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN.................................................................................................... 14 0T T 0 T 0 T 0 2.1 Cấp và loại của hàn nguyên ......................................................................................................................... 14 0T 0T 2.1.1 Định lý ................................................................................................................................................... 14 0T T 0 2.1.2 Định nghĩa............................................................................................................................................. 14 0T 0T 2.1.3 Định nghĩa............................................................................................................................................. 15 0T 0T 2.2. Mối liên hệ của cấp , loại và hệ số Taylor của hàm nguyên ...................................................................... 15 0T T 0 2.2.1 Bổ đề ...................................................................................................................................................... 15 0T T 0 2.2.2 Bổ đề ...................................................................................................................................................... 16 0T T 0 2.2.3 Định lý ................................................................................................................................................... 17 0T T 0 2.2.4 Định lý ................................................................................................................................................... 18 0T T 0 2.2.5 Ví dụ ....................................................................................................................................................... 19 0T T 0 2.3. Các công thức của hàm giải tích trên đĩa .................................................................................................. 20 0T T 0 2.3.1 Định lý (Công thức Schwarz) ............................................................................................................... 20 0T 0T 2.3.2 Định lý (Công thức Poisson) ................................................................................................................. 20 0T 0T 2.3.3 Định lý (Công thức Poison – Jensen) ................................................................................................... 21 0T T 0 2.3.4 Định lý ( Công thức Jensen ) ................................................................................................................ 22 0T 0T 2.3.5 Định nghĩa............................................................................................................................................. 23 0T 0T 2.3.6 Hệ quả của Công thức Jensen ............................................................................................................... 24 0T 0T Chương 3. PHÂN BỐ KHÔNG ĐIỂM .................................................................................................................. 25 0T 0T 3.1. Số mũ hội tụ và mật độ trên, mật độ dưới của dãy không điểm ............................................................... 25 0T T 0 3.1.1 Định nghĩa............................................................................................................................................. 25 0T 0T 3.1.2 Bổ đề ...................................................................................................................................................... 25 0T T 0 3.1.3 Bổ đề ...................................................................................................................................................... 26 0T T 0 3.1.4 Định lý (Định lý Hadamard) ................................................................................................................ 