Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng nhất thức Newton-Girard và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đồng nhất thức Newton-Girard cho ta mối liên hệ giữa tổng lũy thừa các biến và các đa thức đối xứng cơ bản. Dựa vào đồng nhất thức này ta biểu diễn được tổng lũy thừa các nghiệm của đa thức P(x) qua các hệ số của nó. Dòng nhất thức này được tìm ra bởi Isaac Newton vào năm 1666, ý tưởng này cũng được cho là xuất hiện trong công trình trước đó của Àlbert Giard. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng nhất thức Newton-Girard và ứng dụng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC BÒI THÀ HI YN ÇNG NHT THÙC NEWTON - GIRARD V ÙNG DÖNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2017
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC BÒI THÀ HI YN ÇNG NHT THÙC NEWTON - GIRARD V ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 60 46 01 13 LUN VN THC S TON HÅC NG×ÍI H×ÎNG DN KHOA HÅC TS. TRN NGUYN AN THI NGUYN - 2017
Möc löc MÐ U 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 a thùc nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Chuéi lôy thøa h¼nh thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 a thùc °c tr÷ng v ành lþ Cayley-Hamilton . . . . . . 13 2 çng nh§t thùc Newton-Girard v ùng döng 16 2.1 ành lþ cì b£n cõa a thùc èi xùng . . . . . . . . . . . . 16 2.2 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 çng nh§t thùc cõa Newton-Girard cho têng lôy thøa nghi»m cõa a thùc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 çng nh§t thùc Newton-Girard v ành lþ sè ngô gi¡c . . 34 2.5 Ùng döng cõa çng nh§t thùc Newton-Girard . . . . . . . 36 2.5.1 T½nh gi¡ trà cõa biºu thùc èi xùng . . . . . . . . . 36 2.5.2 Ph¥n t½ch a thùc èi xùng th nh nh¥n tû . . . . . 41 2.5.3 Gi£i ph÷ìng tr¼nh v h» ph÷ìng tr¼nh èi xùng . . 42 2.5.4 T¼m nghi»m nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.5.5 Chùng minh ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.6 Chùng minh b§t ¯ng thùc . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.7 Tröc c«n thùc ð m¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 KT LUN 51 T i li»u tham kh£o 51 i
MÐ U çng nh§t thùc Newton-Girard cho ta mèi li¶n h» giúa têng lôy thøa c¡c bi¸n v c¡c a thùc èi xùng cì b£n. Düa v o çng nh§t thùc n y ta biºu di¹n ÷ñc têng lôy thøa c¡c nghi»m cõa a thùc P (x) qua c¡c h» sè cõa nâ. çng nh§t thùc n y ÷ñc t¼m ra bði Isaac Newton v o n«m 1666, þ t÷ðng n y công ÷ñc cho l xu§t hi»n trong cæng tr¼nh tr÷îc â cõa Albert Giard. Do â ta th÷íng gåi l çng nh§t thùc Newton-Girard. çng nh§t thùc Newton-Girard câ nhi·u ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc cõa to¡n håc nh÷ Lþ thuy¸t Galois, Lþ thuy¸t b§t bi¸n, Lþ thuy¸t tê hñp công nh÷ nhi·u l¾nh vüc kh¡c cõa íi sèng. Luªn v«n n y t¼m hiºu mët sè c¡ch chùng minh çng nh§t thùc Newton-Girard