Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí liểu Marty về họ chuẩn tắc của các hàm phân hình

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu tiêu chuẩn của Marty về họ chuẩn tắc các hàm phân hình có đạo hàm cầu bị chặn đều trên các tập con compact. Từ đó nghiên cứu sự mở rộng của các định lí này tới các trường hợp mà đạo hàm cầu bị chặn đều trên tập nhỏ hơn; trường hợp biến dạng của đạo hàm cầu; trường hợp chiều cao.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lí liểu Marty về họ chuẩn tắc của các hàm phân hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THANH THẢO ĐỊNH LÍ KIỂU MARTY VỀ HỌ CHUẨN TẮC CỦA CÁC HÀM PHÂN HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THANH THẢO ĐỊNH LÍ KIỂU MARTY VỀ HỌ CHUẨN TẮC CỦA CÁC HÀM PHÂN HÌNH Chuyên ngành: Giải Tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2020
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn "Định lí kiểu Marty về họ chuẩn tắc các hàm phân hình" là công trình nghiên cứu khoa học độc lập của riêng tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TSKH Trần Văn Tấn. Các nội dung nghiên cứu, kết quả của tôi trong luận văn là trung thực và chưa từng công bố dưới bất kỳ hình thức nào trước đây; các kết quả kết quả của các tác giả khác đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc. Nếu phát hiện bất kỳ sự gian lận nào tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn của mình. Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thảo Xác nhận Xác nhận của khoa chuyên môn của người hướng dẫn PGS.TSKH Trần Văn Tấn i
Lời cảm ơn Để hoàn thành đề tài luận văn và kết thúc khóa học, với tình cảm chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi có môi trường học tập tốt trong suốt thời gian tôi học tập, nghiên cứu tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới PGS.TSKH Trần Văn Tấn đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Đồng thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn tốt nghiệp này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Thị Thanh Thảo ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời mở đầu 1 1 Định lí Marty 3 1.1 Định lí Marty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một mở rộng Định lí Marty của Hinkkanen . . . . . . . . . 4 2 Một mở rộng Định lí Marty của Grahl và Nevo 10 3 Đaọ hàm cầu trong trường hợp chiều cao 21 3.1 Một dạng mở rộng của Định lí cơ bản thứ hai . . . . . . . . 21 3.2 Tiêu chuẩn ánh xạ chuẩn tắc trên điều kiện bị chặn của đạo hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 iii
Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Định lí Marty (1957) về tiêu chuẩn cho họ chuẩn tắc các hàm phân hình trên một miền trong mặt phẳng phức, dưới điều kiện đạo hàm cầu bị chặn đều trên các tập con compact đóng một vai trò quan trọng nghiên cứu họ chuẩn tắc các hàm phân hình. Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề họ chuẩn tắc các hàm phân hình thông qua kết quả có ảnh hưởng lớn này, chúng tôi chọn đề tài “Định lí kiểu Marty về họ chuẩn tắc các hàm phân hình” nhằm tìm hiểu kết quả gốc của Marty và một số phát triển của các nhà toán học sau đó. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày lại một cách có hệ thống và chi tiết về tiêu chuẩn của Marty về họ chuẩn tắc, các mở rộng Định lí Marty của Hinkkanen (1993), của Grahl và Nevo (2014) và của Trần Văn Tấn (2020). 3. Đối tượng nghiên cứu Họ chuẩn tắc các hàm phân hình, Lí thuyết Nevanlinna về sự phân bố các hàm phân hình. 5. Nội dung nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu tiêu chuẩn của Marty về họ chuẩn tắc các hàm phân hình có đạo hàm cầu bị chặn đều trên các tập con compact. Từ đó nghiên cứu sự mở rộng của các định lí này tới các trường hợp mà đạo hàm cầu bị chặn đều trên tập nhỏ hơn; trường hợp biến dạng của đạo hàm cầu; trường hợp chiều cao. 1
Nội dung chính của luận văn gồm ba chương: Chương 1 trình bày Định lí Marty cổ điển và sự mở rộng của Định lí Marty tới trường hợp đạo hàm cầu bị chặn đều trên các tập con compact giao tập ảnh ngược của 5 điểm phân biệt; Chương 2 trình bày kết quả mở rộng Định lí Marty của Grahl và Nevo tới trường hợp kiểu đạo hàm cầu; Chương 3 trình bày tiêu chuẩn chuẩn tắc của Trần Văn Tấn đối với trường hợp ánh xạ chỉnh hình vào không gian xạ ảnh. 5. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp truyền thống của Giải tích phức, Ứng dụng của Lí thuyết Nevanlinna đối với ánh xạ chỉnh hình. 2
Chương 1 Định lí Marty 1.1 Định lí Marty Năm 1912, Montel đưa ra khái niệm sau về họ chuẩn tắc các hàm phân hình. Định nghĩa 1.1. Một họ F các hàm phân hình trên miền D ⊂ C được gọi là chuẩn tắc nấu mọi dãy {fk } ⊂ F đều tồn tại dãy con hội tụ đều theo metric cầu trên các tập con compact của D (hay tương đương là hội tụ đều địa phương) tới một hàm phân hình hoặc hàm đồng nhất bằng vô cùng. Định lý 1.2. Một họ F gồm các hàm phân hình trên miền D ⊂ C là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu đạo hàm cầu của các hàm trong F bị chặn đều trên các tập con compact của D (hay tương đương là bị chặn đều địa phương), nghĩa là, với mỗi tập con compact K ⊂ D, tồn tại hằng số dương c(K) sao cho |f 0 (z)| f # (z) := ≤ c(K) 1 + |f (z)|2 với mọi z ∈ K và f ∈ F. Chứng minh. Giả sử F là một họ chuẩn tắc, nhưng bất đẳng thức trên không đúng. Khi đó, tồn tại tập con compact K ⊂ D và dãy {fk } ⊂ F , 3
{zk } ⊂ K , sao cho fk hội tụ tới hàm chỉnh hình f và fk# (zk ) dần tới vô cùng. Do K là tập compact, nên ta có thể coi zk hội tụ tới một điểm z0 thuộc K. Khi đó f # (z0 ) = limk→∞ = fk# (zk ) = ∞. Điều này dẫn tới mâu thuẫn. Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại. Với điểm z0 bất kì thuộc D và với > 0 tùy ý, lấy r > 0 sao cho K := {z : |z − z0 | ≤ r} ⊂ D. Khi đó, theo giả thiết, tồn tại c(K) > 0 sao cho |f 0 (z)| f # (z) := ≤ c(K) 1 + |f (z)|2 với mọi z ∈ K và f ∈ F. Với mỗi z ∈ K , lấy γ : [0, 1] → D, γ(t) = (1 − t)z0 + tz là đoạn nối z0 với z . Gọi dσ là khoảng cách cầu trên C b . Khi đó, Z 1 dγ (f (z), f (z0 )) ≤ k(f ◦ γ)0 (t)kσ,f ◦γ(t) Z0 1 2f ◦ γ 0 (t) 0 = 2 |γ (t)|dt 0 1 + |γ(t) Z 1 ≤ c(K) |γ 0 (t)|dt 0 ≤ c(K)kz − z0 k với mọi z ∈ K và f ∈ F. Do đó, F là đồng liên tục đều. Mặt khác, C b là compact, nên F là chuẩn tắc. 1.2 Một mở rộng Định lí Marty của Hinkkanen Trong phần này, ta xét một chiều mở rộng của Định lí Marty được đưa ra bởi Hinkkanen [2]. 4
Định lý 1.3. Một họ F gồm các hàm phân hình trên miền D ⊂ C là chuẩn tắc nếu và chỉ nếu tồn tại 5 điểm phân biệt a1 , . . . , a5 thuộc C b sao cho với mỗi tập con compact K ⊂ D, tồn tại hằng số dương c(K) sao cho f # (z) ≤ c(K) với mọi z ∈ K ∩5j=1 f −1 (aj ) và f ∈ F. Để chứng minh Định lí của Hinkkanen, trước hết ta phát biểu và chứng minh Bổ đề Zalcmann. Định lý 1.4. Họ F các hàm phân hình trên D là không chuẩn tắc tại điểm z0 nếu tồn tại 1) số thực r, 0 < r < 1; 2) các điểm zn , |zn | < r, zn → z0 ; 3) dãy số dương ρn → 0+ ; 4) các hàm fn ∈ F sao cho gn (ξ) := gn (zn + ρn ξ) → g(ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu, ở đó, g(ξ) là một hàm phân hình khác hằng và g # (ξ) ≤ g # (0) = 1. Chứng minh. Giả sử F không chuẩn tắc trên D. Khi đó theo Định lí Marty, tồn tại số r∗ , 0 < r∗ < 1, dãy các điểm zn∗ trong đĩa đóng có tâm là gốc tọa độ, bán kính r∗ và các hàm fn thuộc F sao cho fn# (zn∗ ) → ∞. Cố định một giá trị r sao cho r∗ < r < 1, và với mỗi n đặt |z|2 Mn = max |z| ≤ r 1 − 2 fn# (z) r |z|2 = 1 − 2 fn# (zn ) (1.1) r 5
với zn nào đó thuộc đĩa đóng có tâm là gốc tọa độ, bán kính r. Ta có Mn → ∞. Đặt |z|2 1 1 ρn = 1− 2 = . (1.2) Mn r fn# (zn ) Ta có ρn ≤ 2rMn → ∞. (1.3) r − |zn | Vì vậy các hàm gn (ξ) = fn (zn + ρn ξ) xác định trên đĩa có tâm là gốc tọa độ, bán kính Rn với r − |zn | Rn = → ∞. ρn Từ (1.1) ta có gn# (0) = ρn fn# (zn ) = 1. Với |ξ| ≤ R < Rn và |zn + ρn ξ| < r từ (1.1) và (1.2) ta có gn∗ (ξ) = ρn fnn (zn + ρn ξ) ρn Mn ≤ 2 1 − |zn +ρ r2 n ξ| r + |zn | r − |zn | ≤ · r + |zn + ρn ξ| r − |zn | − ρn R r + |zn | r − |zn | ≤ · . r r − |zn | − ρn R Trong biểu thức cuối cùng, nhân tử đầu không vượt quá 2, nhân tử thứ hai tiến tới 1. Do đó, theo Định lí Marty, họ gn (với n đủ lớn) chuẩn tắc trên đĩa có tâm là gốc tọa độ với bán kính R (với R dương tùy ý cho trước). Do đó bằng cách chọn dãy con và bằng quy tắc đường chéo, ta có thể giả sử gn hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu đến một hàm phân hình g . Rõ ràng g khác hằng vì g # (0) = 1. Bây giờ ta chứng minh chiều ngược lại của Bổ đề. Giả sử các điều kiện từ 1) tới 4) được thỏa mãn nhưng họ F không chuẩn tắc. Theo Định 6
