Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG<br /> ---------------------------------------<br /> <br /> TRẦN CHÂU NGUYÊN<br /> <br /> CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG<br /> TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội – Năm 2016<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG<br /> --------------------------------------------<br /> <br /> Trần Châu Nguyên – C00451<br /> <br /> CỰC, ĐỐI CỰC VÀ ỨNG DỤNG<br /> TRONG DẠY HÌNH HỌC PHỔ THÔNG<br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp<br /> Mã số:<br /> <br /> 60.46.01.13<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH. SĨ ĐỨC QUANG<br /> <br /> Hà Nội – Năm 2016<br /> <br /> Thang Long University Library<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Thăng Long dưới sự<br /> hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH Sĩ Đức Quang. Tôi xin gửi lời cảm ơn<br /> đến Ban Giám hiệu, các Thầy Cô trong Khoa Toán, Phòng Sau đại học và các<br /> phòng ban liên quan trong Trường Đại học Thăng Long đã tận tình giúp đỡ và<br /> tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.<br /> Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn Thầy hướng dẫn khoa học của mình<br /> là PGS.TSKH Sĩ Đức Quang đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá<br /> trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn. Đồng thời tôi xin được gửi lời cảm<br /> ơn đến toàn thể gia đình, người thân và các bạn lớp cao học Toán K3 Trường<br /> Đại học Thăng Long đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và<br /> nghiên cứu.<br /> Vì điều kiện công tác và thời gian có hạn cùng với khối lượng kiến thức<br /> lớn nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả kính mong các Thầy,<br /> Cô cùng các bạn đọc tiếp tục góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn.<br /> Xin chân thành cảm ơn!<br /> <br /> 3<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> LỜI CẢM ƠN .................................................................................................. 1<br /> MỤC LỤC ........................................................................................................ 2<br /> MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 5<br /> Chương 1: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG XẠ ẢNH ........... 6<br /> 1.1 Không gian xạ ảnh ...................................................................................... 6<br /> 1.2. Tỉ số kép và hàng điểm điều hòa................................................................ 8<br /> 1.3. Ánh xạ xạ ảnh........................................................................................... 13<br /> 1.3.1. Định nghĩa ............................................................................................ 12<br /> 1.3.2. Tính chất của ánh xạ xạ ảnh. ................................................................ 14<br /> 1.4. Siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh P 2  R  . .................................. 16<br /> 1.4.1. Định nghĩa. ........................................................................................... 16<br /> 1.4.2. Giao của đường bậc hai với đường thẳng. ........................................... 17<br /> 1.4.3. Dạng chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh thực .... 18<br /> 1.5. Điểm liên hợp qua siêu mặt bậc hai trong P 2  R  .................................... 19<br /> 1.6. Nguyên tắc đối ngẫu................................................................................. 23<br /> 1.7. Các định lý cổ điển của hình học xạ ảnh.................................................. 24<br /> 1.8. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ........................................................ 30<br /> 1.8.1. Mô hình afin của mặt phẳng xạ ảnh: ..................................................... 30<br /> 1.8.2. Một số nhận xét: .................................................................................... 31<br /> 1.8.3. Một số khái niệm đối ngẫu trong P2 : ................................................... 32<br /> Chương 2: CỰC VÀ ĐỐI CỰC TRONG MẶT PHẲNG ƠCLIT ........... 35<br /> 2.1. Phép nghịch đảo ....................................................................................... 35<br /> 2.2. Đường tròn trực giao ................................................................................ 36<br /> 2.3. Cực và đối cực.......................................................................................... 36<br /> Chương 3: HỆ THỐNG BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH ỨNG DỤNG CỰC VÀ<br /> ĐỐI CỰC TRONG HÌNH HỌC PHỔ THÔNG ........................................ 39<br /> 3.1. Các bài toán về quan hệ vuông góc, song song: ...................................... 39<br /> 3.2. Các bài toán về tính đồng quy, thẳng hàng: ............................................. 43<br /> KẾT LUẬN .................................................................................................... 53<br /> DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 54<br /> <br /> 4<br /> <br /> Thang Long University Library<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Cực và đối cực là một công cụ mạnh và thú vị để nghiên cứu hình học phổ<br /> thông. Với khái niệm cực và đối cực, chúng ta có thể đưa ra cách nhìn khá<br /> nhất quán đối với một số dạng toán đặc trưng (quan hệ vuông góc, thẳng<br /> hàng, đồng quy,...). Ở bậc THPT, chúng ta xem xét khái niệm cực và đối cực<br /> đối với đường tròn, đối với 3 đường cô-níc hoặc với cặp đường thẳng. Tuy<br /> nhiên hiện nay, việc vận dụng các kiến thức về cực và đối cực vào nghiên cứu<br /> và giải quyết các bài toán hình học phổ thông chưa được quan tâm và khai<br /> thác trong chương trình sách giáo khoa, nhưng nó lại nằm trong phạm vi kiến<br /> thức của các đề thi học sinh giỏi môn Toán ở trường THPT. Vì vậy tôi lựa<br /> chọn nghiên cứu đề tài “Cực, đối cực và ứng dụng trong dạy hình học phổ<br /> thông”.<br /> Mục đích của chúng tôi trong luận văn nhằm trình bày phương pháp sử<br /> dụng cực và đối cực để giải quyết bài toán hình học phổ thông. Chúng tôi sẽ<br /> đưa ra hướng giải quyết một số dạng bài toán hình học sơ cấp bằng cách sử<br /> dụng kiến thức về cực và đối cực mà các phương pháp thông thường mất<br /> nhiều công sức mới giải quyết được. Với mong muốn như vậy, tôi hy vọng<br /> luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho các học sinh phổ thông và các<br /> đồng nghiệp giáo viên Toán THPT và THCS để tiếp cận các bài toán hình học<br /> sơ cấp theo một hướng mới.<br /> Luận văn được chia ra làm 3 chương. Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình<br /> bày các kiến thức về cực và đối cực trong mặt phẳng xạ ảnh. Chúng tôi sẽ<br /> dành Chương 2 để trình bày cực và đối cực trong mặt phẳng Euclid. Chương<br /> 3 là chương cuối của luận văn sẽ dành để trình bày hệ thống một số dạng bài<br /> tập hình học sơ cấp được giải bằng phương pháp sử dụng cực, đối cực.<br /> <br /> 5<br /> <br />