v ùng döng trong gi£i to¡n sì c§p. Luªn v«n ÷ñc chia l m hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc chu©n bà v· a thùc, chuéi lôy thøa h¼nh thùc, ma trªn v a thùc °c tr÷ng, ành lþ Cayley-Hamilton. Ch÷ìng 2 l ch÷ìng ch½nh tr¼nh b y v· çng nh§t thùc Newton-Girard v mët sè ùng döng. º câ c¡ch nh¼n têng quan v· a thùc èi xùng, möc ¦u cõa ch÷ìng tr¼nh b y ành lþ cì b£n cõa a thùc èi xùng v mët sè thuªt to¡n cì b£n biºu di¹n mët a thùc èi xùng qua c¡c a thùc èi xùng cì b£n. çng nh§t thùc Newton-Girard vîi nhi·u c¡ch chùng minh v nhi·u d¤ng kh¡c nhau ÷ñc tr¼nh b y trong möc th÷ hai cõa ch÷ìng n y. °c bi»t mët sè ùng döng nh÷ chùng minh ành lþ sè ngô gi¡c, t½nh mët sè biºu thùc èi xùng, gi£i ph÷ìng tr¼nh, h» ph÷ìng tr¼nh, ph¥n t½ch a thùc th nh nh¥n tû, chùng minh ¯ng thùc, chùng minh b§t ¯ng thùc, tröc c«n thùc ð m¨u, ... công ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng. T i li»u tham kh£o ch½nh l cuèn s¡ch [2] cõa GS. L¶ Thanh Nh n v c¡c b i b¡o [6], [7], [8] v mët sè t i li»u æn thi håc sinh giäi ð phê thæng. Trong qu¡ tr¼nh l m luªn v«n, tæi nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï tªn t¼nh cõa TS. Tr¦n Nguy¶n An. Tæi xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y. 1
Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh ¸n quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc khâa 9 ¢ truy·n thö ¸n cho tæi nhi·u ki¸n thùc v kinh nghi»m nghi¶n cùu khoa håc. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 9 n«m 2017 Bòi Thà H£i Y¸n 2
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong suèt ch÷ìng n y, luæn gi£ thi¸t V mët v nh giao ho¡n câ ìn và. Ta k½ hi»u N0 = {0, 1, 2, . . .} l tªp c¡c sè nguy¶n khæng ¥m v N = {1, 2, 3, . . .} l tªp c¡c sè tü nhi¶n. Vîi n ∈ N, ta k½ hi»u Nn0 l tªp c¡c bë n sè nguy¶n khæng ¥m. 1.1 a thùc nhi·u bi¸n Méi bë n sè nguy¶n khæng ¥m i = (i1 , · · · , in ) ∈ Nn0 cho ta mët ìn thùc xi11 · · · xinn cõa n bi¸n x1 , . . . , xn vîi bªc l i1 + · · · + in . Chóng ta th÷íng vi¸t ìn thùc n y d÷îi d¤ng xi . Vîi j = (j1 , . . . , jn ) ∈ Nn0 , hai ìn thùc xi v xj l b¬ng nhau n¸u i = j, tùc l ik = jk vîi måi k. Mët tø l mët biºu thùc câ d¤ng axi vîi a∈V (÷ñc gåi l h» sè cõa tø) v xi l mët ìn thùc ÷ñc gåi l ìn thùc cõa tø. Hai tø ÷ñc gåi l çng d¤ng n¸u hai ìn thùc cõa chóng b¬ng nhau. Hai tø ÷ñc gåi l b¬ng nhau n¸u chóng çng d¤ng v câ còng h» sè. Mët a thùc l mët têng cõa húu h¤n tø. N¸u u = axi v v = bxi l hai tø çng d¤ng th¼ ta câ thº ÷îc l÷ñc têng cõa chóng: u + v = (a + b)xi . V¼ vªy, b¬ng c¡ch ÷îc l÷ñc c¡c tø çng d¤ng, méi a thùc f (x1 , . . . , xn ) câ mët biºu di¹n ch½nh tc X f (x1 , . . . , xn ) = ai x i i∈Nn0 3
th nh têng cõa c¡c tø æi mët khæng çng d¤ng, trong â ch¿ câ húu h¤n tø kh¡c 0 (tùc l h» sè cõa tø kh¡c 0), v biºu di¹n n y l duy nh§t n¸u khæng kº ¸n thù tü c¡c h¤ng tû. Méi tø kh¡c 0 xu§t hi»n trong biºu di¹n ch½nh tc cõa a thùc ÷ñc gåi l mët tø cõa a thùc â. ai x i bi xi b¬ng nhau P P Hai a thùc v l n¸u ai = bi vîi måi i∈Nn0 i∈Nn0 i ∈ Nn0 . Bªc cõa mët tø kh¡c 0 l bªc cõa ìn thùc cõa tø â. Bªc (hay bªc têng thº) cõa a thùc f (x1 , . . . , xn ) 6= 0, k½ hi»u bði deg f (x1 , . . . , xn ), l sè lîn nh§t trong c¡c bªc cõa c¡c tø cõa f (x1 , . . . , xn ). Ta khæng ành ngh¾a bªc cho a thùc 0. a thùc h¬ng l a thùc 0 ho°c a thùc bªc 0. C¡c a thùc bªc 1 ÷ñc gåi l a thùc tuy¸n t½nh. a thùc thu¦n nh§t bªc m (hay mët d¤ng bªc m) l mët a thùc m c¡c tø cõa nâ ·u câ bªc m. a thùc thu¦n nh§t bªc hai ÷ñc gåi l d¤ng to n ph÷ìng. Vîi méi k ∈ {1, . . . , n}, bªc theo bi¸n xk cõa mët a thùc l sè lîn nh§t trong c¡c sè mô cõa xk xu§t hi»n trong c¡c tø cõa a thùc â. ành ngh¾a 1.1.1. K½ hi»u V [x1, . . . , xn] l tªp c¡c a thùc n bi¸n x1, . . . , xn vîi h» sè trong V . Vîi i, j ∈ Nn0 , trong â i = (i1 , . . . , in ) v j = (j1 , . . . , jn ), ta ành ngh¾a i + j = (i1 + j1 , . . . , in + jn ). Khi â V [x1 , . . . , xn ] l mët v nh vîi ph²p cëng v ph²p nh¥n X X X ai x i + bi xi = (ai + bi )xi ; i∈Nn0 i∈Nn0 i∈Nn0 X X X X ai x i bi xi = ck xk , ck = ai b j . i∈Nn0 i∈Nn 0 k∈Nn0 i+j=k vîi måi a thùc ai x i , bi xi ∈ V [x1 , . . . , xn ]. V nh V [x1 , . . . , xn ] ÷ñc P P i∈Nn0 i∈Nn0 gåi l v nh a thùc n bi¸n x1 , . . . , xn vîi h» sè trong V . Nhªn x²t 1.1.2. B¬ng quy n¤p, v nh a thùc n bi¸n V [x1, . . . , xn] vîi h» sè trong V ch½nh l v nh a thùc mët bi¸n xn vîi h» sè trong v nh V [x1 , . . . , xn−1 ]. Tø ành ngh¾a, ta câ c¡c t½nh ch§t sau ¥y v· bªc cõa a thùc. 4
Bê · 1.1.3. Cho f1(x1, . . . , xn), f2(x1, . . . , xn) ∈ V [x1, . . . , xn] l c¡c a thùc kh¡c 0 sao cho têng v t½ch cõa chóng ·u kh¡c 0. Khi â (i) deg(f1 (x1 , . . . , xn ) + f2 (x1 , . . . , xn )) 6 max{deg fi (x1 , . . . , xn )}. i=1,2 (ii) deg f1 (x1 , . . . , xn )f2 (x1 , . . . , xn ) 6 deg f1 (x1 , ..., xn ) + deg f2 (x1 , ..., xn ), v ¯ng thùc x£y ra khi V l mi·n nguy¶n. ành lþ 1.1.4 (ành lþ B²zout) . Cho R l mët mi·n nguy¶n v a thùc f (x) ∈ R[x], α ∈ R. i·u ki»n c¦n v õ º α l mët nghi»m cõa f (x) l f (x) chia h¸t cho (x − α). Tø k¸t qu£ tr¶n ta câ sì ç chia Hocner: chia a thùc f (x) cho x − a. Gi£ sû R l mi·n nguy¶n f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 l mët a thùc trong R[x]. Chia f (x) cho x − a, a ∈ R, ta ÷ñc th÷ìng d¤ng g(x) = bn−1 xn−1 + · · · + b1 x + b0 , d÷ r ∈ R. V¼ f (x) = (x − a)g(x) + r n¶n ta câ   bn−1 = an  ···       b = a + ab i−1 i i (1.1)   ···  b0 = a1 + ab1      r = a0 + b 0 .  Sì ç gióp ta t¼m th÷ìng g(x) v d÷ r trong ph²p chia f (x) cho x − a, trong â bi , i = 0, · · · , n − 1 ÷ñc x¡c ành theo 1.1 ÷ñc gåi l sì ç chia Hocner an an−1 ... a1 a0 α bn−1 bn−2 ... b0 r ành ngh¾a 1.1.5 (Nghi»m bëi) . Cho f (x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥ 1. Ta gåi α l nghi»m bëi k cõa f (x) n¸u f (x) chia h¸t cho (x − α)k nh÷ng khæng chia h¸t cho (x − α)k+1 ngh¾a l : ( f (x) = (x − α)k g(x), ∀x ∈ R, g(α) 6= 0. N¸u k = 1, ta gåi α l nghi»m ìn hay cán gåi nghi»m, n¸u k = 2, ta gåi α l nghi»m k²p. 5
Bê · 1.1.6. Cho f (x) ∈ R[x]. Ph¦n tû a ∈ R l nghi»m bëi k cõa f (x) n¸u v ch¿ n¸u f (x) = (x − a)k g(x) vîi g(x) ∈ R[x] v g(a) 6= 0. ành lþ 1.1.7. Cho R l mët mi·n nguy¶n. Cho 0 6= f (x) ∈ R[x] v a1 , a2 , . . . , ar ∈ R l c¡c nghi»m ph¥n bi»t cõa f (x). Gi£ sû ai l nghi»m bëi ki cõa f (x) vîi i = 1, 2, . . . , r. Khi â ta câ f (x) = (x − a1 )k1 (x − a2 )k2 . . . (x − ar )kr g(x) trong â g(x) ∈ R[x] v g(ai ) 6= 0 vîi måi i = 1, . . . , r. H» qu£ 1.1.8. Cho R l mët mi·n nguy¶n v f (x) ∈ R[x] l mët a thùc kh¡c 0. Khi â sè nghi»m cõa f (x), méi nghi»m t½nh vîi sè bëi cõa nâ, khæng v÷ñt qu¡ bªc cõa cõa f (x). H» qu£ 1.1.9. Cho R l mi·n nguy¶n v f (x), g(x) ∈ R[x], trong â deg(f (x)) 6 n v deg(g(x)) 6 n. N¸u f (x) v g(x) câ gi¡ trà b¬ng nhau t¤i n + 1 ph¦n tû kh¡c nhau cõa R th¼ f (x) = g(x). ành lþ 1.1.10 (ành lþ Viete thuªn) . Gi£ sû f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 , l a thùc bªc n câ n nghi»m α1 , . . . , αn . Khi â  an−1  α1 + α2 + . . . + αn = − an   an−2    P   αi αj = an  i
V½ dö 1.1.11. (i) N¸u x1, x2 l hai nghi»m cõa a thùc bªc hai f = ax2 + bx + c ∈ R[x] th¼ ta câ  x1 + x2 = − b  c a x1 x2 = .  a (ii) N¸u x1 , x2 , x3 l ba nghi»m cõa a thùc bªc ba f = ax3 + bx2 + cx + d ∈ R[x] th¼ ta câ  b   x 1 + x2 + x 3 = − a    c x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =  a   x1 x2 x3 = − .  d a (iii) N¸u x1 , x2 , x3 , x4 l ba nghi»m cõa a thùc bªc bèn f = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ∈ R[x] th¼ ta câ b   x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = − a     x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 =  c a d  x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x2 x3 x4 = − a   x1 x2 x3 x4 = e .    a ành lþ 1.1.12 (ành lþ Viete £o) . Gi£ sû α1, . . . , αn ∈ T thäa m¢n     α1 + α2 + . . . + αn = an−1  P    αi αj = an−2 i
Khi â α1 , . . . , αn l c¡c nghi»m cõa a thùc f (x) = xn − an−1 xn−1 + · · · + (−1)n a0 . Ti¸p theo, chóng ta tr¼nh b y t½nh ch§t phê döng cõa v nh a thùc nhi·u bi¸n. M»nh · 1.1.13. Gåi j : V → V [x1 , . . . , xn ] cho bði j(a) = a vîi måi a ∈ V l ph²p nhóng tü nhi¶n. Vîi måi v nh giao ho¡n S , måi h» gçm n ph¦n tû s1 , . . . , sn cõa S v måi çng c§u ϕ : V → S , tçn t¤i duy nh§t mët çng c§u ϕ∗ : V [x1 , . . . , xn ] → S sao cho ϕ∗ (xi ) = si vîi måi i ∈ {1, . . . , n} v ϕ∗ j = ϕ. Ti¸p theo, chóng ta giîi thi»u kh¡i ni»m nghi»m cõa a thùc v h m a thùc nhi·u bi¸n. Cho n ∈ N. Gi£ thi¸t S l mët v nh chùa V. K½ hi»u Sn l tªp c¡c bë n ph¦n tû cõa S. ành ngh¾a 1.1.14. Bë n ph¦n tû (α1, . . . , αn) ∈ S n ÷ñc gåi l mët nghi»m cõa a thùc f (x1 , . . . , xn ) ∈ V [x1 , . . . , xn ] n¸u f (α1 , . . . , αn ) = 0. Khi â ta công nâi (α1 , . . . , αn ) l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh f (x1 , . . . , xn ) = 0. ành ngh¾a 1.1.15. Cho a thùc f (x1, . . . , xn) ∈ V [x1, . . . , xn]. Khi â ta câ ¡nh x¤ f : V n → V cho ùng méi ph¦n tû (a1 , . . . , an ) ∈ V n vîi ph¦n tû f (a1 , . . . , an ) ∈ V. Ta gåi f l h m a thùc n bi¸n tr¶n V t÷ìng ùng vîi a thùc f (x1 , . . . , xn ). K¸t qu£ quan trång sau ¥y cho ph²p ta câ thº çng nh§t méi a thùc vîi mët h m a thùc. Tø â, ta câ thº li¶n h» c¡c èi t÷ñng ¤i sè (trong v nh a thùc V [x1 , . . . , xn ]) vîi c¡c èi t÷ñng h¼nh håc (trong tªp V n ). ành lþ 1.1.16. N¸u V l mi·n nguy¶n væ h¤n th¼ ¡nh x¤ ϕ cho ùng méi a thùc f (x1 , . . . , xn ) vîi h m a thùc f l mët song ¡nh tø tªp c¡c a thùc V [x1 , . . . , xn ] ¸n tªp c¡c h m a thùc n bi¸n tr¶n V . °c bi»t, a thùc f (x1 , . . . , xn ) l a thùc 0 khi v ch¿ khi h m a thùc f l h m khæng. 8
Chó þ r¬ng n¸u V câ húu h¤n ph¦n tû th¼ ¡nh x¤ trong ành lþ 1.1.16 nh¼n chung khæng l song ¡nh. Thªt vªy, n¸u V = {a1 , . . . , ar } th¼ vîi méi sè tü nhi¶n n, ta câ a thùc n bi¸n kh¡c 0 vîi h» sè tr¶n V n X f (x1 , . . . , xn ) = (xi − a1 ) . . . (xi − ar ), i=1 nh÷ng h m a thùc t÷ìng ùng vîi nâ l¤i l h m 0. 1.2 Chuéi lôy thøa h¼nh thùc Trong suèt ch÷ìng n y cho C l tr÷íng c¡c sè phùc. Ta t¼m hiºu chuéi lôy thøa h¼nh thùc vîi h» sè phùc. Chó þ r¬ng ta câ thº ành ngh¾a chuéi lôy thøa h¼nh thùc vîi h» sè tr¶n mët v nh gi¡o ho¡n b§t ký. ành ngh¾a 1.2.1.∞ Mët chuéi lôy thøa h¼nh thùc tr¶n C l mët biºu thùc câ ∞ ∞ X X X d¤ng a = a(x) = aj x j , sao cho gi£ sû a(x) = aj xj , b(x) = bj xj j=0 j=0 j=0 l hai chuéi lôy thøa h¼nh thùc th¼ a(x) = b(x) khi v ch¿ khi aj = b j vîi måi j . Tªp c¡c chuéi lôy thøa h¼nh thùc tr¶n C k½ hi»u l C[[x]]. ∞ X ∞ X j Gi£ sû a(x) = aj x v b(x) = bj xj l hai chuéi lôy thøa h¼nh j=0 j=0 thùc b§t ký. Ta ành ngh¾a ph²p to¡n cëng, ph²p to¡n nh¥n trong C[[x]] v ph²p nh¥n c¡c ph¦n tû cõa C[[x]] vîi mët sè z∈C nh÷ sau: ∞ X ∞ X ∞ X j j a(x) + b(x) = aj x + bj x = (aj + bj )xj , j=0 j=0 j=0 X∞ X∞ ∞ X X j j j a(x)b(x) = ( aj x )( bj x ) = ( ak bj−k )xj , j=0 j=0 j=0 k=0 X∞ ∞ X j za(x) = z( aj x ) = (zaj )xj . j=0 j=0 D¹ kiºm tra th§y r¬ng C[[x]] lªp th nh mët khæng gian v²c tì tr¶n C èi vîi ph²p to¡n cëng trong C[[x]] v ph²p nh¥n c¡c ph¦n tû cõa C[[x]] vîi mët sè z ∈ C. èi vîi ph²p nh¥n, C[[x]] câ ph¦n tû ìn và l 9
∞ X 1(x) = 1 + 0.xj m ta s³ ìn gi£n k½ hi»u l 1. Ta công d¹ kiºm tra j=0 th§y r¬ng C[[x]] lªp th nh mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1 èi vîi ph²p cëng v ph²p nh¥n trong C[[x]]. Ph²p to¡n nh¥n v ph²p nh¥n méi ph¦n tû cõa C[[x]] vîi mët sè z∈C thäa m¢n h» thùc sau: z[a(x)b(x)] = [za(x)]b(x) = a(x)[zb(x)]. i·u â chùng tä r¬ng C[[x]] lªp th nh mët ¤i sè tr¶n C. N¸u vîi n ∈ N, chuéi lôy thøa h¼nh thùc a(x) câ an 6= 0 v aj = 0 cho måi j > n, th¼ a(x) ÷ñc gåi l a thùc bªc n v ÷ñc ìn gi£n vi¸t l n X aj xj hay a0 + a1 x + ... + an xn . Hìn th¸ núa, n¸u ai = 0 cho mët i n o j=0 â cõa tªp 0, 1, 2, ..., n − 1, th¼ sè h¤ng ai x i công khæng c¦n vi¸t; cán n¸u ai = 1 cho mët i n o â cõa tªp {0, 1, 2, ..., n − 1} , th¼ ai xi ÷ñc ìn gi£n n X vi¸t l xi . Ph¦n tû 0(x) = 0xj , m ta ìn gi£n k½ hi»u l 0, l ph¦n tû j=0 0 cõa C[[x]] v ÷ñc ành ngh¾a l câ bªc l −1. Ta k½ hi»u Cn [x] l tªp t§t c£ c¡c a thùc bªc nhä hìn n. Khi â Cn [x] l khæng gian con sè chi·u n. D¹ th§y r¬ng ϕ : C1 [x] → C, a(x) → a0 l ¯ng c§u ¤i sè. V¼ th¸ ta câ thº çng nh§t a0 vîi a(x) ∈ C1 [x] v coi C nh÷ l mët ¤i sè con cõa C[[x]]. Khi â ph²p nh¥n mët ph¦n tû cõa C[[x]] vîi mët sè z∈C câ thº xem nh÷ l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa ph²p to¡n nh¥n trong C[[x]]. M»nh · 1.2.2. Chuéi a(x) ∈ C[[x]] l kh£ nghàch khi v ch¿ khi a0 6= 0 . ∞ X Chùng minh. Gi£ sû b(x) = bj xj . Khi â a(x)b(x) = 1 khi v ch¿ khi h» j=0 ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m: a0 b0 = 1, a0 b1 + a1 b0 = 0, a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0, .................. ... ..., a0 bn + a1 bn−1 + ... + an b0 = 0, ................ ... ..., 10
ð ¥y b0 , b1 , .., bn l c¡c ©n sè. D¹ th§y r¬ng h» n y câ nghi»m khi v ch¿ khi a0 6= 0. Chó þ 1.2.3. Chùng minh t÷ìng tü ta câ g(x) ∈ R[[x]] vîi R l v nh giao ho¡n b§t ký kh£ nghàch khi v ch¿ khi a0 kh£ nghàch. N¸u a(x) l ph¦n tû kh£ nghàch cõa C[[x]] th¼ ph¦n tû nghàch £o 1 cõa nâ s³ ÷ñc k½ hi»u l (a(x))−1 hay −1 hay a (x). N¸u a(x) v b(x) a(x) −1 l c¡c a thùc vîi a0 6= 0, th¼ ph¦n tû b(x)a (x) công th÷íng ÷ñc vi¸t l b(x) v ÷ñc gåi l h m sè húu t. a(x) Vîi måi a(x) ∈ C[[x]] ta ành ngh¾a a0 (x) := 1, an (x) := a(x)a(x)...a(x) | {z } n cho måi sè nguy¶n d÷ìng n. N¸u a(x) l ph¦n tû kh£ nghàch v a−1 (x) l ph¦n tû nghàch £o cõa a(x), th¼ ta ành ngh¾a a−n (x) := a−1 (x)a−1 (x)...a−1 (x) | {z } n cho måi sè nguy¶n d÷ìng n. Vîi z ∈C v 0 6= n, k ∈ N, a thùc (1 − zxn )k l kh£ nghàch theo M»nh · 1.2.2 . Ta câ mët sè t½nh ch§t sau cõa a thùc tr¶n M»nh · 1.2.4. Vîi måi z ∈ C v 0 6= n, k ∈ N, ta câ ∞ 1 X (1) n = z j xnj , 1 − zx j=0 ∞ ! 1 X k + j − 1 j nj (2) = z x . (1 − zxn )k j=0 j Chùng minh. Ta câ X∞ ∞ X ∞ X n j nj j nj (1 − zx )( z x )= z x − z j+1 xn(j+1) = 1. j=0 j=0 j=0 11
Vªy ta câ ¯ng thùc (1). Ta chùng minh ¯ng thùc (2) b¬ng quy n¤p theo k. • Vîi k = 1, ¯ng thùc (2) ch½nh l ¯ng thùc (1). • Gi£ sû ¯ng thùc (2) ¢ ÷ñc chùng minh l óng cho k=t≥1 khi â, 1 1 1 = . (1 − zxn )t+1 (1 − zxn )t 1 − zxn    ∞ ∞ ! X t+j−1 X =  z j xnj   z j xnj  j=0 j j=0 ∞ X j ! X t + i − 1 i j−i nj = ( z z )x j=0 i=0 i ∞ X j ! X t+i−1 = ( )z j xnj . j=0 i=0 i p döng cæng thùc têng cho h» sè nhà thùc ta câ j ! ! ! X t+i−1 (t − 1) + j + 1 (t + 1) + j − 1 = = i=0 i j j v do â ¯ng thùc (2) công ÷ñc chùng minh cho k = t + 1. H» qu£ 1.2.5. Ta câ ∞ X −1 (1) (1 − x) = xj , j=0 X∞ (2) (1 + x)−1 = (−1)j xj , j=0 X∞ (3) (1 − x2 )−1 = x2j , j=0 ∞ ! X j+2 j (4) (1 − x)−3 = x. j=0 j 12
1.3 a thùc °c tr÷ng v ành lþ Cayley-Hamilton Cho K l mët tr÷íng, mët ma trªn c§p m × n tr¶n K l b£ng sè h¼nh chú nhªt câ m dáng v n cët. -Ma trªn A cï m×n   a11 a12 . . . a1n  a  21 a22 . . . a2n  A =  ..  .. .. ..   . . . .  am1 am2 . . . amn Trong â aj ∈ K i = 1, m l ch¿ sè dáng, j = 1, n l ch¿ sè cët. Ma trªn A câ m dáng v n cët th÷íng ÷ñc kþ hi»u bði A = (aij )m×n hay A = (aij ). - Tªp hñp t§t c£ c¡c ma trªn c§p m×n tr¶n K ÷ñc kþ hi»u l M at(m, n, K) ho°c M atm×n (K). Chó þ:   a11  a   12  • N¸u n=1 th¼ A =  ..  gåi l ma trªn cët.  .  am1 • N¸u m=1 th¼ A= a11 a12 . . . a1n gåi l ma trªn dáng. • N¸u m=n th¼ A gåi l ma trªn vuæng c§p n. Tªp c¡c ma trªn vuæng c§p n tr¶n K ÷ñc kþ hi»u bði. M at(n, K) ho°c M atn (K).   1 0 ... 0  0 1 ... 0  • In =  .. .. . . ..  gåi l ma trªn ìn và c§p n.    . . . .  0 0 ... 1 n P Cho A ∈ M atn (K), A = (aij ), khi â v¸t cõa ma trªn A l aii , kþ i=1 hi»u l tr(A) ành ngh¾a 1.3.1. Cho ma trªn vuæng A c§p n tr¶n K. Sè λ ∈ K ÷ñc gåi l gi¡ trà ri¶ng cõa A n¸u tçn t¤i vectì x ∈ Kn v x 6= 0 sao cho Ax = λx. Khi â, vectì x ÷ñc gåi l vecto ri¶ng ùng vîi gi¡ trà ri¶ng λ. ành ngh¾a 1.3.2. Cho ma trªn vuæng A c§p n tr¶n K. a thùc det (A − λI) ÷ñc gåi l a thùc °c tr÷ng cõa A v ÷ñc kþ hi»u l PA (λ). Ph÷ìng tr¼nh PA (λ) = 0 ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa A. 13
Chó þ 1.3.3. (i) λ l gi¡ trà ri¶ng ⇔ AX = λX ⇔ (A − λI) X = 0 câ nghi»m X 6= 0 ⇔ |A− λI| = 0.  a11 a12 . . . a1n a  21 a22 . . . a2n  (ii) Cho A =  .. .. . . . ..  th¼   . . .  an1 an2 . . . ann PA (X) = |A − XI| a11 − X a12 ... a1n a21 a22 − X . . . a2n = .. .. ... .. . . . an1 an2 . . . ann − X = (a11 − X) . . . (ann − X) + . . . = (−1)n X n + bn−1 X n−1 + . . . + b1 X + b0 . Ta câ λ l gi¡ trà ri¶ng cõa A khi v ch¿ khi λ l nghi¶m cõa PA (X) n (iii) N¸u PA (X) = 0 câ n nghi»m λ1 , . . . , λn th¼ tr(A) = λi v P Qn i=1 |A| = i=1 λi . (iv) N¸u λ l gi¡ trà ri¶ng cõa A th¼ λn l gi¡ trà ri¶ng cõa An . (v) Gi£ sû f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 ∈ K [x] . Khi â f (A) = an An + . . . + a1 A + a0 I l a thùc cõa ma trªn A. N¸u λ l gi¡ trà ri¶ng cõa A th¼ f (λ) công l gi¡ trà ri¶ng cõa f (A). ành lþ 1.3.4 (Cayley- Hamilton) . Måi ma trªn ·u l nghi»m cõa a thùc °c tr÷ng cõa nâ, tùc l PA (A) = O. Chùng minh. °t D = (dij ) l ma trªn phö hñp cõa A − XIn . Khi â ta câ (A − XIn )DT = PA (X)In . V¼ dij l c¡c a thùc cõa X câ bªc khæng qu¡ n−1 n¶n DT câ thº vi¸t d÷îi d¤ng DT = D0 + D1 X + ... + Dn−1 X n−1 , trong â D0 , D1 , ..., Dn−1 l c¡c ma trªn c§p n. Gi£ sû PA (X) = (−1)n (c0 + c1 X + ... + X n ). Ta câ (A − XIn )(D0 + D1 X + ... + Dn−1 X n−1 ) = (−1)(c0 + c1 X + ... + X n )In . 14
B¬ng c¡ch çng nh§t "h» sè" hai v¸ ta ÷ñc AD0 = (−1)n c0 In AD1 − D0 = (−1)n c1 In . . . ADn−1 − Dn−2 = (−1)n cn−1 In −Dn−1 = (−1)n In . Nh¥n c¡c ¯ng thùc tr¶n l¦n l÷ñt vîi In , A, ..., An v cëng l¤i ta ÷ñc (−1)n (c0 In + c1 A + ... + cn−1 An−1 + An ) = O hay PA (A) = O. 15
Ch÷ìng 2 çng nh§t thùc Newton-Girard v ùng döng 2.1 ành lþ cì b£n cõa a thùc èi xùng Trong möc n y ta luæn gi£ thi¸t V l mi·n nguy¶n v V [x1 , . . . , xn ] l v nh a thùc n bi¸n x1 , . . . , xn vîi h» sè trong V. K½ hi»u Sn l tªp c¡c song ¡nh tø tªp {1, 2, . . . , n} ¸n ch½nh nâ (tªp c¡c ph²p th¸ bªc n). ành ngh¾a 2.1.1. a thùc f (x1, . . . , xn) ∈ V [x1, . . . , xn] ÷ñc gåi l a thùc èi xùng n¸u f (x1 , . . . , xn ) = f (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) vîi måi π ∈ Sn , trong â ta hiºu f (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) l a thùc ÷ñc suy ra tø f (x1 , . . . , xn ) b¬ng c¡ch thay xi bði xπ(i) vîi måi i = 1, . . . , n. V½ dö 2.1.2. C¡c a thùc sau ¥y l c¡c a thùc èi xùng ìn gi£n nh§t, do â chóng ta gåi chóng l c¡c a thùc èi xùng sì c§p hay a thùc èi xùng cì b£n. n X σ1 = xi = x1 + . . . + xn ; i=1 X σ2 = xi xj = x1 x2 + . . . + x1 xn + x2 x3 + . . . + xn−1 xn ; i
Chùng minh. K½ hi»u D l tªp c¡c a thùc èi xùng trong V [x1 , . . . , xn ]. Rã r ng −1 ∈ D. V¼ vªy ta ch¿ c¦n chùng minh D âng k½n vîi hai ph²p to¡n cëng v nh¥n. Cho f (x1 , . . . , xn ), g(x1 , . . . , xn ) ∈ D. Khi â f (x1 , . . . , xn ) = f (xπ(1) , . . . , xπ(n) ) g(x1 , . . . , xn ) = g(xπ(1) , . . . , xπ(n) ), vîi måi π ∈ Sn . Do â têng v t½ch cõa f (x1 , . . . , xn ) v g(x1 , . . . , xn ) công l c¡c a thùc èi xùng. Chó þ r¬ng n¸u f (x1 , . . . , xn ) l mët a thùc th¼ f (σ1 , . . . , σn ) l a thùc èi xùng. Ta s³ chùng minh i·u ng÷ñc l¤i: N¸u f (x1 , . . . , xn ) l mët a thùc èi xùng th¼ nâ biºu di¹n ÷ñc th nh mët a thùc cõa c¡c a thùc èi xùng cì b£n, tùc l tçn t¤i mët a thùc g(x1 , . . . , xn ) sao cho f (x1 , . . . , xn ) = g(σ1 , . . . , σn ). º chùng minh k¸t qu£ n y, chóng ta c¦n sp x¸p mët a thùc th nh têng cõa c¡c tø tø cao xuèng th§p. Chóng ta khæng thº sû döng bªc thæng th÷íng º sp x¸p v¼ trong mët a thùc câ thº câ nhi·u tø câ còng bªc, ch¯ng h¤n a thùc f (x1 , x2 ) = 5x71 − 3x1 x2 + 4x21 + 3x22 ∈ Q[x1 , x2 ] câ ¸n 3 tø khæng çng d¤ng còng câ bªc 2. D÷îi ¥y chóng ta giîi thi»u mët c¡ch sp x¸p c¡c ìn thùc, ÷ñc gåi l thù tü tø iºn, cho ph²p chóng ta sp x¸p ÷ñc c¡c tø º thüc hi»n ÷ñc i·u mong muèn. ành ngh¾a 2.1.4. (Thù tü tø iºn) j Cho u = axi11 . . . xinn v v = ax11 . . . xjnn l hai tø. Ta nâi u < v n¸u tçn t¤i m ∈ {1, . . . , n} sao cho im < jm v it = jt vîi måi t < m. Trong ti¸t n y ta k½ hi»u U = V [x1 , . . . , xn ] l v nh a thùc v Mon(U ) l tªp c¡c ìn thùc trong U. Bê · 2.1.5. Vîi hai ìn thùc u, v ∈ Mon(U ), ta nâi u 6 v n¸u u = v ho°c u < v theo thù tü tø iºn trong ành ngh¾a 2.1.4. Khi â 6 l mët quan h» thù tü to n ph¦n tr¶n tªp Mon(U ) v c¡c t½nh ch§t sau thäa m¢n (i) Méi tªp con khæng réng cõa Mon(U ) ·u câ ph¦n tû nhä nh§t; (ii) N¸u u 6 v th¼ uw 6 vw vîi måi u, v, w ∈ Mon(U ). 17