Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Gần đây bài toán điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng được nhiều nhà toán học quan tâm. Trong luận văn này, chúng ta sẽ quan tâm nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình semilinear elliptic sau đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- Trịnh Duy Bình ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Bùi Trọng Kiên. Hà Nội – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn "Điều kiện cực trị và tính chính quy của các nhân tử Lagrange cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic" là công trình nghiên cứu của tôi. Mọi kết quả nghiên cứu trước đó của các tác giả khác được trích dẫn cụ thể. Nội dung luận văn chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan trên. Hà Nội, ngày 1 tháng 4 năm 2019 Người cam đoan Trịnh Duy Bình
LỜI CẢM ƠN Sau quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán học, Học viện Khoa học và Công nghệ, đến nay luận văn đã được hoàn thành. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS. Bùi Trọng Kiên. Thầy là người đã tận hình hướng dẫn, giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong seminar Điều khiển tối ưu - Viện Toán học đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ tôi trong thời gian thực hiện đề tài. Tôi xin cảm ơn Trung tâm đào tạo sau đại học - Viện Toán học và phòng Đào tạo - Học viện Khoa học và Công nghệ đã luôn tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học cao học tại học viện. Hơn nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn tới toàn thể bạn bè, gia đình tôi, những người đã sát cánh bên tôi trong quãng thời gian qua. Trịnh Duy Bình
1 Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT . . . . . . . . . . 2 MỞ ĐẦU 3 1 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 5 1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic . . . . . . . 9 2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMI- LINEAR ELLIPTIC 11 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC . . . . . . 11 2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE . . . . . . . 13 2.3 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỰC TRỊ BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . 21 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 27
2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT h.k.n hầu khắp nơi R tập hợp các số thực cone(M ) hình nón sinh bởi tập M int(M ), M lần lượt là phần trong và bao đóng của tập M BX (x, r) hình cầu mở tâm x, bán kính r trong không gian X |.| giá trị tuyệt đối của một số, độ đo Lebesgue của một tập, chuẩn của véc tơ, chuẩn s của ma trận (trong từng trường n m P a2ij với X = (aij ) ∈ Rm×n P hợp cụ thể), |X| = i=1 j=1 k.kp , k.k2,2 lần lượt là chuẩn trong không gian Lp (Ω) và W 2,2 (Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞ hf, xi phiếm hàm tuyến tính f tác động vào véc tơ x f∗ toán tử tuyến tính liên hợp của f (nếu không có thông tin giải thích khác) X∗ không gian đối ngẫu của không gian X xk * x xk hội tụ yếu đến x D(y,u) f (x, y¯, u¯), lần lượt là đạo hàm cấp một và cấp hai của f theo hai 2 D(y,u) f (x, y¯, u¯) biến y, u tại (¯ y , u¯)
