Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Năm 1929, Nevanlinna công bố bài báo nghiên cứu sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Vấn đề này sau đó nhanh chóng được mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức vào không gian xạ ảnh bởi Cartan. Luận văn sẽ giúp các bạn hiểu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ THỊ MẠNH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TẠ THỊ MẠNH ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI CARTAN - NOCHKA TRONG LÝ THUYẾT PHÂN BỐ GIÁ TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN VĂN TẤN THÁI NGUYÊN - 2016 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là không bị trùng lặp với các luận văn trước đây. Tài liệu trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, 6 tháng 6 năm 2016 Tác giả luận văn TẠ THỊ MẠNH i S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới PGS. TSKH Trần Văn Tấn, thầy là người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn cũng như khóa học của mình. Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 6 tháng 6 năm 2016 Tác giả luận văn TẠ THỊ MẠNH ii S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU 1 1 Trọng Nochka 2 1.1 Họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Trọng Nochka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka 14 2.1 Các hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logarit . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan 14 2.1.2 Hàm phân hình và ánh xạ phân hình . . . . . . . . . 15 2.1.3 Bổ đề đạo hàm Logarit . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.4 Wronskian tổng quát của ánh xạ phân hình . . . . . 21 2.2 Định lý cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình . . . . . . . . . 26 2.3 Quan hệ số khuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU Năm 1929, Nevanlinna công bố bài báo nghiên cứu sự phân bố giá trị của các hàm phân hình trên mặt phẳng phức. Vấn đề này sau đó nhanh chóng được mở rộng sang trường hợp ánh xạ chỉnh hình từ mặt phẳng phức vào không gian xạ ảnh bởi Cartan. Kể từ đó tới nay, việc nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ chỉnh hình với các trường hợp khác nhau liên tục thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và hình thành một lý thuyết được gọi là Lý thuyết phân bố giá trị hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung cốt lõi của Lý thuyết này gồm hai định lý chính, được gọi là các