26 0T 0T 3.1.5 Định lý ................................................................................................................................................... 27 0T T 0 3.2. Phân tích hàm nguyên thành nhân tử...................................................................................................... 28 0T 0T 3.2.1 Định nghĩa............................................................................................................................................. 28 0T 0T 3.2.2 Định lý (Định lý Hadamard) ................................................................................................................ 29 0T 0T
3.3. Đánh giá tích chính tắc .............................................................................................................................. 30 0T 0T 3.3.1 Bổ đề (Bổ đề đánh giá của Borel).......................................................................................................... 30 0T 0T 3.3.2 Định lý ................................................................................................................................................... 31 0T T 0 3.3.3 Định lý (Định lý Borel) ......................................................................................................................... 32 0T 0T 3.4. Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp không nguyên ................................................................... 33 0T T 0 3.4.1 Định lý ................................................................................................................................................... 33 0T T 0 3.4.2.Định lý ................................................................................................................................................... 33 0T T 0 3.5. Phân bố không điểm của hàm nguyên có cấp nguyên .............................................................................. 34 0T T 0 3.5.1 Định lý (Định lý Lindelof) .................................................................................................................... 35 0T 0T 3.5.2 Định lý ( Định lý Lindelof ) .................................................................................................................. 36 0T 0T KẾT LUẬN............................................................................................................................................................. 39 0T T 0 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................................................................... 40 0T 0T
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết hàm nguyên là một phần quan trọng và đặc sắc của giải tích phức. Lý thuyết này còn được phát triển như là một tổng quát của lý thuyết đa thức. Hàm nguyên không đồng nhất bằng không chỉ có đếm được không điểm. Luận văn này nhằm tìm hiểu, khảo sát phân bố dãy không điểm của hàm nguyên thông qua cấp tăng và loại của nó. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn trình bày các tính chất của cấp tăng của hàm nguyên. Sau đó xem xét các tính chất liên quan đến phân bố không điểm của hàm nguyên. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là cấp tăng và loại của hàm nguyên, công thức tích phân, đặc trưng Nevanlinna, hàm đếm không điểm, mật độ trên mật độ dưới của dãy không điểm. 4. Ý nghĩa khoa học, thức tiễn Luận văn hệ thống lại các các nghiên cứu đã có về phân bố không điểm của hàm nguyên thông qua cấp và loại của nó. Luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến lĩnh vực trên. Mặc dù bản thân đã rất cố gắng và được thầy giáo hướng dẫn tận tình giúp đỡ, nhưng vì khả năng và thời gian có hạn nên luận văn chắc còn nhiều thiếu sót. Kính mong sự góp ý của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp. Nhân dịp hoàn thành luận văn, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, các thầy cô giáo đã giảng dạy lớp Cao học Toán khóa 18, các bạn học, gia đình và người thân.