3 MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển tối ưu có nhiều ứng dụng trong kinh tế, cơ học và khoa học vũ trụ. Lý thuyết này đã phát triển rực rỡ vào những năm 1960 của thế kỉ trước khi mà hai nguyên lý cơ bản là nguyên lý cực đại Pontryagin và nguyên lý Bellman được ra đời. Ngày nay điều khiển tối ưu đã phát triển thành nhiều nhánh khác nhau như điều khiển tối ưu với phương trình vi phân thường, điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng, điều khiển tối ưu đa mục tiêu. Gần đây bài toán điều khiển tối ưu với phương trình đạo hàm riêng được nhiều nhà toán học quan tâm. Trong luận văn này, chúng ta sẽ quan tâm nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu được cho bởi các phương trình semilinear elliptic sau đây. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN với N = 2, 3 và biên ∂Ω thuộc lớp C 2 . Ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic: Z J(y, u) = L(x, y(x), u(x)dx → min, (1) Ω Ay = f (x, y, u) trong Ω, y = 0 trên ∂Ω, (2) a(x) ≤ g(x, y(x), u(x)) ≤ b(x) h.k.n x ∈ Ω. (3) Trong đó A được định nghĩa bởi: N X Ay = − Di (aij (x)yxj (x)). i,j=1 Các ánh xạ L, f, g : Ω× R × R → R là các hàm Carathéodory và a, b ∈ L∞ (Ω). Việc thiết lập các điều kiện cực trị bậc nhất và bậc hai cho bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic cho đến nay vẫn là một vấn đề thời sự, được quan tâm bởi nhiều các nhà toán học (như trong các tài liệu tham khảo từ [2] đến [7]). Đối với lớp các bài toán điều khiển tối ưu này, biến điều khiển thường thuộc không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞ hoặc L∞ (Ω) và việc thiết lập các điều kiện tối ưu phụ thuộc vào không gian chứa biến điều khiển. Khi u ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞, chúng ta có thể nhận thấy sự tồn tại của các nhân tử Lagrange
4 chính quy cho các bài toán điều khiển tối ưu là dễ dàng có được. Trong trường hợp này, các nhân tử Lagrange thuộc không gian Lq (Ω) là không gian đối ngẫu của Lp (Ω). Tuy nhiên trong trường hợp u ∈ Lp (Ω) với 1 ≤ p < ∞, hàm chi phí J cũng như các hàm f, g khó có thể khả vi theo biến u trong không gian Lp (Ω). Để khắc phục khó khăn này, chúng ta có thể giả thiết rằng u ∈ L∞ (Ω). Nhưng trong trường hợp này, các nhân tử Lagrange là các độ đo mà không còn là các hàm số. Điều đó dẫn tới vấn đề phải nghiên cứu tính chính quy của các nhân tử Lagrange, đó là việc tìm các điều kiện làm cho nhân tử Lagrange thuộc không gian Lp (Ω). Vấn đề này đã được nghiên cứu gần đây bởi một số các nhà toán học (như [6] và [7]). Đặc biệt, trong tài liệu [7], bằng việc sử dụng Định lý Yosida-Hewitt, A.R¨osch và F. Tr¨oltzsch chứng minh rằng, dưới một số các điều kiện nhất định, các nhân tử Lagrange thuộc vào không gian Lp (Ω). Mục tiêu của luận văn này là xây dựng các điều kiện cực trị và nghiên cứu tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Cụ thể là chúng ta đưa ra các điều kiện, tiêu chuẩn, mà dưới đó, các nhân tử Lagrange trong các điều kiện tối ưu của bài toán (1)-(3) thuộc vào không gian Lp (Ω) với 1 ≤ p ≤ ∞. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm hai chương chính. Chương 1 trình bày một số kiến thức và các sự kiện liên quan đến giải tích biến phân, các bài toán quy hoạch và phương trình elliptic. Chương 2 trình bày kết quả cơ bản của luận văn về sự tồn tại và tính chính quy của các nhân tử Lagrange trong các điều kiện tối ưu bậc hai của bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic. Nội dung của luận văn được viết dựa trên công trình của tác giả và các cộng sự về hướng nghiên cứu này. Bài báo hiện đã được gửi đăng.
5 CHƯƠNG 1 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO MỘT LỚP BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG 1.1 MỘT SỐ CÔNG CỤ VÀ KHÁI NIỆM VỀ GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN Trong mục này, ta luôn giả thiết X là không gian Banach. Định nghĩa 1.1.1. Cho M ⊂ X , x ¯ ∈ M . Một véc tơ v thuộc X được gọi là ¯ nếu tồn tại các dãy {tk }k∈N , {vk }k∈N sao một véc tơ tiếp tuyến của M tại x cho tk → 0+ , vk → v, k → ∞ thỏa mãn x ¯ + tk vk ∈ M . Ta ký hiệu T (M, x ¯) là tập các véc tơ tiếp tuyến v của M . T (M, x¯) được gọi là nón tiếp tuyến hay nón Bouligand. ¯) là nón đóng và T (M, x¯) ⊂ cone(M − x¯). Mệnh đề 1.1.1. [8] T (M, x Định nghĩa 1.1.2. Với M ⊂ X , ta định nghĩa T b (M, x¯) := {v ∈ X|∀tk → 0; ∃vk → v : x¯ + tk vk ∈ M, ∀k ∈ N}. Ta gọi T b (M, x ¯) là nón tiếp tuyến trung gian hay nón kề của tập M tại điểm x¯. Mệnh đề 1.1.2. [8] (i) T b (M, x ¯) là nón đóng. (ii) Nếu M là tập lồi, thì T b (M, x ¯) là tập lồi và T b (M, x¯) = cone(M − x¯). Nhận xét 1.1.1. (i) T b (M, x ¯) ⊂ T (M, x¯). (ii) Khi M là tập lồi, ta có: T b (M, x ¯) = T (M, x¯) = cone(M − x¯). Ví dụ sau đây cho thấy T b (M, x ¯) 6= T (M, x¯).
6 Ví dụ 1.1.1. Cho X = R, M = { 21i : i = 1, 2, ...}, với x ¯ ∈ M , ta có: T (M, x¯) = R+ , T b (M, x¯) = {0}. Định nghĩa 1.1.3. Với M ⊂ X, x ¯ ∈ M, h ∈ X , ta định nghĩa: ¯, h) := {v ∈ X|∀tk → 0+ ; ∃vk → v : x¯ + tk h + 21 t2k vk ∈ (i) T 2b (M, x M, ∀k ∈ N}, ¯, h) := {v ∈ X|∃tk → 0+ , ∃vk → v : x¯ + tk h + 12 t2k vk ∈ (ii) T 2 (M, x M, ∀k ∈ N}, ta gọi T 2b (M, x ¯, h) và T 2 (M, x¯, h) lần lượt là tập tiếp tuyến trung gian bậc hai và tập tiếp tuyến bậc hai của M theo phương h. Nhận xét 1.1.2. (i) T 2b (M, x ¯, h) và T 2 (M, x¯, h) là các tập đóng, và: T 2b (M, x¯, h) ⊂ T 2 (M, x¯, h), T 2b (M, x¯, 0) = T b (M, x¯), T 2 (M, x¯, 0) = T (M, x¯). (ii) Nếu M là tập lồi thì T 2b (M, x ¯, h) là tập lồi, nhưng T 2 (M, x¯, h) có thể không lồi (ví dụ có thể xem trong tài liệu tham khảo [9]). Định nghĩa 1.1.4. Cho M ⊂ X , M lồi, ta định nghĩa nón pháp tuyến của M tại x ¯ là tập N (M, x¯) := {x∗ ∈ X ∗ |hx∗ , x − x¯i ≤ 0, ∀x ∈ M }, hoặc tương đương với N (M, x¯) = {x∗ ∈ X ∗ |hx∗ , hi ≤ 0, ∀h ∈ T (M, x¯)}.
7 1.2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ BẬC HAI CHO BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC Cho Z, E là các không gian Banach với các không gian đối ngẫu lần lượt là Z ∗ , E ∗ , ta xét bài toán  f (z) → min, (P1 ) G(z) ∈ Q; với f : Z → R, G : Z → E, Q ⊂ E , Q là tập lồi, đóng. Ta đặt Φ = {z ∈ Z|G(z) ∈ Q}. Định nghĩa 1.2.1. Ta gọi z¯ ∈ Φ là nghiệm địa phương của bài toán (P1 ) nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi z ∈ BZ (¯ z , ) ∩ Φ, f (z) − f (¯ z ) ≥ 0. Định nghĩa 1.2.2. Mỗi véc tơ z¯ ∈ Φ được gọi là thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson nếu 0 ∈ int(∇G(¯ z )BZ − (Q − G(¯ z )) ∩ BE ), (1.1) với BZ , BE lần lượt là hình cầu đơn vị trong Z và E . Định lý 1.2.1. [10] Điều kiện (1.1) tương đương với điều kiện sau E = ∇G(¯ z )Z − cone(Q − G(¯ z )). (1.2) Chú ý: (1.2) xảy ra khi ∇G(¯ z ) là toàn ánh. Định lý 1.2.2. [10] Chúng ta sẽ ký hiệu Λ1 (¯ z ) là tập các nhân tử Lagrange của z ) = {e∗ ∈ E ∗ |∇f (¯ bài toán (P1 ), cụ thể là Λ1 (¯ z )∗ e∗ = 0, e∗ ∈ z ) + ∇G(¯ N (Q, G(¯ z ))}. Giả sử z¯ thỏa mãn điều kiện chính quy Robinson, khi đó Λ1 (¯ z) khác rỗng, bị chặn và compact theo topo τ (E ∗ , E), với τ (E ∗ , E) là topo yếu* trên E ∗ . Định nghĩa 1.2.3. Ta định nghĩa một số nón tới hạn như sau: C1 (¯ z ) := {d ∈ Z|∇f (¯ z )d ≤ 0, ∇G(¯ z )d ∈ T (Q, G(¯ z ))}, C01 (¯ z ) := {d ∈ Z|∇f (¯ z )d ≤ 0, ∇G(¯ z )d ∈ cone(Q − G(¯ z ))}, z ) := C01 (¯ C1∗ (¯ z ).
8 Bài toán (P1 ) có hàm Lagrange: L1 (z, e∗ ) = f (z) + e∗ G(z). Ta có điều kiện cần cực trị bậc hai cho bài toán (P1 ) như sau: Định lý 1.2.3. [10] Giả sử z¯ là nghiệm địa phương của bài toán (P1 ). Khi đó, z ), tồn tại e∗ ∈ E ∗ sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi d ∈ C1∗ (¯ z , e∗ ) ≥ 0. ∇2zz L1 (¯ Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 3.5 trong [10] cho trường hợp một mục tiêu m = 1. 1.3 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TRỪU TƯỢNG Cho E0 , E, Y và U là các không gian Banach và Q là tập con lồi, đóng, khác rỗng của E . Ta đặt Z := Y × U và giả sử rằng I : Y × U → R, F : Y × U → E0 , G:Y ×U →E là các ánh xạ cho trước. Ta xét bài toán điều khiển tối ưu với biến điều khiển u ∈ U và biến trạng thái y ∈ Y :     I(y, u) → min,  (P2 ) F (y, u) = 0,    G(y, u) ∈ Q. Ta ký hiệu Φ là tập chấp nhận được của bài toán (P2 ) và ta đặt: D := {(y, u) ∈ Z|F (y, u) = 0}. Với z0 = (y0 , u0 ) ∈ Φ cố định, ta ký hiệu Λ2 (z0 ) là tập hợp các nhân tử (v ∗ , e∗ ) ∈ E0∗ × E ∗ thỏa mãn các điều kiện sau: ∇z L2 (z0 , v ∗ , e∗ ) = 0, e∗ ∈ N (Q, G(z0 ));
9 ở đó L2 (z, v ∗ , e∗ ) là hàm Lagrange của bài toán (P2 ) được cho bởi: L2 (z, v ∗ , e∗ ) = I(z) + hv ∗ , F (z)i + he∗ , G(z)i. Ta ký hiệu: C02 (z0 ) := {d ∈ Z|∇I(z0 )d ≤ 0, ∇F (z0 )d = 0, ∇G(z0 )d ∈ cone(Q − G(z0 ))}, C2 (z0 ) := C02 (z0 ). Định lý sau cho ta điều kiện cần cực trị bậc hai của bài toán (P2 ): Định lý 1.3.1. Giả sử z0 ∈ Φ và các giả thiết sau được thỏa mãn: (ii) Tồn tại các số dương r1 , r10 sao cho các ánh xạ I(., .), F (., .) và G(., .) khả vi liên tục Fréchet cấp hai trên BY (y0 , r1 ) × BU (u0 , r10 ). (ii) Ánh xạ Fy (z0 ) là song ánh. (iii) E = ∇G(z0 )(T (D, z0 )) − cone(Q − G(z0 )). Nếu z0 là nghiệm địa phương của bài toán (P2 ), thì với mỗi d ∈ C2 (z0 ), tồn tại (v ∗ , e∗ ) ∈ Λ2 (z0 ) sao cho ∇2zz L(z0 , v ∗ , e∗ )(d, d) = hIzz (z0 )d, di + hv ∗ Fzz (z0 )d, di + he∗ Gzz (z0 )d, di ≥ 0. Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Định lý 4.1 trong [10] cho trường hợp một mục tiêu m = 1. 1.4 Một số kết quả về nghiệm của phương trình elliptic Xét bài toán  Lu = f trong Ω, (1.3) u = 0 trên ∂Ω;
10 ¯ → R là ẩn hàm cần tìm. Hàm ở đó Ω là tập con mở, bị chặn của Rn và u : Ω f : Ω → R cho trước và L là toán tử có dạng như sau n X n X Lu = − (aij uxi )xj + bi (x)uxi + c(x)u, (1.4) i,j=1 i=1 với aij , bi , c (i, j = 1, ..., n) là các hàm cho trước. Ta đưa ra một số các giả thiết như sau: H1) aij = aji (i, j = 1, ..., n). H2) aij , bi , c ∈ L∞ (Ω) (i, j = 1, ..., n), f ∈ L2 (Ω). Định nghĩa 1.4.1. Ta nói toán tử L là elliptic nếu tồn tại một số λ > 0 sao cho n X aij (x)ξi ξj ≥ λ|ξ|2 , i,j=1 với h.k.n x ∈ Ω và mọi ξ ∈ Rn . Định nghĩa 1.4.2. i, Ta gọi dạng bậc hai B[., .] sinh bởi toán tử L định nghĩa bởi (1.4) được cho bởi công thức sau Z X n n X B[u, v] = aij uxi vxj + bi uxi v + cuvdx, Ω i,j=1 i=1 với u, v ∈ H01 (Ω). ii, Ta nói u ∈ H01 (Ω) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của bài toán (1.3) nếu B[u, v] = hf, vi, với mọi v ∈ H01 (Ω). Định lý sau nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (1.3) Định lý 1.4.1. [11] Giả sử có một số γ ≥ 0, với mỗi µ ≥ γ và hàm f ∈ L2 (Ω), phương trình sau có nghiệm duy nhất u ∈ H01 (Ω):  Lu + µu = f trong Ω, (1.5) u = 0 trên ∂Ω.
11 CHƯƠNG 2 ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU SEMILINEAR ELLIPTIC 2.1 MỘT SỐ GIẢ THIẾT VÀ KẾT QUẢ VỀ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SEMILINEAR ELLIPTIC Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN với N = 2, 3 và biên ∂Ω thuộc lớp C 2 . Trong cả chương này, ta xét bài toán điều khiển tối ưu semilinear elliptic với biến điều khiển u ∈ L∞ (Ω) và biến trạng thái tương ứng y ∈ W 2,2 (Ω) ∩ W01,2 (Ω): Z J(y, u) = L(x, y(x), u(x)dx → min, (2.1) Ω Ay = f (x, y, u) trong Ω, y = 0 trên ∂Ω, (2.2) a(x) ≤ g(x, y, u) ≤ b(x) h.k.n x ∈ Ω; (2.3) với a(x), b(x) ∈ L∞ (Ω) và toán tử A định nghĩa bởi N X Ay = − Di (aij (x)yxj (x)). i,j=1 Từ Định nghĩa 1.4.2, ta định nghĩa nghiệm của phương trình (2.2) như sau: Định nghĩa 2.1.1. Ta nói y ∈ H01 (Ω) là nghiệm (hoặc nghiệm yếu) của phương trình (2.2) nếu Z B[y, v] := aij (x)yxj (x)vxi (x)dx = hf, vi, Ω với mọi v ∈ H01 (Ω).