định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai. Trong khi định lý cơ bản thứ nhất đã được giải quyết tương đối đầy đủ trong các trường hợp, thì định lý cơ bản thứ hai mới được thiết lập trong rất ít các trường hợp. Để có thể tiếp cận được tới các vấn đề có tính thời sự của Lý thuyết phân bố giá trị, trong luận văn này, tôi tập trung tìm hiểu một trong những kết quả gốc của Lý thuyết phân bố giá trị. Theo đó, tôi chọn tìm hiểu định lý cơ bản thứ hai Cartan- Nochka. Trên thực tế, năm 1933, Cartan mở rộng kết quả của Nevanlinna sang trường hợp chiều cao, ở đó ông thiết lập định lý cơ bản thứ hai cho trường hợp đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính trong không gian xạ ảnh. Cartan cũng nêu giả thuyết cho trường hợp đường cong khác hằng tùy ý trong không gian xạ ảnh. Giả thuyết của Cartan tồn tại 50 năm và được Nochka giải quyết năm 1983. Trong luận văn này tôi dự định tìm hiểu kết quả này của Nochka. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài "Định lý cơ bản thứ hai Cartan-Nochka trong lý thuyết phân bố giá trị". Luận văn gồm hai chương: Chương 1. Trọng Nochka. Chương 2. Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka. 1 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chương 1 Trọng Nochka 1.1 Họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát Trong không gian xạ ảnh Pn (C), cố định một hệ tọa độ thuần nhất ω = (ω0 : ... : ωn ). Cho q siêu phẳng H j xác định bởi các phương trình thuần nhất: n Hj : ∑ hi j ω j = 0, j = 1, ..., q. i=0 Với Q = {1, ..., q} và R ⊂ Q, ta đặt |R|= số phần tử của R. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử N ≥ n và q ≥ N + 1. Ta nói họ {H}qi=1 ở vị trí N - dưới tổng quát nếu với bất kì R ⊂ Q với |R| = N + 1 thì \ H j = 0. / j∈R Nếu họ siêu phẳng ở vị trí n - dưới tổng quát thì ta nói đơn giản rằng nó ở vị trí tổng quát. Dễ thấy rằng {H j }qj=1 ở vị trí N - dưới tổng quát khi và chỉ khi rank(h jk ) j∈R,0≤k≤n = n + 1 ∀R ⊂ Q với |R| = N + 1. 1.2 Trọng Nochka Với các kí hiệu như trên và R ⊂ S ⊂ Q, ta có các định nghĩa sau: V (R)= không gian véc tơ con của Cn+1 sinh bởi các véc tơ (h jk )0≤k≤n , j ∈ R, rk(R) = dimV (R), rk(0) / = 0, rkR (S) = rk(S) − rk(R), 2 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