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm giải tích 1.1.1 Định nghĩa Hàm f được gọi là giải tích (hay chỉnh hình) tại z0 nếu tồn tại r > 0 sao cho f có đạo hàm tại mọi z ∈ D(0, r ) , D ( z0 , r ) là đĩa tâm z0 bán kính r . Hàm f được gọi là giải tích trên miền Ω nếu nó giải tích tại mọi z ∈ Ω . 1.1.2 Định lý Giả sử Ω ⊂  là một miền và A(Ω) là tập các hàm giải tích trên Ω . Khi đó 1 (i) Nếu f ∈ A(Ω) và f ( z ) ≠ 0, ∀ z ∈ Ω thì ∈ A(Ω) . f (ii) Nếu f ∈ A(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là hàm hằng . 1.2. Tích phân phức, tích phân Stieljes (t ) x(t ) + iy (t ) , t ∈[ a, b ] là đường cong trong  . Với giả thiết γ trơn từng khúc Cho γ = và f liên tục trên γ , ta định nghĩa tích phân của f trên γ là ∫γ f ( z )dz = ∫a f ( γ ( t ) )γ ′ ( t ) dt . b 1.2.1 Định lý Cho f , g là các hàm liên tục trên đường cong trơn từng khúc γ , γ = (t ) x(t ) + iy (t ) , t ∈[ a, b ] . Khi đó i) ∫γ (α f ( z ) + β g ( z ))dz = α ∫γ f ( z )dz + β ∫γ g ( z ) , α ∈ , β ∈  . ii) ∫ f ( z )dz = − ∫ f ( z )dz , γ − là đường cong ngược của γ , γ− γ γ − (t )= γ (a + b − t ) , t ∈ [ a, b ] . iii) Nếu γ= γ 1 + γ 2 tức tồn tại c ∈ ( a, b) sao = cho γ 1 γ= [ a ,c ] , γ 2 γ [ c ,b ] thì ∫γ = f ( z )dz ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz γ γ . 1 2
iv) ∫γ f ( z )dz ≤ ∫γ ∫ f ( z ) ds , ds là vi phân độ dài cung f ( z ) dz = γ dz= ds = ( x , (t )) 2 + ( y , (t )) 2 . v) Nếu f ( z ) ≤ M với mọi z ∈ γ và l là độ dài đường cong γ thì ∫γ f ( z )dz ≤ ∫γ f ( z ) dz ≤ M ∫ dz = Ml . γ Cho f là hàm bị chặn trên đoạn [ a, b ] và F là hàm thực không giảm trên đoạn [ a, b ] . Ta gọi phép chia P là một dãy hữu hạn P = {t j } j =1 , t0 = a < t1 < ... < tn = b . n Với mỗi phép chia P , đặt ( F (t ) − F (t )= ) , s ( f ) ∑ m ( F (t ) − F (t )) , n n S PF ( f ) = ∑M j j j −1 F P j j j −1 j =1 j =1 { } { trong đó M j =sup f ( x ) : x ∈ ( t j −1 , t j  , m j =inf f ( x ) : x ∈ ( t j −1 , t j  . } Hàm f gọi là khả tích Stieljes theo hàm F nếu inf {S PF ( f ) : P} = sup {sPF ( f ) : P} . Khi f khả tích Stieljes thì ta gọi tích phân Stieljes của f theo F là ∫a f ( x )dF ( x ) inf {S PF ( f ) : P} sup {sPF ( f ) : P} . b = = Nếu F là hàm không giảm trên [ a, ∞ ) thì ta gọi tích phân Stieljes của hàm f xác định trên [ a, ∞ ) theo hàm F là ∞ ∫ f ( x )dF ( x ) = lim ∫a f ( x )dF ( x ) . b a b →∞ 1.3. Lý thuyết Cauchy 1.3.1 Định lý (Định lý Cauchy) Cho Ω là miền bị chặn, có biên là hữu hạn các đường cong trơn từng khúc. Nếu f giải tích trên Ω và liên tục trên Ω thì ∫ ∂Ω f ( z )dz = 0 . Giả sử f là hàm giải tích trên miền đơn liên Ω và z0 , z là hai điểm trong Ω . Khi đó
z tích phân F ( z ) = ∫ f (η )dη z0 không phụ thuộc vào đường cong nối z0 và z trong Ω . 1.3.2 Định lý (Sự tồn tại của nguyên hàm) Cho miền đơn liên Ω và hàm f giải tích trên Ω . Khi đó với mọi z0 ∈ Ω , hàm F z xác định bởi F ( z ) = ∫ f (η )dη , ở đây tích phân lấy theo đường cong trơn từng khúc bất kỳ nối z0 z0 với z , là một nguyên hàm của f trên Ω . 1.3.3 Định lý (Sự tồn tại logarit) Giả sử Ω là miền đơn liên, f giải tích trên Ω khác không tại mọi z ∈ Ω . Khi đó tồn tại hàm g giải tích trên Ω sao cho eg = f . Hàm g gọi là một logarit của f , ký hiệu g = log f . Ta gọi đường tròn tâm z0 , bán kính r , là đường cong có phương trình ) z0 + reit , t ∈ [ 0, 2π ] , γ (t= được ký hiệu là Cr , z , Cr hoặc z − z0 = o r. Từ đây về sau ta hiểu đường cong là đường cong trơn từng khúc , chu tuyến là chu tuyến trơn từng khúc . 1.3.4 Định lý (Công thức tích phân Cauchy) Cho Ω là miền bị chặn , có biên là hữu hạn đường cong . Nếu f giải tích trên Ω và liên tục trên Ω thì với mọi z0 ∈ Ω ta có 1 f ( z) f ( z0 ) = ∫ 2π i ∂Ω z − z0 dz . Nhận xét Trường hợp f giải tích trên Ω , z0 ∈ Ω và γ là một chu tuyến sao cho z0 ∈ Ωγ  Ω 1 f ( z) thì ta có f ( z0 ) = ∫ 2π i γ z − z0 dz . 1.3.5 Định lý (Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm) Cho hàm f giải tích trên miền Ω . Khi đó hàm f có đạo hàm mọi cấp trên miền Ω và
đạo hàm cấp n của hàm f tại z0 được biểu diễn bởi công thức n! f ( z) =f ( n ) ( z0 ) = ∫ 2π i γ ( z − z0 ) n +1 dz , n 0,1, 2,..., trong đó γ là một chu tuyến sao cho z0 ∈ Ωγ  Ω . 1.3.6 Định lý (Định lý Morera) Cho f là một hàm liên tục trên miền đơn liên Ω và tích phân của f theo mọi đường cong đóng trong Ω đều bằng 0. Khi đó f là hàm giải tích trên Ω . 1.3.7 Định lý (Bất đẳng thức Cauchy đối với đạo hàm) Cho hàm f giải tích trên miền Ω , z0 ∈ Ω và số R > 0 sao cho D( z0 , R )  Ω . Khi đó n!M f n ( z0 ) ≤ , ở đây M = max f ( z ) . Rn z∈C R , z0 1.3.9 Định lý (Định lý Liouville) Cho f là một hàm giải tích và bị chặn trên toàn mặt phẳng , tức tồn tại số dương M sao cho f ( z ) ≤ M với mọi z ∈  . Khi đó f là hàm hằng . 1.3.10 Định lý (Định lý giá trị trung bình) Cho f là hàm giải tích trên miền Ω , z0 ∈ Ω và số R > 0 sao cho D(0, R )  Ω . Khi đó giá trị của f tại zo bằng trung bình các giá trị của f trên đường tròn z0 + Reit , t ∈ [ 0, 2π ] , tức là CR , z (t ) = 0 2π 1 = f ( z0 ) 2π ∫ 0 f ( z0 + Reit )dt . 1.4. Hàm điều hòa 1.4.1 Định nghĩa Hàm u ( x, y ) của hai biến thực x, y trong miền Ω gọi là hàm điều hòa nếu các đạo hàm riêng cấp hai liên tục và thỏa mãn phương trình Laplace
∂ 2u ∂ 2u ∆u= + = 0 với mọi ( x, y ) ∈ Ω . ∂x 2 ∂y 2 1.4.2 Định lý Cho = f ( z ) u ( x, y ) + iv( x, y ) là một hàm giải tích trên miền Ω ∈  . Khi đó u ( x, y ) và v( x, y ) là hàm điều hòa trên miền Ω . 1.4.3 Định lý Hàm hai biến thực trên miền đơn đơn liên Ω là hàm điều hòa khi và chỉ khi là phần thực hay phần ảo của một hàm giải tích nào đó trên Ω . 1.5. Lý thuyết chuỗi ∞ Cho chuỗi hàm ∑ f ( z) n =1 n hội tụ trên miền Ω có tổng là f ( z ) . Chuỗi gọi là hội tụ đều trên ∞ tập con A của Ω nếu mọi ε > 0 tồn tại n0 sao cho mọi n ≥ n0 , z ∈ A đều có ∑ f ( z) < ε . k =n k ∞ ∞ Chuỗi ∑ f n ( z ) gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi ∑ f ( z) n hội tụ. Chuỗi hội tụ tuyệt đối là n =1 n =1 chuỗi hội tụ. 1.5.1 Định lý (Định lý Weierstrass) ∞ Cho chuỗi hàm ∑ f ( z) n =1 n hội tụ đều trên miền Ω và có tổng là f ( z ) . Nếu mọi hàm f n ( z ) giải tích trên Ω thì f ( z ) giải tích trên Ω và ∞ f ( k ) ( z ) = ∑ f n( k ) ( z ) với mọi k ∈ , z ∈ Ω . n =1 ∞ Chuỗi hàm có dạng ∑ c (z − z ) n =0 n 0 n gọi là chuỗi Taylor tại z0 . ∞ Giả sử chuỗi ∑ c (z − z ) n =0 n 0 n hội tụ trong đĩa D( z0 , R ) . Ký hiệu f ( z ) là tổng của nó . Theo Định lý 1.5.1 hàm f ( z ) khả vi vô hạn lần và ∞ f (k )= ( z) ∑ n(n − 1).....(n − k + 1) c ( z − z ) n=k n o n−k . Thay z = z0 vào đẳng thức này ta được f ( n ) ( z0 ) f ( k ) ( z0 ) = k !ck hay cn = . n! 1.5.2 Định lý (Định lý Taylor) Cho f là một hàm giải tích trên miền Ω và z0 ∈ Ω . Khi đó trong đĩa D ( z0 , R ) ,
=R d ( z0 , ∂Ω ) , ta có ∞ = f ( z) ∑ c (z − z ) n =o n 0 n , các hệ số cn là duy nhất và được tính theo công thức f ( n ) ( z0 ) cn = . n! Nhận xét Hàm f giải tích tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ nếu tồn tại r > 0 sao cho ∞ = f ( z) ∑ c (z − z ) n =o n 0 n với mọi z ∈ D( z0 , r ) . 1.5.3 Định lý (Định lý duy nhất) Cho f và g là các hàm giải tích trên miền Ω , f ( zn ) = g ( zn ) với mọi n , ở đây { zn } là dãy các điểm phân biệt trong Ω sao cho zn → z0 , zo ∈ Ω . Khi đó f ( z ) = g ( z ) vói mọi z ∈Ω. +∞ Chuỗi có dạng ∑ c (z − z ) n = −∞ n 0 n gọi là chuỗi Laurent theo lũy thừa của z − z0 hay chuỗi Laurent tại z0 . 1.5.4 Định lý +∞ Nếu các hệ số cn của chuỗi ∑ c (z − z ) n = −∞ n 0 n thỏa mãn 1 0 ≤ limsup n c− n = r < R = ≤∞ n →∞ limsup n c n n →∞ ∞ thì miền hội tụ của chuỗi ∑ c (z − z ) n = −∞ n 0 n là hình vành khăn r < z − z0 < R ∞ và tổng f ( z ) của chuỗi ∑ c (z − z ) n = −∞ n 0 n là một hàm giải tích trong hình vành khăn r < z − z0 < R .
1.5.5 Định lý (Định lý Laurent) Cho f ( z ) là hàm giải tích trong hình vành khăn 0 < r < z − z0 < R < ∞ . Khi đó f ( z ) biểu diễn đuợc duy nhất dưới dạng tổng của chuỗi Laurent +∞ = f ( z) ∑ c (z − z ) n = −∞ n 0 n , các hệ số của chuỗi là duy nhất được xác định bởi công thức 1 f (ζ )d ζ cn = ∫ 2π i γ (ζ − z0 ) n +1 , n= 0, ±1... , s trong đó γ s là đường tròn bất kỳ ζ − z0 = s , r
∞ f ( z ) = ∑ cn z n khác không . n =0 c) Không tồn tại lim f ( z ) . Trường hợp này ta gọi f là hàm siêu việt . z →∞ 1.6.2 Định lý Cho f là hàm nguyên, f không đồng nhất bằng 0 . Khi đó tập các không điểm của hàm f là tập đếm được . Thật vậy mọi n , theo Định lý duy nhất, D(0, n) chỉ chứa hữu hạn không điểm của hàm f . ∞ Do  =  D(0, n) nên trong  hàm f chỉ có đếm được không điểm . n =1 1.6.3 Định nghĩa Hàm giải tích trên miền Ω trừ ra một số các điểm bất thường là cực điểm gọi là hàm phân hình trên Ω . Tập các cực điểm của hàm phân hình f là đếm được, hơn nữa là tập rời rạc trong Ω .
Chương 2. CẤP TĂNG CỦA HÀM NGUYÊN 2.1 Cấp và loại của hàn nguyên Để mô tả một cách tổng quát về cấp tăng của hàm nguyên ta đưa vào hàm M f (r ) = max f ( z ) , hàm M f (r ) là hàm đơn điệu tăng. z =r 2.1.1 Định lý M f (r ) Cho hàm nguyên f ( z ) và λ không âm sao cho liminf = 0 khi đó f là đa thức r →∞ rλ có bậc không vượt quá λ . Chứng minh. ∞ Theo bất đẳng thức Cauchy đối với hàm f ( z ) = ∑ cn z n ta có n =0 M f (r ) cn ≤ . rn M f (r ) Với mọi n > λ ta có cn ≤ liminf = 0 . Vậy cn = 0 với mọi n > λ . r →∞ rn ∞ Từ đó f ( z ) = ∑ cn z n là đa thức bậc ≤ λ .  Theo Định lý 2.1.1, n =0 mọi hàm nguyên khác đa thức đều có M f (r ) tăng nhanh hơn mọi lũy thừa dương của r . Khái niệm bậc của f được đưa ra từ sự so sánh M f (r ) với hàm e r . k as . r Nếu M f (r ) < B (r ) với mọi r ≥ r0 thì ta viết M f (r ) < B (r ) hoặc M f (r ) < B (r ) (as.r ) . 2.1.2 Định nghĩa Ta gọi cấp tăng của hàm nguyên f ( z ) là = { ρ inf k : M f ( r ) < e r , ∀r > r0 . k } Nếu không tồn tại số k nào thì ta định nghĩa cấp của f ( z ) là ρ = ∞ , và f ( z ) được gọi là hàm có cấp vô tận. Ta ký hiệu cấp của hàm nguyên f ( z ) là ρ = ρ f . Theo định nghĩa cấp của hàm nguyên f ( z ) , ta có
ρ −ε as . r as . r ρ +ε er < M f (r ) < er , as log log M f (r ) as ρ −ε < < ρ +ε . log r Do đó log log M f (r ) ρ = lim sup . r →∞ log r 2.1.3 Định nghĩa Ta gọi loại của hàm nguyên f ( z ) cấp ρ là = { σ inf A : M f ( r ) < e Ar , ∀r > r0 ( A ) . ρ } Nếu không tồn tại số A nào thì ta đặt σ = ∞ và hàm f ( z ) được gọi là hàm tối đại, nếu 0 < σ < ∞ thì hàm f ( z ) được gọi là hàm trung bình, nếu σ = 0 thì f ( z ) gọi là hàm tối thiểu. Theo định nghĩa loại của hàm nguyên ta có as . r as . r e ( σ − ε ) r < M f ( r ) < e (σ + ε ) r . ρ ρ Lấy logarit ta có as . r log M f (r ) as . r σ −ε < < σ +ε . rρ Vậy có công thức log M f (r ) σ f = limsup . r →∞ rρ 2.2. Mối liên hệ của cấp , loại và hệ số Taylor của hàm nguyên 2.2.1 Bổ đề ∞ Nếu hàm nguyên f ( z ) = ∑ cn z n và thỏa mãn bất đẳng thức n =0 n as .r  ekA  k as . r M f (r ) < e Ar <  k thì cn  .  n  Chứng minh. M f ( r ) < e Ar k Ta có
M f (r ) cn ≤ < e Ar − n log r k n , r ≥ r0 r 1 1  n k  n k Đạo hàm của hàm e Ar k − n log r bằng không tại rn =   và đạt cực tiểu tại đó. Thay r= rn=    kA   kA  M f (r ) vào cn ≤ < e Ar − n log r ta được k n r n n A  Ar k e e  eAk  k  A cn ≤ n= =   .   n rn n  n k    kA  n  ekA  k as . r Vậy cn <   .   n  2.2.2 Bổ đề n ∞  eAk  k as . n Nếu hàm nguyên f ( z ) = ∑ cn z n và bất đẳng thức sau được thỏa mãn cn <   thì n =0  n  as . r M f (r ) < e( A+ε ) r với ∀ ε > 0 . k Chứng minh. n  eAk  k Ta có thể giả thiết c0 = 0 và cn <   đúng với mọi n ≥ 1. Ta có  n  n n ∞  eAk  n  eAr k  k ∞ ∞ f ( z ) ≤ ∑ cn r ≤ ∑  ∑ k  r =  , z =r. n  = n 1= n 1 n=  n 1 n / k  n m +1  eAr k  k  eAr k  Đặt m = [ n / k ] . Với r đủ lớn ta có   ≤  . Do đó  n/k   m  m +1  eAr k  ∞ f ( z) ≤ ∑   . m =1  m  m m Áp dụng công thức Stirling m!    2π m , m→∞ và bất đẳng thức e m +1  ε  A + 2π m < C  2 , m ≥ 1,   A   
m +1  eAr k ∞ ∞ e m +1 n +1 ( Ar k ) m +1 ta có f ( z) ≤ ∑   ∑ = =  m  m 1= m 1m ∞ em < C1 ∑ m ( Ar k ) m +1 ( C1 là hằng số) m =1 m m +1  A+ε / 2 ( Ar ) k m +1 ∞ C  < C1 ∑  A  m =1 m! ( A + ε / 2) m +1 ∞ r k ( m +1) < C2 ∑ ( C2 là hằng số) m =1 m! ε k m    + r 2   A  ε  k ∞  = C2  A +  r ∑  2  m =1 m! < C3e( A+ε /2)r k ( C3 là hằng số) as . r Vậy f ( z ) < e( A+ε )r . k  Từ hai bổ đề trên , ta có thể biểu thị cấp và loại của một hàm nguyên qua hệ số trong khai triển Taylor. 2.2.3 Định lý ∞ Đối với mọi hàm nguyên f ( z ) = ∑ cn z n , cấp của f ( z ) được xác định bởi công thức n =0 n log n ρ = limsup . n →∞ log (1 / cn ) Chứng minh. n log n Đặt ρ1 = limsup , ta sẽ chứng minh ρ = ρ1 . n →∞ log (1 / cn ) Theo định nghĩa cấp của hàm nguyên f ( z ) thì mọi k > ρ , theo Bồ đề 2.2.1, n  ek  k M f (r ) < er thì cn <   . Lấy logarit bất đẳng thức này ta có k  n  n  ek  log cn < log   . k  n 
Do f ( z ) là hàm nguyên nên n cn → 0 , từ đó với n đủ lớn thì log cn < 0 . Ta có ek ek n log − log k> n = n log cn 1 log n c n 1 log n log ek log n log n = − = + ek . 1 1 1 1 log log log log n c n c cn n c n n n n log n Vì n cn → 0 nên ta có k > limsup . 1 log cn Theo định nghĩa cấp của hàm nguyên thì ρ là infimum của k , do đó n log n ρ ≥ limsup . 1 log cn Vậy ρ ≥ ρ1 . n log n Giả sử ρ1 < ∞ , khi đó với mọi k > ρ1 ta có k > với n đủ lớn. Do đó 1 log cn n 1 n  1 k > (n)k hay cn <   với n đủ lớn. cn n Áp dụng Bổ đề 2.2.1 với eAk = 1 , ta có 1   +ε  k M f (r ) < e k  r với r đủ lớn và ε > 0 . Suy ra ρ < k , k là số tùy ý , k ≥ ρ1 . Do đó ρ1 ≥ ρ và ρ = ρ1 . Vậy bậc của hàm nguyên cho bởi công thức n log n ρ = limsup .  n →∞ 1 log cn 2.2.4 Định lý ∞ Loại của hàm nguyên f ( z ) = ∑ cn z n được xác định bởi công thức n =1 1 ρ σ= limsup n n cn ρ e n→∞ Chứng minh. 1 ρ Đặt σ 1 = limsup n n cn , ta sẽ chứng minh σ = σ 1 . ρe
ρ Loại hàm nguyên f ( z ) có bậc ρ là infimum σ của các số A sao cho M f (r ) < c Ar . Áp dụng Bổ đề 2.2.1 với k = ρ , n ρ  eAρ  ρ M f (r ) < e Ar nên cn <   .  n  1 n ρ Suy ra A > n cn . Từ đó eρ 1 ρ A> limsup n n cn . eρ n→∞ 1 ρ Do σ là infimum của các số A nên σ ≥ limsup n n cn . Vậy ta có σ ≥ σ1 . eρ n→∞ Bây giờ giả sử A > σ 1 . Khi đó 1 n ρ A> n cn với n đủ lớn . ρe Từ đó n ρ Aeρ  Aeρ  ρ n cn < hay cn <   với n đủ lớn. n  n  Do đó theo Bổ đề 2.2.2 ta có M f (r ) < e( A+ε )r , ρ suy ra A > σ . Do A tùy ý nên σ 1 ≥ σ . Vậy σ = σ 1 .  2.2.5 Ví dụ Sử dụng các Định lý 2.2.3 và 2.2.4 dễ dàng thấy rằng n  eσρ  ρ n ∞ = a) Hàm nguyên f ( z ) ∑   z , 0 < ρ < ∞,0 < σ < ∞ n =1  n  có cấp ρ và loại σ . n  eσρ  ρ n ∞ Hàm nguyên f ( z ) ∑  b)=  z , 0 < ρ < ∞, σ < ∞ n = 2  n log n  có cấp ρ và loại tối thiểu . n  eρ log n  ρ n ∞ c) Hàm nguyên f ( z ) ∑  =  z , 0
∞ e) Hàm nguyên f ( z ) = ∑ e − n z n có cấp không . 2 n =0 Vậy ta có thể xây dựng các hàm nguyên có cấp và loại tùy ý . 2.3. Các công thức của hàm giải tích trên đĩa Để tìm hiểu mối liên hệ giữa cấp tăng của hàm nguyên và không điểm của nó ta cần các công thức sau đây. 2.3.1 Định lý (Công thức Schwarz) Cho f = u + iv là hàm giải tích trên miền Ω và cho đĩa D(0, R)  Ω . Khi đó với mọi z ∈ D(0, R ) ta có 2π 1 Reiψ + z ∫ u (Re ) dψ + iv(0) . iψ =f ( z) (1) 2π o Reiψ − z 2.3.2 Định lý (Công thức Poisson) Cho u là hàm điều hòa trên miền Ω và cho đĩa D(0, R )  Ω . Khi đó với mọi z ∈ D(0, R ) ta có R2 − r 2 u ( Re ) 2 1 2π ∫ dψ , iψ u( z) = z = reiθ . 2π 0 R − 2 Rr cos (ψ − θ ) + r 2 Công thức trên có thể được viết dưới dạng R2 − z 2 1 2π ∫ dψ iψ u( z) = u (Re ) 2π (2) 2 Reiψ − z 0 Nếu f ( z ) ≠ 0 trên đĩa D(0, R ) thì log f ( z ) là hàm giải tích trên đĩa D(0, R ) , từ công thức (1) ta có Reiψ + z log f ( Reiψ ) 1 2π log f ( z ) 2π ∫ 0 Reiψ − z dψ + iC (3) Từ (2) và (3) suy ra R2 − r 2 log f ( Reiψ ) 1 2π log f ( z ) = 2π ∫0 R 2 − 2 Rr cos (θ −ψ ) + r 2 dψ (4) Giả sử a1 , a2 ,..., an là không điểm của f ( z ) trên D(0, R ) và được sắp tăng dần theo