lí Marty tồn tại M > 0 sao cho max f # (z) ≤ M |z|≤1+r2 với mọi f ∈ F . Với mỗi ξ ∈ C, do zn + ρn ξ hội tụ tới một điểm thuộc đĩa có tâm là gốc và bán kính r nên 1+r |zn + ρn ξ| ≤ , 2 với mọi n đủ lớn. Do đó với mọi ξ ∈ C ta có g # (ξ) = lim ρn f # (zn + ρn ξ) = 0. Điều này không thể xảy ra vì g là khác hằng. Chứng minh Định lí 1.3. Giả sử họ F không chuẩn tắc, khi đó, theo Bổ đề Zalcman tồn tại 1) số thực r, 0 < r < 1; 2) các điểm zn , |zn | < r, zn → z0 ; 3) dãy số dương ρn → 0+ ; 4) các hàm fn ∈ F sao cho gn (ξ) := gn (zn + ρn ξ) hội tụ đều trên các tập con compact của C theo metric cầu tới một hàm phân hình khác hằng g(ξ). Với một không điểm ξ0 tùy ý của bất kì g − aj , theo Định lí Hurwitz, tồn tại các điểm ξn hội tụ tới ξ0 và fn (zn + ρn ξn ) − aj = 0 (với n đủ lớn), tức là, zn + ρn ξn ∈ f −1 (aj ). Mặt khác các điểm này hội tụ về z0 nên theo giả thiết, đạo hàm cầu của chúng bị chặn trên. Do đó, đạo hàm cầu của g triệt tiêu tại ξ0 . Như vậy ξ0 là một không điểm với bội không nhỏ hơn 2 của g − aj . Từ lập luận trên ta có, các không điểm của g − aj đều có bội không nhỏ hơn 2. Áp dụng Định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai của Lí thuyết 7
Nevanlinna, ta có 5 [1] X 3Tg (2) ≤ Ng−aj (r) + o(Tg (r)) j=1 5 X 1 [1] ≤ Ng−aj (r) + o(Tg (r)) j=1 2 5 = Tg (r) + o(Tg (r)), 2 ở đây N [1] là hàm đếm không tính bội. Điều trên không thể xảy ra, do đó, ta thu được kết luận của Định lí. Cuối cùng chúng tôi điểm lại một số kết quả khác liên quan tới Định lí Marty. Các tác giả S.Y. Li và H.Xie thu được kết quả như sau. Định lý 1.5. Cho k là số tự nhiên và F là họ các hàm phân hình trên miền D sao cho tất cả các không nhất là k . Khi đó F là chuẩn ( điểm có bội số ít ) |f (k) | tắc tại D nếu và chỉ nếu : f ∈ F bị chặn đều địa phương trên 1 + |f |k+1 D. Chiều thuận là đúng mà không cần giả thiết về bội các không điểm. Tác giả Y.Xu đã chứng minh sự mở rộng sau đây về tính chuẩn tắc của Hinkkanen cho trường hợp đạo hàm bậc cao. Định lý 1.6. Gọi k là số tự nhiên và F là họ các hàm phân hình trên miền D. Giả sử rằng có một giá trị w∗ ∈ C và hằng số M < ∞ sao cho với mỗi f ∈ F ta có |f 0 (z)| + . . . + |f (k−1) (z)| ≤ M trong đó f (z) = w∗ và tồn tại tập hợp E ⊂ C bao gồm k + 4 phần tử sao cho với mọi f ∈ F và với mọi z ∈ D ta có |f (k) | f (z) ∈ E ⇒ (z) ≤ M. (1.4) 1 + |f |k+1 Khi đó F là một họ chuẩn tắc. Nếu mọi hàm trong F là chỉnh hình, thì điều trên còn đúng khi E có ít nhất 3 phần tử. 8
|f (k) | Lưu ý rằng đạo hàm cầu được mở rộng liên tục vào các 1 + |f |k+1 |f (k) | cực của f . Dĩ nhiên, việc dùng thay vì |f (k) | trong các kết quả 1 + |f |k+1 chỉ có ý nghĩa đối với trường hợp xuất hiện cực điểm. 9
Chương 2 Một mở rộng Định lí Marty của Grahl và Nevo Định lý Marty có hai chiều tương đương, trong chương trước chúng ta đã mở rộng theo một chiều. Chương này ta nêu một mở rộng chiều còn lại của Định lý Marty, được đưa ra bởi Grahl và Nevo [3]. Định lý 2.1. Cho k là số tự nhiên, α > 1 là số thực và F là một họ các hàm phân hình trên một miền D ⊂ C mà tất cả các cực của chúng có số k bội không nhỏ hơn . Khi đó nếu F chuẩn tắc thì α−1 ( ) |f (k) | Fk,α := :f ∈F 1 + |f |α là bị chặn đều địa phương. Trước hết để ý hai trường hợp đặc biệt sau: (S1) Nếu α ≥ k + 1 và nếu F là chuẩn tắc thì Fk,α bị chặn đều địa phương mà không cần giả thiết nào về bội số của các cực. Đây là một chiều trong Định lí 1.5. Chính xác hơn là Định lí 1.5 giải quyết trường hợp α = k + 1. Nhưng nếu Fk,α bị chặn đều địa phương được chứng minh 1+xk+1 với α = k + 1, thì nó cũng đúng với α > k + 1 khi x 7→ 1+xα bị chặn trên [0, ∞) với α > k + 1. 10
(S2) Nếu tất cả các hàm trong F là chỉnh hình, thì tính chuẩn tắc của F ngụ ý rằng Fk,α bị chặn đều địa phương với mọi α > 1 . k Trường hợp 1 < α < k + 1 thì mức chặn dưới α−1 đối với các bội số trong Định lí 2.1 là tối ưu. Ta có thể nhận ra điều này bằng cách xét các 1 k hàm đơn f (z) = zp với p < α−1 gần cực của nó: Ở đây, với hằng số C > 0, ta có |f (k) | α (z) ∼ C · |z|(α−1)p−k → ∞ khi z → 0 1 + |f | Với (α − 1)p − k < 0. Vì f không có giá trị, nên ví dụ cũng cho thấy rằng không giống Định lí 2.1 trong đó điều kiện về bội số của các cực được thay thế bằng một điều kiện về bội số của các số không. Ngay cả đối với các hàm chỉnh hình, với điều kiện α > 1 không thể làm yếu thêm nữa. Thật vậy, họ các hàm fn (z) := (z − 3)n là chuẩn tắc trong đĩa đơn vị D và thỏa mãn (k) |fn (z)| |z − 3|n−k = n(n − 1) · · · (n − k + 1) · 1 + |fn (z)|α 1 + |z − 3|αn 1 ≥ · (n − k)k · |z − 3|n(1−α)−k −→ ∞ (n → ∞) 2 Với mọi z ∈ D và mọi α với 0 < α ≤ 1. Định lí 2.1 là hệ quả của kết quả sau đây. Để đơn giản hóa, ta viết χ “ fn −→ f trên D” để chỉ ra rằng {fn }n hội tụ đều theo metric cầu trên các tập con compact đến f (trường hợp phân hình) và “ fn ⇒ f trên D” nếu hội tụ đều theo khoảng cách Euclid (trường hợp chỉnh hình). Định lý 2.2. Cho D là miền trong C và k, m, p là các số tự nhiên. (a) Cho {gn }∞ n=1 là một chuỗi các hàm chỉnh hình với gn 6≡ 0 trên D tất cả các không điểm của chúng có bội số ít nhất m. Nếu gn =⇒ 0, thì (k) m gn =⇒ 0. gnm−k 11
(b) Cho {fn }∞ n=1 là một chuỗi các hàm phân hình trên D tất cả các cực của χ chúng có bội số ít nhất p. Nếu fn =⇒ ∞, thì (k) p fn =⇒ 0. fnk+p Chứng minh. Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng D = D là đĩa đơn vị và sự hội tụ của {gn }n và {fn }n là đồng nhất trong D. I. Đầu tiên chúng ta thấy rằng " #m 0 (k−1) gn gnk · =⇒ 0. gn Ta cố định r < R < 1 và đặt s := 21 (r + R). Tồn tại một số x0 ∈ (0, 1/e] sao cho với mọi x ∈ (0, x0 ] hàm số y 7→ H(x, y) trong đó k y 2m x 1 H(x, y) := · m+ · log y (s − r)2 x đơn điệu giảm trên [1, ∞). Chúng ta xét một số hàm cố định g 6≡ 0 chỉnh hình trên D tất cả các không điểm của chúng có bội số ít nhất là m và thỏa mãn |g(z) ≤ x0 | với mọi z ∈ D. Ta xác định s2 − a ¯z Y Ga (z) := và B := Gm aj j s(z − a) |aj |
Từ Công thức Poisson, với |z| < s ta dễ dàng chứng minh được (xem [7, Satz 9.2]) h0 1 2π 2seit Z it (z) = log |h(se )| · dt h 2π 0 (seit − z)2 và 0 (k−1) h k! 2π 2seit Z it (z) = log |h(se )| · dt. h 2π 0 (seit − z)k+1 Ở đây, theo |B(ζ)| = 1 với |ζ| = s ta có |h(ζ)| = |g(ζ)| ≤ x0 với |ζ| = s, Do đó theo nguyên tắc tối đa |h(z)| ≤ x0 với |z| ≤ s. Cụ thể, log |h(ζ)| < 0 với |ζ| = s. Do đó, với |z| ≤ r ta thu được