Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu có cấu trúc gồm 2 chương trình bày khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính; Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN BÌNH DƯƠNG CHÉO HÓA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Nguyễn Bình Dương CHÉO HÓA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn Thái Nguyên - 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Nguồn tài liệu sử dụng cho việc hoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở. Các thông tin, tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 5 tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Bình Dương Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn i
Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS. TSKH. Đoàn Thái Sơn. Tôi xin cảm ơn thầy về sự hướng dẫn tận tình và hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong tổ bộ môn đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn thạc sĩ. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tuy nhiên, luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự góp ý từ các thầy cô giáo để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 5 tháng 9 năm 2020 Người viết luận văn Nguyễn Bình Dương ii
Mục lục Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Tính nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Phổ nhị phân mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Một số kết quả chuẩn bị về tích phân Lebesgue và các hàm liên tục tuyệt đối. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3. Chéo hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 iii
Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt R tập các số thực Rn×n tập các ma trận vuông cấp n A : R → Rn×n Hàm ma trận khả tích địa phương ∅ tập rỗng ⊕ tổng trực tiếp GLN (R) Nhóm các ma trận tuyến tính khả nghịch cấp N im P Ảnh của phép chiếu P ker P Nhân của phép chiếu P 2 kết thúc chứng minh iv
Mở đầu Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính x˙ = A(t)x (1) với hàm ma trận A : R → RN ×N là liên tục và bị chặn. Nếu (1) là phương trình vi phân với hệ số không phụ thuộc thời gian, tức là x˙ = Ax, trong đó A ∈ RN ×N thì việc thay đổi biến x 7→ T −1 x biến phương trình trên thành phương trình có dạng x˙ = T −1 ATx. Do đó, bằng cách lựa chọn các ma trận khả nghịch T một cách phù hợp ta có thể đơn giản hóa phương trình tuyến tính với hệ số không phụ thuộc thời gian. Ví dụ ta có thể chọn ma trận khả nghịch T sao cho T −1 AT là ở dạng chuẩn Jordan. Trong khuân khổ nội dung luận văn này, chúng ta sẽ tìm hiểu một kết quả tương tự như trên cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc thời gian (1). Ở đây chúng ta sử dụng khái niệm khả quy như được định nghĩa ở trong Coppel [3]. Cụ thể, hệ (1) được gọi là khả quy nếu tồn tại một phép đổi biến khả nghịch phụ thuộc thời gian biến đổi hệ (1) thành một hệ đường chéo khối với số chiều trên mỗi đường chéo khối này là nhỏ hơn hẳn N . Để mở rộng kết quả của dạng chuẩn Jordan cho hệ tuyến tính phụ thuộc vào thời gian thì chúng ta cần nhắc tới lý thuyết phổ phù hợp đối với hệ (1). Khái niệm phổ này có thể coi là khái niệm khái quát giá trị riêng theo một 1
cách thích hợp. Nhắc lại rằng, trong lịch sử đã có nhiều khái niệm phổ cho phương trình (1), ví dụ khái niệm phổ Lyapunov cho các hệ chính quy, khái niệm phổ Morse cho hệ động lực trên tích lệch (xem Colonius và Kliemann [4]), hoặc khái niệm phổ Bohl với mục đích mô tả tất cả các tốc độ tăng trưởng đều của hệ với thời gian dương (xem Daleckii và Krein [5]). Tuy nhiên, khái niệm phổ Sacker-Sell, hay còn gọi là phổ nhị phân mũ, dường như là khái niệm phổ phù hợp để giải quyết câu hỏi mở rộng trên. Nhằm trình bày một cách có hệ thống kết quả mở rộng định lý dạng chuẩn Jordan cho hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian trong Siegmund [9], luận văn bao gồm các nội dung sau: Chương 1: Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính. Chương 2: Chéo hóa phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều. Cuối cùng là phần kết luận tóm tắt những kết quả đạt được và danh mục tài liệu tham khảo. 2
Chương 1 Khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình vi phân tuyến tính Xét một hệ phương trình vi phân tuyến tính không ôtônôm có dạng x˙ = A(t)x (1.1) với A : R → RN ×N là một hàm đo được và khả tích địa phương, tức là với mọi đoạn [a, b] ⊂ R ta có Z b kA(t)k dt < ∞. a Mục đích chính của chương này là trình bày khái niệm phổ nhị phân mũ cho phương trình (1.1) và định lý phổ nhị phân mũ cho phương trình này. Kết quả của chương này được chứng minh trong [9]. 1.1. Tính nhị phân mũ Ta kí hiệu Φ : R × R → RN ×N , (t, τ ) 7→ Φ(t, τ ) là toán tử tiến hóa của phương trình (1.1), tức là Φ(., τ )ξ giải bài toán giá trị ban đầu (1.1) với χ(τ ) = ξ . Một phép chiếu bất biến của (1.1) được định nghĩa là một hàm P : R → RN ×N của các phép chiếu P (t), t ∈ R, sao cho P (t)Φ(t, s) = Φ(t, s)P (s), t, s ∈ R (1.2) 3
Lưu ý rằng P liên tục do đồng nhất thức P (·) ≡ Φ(., s)P (s)Φ(s, .). Chúng ta sẽ nói rằng (1) có tính nhị phân mũ nếu có một phép chiếu bất biến P và các hằng số K ≥ 1, α > 0 sao cho kΦ(t, s)p(s)k ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s kΦ(t, s)[I − P (s)]k ≤ Keα(t−s) với t ≤ s. Tiếp theo chúng ta nghiên cứu một lớp các phương trình dịch chuyển sau x˙ = (A(t) − γI)x (1.3) trong đó γ ∈ R. Dễ dàng thấy rằng Φγ (t, s) := e−γ(t−s) Φ(t, s) là toán tử tiến hóa của nó. Nếu với một giá trị γ nào đó mà phương trình dịch chuyển (1.3) có tính nhị phân mũ với họ các phép chiếu bất biến P thì khi đó P cũng là phép chiếu bất biến đối với x˙ = A(t)x, tức là (1.2) thỏa mãn. Hơn nữa, ta có các bất đẳng thức sau kΦ(t, s)P (s)k ≤ Ke(γ−α)(t−s) với t ≥ s kΦ(t, s)[I − P (s)]k ≤ Ke(γ+α)(t−s) với t ≤ s Nhận xét 1.1. Nếu x˙ = [A(t) − γI]x có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P ≡ I thì x˙ = [A(t) − ζI]x cũng có tính nhị phân mũ với cùng một phép chiếu bất biến cho mọi ζ > γ . Khẳng định trên cũng đúng với mọi ζ < γ nếu P ≡ 0 . Tiếp theo ta trình bày khái niệm mô tả tốc độ tăng trưởng mũ của một hàm số. Định nghĩa 1.2. Giả sử γ ∈ R. Một hàm liên tục g : R → RN là (a) γ + - bị chặn nếu supt≥0 kg(t)k e−γt < ∞. (b) γ − - bị chặn nếu supt≤0 kg(t)k e−γt < ∞. 4
Rõ ràng một hàm số liên tục là γ + - bị chặn khi và chỉ khi với τ ∈ R tùy ý thì tồn tại một hằng số C dương sao cho kg(t)k ≤ Ceγt với mọi t ∈ [τ, ∞). Hàm tầm thường đồng nhất bằng 0 là γ + và γ − - bị chặn với mọi γ ∈ R. Định nghĩa 1.3. Chúng ta có thể nói rằng W ⊂ R ×RN là một đa tạp tích phân tuyến tính của (1.1) nếu (a) Đó là một đa tạp bất biến, tức là (τ, ξ) ∈ W ⇒ (t, Φ(t, τ )ξ) ∈ W với mọi t ∈ R. (b) Với mọi τ ∈ R thì xâu W(τ ) = {ξ ∈ RN : (τ, ξ) ∈ W} là một không gian tuyến tính con của RN . Các thớ thành phần của một đa tạp tích phân tuyến tính W có số chiều không đổi. Đặt dim W := dim W(τ ) là số chiều của W . Không gian trạng thái mở rộng R × RN và không gian R ×{0} luôn luôn là các đa tạp tích phân tuyến tính. Nếu W1 và W2 là các đa tạp tích phân tuyến tính của (1.1), thì giao và tổng W1 ∩ W2 := {(τ, ξ) ∈ R ×RN : ξ ∈ W1 (τ ) ∩ W2 (τ )} W1 + W2 := {(τ, ξ) ∈ R ×RN : ξ ∈ W1 (τ ) + W2 (τ )} cũng là các đa tạp tích phân tuyến tính của (1.1). Một tổng W1 + · · · + Wn của các đa tạp tuyến tính được coi là một tổng trực tiếp W1 ⊕ · · · ⊕ Wn nếu Wi ∩ Wj = R ×{0} với i 6= j . Ảnh im P := {(τ, ξ) ∈ R ×RN : ξ ∈ im P (τ )} và hạt nhân ker P := {(τ, ξ) ∈ R ×RN : ξ ∈ ker P (τ )} của một phép chiếu bất biến P là các đa tạp tích phân tuyến tính của (1.1) với ker P ⊕ im P = R ×RN . Tiếp theo, chúng ta sẽ xét một ví dụ phương trình vi phân tuyến tính cụ thể. Ví dụ 1.4. Xét phương trình vi phân tuyến tính x˙ 1 = −x1 , x˙ 2 = x2 . 5
Phương trình trên có các đa tạp tích phân tuyến tính là: R ×{0} × {0}, S = {(τ, ξ1 , 0) ∈ R3 }, U = {(τ, ξ2 , 0) ∈ R3 }, R ×R2 . Các giá trị riêng của ví dụ này là -1 và 1. Chúng mô tả sự tăng theo số mũ của các nghiệm và chúng ta có (lưu ý rằng 0 ∈ (−1, 1)) n o 2 −(t−τ ) t−τ + S := (τ, ξ1 , ξ2 ) ∈ R × R : e ξ1 , e ξ2 là 0 - bị chặn n o 2 −(t−τ ) t−τ − U := (τ, ξ1 , ξ2 ) ∈ R × R : e ξ1 , e ξ2 là 0 - bị chặn . Từ việc phân tích tính chất các tập S và U ở ví dụ trên, chúng ta đưa ra định nghĩa các tập sau cho phương trình (1.1) Sγ := (τ, ξ) ∈ R × RN : Φ(·, τ )ξ là γ + -bị chặn Uγ := (τ, ξ) ∈ R × RN : Φ(·, τ )ξ là γ − -bị chặn Dễ dàng nhận thấy Sγ và Uγ là các đa tạp tích phân tuyến tính của (1) và ta có tính đơn điệu sau γ ≤ ζ ⇒ Sγ ⊂ Sζ và Uγ ⊃ Uζ Bổ đề 1.5. Nếu phương trình x˙ = [A(t) − γI]x, trong đó γ ∈ R, có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P thì ta có Sγ = im P, Uγ = kerP, và Sγ ⊕ Uγ = R ×RN . Chứng minh. Chúng ta chỉ ra rằng chỉ có Sγ = im P , vì hai biểu thức còn lại là tương tự. (⊂) Cho τ ∈ R và ζ ∈ Sγ (τ ), tức là kΦ(t, τ )ξk ≤ Ceγt với t ≥ τ với hằng số C dương nào đó. Do đó kΦγ (t, τ )ξk ≤ Ceγt với t ≥ τ . Bây giờ ta 6
viết ξ = ξ1 + ξ2 với ξ1 ∈ im P (τ ), ξ2 ∈ ker P (τ ). Chúng ta chứng minh rằng ξ2 = 0. Tính bất biến của P chỉ ra rằng với mọi t ∈ R thì đồng nhất thức ξ2 = Φγ (τ, t)Φγ (t, τ )[I − P (τ )]ξ = Φγ (τ, t)[I − P (t)]Φγ (t, τ )ξ. Từ tính nhị phân mũ của phương trình x˙ = [A(t) − γI]x chúng ta có bất đẳng thức sau kξ2 k ≤ Keα(τ −t) kΦγ (t, τ )ξk với t ≥ τ Do α > 0 và tính bị chặn của kΦγ (., τ )ξk, các số hạng ở phía bên phải của biểu thức trên hội tụ về 0 khi t → ∞. Điều này kéo theo ξ2 = 0. (⊃) Cho τ ∈ R và ξ ∈ im P (τ ), tức là P (τ )ξ = ξ . Tính nhị phân chỉ ra rằng kΦγ (t, τ )ξk = Ke−α(t−τ ) kξk ≤ K kξk với t ≥ τ và do đó Φ(., τ )ξ là γ + - bị chặn và chúng ta có ξ ∈ Sγ (τ ). 1.2. Phổ nhị phân mũ Chúng ta tiếp tục nghiên cứu hệ phương trình (1.1). Định nghĩa 1.6. Phổ nhị phân của (1.1) là tập Σ(A) = γ ∈ R : x˙ = [A(t) − γI]x không có tính nhị phân mũ và tập giải thức ρ(A) := R \Σ(A). Bổ đề 1.7. Tập giải thức là tập mở, tức là với mọi γ ∈ ρ(A) tồn tại một số ε = ε(γ) > 0 sao cho (γ − ε, γ + ε) ⊂ ρ(A) và hơn nữa Sζ = Sγ và Uζ = Uγ với ζ ∈ (γ − ε, γ + ε) 7
Chứng minh. Cho γ ∈ ρ(A). Khi đó x[A(t) ˙ − γI]x có tính nhị phân mũ, tức là tồn tại một phép chiếu bất biến P và các hằng số K ≥ 1 và α > 0 sao cho kΦγ (t, s)P (s)k ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s kΦγ (t, s)[I − P (s)]k ≤ Keα(t−s) với t ≤ s Với ε := α/2 và ζ ∈ (γ − ε, γ + ε) chúng ta có Φζ (t, s) = e(γ−ζ)(t−s) Φγ (t, s). Do P cũng là một phép chiếu bất biến cho x˙ = [A(t) − ζI]x và các bất đẳng thức sau kΦγ (t, s)P (s)k ≤ Ke(γ−ζ−α)(t−s) ≤ Ke−ε(t−s) với t ≥ s kΦγ (t, s)[I − P (s)]k ≤ Ke(γ−ζ+α)(t−s) ≤ Keε(t−s) với t ≤ s thỏa mãn. Vì vậy ζ ∈ ρ(A). Hơn nữa, theo Bổ đề 1.5 ta có Sζ = Sγ và Uζ = Uγ . Bổ đề 1.8. Cho γ1 , γ2 ∈ ρ(A) với γ1 < γ2 . Khi đó, F = Uγ1 ∩ Sγ2 là một đa tạp tích phân tuyến tính. Hơn nữa một trong hai trường hợp sau xảy ra và các mệnh đề trong các trường hợp đó là tương đương Trường hợp I: (A) F = R ×{0}. (B) [γ1 , γ2 ] ⊂ ρ(A). (C) Sγ1 = Sγ2 và Uγ1 = Uγ2 . (D) Sγ = Sγ2 và Uγ = Uγ2 với γ ∈ [γ1 , γ2 ]. Trường hợp II: (A’) F 6= R ×{0}. 8
(B’) Tồn tại 1 số ζ ∈ (γ1 , γ2 ) ∩ ΣA. (C’) dim Sγ1 < dim Sγ2 . (D’) dim Uγ1 > dim Uγ2 . Chứng minh. (B) ⇒ (D). Chúng ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử tồn tại γ ∈ [γ1 , γ2 ] sao cho Sγ 6= Sγ2 hoặc Uγ 6= Uγ2 . Không mất tính tổng quát ta giả sử Sγ 6= Sγ2 . Định nghĩa ζ0 := inf {ζ ∈ [γ, γ2 ] : Sζ = Sγ2 } Từ Sγ 6= Sγ2 ta có ζ0 ∈ [γ1 , γ2 ] và do đó ζ0 ∈ ρ(A) . Khi đó có hai trường hợp cần xét: (i) Sζ0 = Sγ2 hoặc (ii) Sζ0 6= Sγ2 . Ở trường hợp (I), Bổ đề 1.7 chỉ ra rằng Sζ = Sζ0 với ζ ∈ (ζ0 − ε, ζ0 + ε) với một số ε> 0 nào đó, và điều này mâu thuẫn với cách xác định ζ0 . Ở trường hợp (II), Bổ đề 1.7 chỉ ra rằng Sζ 6= Sζ0 với ζ ∈ (ζ0 − ε, ζ0 + ε) , và điều này cũng mâu thuẫn với cách xác định ζ0 . (D) ⇒ (C). Điều này là hiển nhiên. (C) ⇒ (B). Cả 2 hệ x˙ = [A(t) − γi I], i = 1, 2 có tính nhị phân mũ với hằng số Ki ≥ 1 và αi > 0. Do Sγ1 = Sγ2 và Uγ1 = Uγ2 . Bổ đề 1.5 chỉ ra rằng cả tính nhị phân mũ đều có cùng một phép chiếu bất biến P . Với K := max{K1 , K2 } và α := min{K1 , K2 } ta có với i = 1, 2 kΦγi (t, s)P (s)k ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s kΦγi (t, s)[I − P (s)]k ≤ Ke−α(t−s) với t ≤ s Bất đẳng thức thứ nhất với i = 1 và bất đẳng thức thứ hai có i = 2 chỉ ra rằng với mọi γ ∈ [γ1 , γ2 ] kΦγ (t, s)P (s)k ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s kΦγ (t, s)[I − P (s)]k ≤ Keα(t−s) với t ≤ s 9
Do đó [γ1 , γ2 ] ⊂ ρ(A). (C) ⇒ (A). Bổ đề 1.5 chỉ ra rằng F = Uγ1 ∩ Sγ2 = Uγ1 ∩ Sγ1 = R ×{0}. Vì vậy ta có (B) ⇔ (C) ⇔ (D) ⇔ (A). (C 0 ) ⇒ (D0 ). Bổ đề 1.5 chỉ ra rằng dim Sγ1 + dim Uγ1 = N, i = 1, 2 vì vậy dim Sγ1 < dim Sγ2 ⇔ N − dim Uγ1 < N − dim Uγ2 ⇔ dim Uγ1 > dim Uγ2 . (B 0 ) ⇒ (C 0 ), (D0 ). Do (B’) là mệnh đề đối của (B), từ kết quả đã chứng minh (C) ⇒ (B) ta có Sγ1 6= Sγ2 hoặc Uγ1 6= Uγ2 . Tính đơn điệu kéo theo Sγ1 Sγ2 hoặc Uγ1 ! Uγ2 . Không mất tính tổng quát ta giả sử Sγ1 Sγ2 . Do đó có một số τ ∈ R sao cho Sγ1 (τ ) Sγ2 (τ ). Tuy nhiên, điều này chỉ có thể xảy ra nếu dim Sγ1 (τ ) < dim Sγ2 (τ ). (C 0 ), (D0 ) ⇒ (A0 ). Sử dụng dim Sγ1 < dim Sγ2 và dim Sγ1 + dim Uγ1 = N ta có: dim F = dim[Uγ1 ∩Sγ2 ] ≥ dim Uγ1 +dimS γ2 −N > dim Uγ1 +dimS γ1 −N = 0 Do đó F không phải là đa tạp tích phân tuyến tính tầm thường có số chiều là 0. (A0 ) ⇒ (B 0 ). Do (A’) là mệnh đề đối của (A) nên từ (B) ⇒ (A) ta có (A0 ) ⇔ (B 0 ) ⇔ (C 0 ) ⇔ (D0 ). Bổ đề đại số sau là hiển nhiên: Cho A, B và C là các không gian vectơ con của không gian vectơ X . Nếu A ⊇ C thì A ∩ [B + C] = [A ∩ B] + C Định lý 1.9 (Định lý phổ). Phổ nhị phân Σ(A) của (1.1) là hợp rời rạc của n khoảng đóng (được gọi là các khoảng phổ), trong đó 0 ≤ n ≤ N tức là Σ(A) = ∅ hoặc Σ(A) = R hoặc là một trong bốn trường hợp sau 10
     [a1 , b1 ]   [a , b ]   n n            Σ(A) = hoặc ∪ [a2 , b2 ] ∪ · · · ∪ [an−1 , bn−1 ] ∪ hoặc           (−∞, b ]    [a , ∞)    1 n trong đó a1 ≤ b1 < a2 ≤ b2 < · · · < an ≤ bn . Chọn γ0 ∈ ρ(A) với (−∞, γ0 ) ⊂ ρ(A) (1.4) nếu có, trong trường hợp không chọn được ta định nghĩa Uγ0 := R ×RN , Sγ0 := R ×{0}. Chọn γn ∈ ρ(A) với (γn , ∞) ⊂ ρ(A) (1.5) nếu có, trong trường hợp không chọn được ta định nghĩa Uγn := R ×{0}, Sγn := R ×RN . Khi đó các tập W0 = Sγ0 và Wn+1 = Uγn là các đa tạp tích phân tuyến tính của (1.1). Với n ≥ 2 chọn γi ∈ ρ(A) với bi < γi < ai+1 với i = 1, . . . , n − 1 (1.6) Khi đó, với mọi i = 1, . . . , n các tập giao Wi = Uγi−1 ∩ Sγi là các đa tạp tích phân tuyến tính của (1.1) với dim Wi ≥ 1. Các đa tạp tích phân tuyến tính Wi , i = 0, . . . , n + 1, được gọi là các đa tạp phổ và chúng không phụ thuộc vào việc chọn γi ở (1.4), (1.5) và (1.6). Hơn thế nữa W0 ⊕ · · · ⊕ Wn+1 = R ×RN ( tổng trực tiếp ) tức là, Wi ∩ Wj = R ×{0}, với i 6= j và W0 + · · · + Wn+1 = R ×RN Chứng minh. Trước hết, nhắc lại tập giải thức ρ(A) là tập mở (xem Bổ đề 1.7) và do đó phổ nhị phân Σ(A) là hợp rời rạc của các khoảng đóng. Tiếp theo, chúng ta chứng minh Σ(A) bao gồm tối đa là N khoảng rời nhau. 11
Thật vậy, nếu Σ(A) chứa N + 1 thành phần rời nhau, thì ta có thể chọn tập hợp các điểm ζ1 , . . . , ζN trong ρ(A) sao cho ζ1 < · · · < ζN và mỗi khoảng (−∞; ζ1 ), (ζ1 , ζ2 ), . . . , (ζN −1 , ζN ), (ζN , ∞) có giao bằng rỗng với phổ Σ(A). Khi đó theo Bổ đề 1.8 (Trường hợp II) ta có 0 ≤ dim Sζ1 < · · · < dim SζN ≤ N và do đó, hoặc dim Sζ1 = 0 hoặc dim SζN = N hoặc là cả hai. Không mất tính tổng quát ta giả sử dim SζN = N tức là, SζN = R ×RN . Theo Bổ đề 1.5, phép chiếu P tương ứng với tính nhị phân mũ của x˙ = [A(t) − ζN I]x bằng với I và từ nhận xét 1.1 ta thu được mệnh đề phủ định (ζN , ∞) ⊂ ρ(A). Điều này chứng minh các trường hợp có thể có của Σ(A). Hiển nhiên, các tập W0 , . . . , Wn+1 là các đa tạp tích phân tuyến tính. Để chứng minh rằng dim W1 ≥ 1, . . . , dim Wn ≥ 1 với n ≥ 1. Chúng ta giả sử dim W1 = 0 tức là Uγ0 ∩ Sγ1 = R ×{0}. Nếu (−∞; b1 ] là một khoảng phổ thì điều này chỉ ra rằng Sγ1 = R ×{0}. Khi đó, phép chiếu tương ứng với tính nhị phân mũ của x˙ = [A(t)x − γ1 I]x bằng 0 và theo Nhận xét 1.1 ta có mệnh đề phủ định (−∞; γ1 ] ⊂ ρ(A). Nếu [a1 , b1 ] là một khoảng phổ P thì [γ0 , γ1 ] ∩ (A) = ∅. Do đó dim W1 ≥ 1 và tương tự, dim Wn ≥ 1. Hơn nữa, với n ≥ 3 và i = 2, . . . , n − 1 chúng ta có (γi−1 , γi ) ∩ Σ(A) 6= ∅ và sử dụng Bổ đề 1.8 ta có dim Wi ≥ 1 Với i < j ta có Wi ⊂ Sγi và Wj ⊂ Uγj−1 ⊂ Uγj và Wj ∩ Wj ⊂ Sγj ∩ Uγj = R ×{0}. Vì vậy Wi ∩ Wj = R ×{0} với i 6= j . Để chỉ ra rằng W0 + · · · + Wn+1 = R ×RN , chọn và cố định τ ∈ R và dựa vào mối liên hệ và tính đơn điệu Sγ0 (τ ) ⊂ · · · ⊂ Sγn (τ ), Uγ0 (τ ) ⊃ · · · ⊃ Uγn (τ ) và các đồng nhất thức Sγi (τ ) + Uγi (τ ) = RN với i = 0, . . . , n. Do đó RN = W0 (τ ) + Uγ0 (τ ). Dựa vào nhận xét trước khi phát biểu Định lý phổ với n ≥ 1, ta có RN = W0 (τ ) + Uγ0 (τ ) ∩ [Sγ1 (τ ) + Uγ1 (τ )] = W0 (τ ) + [Uγ0 (τ ) ∩ Sγ1 (τ )] + Uγ1 (τ ) 12
= W0 (τ ) + W1 (τ ) + Uγ1 (τ ) Tương tự với Uγ1 (τ ), ta có RN = W0 (τ ) + W1 (τ ) + Uγ1 (τ ) ∩ [Sγ2 (τ ) + Uγ2 (τ )] = W0 (τ ) + W1 (τ ) + [Uγ1 (τ ) ∩ Sγ2 (τ )] + Uγ2 (τ ) = W0 (τ ) + W1 (τ ) + W2 (τ ) + Uγ2 (τ ) và bằng phương pháp quy nạp toán học cho ta kết quả RN = W0 (τ ) + · · · + Wn+1 (τ ). Để kết thúc chứng minh, ta chọn γˆ0 , . . . , γˆn ∈ ρ(A) với các tính chất ở (1.4), (1.5), (1.6). Khi đó, ta có Sγi = Sγˆi và Uγi = Uγˆi với i = 0, . . . , n và do đó các đa tạp tích phân tuyến tính W0 , . . . , Wn+1 không phụ thuộc vào việc chọn γ0 , . . . , γn ở (1.4), (1.5), (1.6). Kết thúc mục này, chúng ta sẽ trình bày Định lý phổ trong trường hợp đặc biệt là hệ tuyến tính (1.1) có độ tăng trưởng bị chặn. Nhắc lại rằng theo Coppel [3], hệ (1.1) được gọi là có độ tăng trưởng bị chặn nếu tồn tại các hằng số K ≥ 1 và a ≥ 0 sao cho kΦ(t, s)k ≤ Kea|t−s| với t, s ∈ R . (1.7) Ta có định lý sau Định lý 1.10. Các phát biểu sau là tương đương nhau (A) Hệ tuyến tính (1.1) có độ tăng trưởng bị chặn. (B) Phổ nhị phân của hệ tuyến tính (1.1) là compact, không rỗng và Σ(A) = [a1 , b1 ]∪ · · · ∪ [an , bn ] trong đó 1 ≤ n ≤ N và các đa tạp phổ W0 và Wn+1 là các đa tạp tầm thường, tức là W1 ⊕ · · · ⊕ Wn = R ×Rn . Chứng minh. (A) ⇒ (B). Giả sử rằng (1.7) thỏa mãn. Chọn γ > a. Với cách xác định α := γ − a > 0 thì đánh giá ở (1.7) chỉ ra rằng 13
kΦγ (t, s)k ≤ Ke−α(t−s) với t ≥ s và do đó x˙ = [A(t) − γt]x có tính nhị phân mũ với phép chiếu bất biến P = I . Ta có γ ∈ ρ(A) và tương tự với γ < −a, do đó Σ(A) ⊂ [ − a, a] tức là, phổ nhị phân bị chặn. Ngoài ra, Bổ đề 1.5 chỉ ra rằng Sγ = R ×RN và Uγ = R ×{0} với γ > a Sγ = R ×{0} và Uγ = R ×RN với γ < −a tức là W0 = Wn+1 = R ×{0}. Để chỉ ra rằng Σ(A) là khác rỗng, ta định nghĩa γ0 := inf{γ ∈ ρ(A) : Sγ = R ×RN }. Do đó, γ0 ∈ [ − a, a]. Chứng minh theo phương pháp phản chứng, giả sử rằng γ0 ∈ ρ(A). Có hai trường hợp cần xét: (i) Sγ0 = R ×RN hoặc (ii) Sγ0 6= R ×RN . Ở trường hợp (i), Bổ để 1.7 chỉ ra rằng Sγ = R ×RN với γ ∈ (γ0 − ε, γ0 + ε) với một số ε > 0 nào đó, điều này mâu thuẫn với cách xác định γ0 . Ở trường hợp (ii), Bổ đề 1.7 chỉ ra rằng Sγ 6= R ×RN với γ ∈ (γ0 − ε, γ0 + ε) điều này mâu thuẫn với cách xác định γ0 . Do vậy γ0 ∈ Σ(A) 6= ∅. (B) → (A) Chọn tập hợp các điểm γ0 , γ1 , . . . , γn ∈ ρ(A) sao cho γ0 < a1 ≤ b1 < γ1 < · · · < γn−1 < an ≤ bn < γn Tính đơn điệu kéo theo Wi = Uγi−1 ∩ Sγi ⊂ Uγ0 ∩ Sγn với i = 1, . . . , n và do đó W1 + · · · + Wn ⊂ Uγ0 ∩ Sγn . Theo giả thiết W1 + · · · + Wn = R ×RN , chúng ta có Uγ0 (τ ) = RN và Sγn (τ ) = RN với mọi τ ∈ R . 14