12 Ta đặt: Y := W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω), U := L∞ (Ω), Z := Y × U và Q∞ = {v ∈ L∞ (Ω)|a(x) ≤ v(x) ≤ b(x)}. Ta ký hiệu Φ là tập chấp nhận được của bài toán (2.1)-(2.3): Φ := {(y, u) ∈ Y × U |(y, u) thỏa mãn (2.2) − (2.3)}. Ta ký hiệu ϕ : Ω × R × R → R thay thế cho L, f và g . Với mỗi (¯ y , u¯) cố định trong Φ, ta ký hiệu ϕ[x], ϕy [x], ϕu [x], ϕyu [x] và ϕuu [x] lần lượt thay thế cho ϕ(x, y¯(x),u¯(x)), ϕy (x, y¯(x), u¯(x)), ϕu (x, y¯(x), u¯(x)), ϕyu (x, y¯(x), u¯(x)), ϕuu (x, y¯(x), u¯(x)). Ta đưa ra một số các giả thiết như sau: ¯ , aij = aji và tồn tại một số λ > 0 sao cho: (A1) Các hàm aij ∈ C 1 (Ω) N X N X aij (x)ξi ξj ≥ λ |ξi |2 ∀x ∈ Ω, (ξ1 , ξ2 , ..., ξN ) ∈ RN . i,j=1 i=1 (A2) fy (x, y, u) ≤ 0 ∀(x, y, u) ∈ Ω × R × R. (A3) ϕ(x, ., .) thuộc lớp C 2 thỏa mãn |ϕ(x, 0, 0)| và |D(y,u) ϕ(x, 0, 0)| bị chặn, và với mỗi M > 0, tồn tại kϕM > 0 sao cho |ϕ(x, y1 , u1 ) − ϕ(x, y2 , u2 )| + |D(y,u) ϕ(x, y1 , u1 ) − D(y,u) ϕ(x, y2 , u2 )| 2 2 + |D(y,u) ϕ(x, y1 , u1 ) − D(y,u) ϕ(x, y2 , u2 )| ≤ kϕM (|y1 − y2 | + |u1 − u2 |), với mọi x ∈ Ω, yi , ui ∈ R, thỏa mãn |yi | ≤ M, |ui | ≤ M , i = 1, 2. (A4) Tồn tại hằng số γ > 0 sao cho: |gu (x, y¯(x), u¯(x))| > γ h.k.n x ∈ Ω (2.4) và fu [x]gy [x] − fy [x] + ≥ 0, h.k.n x ∈ Ω. (2.5) gu [x]
13 Trước khi trình bày các nội dung tiếp theo, ta có các nhận xét sau về các giả thiết trên. Giả thiết (A1) và (A2) đảm bảo cho phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất y ∈ W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) với mỗi u ∈ L∞ (Ω). Giả thiết (A3) đảm bảo cho hàm mục tiêu J , các hàm fˆ và gˆ khả vi trên (W 1,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω)) × L∞ (Ω), với fˆ 0 và gˆ định nghĩa bởi: fˆ(y, u)(x) = f (x, y(x), u(x)), gˆ(y, u)(x) = g(x, y(x), u(x)). (2.6) Giả thiết (A4) là giả thiết quan trọng trong chứng minh tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Bên cạnh đó, điều kiện (2.5) đảm bảo cho điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn. Sau đây là một số các ví dụ về các hàm f và g thỏa mãn giả thiết (A4): Ví dụ 2.1.1. Các hàm f và g có các công thức như sau thỏa mãn giả thiết (A4): f (x, y, u) = −y 3 + u3 , g(x, y, u) = u f (x, y, u) = −yu2 , g(x, y, u) = u3 − u2 + 2u f (x, y, u) = x2 u2 , g(x, y, u) = ψ(x) + y 2 u3 + u với ψ là làm liên tục trên Ω Bổ đề sau đây nói về tính duy nhất nghiệm của phương trình (2.2), ta có thể tìm thấy chứng minh của bổ đề trong [5] và [3]. Bổ đề 2.1.1. Giả sử rằng các hàm aij và f thỏa mãn các điều kiện (A1) và (A2). Với mỗi u ∈ L∞ (Ω), phương trình (2.2) có nghiệm duy nhất y ∈ W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω). Hơn nữa, tồn tại hằng số C2 > 0 sao cho: kyk∞ + kyk2,2 ≤ C2 , ∀u ∈ L∞ (Ω). 2.2 ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ BẬC MỘT, BẬC HAI VÀ TÍNH CHÍNH QUY CỦA CÁC NHÂN TỬ LAGRANGE y , u¯) ∈ Φ được gọi là nghiệm địa phương của Định nghĩa 2.2.1. (i) Một cặp (¯ bài toán (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số > 0 sao cho nếu (y, u) ∈ Φ thỏa mãn ky − y¯k2,2 + ku − u ¯k∞ < thì J(y, u) ≥ J(¯ y , u¯).
14 y , u¯) ∈ Φ được gọi là nghiệm mạnh địa phương của bài toán (ii) Một cặp (¯ (2.1)-(2.3) nếu tồn tại một số > 0 và α > 0 sao cho nếu (y, u) ∈ Φ thỏa mãn ky − y¯k2,2 + ku − u y , u¯) + αku − u¯k22 . ¯k∞ < thì J(y, u) ≥ J(¯ Ta ký hiệu C0 [(¯ y , u¯)] là tập hợp của các cặp (y, u) ∈ Y × U thỏa mãn các điều kiện sau: R (c1 ) h∇J(¯ y , u¯), (y, u)i = Ω (Ly [x]y(x) + Lu [x]u(x))dx ≤ 0, (c2 ) Ay = fy [.]y + fu [.]u, (c3 ) gy [.]y + gu [.]u ∈ cone(Q∞ − g[.]). Ta gọi bao đóng của C0 [(¯ y , u¯)] trong Y × U là tập hợp các phương tới hạn của bài toán (2.1)-(2.3) và ký hiệu là C[(¯ y , u¯)]. Định nghĩa 2.2.2. Một phiếm hàm tuyến tính liên tục e∗ ∈ L∞ (Ω)∗ được gọi là biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L1 (Ω) nếu tồn tại một hàm φ ∈ L1 (Ω) sao cho: Z he∗ , vi = φ(x)v(x)dx ∀v ∈ L∞ (Ω). Ω Với B ⊂ Ω, ta ký hiệu χB là hàm đặc trưng của B :  1 với x ∈ B, χB (x) = 0 với x ∈ / B. Bổ đề sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh tính chính quy của các nhân tử Lagrange. Bổ đề 2.2.1 ([12], Mệnh đề 5, Chương 8). Một phiếm hàm tuyến tính liên tục e∗ ∈ L∞ (Ω)∗ biểu diễn được bằng một hàm trong không gian L1 (Ω) khi và chỉ khi với mọi dãy {∆k } các tập con đo được của Ω, |∆k | → 0, ta có ke∗∆k k → 0 khi k → ∞. Ở đây e∗∆k định nghĩa bởi: he∗∆k , vi = he∗ , χ∆k vi ∀v ∈ L∞ (Ω).
15 Sau đây là kết quả quan trọng của luận văn về điều kiện cần cực trị: y , u¯) ∈ Φ là nghiệm địa phương của bài toán (2.1)- Định lý 2.2.1. Giả sử (¯ (2.3) và các giả thiết (A1)-(A4) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại các hàm ϑ ∈ W01,2 (Ω) ∩ W 2,2 (Ω) và e ∈ L2 (Ω) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (i) (Phương trình liên hợp) A∗ ϑ − fy [.]ϑ = −Ly [.] − gy [.]e trong Ω, ϑ = 0 trên ∂Ω; (2.7) (ii) (Điều kiện dừng theo u) Lu [.] − fu [.]ϑ + gu [.]e = 0 h.k.n; (2.8) (iii) (Điều kiện bù) g[x] = max (a(x), min(e(x) + g[x], b(x))) h.k.n x ∈ Ω; (2.9) (iv) (Điều kiện không âm bậc hai) Z (Lyy [x]y(x)2 + 2Lyu [x]y(x)u(x) + Luu [x]u(x)2 )dx ΩZ − ϑ(x)(fyy (x)y(x)2 + 2fyu [x]y(x)u(x) + fuu [x]u(x)2 )dx ZΩ + e(x)(gyy [x]y(x)2 + 2gyu [x]y(x)u(x) + guu [x]u(x)2 )dx ≥ 0 Ω y , u¯)]. Hơn nữa ta có e ∈ L∞ (Ω). với mọi (y, u) ∈ C[(¯ Chứng minh. Ta chia chứng minh ra thành các bước: Bước 1. Đưa bài toán về bài toán điều khiển tối ưu trừu tượng. Ta ký hiệu E0 = L2 (Ω), E = L∞ (Ω) và ta định nghĩa một số ánh xạ: F : Y × U → E0 , F (y, u) = Ay − fˆ(y, u); G : Y × U → E, G(y, u) = gˆ(y, u); với fˆ, gˆ định nghĩa bởi (2.6). Ta đặt: D = {(y, u) ∈ Y × U |F (y, u) = 0}. (2.10)
16 Khi đó (¯ y , u¯) là nghiệm địa phương của bài toán: J(y, u) → min (2.11) thỏa mãn F (y, u) = 0, (2.12) G(y, u) ∈ Q∞ . (2.13) Bên cạnh đó, C[(¯ y , u¯)] là bao đóng của C0 [(¯ y , u¯)] trong Y × U và C0 là tập hợp của các cặp (y, u) ∈ Y × U sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: (c01 ) h∇J(¯ y , u¯), (y, u)i ≤ 0; (c02 ) h∇F (¯ y , u¯), (y, u)i = 0; (c03 ) h∇G(¯ y , u¯), (y, u)i ∈ cone(Q∞ − G(¯ y , u¯)); Bài toán (2.11)-(2.13) có hàm Lagrange được cho bởi: L(y, u, v ∗ , e∗ ) := J(y, u) + hv ∗ , F (y, u)i + he∗ , G(y, u)i, (2.14) ở đó v ∗ ∈ E0∗ và e ∈ E ∗ với E0∗ = L2 (Ω) và E ∗ = L∞ (Ω)∗ lần lượt là không gian đối ngẫu của E0 và E . Bổ đề sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.1. Bổ đề 2.2.2. Giả sử (¯ y , u¯) là nghiệm địa phương của bài toán (2.11)-(2.13) và các giả thiết sau được thỏa mãn: (H1) J, F và G thuộc lớp C 2 trong lân cận của (¯ y , u¯). (H2) Ánh xạ Fy (y, u) là song ánh. (H3) Điều kiện chính quy Robinson được thỏa mãn: E = ∇G(¯ y , u¯))) − cone(Q∞ − G(¯ y , u¯)(T (D, (¯ y , u¯)). y , u¯)], tồn tại các véc tơ ϑ ∈ E0∗ Thì với mỗi phương tới hạn d = (y, u) ∈ C[(¯ và e∗ ∈ E ∗ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: