Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Năm 1994, Demyanov đã đưa ra khái niệm dưới vi phân suy rộng compăc lồi. Khái niệm này là một tổng quát hoá của khái niệm lồi trên và lõm dưới. Các khái niệm dưới vi phân suy rộng đóng, không lồi và Jacobian xấp xỉ được đề xuất bởi Jeyakumar và Luc trong. Khái niệm dưới vi phân suy rộng là tổng quát hoá của một số các khái niệm dưới vi phân đã biết của Clarke, Michel-Penot, Mordukhovich. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện cần và đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu qua dưới vi phân suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ NHÀN ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU QUA DƯỚI VI PHÂN SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015
i Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan r»ng c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong luËn v¨n nµy lµ trung thùc vµ kh«ng trïng lÆp víi c¸c ®Ò tµi kh¸c. T«i còng xin cam ®oan r»ng mäi sù gióp ®ì cho viÖc thùc hiÖn luËn v¨n nµy ®· ®îc c¶m ¬n vµ c¸c th«ng tin trÝch dÉn trong luËn v¨n ®· ®îc chØ râ nguån gèc. Th¸i Nguyªn, th¸ng 4 n¨m 2015 Ngêi viÕt luËn v¨n TrÇn ThÞ Nhµn
ii Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®îc thùc hiÖn vµ hoµn thµnh t¹i trêng §¹i häc s ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn díi sù híng dÉn khoa häc cña PGS. TS. §ç V¨n Lu. Qua ®©y, t¸c gi¶ xin ®îc göi lêi c¶m ¬n s©u s¾c ®Õn thÇy gi¸o, ngêi híng dÉn khoa häc cña m×nh, PGS. TS. §ç V¨n Lu, ngêi ®· tËn t×nh híng dÉn trong suèt qu¸ tr×nh nghiªn cøu cña t¸c gi¶. §ång thêi t¸c gi¶ còng ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« trong khoa To¸n, khoa Sau ®¹i häc - Trêng §¹i häc s ph¹m, §¹i häc Th¸i Nguyªn, ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn ®Ó t¸c gi¶ hoµn thµnh b¶n luËn v¨n nµy. T¸c gi¶ còng göi lêi c¶m ¬n ®Õn gia ®×nh vµ c¸c b¹n trong líp Cao häc To¸n K21b, ®· ®éng viªn gióp ®ì t¸c gi¶ trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ lµm luËn v¨n. LuËn v¨n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc sù chØ b¶o tËn t×nh cña c¸c thÇy c« vµ b¹n bÌ ®ång nghiÖp. Th¸i Nguyªn, th¸ng 4 n¨m 2015 Ngêi viÕt luËn v¨n TrÇn ThÞ Nhµn
iii Môc lôc Lêi cam ®oan i Lêi c¶m ¬n ii Môc lôc iii Më ®Çu 1 1 §iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu yÕu 3 1.1 C¸c kiÕn thøc bæ trî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Díi vi ph©n suy réng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. C¸c díi vi ph©n Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot 7 1.1.3. Díi vi ph©n suy réng chÝnh quy, díi vi ph©n suy réng tèi thiÓu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 §iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu Pareto yÕu . . . . . . . . . 13 2 §iÒu kiÖn chÝnh quy vµ ®iÒu kiÖn tèi u Karush-Kuhn-Tucker 24 2.1 §iÒu kiÖn chÝnh quy vµ ®iÒu kiÖn cÇn Karush-Kuhn-Tucker . . . . 24 2.2 §iÒu kiÖn ®ñ cho cùc tiÓu Pareto yÕu . . . . . . . . . . . . . . . . 