rk(S)−rk(R) slR (S) = |S|−|R| , với |S| > |R|. Bổ đề 1.2.1. Cho họ siêu phẳng {H j }qj=1 ở vị trí N - dưới tổng quát trong Pn (C). Khi đó (i) Với R ⊂ Q, i = 1, 2 rkR (S1 ∪ S2 ) + rkR (S1 ∩ S2 ) ≤ rkR (S1 ) + rkR (S2 ). (ii) Với R ⊂ S ⊂ Q, |S| ≤ N + 1 |R| − rank(R) ≤ |S| − rank(S) ≤ N − n. Chứng minh (i) Ta có rkR (S1 ∪S2 ) + rkR (S1 ∩ S2 ) = rk(S1 ∪ S2 ) − rk(R) + rk(S1 ∩ S2 ) − rk(R) = dim(V (S1 ) +V (S2 )) + dim(V (S1 ) ∩V (S2 )) − 2 dimV (R) ≤ dimV (S1 ) + dimV (S2 ) − 2 dimV (R) = rkR (S1 ) + rkR (S2 ). (ii) Theo phần (i) rk(S) = rk(R ∪ (S \ R)) ≤ rk(R) + rk(S \ R) = rk(R) + |S \ R| = rk(R) + |S| − |R|. Vậy ta có bất đẳng thức thứ nhất. Lấy S0 ⊂ Q, S ⊂ S0 sao cho |S0 | = N + 1. Từ định nghĩa N - dưới tổng quát ta có |S| − rk(S) ≤ |S0 | − rk(S0 ) = N − n. Bổ đề 1.2.2. Cho họ siêu phẳng {H j }qj=1 ở vị trí N - dưới tổng quát trong Pn (C), N > n, q > 2N − n + 1. Khi đó tồn tại các tập con Ni , i = 0, ..., s của 3 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Q thỏa mãn (i) N0 = 0/ ⊂ N1 ⊂ ... ⊂ Ns , rk(Ns ) < n + 1. n+1−rk(Ns ) (ii) 0 < slN0 N1 < slN1 N2 < ... < slNs−1 Ns < 2N−n+1−|Ns | < 1. (iii) Với 1 ≤ i ≤ s và Ni−1 ⊂ R ⊂ Q, nếu rk(Ni−1 ) < rk(R) < n + 1 thì slNi−1 (Ni ) ≤ slNi−1 (R), Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi R ⊂ Ni . (iv) Với Ns ⊂ R ⊂ Q và rk(Ns ) < rk(R) < n + 1, n + 1 − rk(Ns ) slNs (R) ≥ . 2N − n + 1 − |Ns | Chứng minh Ta đặt N0 = 0, / chúng ta sẽ xác định Ni bằng phương thức quy nạp như sau. Giả sử ta đã chọn được {Ni }si=0 thỏa mãn (i) ∼ (iii). Nếu chúng thỏa mãn (iv) thì đó là họ cần dựng. Ngược lại ta cần phải tìm một tập con Ns+1 ⊂ Q sao cho Ns ⊂ Ns+1 và {Ni }s+1 i=1 thỏa mãn (i) ∼ (iii). Vì Hi ở vị trí N - dưới tổng quát nên rk(Ns ) < n+1 chứng tỏ rằng |Ns | ≤ N. Do đó theo Bổ đề 1.2.1 thì |Ns | − rk(Ns ) ≤ N − n < 2N − 2n. Do đó n − rk(Ns ) < 2N − n − |Ns | ⇔ n + 1 − rk(Ns ) < 2N − n + 1 − |Ns | n + 1 − rk(Ns ) ⇔
Theo (iii) ta có slNs−1 (Ns ) ≤ slNs−1 (R), ∀R ∈ R. Do vậy rk(R) − rk(Ns ) rk(R) − rk(Ns−1 ) − (rk(Ns ) − rk(Ns−1 )) slNs (R) = = |R| − |Ns | (|R| − |Ns−1 |) − (|Ns | − |Ns−1 |) rk(Ns ) − rk(Ns−1 ) > = slNs−1 (Ns ). |Ns | − |Ns−1 | Đặt R 0 = {R ∈ R : slNs (R) = ε0 }. Ta sẽ chứng tỏ rằng R1 , R2 ∈ R 0 thì R1 ∪ R2 ∈ R 0 . Thực vậy, vì R1 , R2 ∈ R 0 nên ε0 = slNs (R1 ) = slNs (R2 ), suy ra rk(R1 ) + rk(R2 ) − 2rk(Ns ) = rk(R1 ) − rk(Ns ) + rk(R2 ) − rk(Ns ) = ε0 (|R1 | − |Ns | + |R2 | − |Ns |) ≤ ε0 (rk(R1 ) + N − n + rk(R2 ) + N − n − 2|Ns |) = ε0 (rk(R1 ) + rk(R2 ) + 2N − 2n − 2|Ns |) = ε0 (rk(R1 ) + rk(R2 ) − 2rk(Ns )+ + 2N − 2n − 2|Ns | + 2rk(Ns )). Do vậy ε0 rk(R1 ) + rk(R2 ) − 2rk(Ns ) ≤ (2N − 2n − 2|Ns | + 2rk(Ns )) 1 − ε0 1 =( − 1)(2N − 2n − 2|Ns | + 2rk(Ns )) 1 − ε0 (n + 1 − rk(Ns ))(2N − 2n − 2|Ns | + 2rk(Ns )) < 2N − 2n − |Ns | + rk(Ns ) ≤ n + 1 − rk(Ns ) (vì |Ns | ≤ rk(Ns )). Như vậy ta có rk(R1 ∪ R2 ) ≤ rk(R1 ) + rk(R2 ) − rk(R1 ∩ R2 ) ≤ rk(R1 ) + rk(R2 ) − rk(Ns ) < n + 1. 