28 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1 Më ®Çu 1. Lý do chän luËn v¨n N¨m 1994, Demyanov [5] ®· ®a ra kh¸i niÖm díi vi ph©n suy réng comp¨c låi. Kh¸i niÖm nµy lµ mét tæng qu¸t ho¸ cña kh¸i niÖm låi trªn vµ lâm díi (xem [6]). C¸c kh¸i niÖm díi vi ph©n suy réng ®ãng, kh«ng låi vµ Jacobian xÊp xØ ®îc ®Ò xuÊt bëi Jeyakumar vµ Luc trong [9] vµ [10]. Kh¸i niÖm díi vi ph©n suy réng lµ tæng qu¸t ho¸ cña mét sè c¸c kh¸i niÖm díi vi ph©n ®· biÕt cña Clarke [4], Michel-Penot [17], Mordukhovich [18]. Mét ®iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu yÕu cña bµi to¸n quy ho¹ch ®a môc tiªu díi ng«n ng÷ Jacobian xÊp xØ ®îc ®a ra bëi Luc [12]. §iÒu kiÖn cÇn tèi u Fritz John cho cùc tiÓu yÕu díi ng«n ng÷ díi vi ph©n suy réng ®îc ®a ra bëi Dutta- Chandra [7,8] cho bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu víi c¸c rµng buéc bÊt ®¼ng thøc. §iÒu kiÖn cÇn cho cùc tiÓu yÕu vµ cùc tiÓu Pareto ®îc ®a ra bëi Luu [15] víi c¸c rµng buéc ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc vµ rµng buéc tËp. Dùa trªn ®Þnh lÝ Ljusternik më réng cña JimÐnez-Novo (2002), D.V.Luu (2014) ®· thiÕt lËp c¸c ®iÒu kiÖn tèi u cho cùc tiÓu Pareto yÕu cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu cã rµng buéc ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc vµ rµng buéc tËp díi ng«n ng÷ díi vi ph©n suy réng (convexificator). §©y lµ ®Ò tµi ®ang ®îc nhiÒu t¸c gi¶ trong vµ ngoµi níc quan t©m nghiªn cøu. ChÝnh v× thÕ em chän ®Ò tµi : §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho nghiÖm h÷u hiÖu cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu qua díi vi ph©n suy réng. 2. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
2 Su tÇm vµ ®äc tµi liÖu tõ c¸c s¸ch, t¹p chÝ to¸n häc trong níc vµ quèc tÕ liªn quan ®Õn ®iÒu kiÖn tèi u cho bµi to¸n tèi u vÐc t¬. Qua ®ã, t×m hiÓu vµ nghiªn cøu vÒ vÊn ®Ò nµy. 3. Môc ®Ých cña luËn v¨n LuËn v¨n tr×nh bµy c¸c ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ cho nghiÖm h÷u hiÖu díi ng«n ng÷ díi vi ph©n suy réng trong bµi b¸o cña D. V. Lu ®¨ng trong t¹p chÝ Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 160 (2014), pp. 510-526. 4. Néi dung cña luËn v¨n LuËn v¨n bao gåm phÇn më ®Çu, 2 ch¬ng, kÕt luËn vµ danh môc c¸c tµi liÖu tham kh¶o Ch¬ng 1: §iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu yÕu Tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ díi vi ph©n suy réng vµ ®iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu Pareto yÕu cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu cã rµng buéc ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc vµ rµng buéc tËp víi c¸c hµm Lipschitz ®Þa ph¬ng. Ch¬ng 2: §iÒu kiÖn chÝnh quy vµ ®iÒu kiÖn tèi u Karush-Kuhn-Tucker Tr×nh bµy c¸c ®iÒu kiÖn chÝnh quy vµ ®iÒu kiÖn cÇn Karush-Kuhn-Tucker cho bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu cã rµng buéc ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc vµ rµng buéc tËp víi c¸c hµm Lipschitz ®Þa ph¬ng díi ng«n ng÷ díi vi ph©n suy réng víi c¸c gi¶ thiÕt vÒ tÝnh låi suy réng, c¸c ®iÒu kiÖn cÇn tèi u trë thµnh c¸c ®iÒu kiÖn ®ñ tèi u.
3 Ch¬ng 1 §iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu yÕu Trong ch¬ng 1 chóng t«i tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ díi vi ph©n suy réng vµ ®iÒu kiÖn cÇn Fritz John cho cùc tiÓu Pareto yÕu cña bµi to¸n tèi u ®a môc tiªu cã rµng buéc ®¼ng thøc, bÊt ®¼ng thøc vµ rµng buéc tËp díi ng«n ng÷ díi vi ph©n suy réng. C¸c kÕt qu¶ tr×nh bµy trong ch¬ng nµy ®îc tham kh¶o trong [9], [14]. 1.1 C¸c kiÕn thøc bæ trî 1.1.1. Díi vi ph©n suy réng Cho f lµ hµm gi¸ trÞ thùc më réng ®îc x¸c ®Þnh trªn Rn . Nh¾c l¹i r»ng ®¹o hµm theo ph¬ng Dini díi vµ trªn f− vµ f+ cña f t¹i x¯ ∈ Rn theo ph¬ng v ∈ Rn ®îc x¸c ®Þnh nh sau: f (x + tv) − f (¯ x) f − (¯ x; v) := lim inf , t↓0 t x + tv) − f (¯ + f (¯ x) f (¯ x; v) := lim sup . t↓0 t NÕu x; v) = f − (¯ f + (¯ x; v) , th× gi¸ trÞ chung ®ã ®îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm f t¹i x¯ theo ph¬ng v vµ ký hiÖu lµ f 0 (¯ x; v) . Hµm f gäi lµ kh¶ vi theo ph¬ng t¹i x¯ nÕu tån t¹i ®¹o hµm theo ph¬ng cña nã t¹i x¯ theo mäi ph¬ng. NÕu f lµ kh¶ vi FrÐchet t¹i x¯ víi ®¹o hµm FrÐchet ∇f (¯ x) th× f 0 (¯ x; v) = h∇f (¯ x, v)i .
4 Theo [9] hµm f ®îc gäi lµ cã díi vi ph©n suy réng trªn ∂ ∗ f (¯ x) (hay díi ∂∗ f (¯ x) ) t¹i x¯ ∈ Rn nÕu ∂ ∗ f (¯ x) (hay x)) ⊆ Rn (∂∗ f (¯ ) lµ tËp ®ãng vµ f − (¯ x; v) ≤ sup hξ, vi (∀v ∈ Rn ), ξ∈∂ ∗ f (¯ x) f + (¯ x; v) ≥ inf hξ, vi (∀v ∈ Rn ) . ξ∈∂∗ f (¯ x) Mét tËp ®ãng ∂ ∗ f (¯ x) ⊆ Rn ®îc gäi lµ mét díi vi ph©n suy réng cña f t¹i x¯ nÕu ∂ ∗ f (¯ x) ®ång thêi lµ díi vi ph©n suy réng trªn vµ díi cña f t¹i x¯ . Theo [8] hµm f ®îc gäi lµ cã díi vi ph©n suy réng b¸n chÝnh quy trªn ∂ ∗ f (¯ x) ⊆ Rn t¹i x¯ nÕu ∂ ∗ f (¯ x) lµ tËp ®ãng vµ f + (¯ x; v) ≤ sup hξ, vi (∀v ∈ Rn ). (1.1) ξ∈∂ ∗ f (¯ x) VÝ dô 1.1.1 Cho hµm f :R→R ®îc x¸c ®Þnh bëi   x,   khi x ∈ Q ∩ [0; +∞[, f (x) := x4 − 4x3 + 4x2 , khi x ∈ Q ∩ ]−∞; 0],    0, trong c¸c trêng hîp kh¸c , trong ®ã Q lµ tËp c¸c sè h÷u tû. Khi ®ã  +  v, khi v ≥ 0, f (0; v) =  0, khi v < 0, f − (0; v) = 0 (∀v ∈ R). TËp {0; 1} lµ díi vi ph©n suy réng b¸n chÝnh quy trªn cña f t¹i x¯ , cho nªn nã còng lµ díi vi ph©n suy réng trªn cña f t¹i x¯ . TËp {0} lµ díi vi ph©n suy réng díi cña f t¹i x¯ . Theo [9], nÕu x¶y ra ®¼ng thøc trong (1.1) th× ∂ ∗ f (¯ x) ®îc gäi lµ díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn. Víi mét hµm Lipschitz ®Þa ph¬ng, díi vi ph©n
5 Clarke vµ díi vi ph©n Michel-Penot lµ nh÷ng díi vi ph©n suy réng cña f t¹i x¯ (xem [9]). H¬n n÷a víi mét hµm Lipschitz ®Þa ph¬ng chÝnh quy trong theo nghÜa Clarke [4], díi vi ph©n Clarke lµ mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn (xem [7]). Chó ý r»ng, nÕu hµm f cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn t¹i x¯ th× nã còng lµ díi vi ph©n suy réng b¸n chÝnh quy trªn t¹i x¯ , vµ do ®ã nã ®îc lµ díi vi ph©n suy réng trªn t¹i x¯ . VÝ dô 1.1.2 Ta xÐt hµm f :R→R ®îc x¸c ®Þnh bëi:   x2
cos π
, khi x 6= 0, x f (x) =  0, khi x = 0. Ta cã f + (0; v) = f − (0; v) = 0, (∀v ∈ R) . Díi vi ph©n Clarke vµ Michile- Penot cña f t¹i x¯ = 0 t¬ng øng lµ [−π; π] vµ {0} . C¸c tËp {0} [−π; π] , vµ {−π; π} lµ c¸c díi vi ph©n suy réng cña f t¹i x¯. TËp {0} lµ díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn cña f t¹i x¯. Theo [16] mét hµm gi¸ trÞ thùc më réng f x¸c ®Þnh trªn tËp Q ⊆ Rn ®îc gäi lµ tùa låi t¹i x¯ ∈ Q theo Q nÕu víi mçi x∈Q , f (x) ≤ f (¯ x) ⇒ ∀t ∈ ]0, 1[ , f (tx + (1 − t)¯ x) ≤ f (¯ x). f ®îc gäi lµ tùa låi trªn Q nÕu f lµ tùa låi t¹i mçi x∈Q f . gäi lµ tùa tuyÕn tÝnh t¹i x¯ ∈ Q theo Q nÕu ±f lµ tùa låi t¹i x¯ theo Q . Trong [20] Yang chØ ra r»ng, nÕu f lµ liªn tôc, tùa låi vµ cã mét díi vi ph©n suy réng díi låi trªn mét tËp låi Q th× víi mçi x, y ∈ Q , f (x) ≤ f (y) ⇒ ∃ξ (n) ∈ ∂∗ f (y), lim (ξ (n) , x − y) ≤ 0. n→∞ NÕu f cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn t¹i x¯ th× ta cã mÖnh ®Ò sau ®©y. MÖnh ®Ò 1.1.1 Gi¶ sö f cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn ∂ ∗ f (¯ x) t¹i x¯ vµ f tùa låi
6 t¹i x¯ ∈ Q theo tËp låi Q. Khi ®ã, x) ⇒ ∀ξ ∈ ∂ ∗ f (¯ ∀x ∈ Q, f (x) ≤ f (¯ x), hξ, x − x¯i ≤ 0. Chøng minh V× f lµ tùa låi t¹i x¯ theo Q , víi mçi x∈Q tháa m·n f (x) ≤ f (¯ x) , ta cã f + (¯ x; x − x¯) ≤ 0. Do tÝnh chÝnh quy trªn cña díi vi ph©n suy réng ∂ ∗ f (¯ x) , víi mçi x∈Q tháa m·n f (x) ≤ f (¯ x) , ta cã sup hξ, x − x¯i = f + (¯ x; x − x¯) ≤ 0. ξ∈∂ ∗ f (¯ x) Tõ ®ã, ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. 2 Theo [20], hµm thùc më réng f cã mét díi vi ph©n suy réng díi låi ∂∗ f (x) trªn Q ®îc gäi lµ gi¶ låi tiÖm cËn díi trªn Q x, y ∈ Q nÕu víi mçi , D E ∃ξ (n) ∈ ∂∗ f (x), (n) lim ξ , y − x ≥ 0 ⇒ f (y) ≥ f (x). n→∞ Hµm gi¸ trÞ thùc më réng f cã mét díi vi ph©n suy réng ∂ ∗ f (¯ x) t¹i x¯ ®îc gäi lµ gi¶ låi tiÖm cËn t¹i x¯ theo Q nÕu, víi mçi x∈Q ta cã D E ∃ξ (n) ∈ conv∂ ∗ f (¯ x), lim ξ (n) , x − x¯ ≥ 0 ⇒ f (x) ≥ f (¯ x). n→∞ trong ®ã conv kÝ hiÖu bao låi VÝ dô 1.1.3 Cho f, g : R → R   x, khi x ≤ 0, f (x) :=  1 x, khi x > 0, 2   x,   khi x ∈ Q, g(x) := 2x, khi x ∈ (R\Q) ∩ ]−∞, 0] ,   1  2 x, khi x ∈ (R\Q) ∩ [0, ∞[ .
7 ∂ ∗ f (0) = 1 Khi ®ã mét díi vi ph©n suy réng cña f t¹i 0 lµ 2 ; 1 vµ f lµ gi¶ låi tiÖm cËn t¹i 0 theo Q=R . Mét díi vi ph©n suy réng díi cña g t¹i 0 lµ 1 ∂∗ g(0) = 2 ; 2 vµ g lµ gi¶ låi tiÖm cËn díi t¹i 0 theo Q=R . Cho K lµ mét nãn låi ®ãng trong Rn vµ K ∗ := {ξ ∈ Rn : hξ, xi ≥ 0, ∀x ∈ K} lµ nãn cùc kh«ng ©m cña K . Cho f : Q ⊆ Rn → Rm vµ nh vËy f = (f1 , ..., fm ) . Gi¶ sö fk cã mét díi vi ph©n suy réng ∂ ∗ fk (¯ x) t¹i x¯ . Hµm f ®îc gäi lµ gi¶ låi K - tiÖm cËn v« híng t¹i x¯ theo Q nÕu víi mçi λ ∈ K∗ , hµm λT f lµ gi¶ låi tiÖm cËn t¹i x¯ trªn Q . C¸c nãn tiÕp tuyÕn Bouligand vµ Clarke cña tËp C ⊆ Rn t¹i mét ®iÓm x¯ ∈ C ®îc ®Þnh nghÜa t¬ng øng bëi K(C, x¯) := {v ∈ Rn : ∃ vn → v, ∃ tn ↓ 0 sao cho x¯ + tn vn ∈ C, ∀n} , T (C, x¯) := {v ∈ Rn : ∀ xn ∈ C, xn → x¯, ∀ tn ↓ 0 , ∃ vn → v sao cho xn + tn vn ∈ C, ∀n} . Nãn c¸c ph¬ng ®¹t ®îc cña C t¹i x¯ ∈ C lµ: n A(C, x¯) = v ∈ Rn : ∃δ > 0, ∃γ : [0, δ] → Rn sao cho γ(0) = x¯, γ(t) ∈ C, ∀t ∈ ]0, δ] , γ , (0) = lim γ(t)−γ(0) t =v . t↓0 Nãn ph¸p tuyÕn Clarke cña C t¹i x¯ lµ N (C, x¯) = {ξ ∈ Rn : hξ, vi ≤ 0 ∀ v ∈ T (C, x¯)} . Chó ý r»ng c¸c nãn T (C, x¯) vµ N (C, x¯) lµ kh«ng rçng, ®ãng vµ låi; N (C, x¯) = −T ∗ (C, x¯) vµ T (C, x¯) ⊆ K(C, x¯) . Trong trêng hîp C låi th× T (C, x¯) = K(C, x¯) . 1.1.2. C¸c díi vi ph©n Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel-Penot Sau ®©y ta sÏ thÊy r»ng c¸c díi vi ph©n Clarke-Rockafellar, Clarke, Michel- Penot,...®Òu lµ díi vi ph©n suy réng.
8 Cho hµm ¯ f : Rn → R lµ h÷u h¹n t¹i ®iÓm x∈X . NÕu f lµ nöa liªn tôc díi t¹i x th× díi ®¹o hµm trªn Clarke - Rockafellar cña f t¹i x theo v ®îc x¸c ®Þnh bëi: f ↑ (x, v) = lim sup inf 0 [f (x0 + tv 0 ) − f (x0 )] /t, x0 →f x v →v t↓0 trong ®ã x0 → f x nghÜa lµ x0 → x vµ f (x0 ) → f (x) . NÕu f lµ nöa liªn tôc trªn t¹i x th× díi ®¹o hµm díi Clarke-Rockafellar cña f t¹i x theo v ®îc x¸c ®Þnh bëi f ↓ (x, v) = lim inf sup [f (x0 + tv 0 ) − f (x0 )] /t. 0 x → f x v 0 →v t↓0 NÕu f lµ liªn tôc t¹i x th× x0 → f x trong c¸c ®Þnh nghÜa trªn trë thµnh x0 → x . Díi gradient suy réng trªn vµ díi cña f t¹i x ®îc cho bëi ∂ ↑ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f ↑ (x, v) , ∀v ∈ X , ∂ ↓ f (x) = x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≥ f ↓ (x, v) , ∀v ∈ X . NÕu f ↑ (x, 0) > −∞ th× ∂ ↑ f (x) lµ tËp con kh«ng rçng, låi, ®ãng cña Rn vµ víi mçi v ∈ Rn , f ↑ (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈ ∂ ↑ f (x) T¬ng tù, nÕu f ↓ (x, 0) < ∞ th× ∂ ↓ f (x) lµ tËp con kh«ng rçng, låi, ®ãng cña Rn vµ víi mçi v ∈ Rn , f ↓ (x, v) = inf↓ hx∗ , vi . x∗ ∈ ∂ f (x) NÕu f lµ Lipschitz ®Þa ph¬ng t¹i x th× f ↑ (x; v) = f o (x, v) , f ↓ (x; v) = fo (x, v) , trong ®ã, f o (x, v) = lim sup [f (x0 + tv) − f (x0 )] /t, x0 → x t↓0 fo (x, v) = lim inf [f (x0 + tv) − f (x0 )] /t. 0 x →x t↓0
9 lµ c¸c ®¹o hµm theo ph¬ng suy réng trªn vµ díi Clarke cña f t¹i x theo ph¬ng v . Díi vi ph©n suy réng Clarke ®îc x¸c ®Þnh bëi ∂ o f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : hx∗ , vi ≤ f o (x, v) , ∀v ∈ X} . H¬n n÷a, ∗ f o (x, v) = ∗ max o hx , vi , fo (x, v) = ∗ min o hx∗ , vi . x ∈ ∂ f (x) x ∈ ∂ f (x) Do ®ã, nÕu f lµ Lipschitz ®Þa ph¬ng t¹i x th× ∂ o f (x) lµ díi vi ph©n suy réng cña f t¹i x , bëi v× f − (x, v) ≤ f o (x, v) , f + (x, v) ≥ fo (x, v) . víi mçi v∈X . T¬ng tù, nÕu f lµ Lipschitz ®Þa ph¬ng t¹i x th× ®¹o hµm theo ph¬ng trªn vµ díi Michel Penot cña f t¹i x t¬ng øng ®îc cho bëi f ♦ (x, v) = sup lim sup λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)] , z∈X λ↓0 f♦ (x, v) = inf lim inf λ−1 [f (x + λz + λv) − f (x + λz)] . z∈X λ↓0 Khi ®ã díi vi ph©n Michel Penot ®îc x¸c ®Þnh bëi ∂ ♦ f (x) := x∗ ∈ Rn : f ♦ (x, v) ≥ hx∗ , vi , ∀v ∈ Rn . §¹o hµm theo ph¬ng trªn vµ díi Michel Penot f ♦ (x, .) vµ f♦ (x, .) lµ díi tuyÕn tÝnh, h÷u h¹n, ∂ ♦ f (x) lµ compact låi f ♦ (x, v) = max hx∗ , vi , f♦ (x, v) = min hx∗ , vi . x∗ ∈ ∂ ♦ f (x) x∗ ∈ ∂ ♦ f (x) Do ®ã, ∂ ♦ f (x) còng lµ mét díi vi ph©n suy réng cña f t¹i x , bëi v× f − (x, v) ≤ f ♦ (x, v) vµ f + (x, v) ≥ f♦ (x, v) víi mçi v ∈ Rn . VÝ dô 1.1.4 §Þnh nghÜa f : R2 → R x¸c ®Þnh bëi f (x, y) = |x| − |y| .
10 Khi ®ã ∂ ∗ f (0) = {(1, −1) , (−1, 1)} . lµ mét díi vi ph©n suy réng cña f t¹i 0. Ta cã ∂ ♦ f (0) = ∂ o f (0) = co ({(1, 1) , (−1, 1) , (1, −1) , (−1, −1)}) . Chó ý r»ng co (∂ ∗ f (0)) ⊆ ∂ ♦ f (0) = ∂ o f (0) . 1.1.3. Díi vi ph©n suy réng chÝnh quy, díi vi ph©n suy réng tèi thiÓu Râ rµng tõ ®Þnh nghÜa ta thÊy díi vi ph©n suy réng trªn vµ díi kh«ng duy nhÊt. V× vËy trong phÇn nµy chóng ta sÏ tr×nh bµy c¸c ®iÒu kiÖn vÒ tÝnh duy nhÊt vµ tèi thiÓu cña díi vi ph©n suy réng trªn hoÆc díi. Tríc tiªn ta tr×nh bµy kh¸i niÖm díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn vµ díi. Hµm f : Rn → R ®îc gäi lµ cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn ∂ ∗ f (x) ⊆ Rn t¹i x nÕu ∂ ∗ f (x) lµ tËp ®ãng vµ víi mçi v ∈ Rn , f + (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) T¬ng tù, hµm f ®îc gäi lµ cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy díi ∂∗ f (x) ⊆ Rn t¹i x nÕu ∂∗ f (x) lµ tËp ®ãng vµ víi mçi v ∈ Rn . f − (x, v) = inf hx∗ , vi . x∗ ∈∂∗ f (x) Râ rµng, mçi díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn (díi) cña f t¹i x lµ mét díi vi ph©n suy réng cña f t¹i x . Trong mÖnh ®Ò sau chóng ta sÏ tr×nh bµy mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh kh¶ vi vµ tÝnh chÝnh quy. MÖnh ®Ò 1.1.2 Hµm f : Rn → R lµ kh¶ vi G©teaux t¹i x0 nÕu vµ chØ nÕu f lµ kh¶ vi theo ph¬ng t¹i x0 vµ f cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn vµ chÝnh quy
11 díi t¹i x0 . Chøng minh NÕu f lµ kh¶ vi G©teaux t¹i x0 th× nã kh¶ vi theo ph¬ng vµ ®¹o hµm G©teaux {f 0 (x0 )} vµ lµ mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn vµ díi cña f t¹i x0 . Ngîc l¹i, nÕu f kh¶ vi theo ph¬ng t¹i x0 vµ nÕu ∂ ∗ f (x0 ) lµ mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn vµ díi th× víi mçi v ∈ Rn . f 0 (x0 , v) = f − (x0 , v) = inf hx∗ , vi x∗ ∈∂ f (x) ∗ = f + (x0 , v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) Do ®ã ∂ ∗ f (x0 ) lµ tËp mét ph©n tö vµ v× vËy f kh¶ vi G©teaux t¹i x0 . 2 Ta nãi r»ng ∂ ∗ f (x) lµ díi vi ph©n suy réng tèi thiÓu (trªn/díi) cña f t¹i x nÕu kh«ng tån t¹i mét tËp ®ãng C (x) trong Rn sao cho C (x) ⊂ ∂ ∗ f (x) , C (x) 6= ∂ ∗ f (x) vµ C (x) lµ mét díi vi ph©n suy réng (trªn/díi) cña f t¹i x . Ký hiÖu tËp c¸c ®iÓm cùc biªn cña díi vi ph©n suy réng ∂ ∗ f (x) cña f t¹i x lµ Ext (∂ ∗ f (x)) . MÖnh ®Ò 1.1.3 Gi¶ sö r»ng f : Rn → R cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy comp¨c trªn (díi) ∂ ∗ f (x) t¹i x. Khi ®ã Ext (co (∂ ∗ f (x))) lµ díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn (díi) tèi thiÓu duy nhÊt cña f t¹i x. Chøng minh Cho A ⊂ Rn cã mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy trªn cña f t¹i x . Khi ®ã, víi mçi v ∈ Rn , f + (x, v) = sup hx∗ , vi = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ∗ f (x) x∗ ∈A Nªn A lµ tËp con ®ãng vµ bÞ chÆn cña Rn víi co (∂ ∗ f (x)) = co (A) . Khi ®ã, Ext (co (∂ ∗ f (x))) = Ext (co (A)) .
12 Chóng ta chØ ra r»ng Ext (co (∂ ∗ f (x))) ⊆ A. ThËt vËy hiÓn nhiªn ta cã Ext (co (A)) ⊆ Ext (A) . Do ®ã, Ext (co (∂ ∗ f (x))) = Ext (co (A)) ⊆ Ext (A) ⊂ A. Bëi v× A lµ tËp ®ãng, ta cã Ext (co (∂ ∗ f (x))) ⊆ A. MÆt kh¸c bëi v×, ∂ ∗ f (x) lµ mét díi vi ph©n suy réng chÝnh quy comp¨c trªn, cho nªn Ext (co (∂ ∗ f (x))) còng lµ díi vi ph©n suy réng chÝnh quy comp¨c trªn cña f t¹i x. Do ®ã, Ext (co (∂ ∗ f (x))) lµ díi vi ph©n suy réng chÝnh quy tèi thiÓu trªn duy nhÊt cña f t¹i x. Chøng minh t¬ng tù cho trêng hîp f cã díi vi ph©n suy réng chÝnh quy díi. 2 Ta nãi hµm f h÷u h¹n vµ liªn tôc t¹i x lµ chÝnh quy trªn t¹i x nÕu víi mçi v ∈ Rn , f + (x, v) = f ↑ (x, v) . T¬ng tù hµm f lµ chÝnh quy díi t¹i x nÕu víi mçi v ∈ Rn , f − (x, v) = f ↓ (x, v) . Chó ý r»ng, nÕu f : Rn → R lµ Lipschitz ®Þa ph¬ng trªn Rn vµ nÕu víi mçi v ∈ Rn f + (., v) [f − (., v)] , lµ nöa liªn tôc trªn [díi], th× víi mçi x ∈ Rn vµ v ∈ Rn , f + (x, v) = f o (x, v) = f ↑ (x, v) f − (x, v) = fo (x, v) = f ↓ (x, v) , cho nªn, f lµ chÝnh quy trªn [díi] t¹i x (xem [6]). NÕu f ↑ (x, 0) > −∞ vµ nÕu f lµ chÝnh quy trªn t¹i x th× ∂ ↑ f (x) kh¸c rçng, låi, ®ãng cña Rn vµ víi mçi v ∈ Rn , f + (x, v) = f ↑ (x, v) = sup hx∗ , vi . x∗ ∈∂ ↑ f (x)