5 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Do đó rk(Ns ) < rk(R1 ∪ R2 ) < n + 1. Điều này kéo theo R1 ∪ R2 ∈ R. Như vậy ta còn phải chứng tỏ rằng ε0 = sl(R1 ∪ R2 ). Theo định nghĩa ε0 = slNs (R1 ∪ R2 ). Để chứng minh bất đẳng thức ngược lại, trước tiên ta chứng minh rằng rkNs (R1 ∩ R2 ) = rk(R1 ∩ R2 ) − rk(Ns ) ≥ ε0 (|R1 ∩ R2 | − |Ns |). (1.2.2) +) Nếu rk(R1 ∩ R2 ) > rk(Ns ) thì R1 ∩ R2 ∈ R, do vậy theo định nghĩa của ε0 ta có được bất đẳng thức (1.2.2). +) Nếu rk(R1 ∩ R2 ) = rk(Ns ). Giả sử rằng |R1 ∩ R2 | > |Ns |. Ta có rk(R1 ∩ R2 ) − rk(Ns−1 ) = rk(Ns ) − rk(Ns−1 ) > 0 và rk(R1 ∩ R2 ) ≤ rk(R1 ) < n + 1. Do vậy rk(R1 ∩ R2 ) − rk(Ns−1 ) slNs−1 (Ns ) ≤ slNs−1 (R1 ∩ R2 ) = |R1 ∩ R2 | − |Ns−1 | rk(Ns ) − rk(Ns−1 ) < = slNs−1 (Ns ) (vô lý). |Ns | − |Ns−1 | Vậy ta có bất đẳng thức (1.2.2). Suy ra rk(R1 ∪ R2 ) slNs (R1 ∪ R2 ) = |R1 ∪ R2 | − |Ns | slNs (R1 ) + slNs (R2 ) − slNs (R1 ∩ R2 ) ≤ (|R1 | − |Ns |) + (|R2 | − |Ns |) − (|R1 ∩ R2 | − |Ns |) ≤ ε0 Điều này chứng tỏ rằng R1 ∪ R2 ∈ R 0 . Đặt [ Ns+1 = R R∈R 0 Như vậy Ns+1 ∈ R 0 và họ {Ni }s+1 i=1 thỏa mãn (i) ∼ (iii). Định lý được chứng minh. 6 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Định lý 1.2.3 (Trọng Nochka). Cho họ q siêu phẳng {H j } j∈Q ở vị trí N - dưới tổng quát trong Pn (C), q > 2N − n + 1. Khi đó tồn tại các số hữu tỷ ω( j), j ∈ Q thỏa mãn các mệnh đề sau. (i) 0 < ω( j) ≤ 1, ∀ j ∈ Q. e = max j∈Q ω( j), thì (ii) Đặt ω q e − 2N + n − 1) + n + 1. ∑ ω( j) = ω(q j=1 n+1 e ≤ Nn . (iii) 2N−n+1 ≤ω (iv) Nếu R ⊂ Q và 0 < |R| ≤ N + 1 thì ∑ j∈R ω( j) ≤ rk(R). Các hằng số ω( j) được gọi là trọng Nochka, ω e được gọi là hằng số Nochka. Chứng minh Nếu N = n, đặt ω( j) = 1, ∀ j ∈ Q, ta được kết luận của định lý. Giả sử rằng N > n. Ta lấy họ {Ni }si=1 thỏa mãn bổ đề 1.2.2. Khi đó |Ns | ≤ N. Lấy Ns+1 ⊂ Q thỏa mãn Ns+1 ⊃ Ns và |Ns+1 | = 2N − n + 1 > N + 1. n+1−rk(Ns ) Như vậy rk(Ns+1 ) = n + 1, slNs (Ns+1 ) = 2N−n+1−|Ns | . Chúng ta xác định các hằng số  ω( j) như sau:  slNi (Ni+1 ), j ∈ Ni+1 \ Ni , 0 ≤ i ≤ s,   ω( j) = n + 1 − rk(Ns )  slNs (Ns+1 ) = , j 6∈ Ns+1 .   2N − n + 1 − |Ns | Ta sẽ chứng minh rằng chúng thỏa mãn các mệnh đề (i) ∼ (iv) như sau. (i) Nếu j 6∈ Ns+1 , ta có −rk(Ns ) ≤ −|Ns | + N − n, do vậy n + 1 − |Ns | + N − n ω( j) = slNs (Ns+1 ) ≤ 2N − n + 1 − |Ns | 7 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
N + 1 − |Ns | = 2N − n + 1 − |Ns | N + 1 − |Ns | ≤ = 1. N + 1 − |Ns | Nếu j ∈ Ns+1 \ Ns , hiển nhiên ω( j) = slNi (Ns+1 ) < 1. Nếu j ∈ Ns thì tồn tại duy nhất 0 ≤ i ≤ s − 1 sao cho j ∈ Ni+1 \ Ni . Theo bổ đề 1.2.2. thì ω( j) = slNi Ni+1 ≤ slNs Ns+1 < 1. Ss e = slNs (Ns+1 ). Phân hoạch Q = (Q\Ns+1 ) (ii) Theo định nghĩa ta có ω j=0 (N j+1 \ N j ), ta có q s ∑ ω( j) = ∑ ω( j) + ∑ ∑ ω( j) j=1 j∈Q\Ns+1 i=0 j∈Ni+1 \Ni s e − |Ns+1 |) + ∑ (slNi Ni+1 )(|Ni+1 | − |Ni |) = ω(q i=0 s e − 2N + n − 1) + ∑ (rk(Ni+1 ) − rk(Ni )) = ω(q i=0 e − 2N + n − 1) + rk(Ns+1 ) = ω(q e − 2N + n − 1) + n + 1. = ω(q (iii) Ta có q n+1 = ∑ ω( j) − ω(q e − 2N + n − 1) j=1 ≤ qω e − ω(q e − 2N + n − 1) = (2N − n + 1)ω. e n+1 Do vậy ω ≥ 2N−n+1 . n+1 Nếu s = 0 thì ω e= 2N−n+1 ≤ Nn . 8 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Nếu s > 0 thì rk(Ns ) ≥ 1, do vậy n + 1 − rk(Ns ) e= ω (N + 1) + (N − n − |Ns |) n + 1 − rk(Ns ) ≤ N + 1 − rk(Ns ) N −n = 1− N + 1 − rk(Ns ) N −n n ≤ 1− = . N N (iv) Lấy R ⊂ Q với 0 < |R| ≤ n + 1. Trường hợp 1. Giả sử rk(R ∪ Ns ) = n + 1, ta có |R| ≤ rk(R) + N − n, |Ns | ≤ rk(Ns ) + N − n. Như vậy n + 1 − rk(Ns ) = rk(R ∪ Ns ) − rk(Ns ) ≤ rk(R) − rk(Ns ) ≤ rk(R) Chúng ta có ∑ ω( j) ≤ ω|R| e ≤ ω(rk(R) e + N − n) j∈R N − n =ω e rk(R) 1 + rk(R) N −n ≤ωe rk(R) 1 + n + 1 − rk(Ns ) N + 1 − rk(Ns ) = rk(R) ) 2N − n + 1 − |Ns | N + 1 − rk(Ns ) ≤ rk(R) = rk(R). 2N − n + 1 − (rk(Ns ) + N − n) Trường hợp 2. Giả sử rk(R ∪ Ns ) < n + 1. Theo định nghĩa của vị trí N - dưới tổng quát, ta có |R ∪ Ns | ≤ N. Đặt 9 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
  R ∩ Ni ,  0≤i≤s Ri =   R, i = s + 1. Ta chứng minh mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.4. Giả sử rằng 1 ≤ i ≤ s và |Ri | > |Ri+1 |. Khi đó rk(Ri ∪ Ni−1 ) > rk(Ni−1 ). Chứng minh - Với i = 1, rk(N0 ) = 0 < rk(R1 ∪ N0 ). Mệnh đề hiển nhiên đúng. - Với i > 1. Giả sử rằng rk(Ri ∪ Ni−1 ) = rk(Ni−1 ). Khi đó rkNi−2 (Ri ∪ Ni−1 ) = rk(Ni−1 ) − rk(Ni−2 ) > 0 Suy ra rk(Ni−1 ∪ Ri ) − rk(Ni−2 ) slNi−2 (Ni−1 ∪ Ri ) = |Ni−1 ∪ Ri | − |Ni−2 | rk(Ni−1 ) − rk(Ni−2 ) ≤ |Ni−1 | − |Ni−2 | = slNi−2 (Ni−1 ). Mặt khác rk(NNi−2 ) < rk(Ni−1 ) ≤ rk(Ni−1 ∪ Ri ) ≤ rk(R ∪ Ns ) < n + 1, suy ra slNi−2 Ni−1 ≤ slNi−2 (Ni−1 ∪ Ri ). Do vậy slNi−2 Ni−1 = slNi−2 (Ni−1 ∪ Ri ). Điều này suy ra |Ni−1 | = |Ni−1 ∪ Ri | và |Ri−1 | = |Ri |. Điều này mâu thuẫn chứng tỏ mệnh đề đúng. Bây giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau (|Ri | − |Ri−1 |)slNi−2 Ni−1 ≤ rk(Ri ) − rk(Ri−1 ) 1 ≤ i ≤ s + 1. (1.2.3) 10 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Thật vậy, ta có: - Nếu |Ri | − |Ri−1 | = 0 thì (1.2.3) là hiển nhiên. - Nếu |Ri | > |Ri−1 |. Theo mệnh đề ta có rk(Ri ∪Ni−1 ) > rk(Ni−1 ). Áp dụng bổ đề 1.2.2(iii) cho 1 ≤ i ≤ s và 1.2.2(iv) cho i = s + 1 ta được slNi−1 (Ni ) ≤ slNi−1 (Ni−1 ∪ Ri ). Do đó ta có: |Ri ∪ Ni−1 | = |Ni−1 | + |Ri | − |Ni−1 ∩ Ri | = |Ni−1 | + |Ri | − |Ri−1 |, rk(Ri ∪ Ni−1 ) ≤ rk(Ni−1 ) + rk(Ri ) − rk(Ri ∩ Ni−1 ) = rk(Ni−1 ) + rk(Ri ) − rk(Ri−1 ), rk(Ri ∪ Ni−1 ) − rk(Ni−1 ) rk(Ri ) − rk(Ri−1 ) slNi−1 (Ni ) ≤ slNi−1 (Ni−1 ∪ Ri ) = = |Ri ∪ Ni−1 | − |Ni−1 | |Ri | − |Ri−1 | Như vậy, từ bất đẳng thức cuối cùng ta thu được bất đẳng thức (1.2.3). Từ định nghĩa họ bằng số ω( j) và (1.2.3) ta có s+1 s+1 ∑ ω( j) = ∑ ∑ ω( j) = ∑ ∑ slNi−1 (Ni ) i∈R i=1 j∈Ri \Ri−1 i=1 j∈Ri \Ri−1 s+1 = ∑ (|Ri| − |Ri−1|)slNi−1 (Ni) i=1 s+1 = ∑ (rk(Ri) − rk(Ri−1)) i=1 s = rk(R) − rk(Rs ) + ∑ (rk(Ri ) − rk(Ri−1 )) = rk(R). i=1 Định lý được chứng minh. Bổ đề 1.2.5. Cho họ q siêu phẳng {H j } j∈Q ở vị trí N - dưới tổng quát trong Pn (C), q > 2N −n+1. Cho ω( j), j ∈ Q là các trọng Nochka của họ {H j } j∈Q . 11 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Cho {E j } j∈Q là các hằng số ≥ 1 tùy ý. Khi đó với mọi R ⊂ Q với |R| ≤ N + 1, rk(R) tồn tại các chỉ số phân biệt j1 , ..., jrk(R) ∈ R sao cho rk({ jl }l=1 ) = rk(R) và rk(R) ω( j) ∏ Ej ≤ ∏ E jl . j∈R l=1 Chứng minh Bằng cách đổi chỉ số, ta có thể giả sử rằng E1 ≤ E2 ≥ ... ≥ Eq . Đặt j1 = min R, R1 = { j1 } và S1 = { j ∈ R; H j ∈ V (R1 )}. Giả sử rằng ta đã xây dựng được các tập Rl = { j1 , ..., jl }, l < rk(R), ta sẽ xây dựng tập Rl+1 như sau: jl+1 = min{ j ∈ R, H j 6∈ V (Rl )}, Rl+1 = Rl ∪ {l + 1}, ( ) l [ Sl+1 = j ∈ R\ Sk ; H j ∈ V (Rl+1 ) . k=1 Tiếp tục như vậy, ta có thể chọn được các chỉ số j1 < ... < jrk(R) và các tập hợp rời nhau S1 , ..., Srk(R) . Chú ý rằng jl = min Sl , chúng ta có E j ≤ E jt , j ∈ St R = S1 ∪ ... ∪ Srk(R) Đặt Tl = S1 ∪ ... ∪ Sl , 1 ≤ l ≤ rk(R). Theo bổ đề 1.2.2(iv) ta có ∑ ω( j) ≤ rk(Tl ) = l. j∈Tl Suy ra rk(R) rk(R) ω( j) ω( j) ∑ j∈Sl ω( j) ∏ Ej = ∏∏ Ej ≤ ∏ E jl j∈R l=1 j∈Sl l=1 rk(R) −1+∑ j∈T1 ω( j) ∑ j∈Sl ω( j) ≤ E j1 E j1 ∏ E jl l=2 rk(R) −1+∑ j∈T1 ω( j) ∑ j∈Sl ω( j) ≤ E j1 E j2 ∏ E jl l=2 12 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
rk(R) −2+∑ j∈T2 ω( j) ∑ j∈Sl ω( j) = E j1 E j2 E j2 ∏ E jl l=3 ... −rk(R)+∑ j∈R ω( j) = E j1 E j2 ...E jrk(R) E jrk(R) Vì −rk(R) + ∑ j∈R ω( j) ≤ 0, cho nên rk(R) ω( j) ∏ Ej ≤ ∏ E jl . j∈R l=1 Định lý được chứng minh. 13 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Chương 2 Định lý cơ bản thứ hai Cartan - Nochka 2.1 Các hàm cơ bản và Bổ đề đạo hàm logarit 2.1.1 Các hàm cơ bản trong Lý thuyết Nevanlinna - Cartan (a) Trong Pn (C) cố định một tọa độ thuần nhất (ω0 : .... : ωn ). Gọi f : Cm −→ Pn (C) là ánh xạ phân hình có một biểu diễn rút gọn f = ( f0 : ... : fn ). Cho H là siêu phẳng trong Pn (C) được xác định bởi H = {ω : ∑ni=0 ai ωi = 0}, với a0 , ..., an ∈ C không đồng thời bằng không. Như vậy H được xem là divisor không điểm của nhát cắt σ ∈ Γ(Pn (C), H0 ) xác định bởi dạng tuyến tính σ ∗ (x0 , ..., xn ) = ∑ni=0 ai xi . 1 1 Ta đặt ||H|| = (|a0 |2 + ... + |an |2 ) 2 , || f || = (| f0 |2 + ... + | fn |2 ) 2 và ( f , H) = ∑ni=0 ai fi . Như vậy giá trị của các hàm này phụ thuộc vào việc chọn biểu diễn rút gọn của f và các hệ số ai . Tuy nhiên nếu f (Cm ) 6⊂ H hay ( f , H) 6≡ 0 thì divisor không điểm của hàm ( f , H) là không phụ thuộc vào biểu diễn rút gọn của f và các hệ số ai . Ta kí hiệu divisor này là ( f , H). Như vậy ( f , H) = f ∗ H. (b) Ta có ∗ | fk |2 c f Ω| f −1 (Vi ) = dd log(1 + ∑ 2 ) = dd c log || f ||2 . k6=i | f i | Do vậy, ký hiệu T f ( f ) là hàm đặc trưng của f ta có: 14 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
Zr dt Z T f (r) = T f (r, Ω) = f ∗ Ω ∧ α m−1 t 2m−1 1 B(t) Zr dt Z = dd c log || f ||2 ∧ α m−1 t 2m−1 1 B(t) Z Z = log || f ||γ − log || f ||γ. S(r) S(1) (c) Lấy H là siêu phẳng như mục (a) sao cho f (Cm ) 6⊂ H. Ta có f ∗ D = dd c log |( f , H)|2 . Do vậy, ta kí hiệu N(r, f ∗ H) là hàm đếm của f tương ứng với H, và Nn (r, f ∗ H) là hàm đếm của f tương ứng với H chặn bội đến bậc n ta có Zr Zr dt dt Z Z ∗ N(r, f H) = χB(t) α m−1 = dd c log |( f , H)|2 α m−1 t 2m−1 t 2m−1 1 f ∗H 1 B(t) Z Z = log |( f , H)|γ − log |( f , H)|γ. S(r) S(1) Ta kí hiệu m f (r, H) là hàm xấp xỉ của f tương ứng với H, ta có: Zr Zr 1 || f || m f (r, H) = log γ= log γ. ||σ ◦ f || |( f , H)| 1 1 2.1.2 Hàm phân hình và ánh xạ phân hình Cho f : Cm −→ C là hàm phân hình. Tương tự như trong trường hợp một biến, ta định nghĩa hàm xấp xỉ của f ( tương ứng với điểm ∞) bởi Z m(r, f ) = log+ | f |γ. S(r) Hàm đặc trưng Nevanlinna của f được định nghĩa bởi T (r, f ) = N(r, ( f )∞ ) + m(r, f ). 15 S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn