Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dạng toán về đồng quy của các đường thẳng và thẳng hàng của các điểm là những dạng toán cơ bản của môn hình học. Những dạng toán này thường là khó đối với phần lớn các học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi. Kiến thức lý thuyết về phương pháp nghiên cứu những dạng toán này hầu như chưa có, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm cũng như tư duy giải toán của mỗi người.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HOÀNG GIANG ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HOÀNG GIANG ĐỒNG QUY VÀ THẲNG HÀNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Văn Ngọc THÁI NGUYÊN - 2018
Mục lục Lời cảm ơn 1 Mở đầu 2 Chương 1Các khái niệm và định lý cơ bản của hình học phẳng 4 1.1. Ký hiệu và hệ thức cơ bản trong tam giác . . . . . . . . . . 4 1.2. Định lý Thales và định lý Pythagoras . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1. Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2. Định lý Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Định lý hàm số sin và định lý hàm số cosin . . . . . . . . . . 7 1.3.1. Định lý hàm số sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2. Định lý hàm số cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Định lý Stewart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Định lý đường trung tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6. Định lý về đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. Công thức góc chia đôi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8. Công thức về diện tích của tam giác . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9. Tỉ số diện tích hai tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10.Đường thẳng Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2Đồng quy của các đường thẳng 18 2.1. Các điểm đặc biệt nổi tiếng trong tam giác . . . . . . . . . . 18 2.1.1. Các điểm đặc biệt quen biết . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Một số điểm đặc biệt khác . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Định lý Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Một số mở rộng của định lý Ceva trong mặt phẳng . . . . . . 21 2.3.1. Định lý Ceva dạng sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.2. Mở rộng định lý Ceva trong mặt phẳng . . . . . . . . 22 2.4. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
i Chương 3Các điểm thẳng hàng 34 3.1. Định lý Pascal và Định lý Simson . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.1. Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2. Định lí Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2. Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3. Mở rộng định lý Menelaus trong mặt phẳng . . . . . . . . . 37 3.3.1. Mở rộng định lý Menelaus trong tam giác . . . . . . . 37 3.3.2. Mở rộng định lý Menelaus theo diện tích . . . . . . . . 38 3.3.3. Mở rộng Định lý Menelaus trong tứ giác . . . . . . . . 39 3.4. Định lý Desargues và Định lý Pappus . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.1. Định lý Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.2. Định lý Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Tam giác phối cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.7. Một số phương pháp chứng minh quan hệ đồng quy và thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.7.1. Phương pháp vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.7.2. Phương pháp quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.7.3. Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62
1 Lời cảm ơn Lời đầu tiên em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới người Thầy kính mến TS. Nguyễn Văn Ngọc, đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, những người đã trực tiếp giảng dạy và giúp đỡ em trong quá trình học tập tại Trường. Em xin cảm ơn bạn bè và các học viên trong lớp cao học toán K10C Thái Nguyên đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ em trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Sự quan tâm, động viên và khích lệ của gia đình cũng là nguồn động viên lớn để em hoàn thành khóa luận này. Cùng toàn thể bạn bè và người thân đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên em trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này. Tuy nhiên, do sự hiểu biết của bản thân và trong khuôn khổ của luận văn thạc sỹ nên bản luận văn mới chỉ trình bày được một phần nào đó. Do thời gian có hạn và năng lực có phần hạn chế nên chắc chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2018 Người viết luận văn Nguyễn Thị Hoàng Giang
2 Mở đầu Dạng toán về đồng quy của các đường thẳng và thẳng hàng của các điểm là những dạng toán cơ bản của môn hình học. Những dạng toán này thường là khó đối với phần lớn các học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi. Kiến thức lý thuyết về phương pháp nghiên cứu những dạng toán này hầu như chưa có, mà chủ yếu dựa vào kinh nghiệm cũng như tư duy giải toán của mỗi người. Các tài liệu về đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng xuất hiện dưới nhiều tài liệu tổng hợp từ các chuyên gia quốc tế, như của Kim Y.Li [4], Heather Macbeth [5], V.Prasolov [6], Po-Shen Loh [7], Wong Yan Loi [8]. Ở trong nước cũng có những nghiên cứu liên quan đến vấn đề toán học về đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng của các nhà toán học như Vi Quốc Dũng [1], Nguyễn Văn Nho [2], Nguyễn Đăng Phất [3]. Qua đó, chúng ta có thể thấy sự thú vị và quan trọng của chủ đề này trong toán học đối với giáo viên dạy phổ thông và học sinh phổ thông yêu thích hình học. Tìm hiểu và học tập về tính đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng là cần thiết cho việc nâng cao kiến thức của giáo viên trong công việc giảng dạy và bồi dưỡng cho học sinh ở các trường THPT. Do đó em chọn chủ đề “Đồng quy và thẳng hàng trong hình học phẳng” để làm đề tài luận văn cao học. Luận văn có bố cục mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1: Các khái niệm và định lý cơ bản của hình học phẳng. Nội dung chương nêu ra một số khái niệm và định lý cơ bản của hình học phẳng. Chương 2: Đồng quy của các đường thẳng. Trong chương này em xin trình bày các kiến thức về đường thẳng đồng quy, đặc biệt là định lý Ceva với các mở rộng trên mặt phẳng. Ngoài ra còn giới thiệu một số điểm đặc biệt trong tam giác được tạo nên bởi các đường thẳng đặc biệt đồng
3 quy và một số bài toán tiêu biểu. Chương 3: Thẳng hàng và đồng quy. Chương này trình bày các kiến thức liên quan đến các điểm thẳng hàng và một số định lý tiêu biểu, cũng như một số phương pháp chứng minh quan hệ đồng quy và thẳng hàng.
4 Chương 1 Các khái niệm và định lý cơ bản của hình học phẳng Trong chương này, đầu tiên em trình bày các kí hiệu và hệ thức cơ bản trong tam giác. Sau đó em trình bày một số định lý cơ bản của hình học phẳng. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [2, 4]. 1.1. Ký hiệu và hệ thức cơ bản trong tam giác Kí hiệu ∆ABC là tam giác ABC với các đỉnh là A, B, C . Để thuận tiện, độ lớn của các góc ứng với các đỉnh A, B, C cũng được kí hiệu tương ứng là A, B, C . Độ dài các cạnh của tam giác: BC = a, CA = b, AB = c. a+b+c Nửa chu vi của tam giác: p = . 2 Đường cao với các cạnh: ha , hb , hc . Đường trung tuyến với các cạnh: ma , mb , mc . Đường phân giác với các cạnh: la , lb , lc . Bán kính đường tròn ngoại tiếp R, bán kính đường tròn nội tiếp r. Bán kính đường tròn bàng tiếp các cạnh: Ra , Rb , Rc . Diện tích tam giác ABC : S = SABC hay [ABC]. Hệ thức về góc: A + B + C = 180o (π). Hệ thức về cạnh: |b − c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a; |a − b| < c < a + b.
5 Công thức tính diện tích tam giác. Diện tích tam giác bằng một nửa tích của một cạnh với đường cao tương ứng: 1 1 1 [ABC] = aha = bhb = chc . 2 2 2 1.2. Định lý Thales và định lý Pythagoras 1.2.1. Định lý Thales Định nghĩa 1.2.1. Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A0 B 0 và C 0 D0 nếu có tỉ lệ thức AB A0 B 0 AB CD = 0 0 hay = . (1.1) CD CD A0 B 0 C 0D0 Định lý 1.2.1. (Định lý Thales trong tam giác). Nếu một đường cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh còn lại những đoạn thẳng tỉ lệ. Chứng minh. Xét tam giác ABC và giả sử đường thẳng xx0 //BC , cắt Hình 1.1: cạnh AB và AC tương ứng tại D và E . Ta sẽ chứng minh AD AE = . (1.2) DB EC Vì DE song song với BC , nên diện tích tam giác DEB bằng diện tích tam giác DEC . Trong tam giác ABE kẻ đường cao EF . Khi đó 1 [ADE] AD.EF AD = 2 = . (1.3) [BDE] 1 BD BD.EF 2
6 Tương tự ta có [ADE] AE = . (1.4) [BDE] CE Từ (1.3) và (1.4) suy ra hệ thức (1.2). Định lý 1.2.2. (Định lý Thalet đảo) Nếu một đường cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. Chứng minh. Giả sử đường thẳng xx0 cắt các cạnh AB, AC của tam AB AC giác ABC theo thứ tự tại D và E , sao cho = . DB EC Ta phải chứng minh DE//BC . Qua D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AC tại điểm 0 AB AE 0 AE 0 AE E . Theo định lý thuận ta có = 0 ⇒ 0 = DB EC EC EC AE 0 AE AE 0 + E 0 C AE + EC AC AC ⇔ 0 +1= +1⇔ = ⇔ = , EC EC E 0C EC E 0C EC hay E 0 C = EC 0 , tức là E ≡ E 0 . Do đó DE//BC . Hệ quả 1.2.1. Nhiều đường thẳng song song định ra trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ. 1.2.2. Định lý Pythagoras Định nghĩa 1.2.2. Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông. Cạnh đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền, hai cạnh kề góc vuông được gọi là hai cạnh kề hay hai cạnh góc vuông. Định lý 1.2.3. (Định lý Pythagoras thuận) Trong tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Nếu tam giác ABC vuông tại A thì a2 = b2 + c2 . Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử rằng b ≥ c. Dựng hình vuông BCP Q có độ dài các cạnh bằng a, dựng vào bên trong hình vuông 4 tam giác vuông bằng tam giác vuông ABC .
7 Hình 1.2: Ta thấy diện tích của hình vuông cạnh a bằng tổng diện tích của 4 tam giác vuông bằng tam giác ABC với diện tích của hình vuông cạnh (b − c). 1 Vậy ta có a2 = 4. .bc + (b − c)2 = 2bc + b2 − 2bc + c2 = b2 + c2 . 2 Định lý 1.2.4. (Định lý Pythagoras đảo) Nếu bình phương độ dài một cạnh của tam giác bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh kia, thì góc của tam giác nằm giữa hai cạnh đó bằng góc vuông. Nếu trong tam giác ABC mà a2 = b2 + c2 thì A b = 90o . Kết luận: Một tam giác là vuông khi và chỉ khi bình phương độ dài của một cạnh bằng tổng bình phương độ dài của hai cạnh kia. 1.3. Định lý hàm số sin và định lý hàm số cosin 1.3.1. Định lý hàm số sin Định lý 1.3.1. Trong tam giác ABC có các hệ thức a b c = = = 2R. (1.5) sin A sin B sin C Chứng minh. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Vì các góc A, B, C có vai trò như nhau, nên chúng ta chỉ chứng minh (1.5) cho góc A. Vẽ đường kính BA0 . +) Nếu A = 90o , thì sin A = 1, a = 2R, nên (1.5) đúng. +) Xét trường hợp A nhọn. Ta có A = A0 (góc nội tiếp cùng chắn một cung nhỏ BC ) do đó: BC a a sin A = sin A0 = ⇔ = 2R. BA0 2R sin A
8 Hình 1.3: +) Xét trường hợp A tù. Khi đó A + A0 = 180o , do đó BC a a sin A = sin (180o − A0 ) = sin A0 = 0 = ⇔ = 2R. BA 2R sin A 1.3.2. Định lý hàm số cosin Định lý 1.3.2. Trong tam giác ABC có các hệ thức a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; (1.6) b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; (1.7) c2 = a2 + b2 − 2ab cos C. (1.8) Chứng minh. Cách 1 (Dùng công cụ vectơ). Vai trò của a, b, c như nhau, ta chỉ chứng minh công thức (1.6). −−→ → − −→ − −→ a = BC, b = AC, → Để đơn giản ta đặt: → − c = BA. → − − → − − 2 → − −c 2 + 2→ −→ Ta có → − a = b +→ c ⇒→ −a2 =( b +→ c ) = b 2+→ b −c → − −c 2 + 2bc. cos (→ − → ⇔→ − a2 = b 2+→ b , −c ) ⇔→ − a 2 = b2 + c2 + 2bc. cos (π − A) = b2 + c2 − 2bc. cos A. Cách 2 (Dùng công cụ đại số). Đây chính là ứng dụng của định lý Pythagoras. Trường hợp cả hai góc B, C đều là góc nhọn. Áp dụng định lý Pythago- ras cho hai tam giác vuông ACH và ABH ta có AH 2 + CH 2 = AC 2 và AH 2 + BH 2 = AB 2 .
9 Hình 1.4: Trừ tương ứng 2 vế của 2 đẳng thức trên ta được CH 2 − BH 2 = AC 2 − AB 2 ⇒ (BC − BH)2 − BH 2 = AC 2 − AB 2 ⇒ BC 2 − 2BC.BH = AC 2 − AB 2 hay a2 − 2a.BH = b2 − c2 . Do đó a2 + c2 − b2 BH = . (1.9) 2a BH Trong tam giác vuông ABH có cos B = . AB Kết hợp với (1.9) ta suy ra: a2 + c2 − b2 cos B = 2ac hay b2 = a2 + c2 − 2ac cos B. Tương tự ta chứng minh được c2 = a2 + b2 − 2ab cos C; a2 = b2 + c2 − 2bc cos A. 1.4. Định lý Stewart Định lý 1.4.1. Cho ∆ABC với các độ dài BC = a, CA = b, AB = c. Kẻ tia Am của góc A, cắt cạnh BC tại M . Giả sử AM = p, BM = m, M C = n. Khi đó: a(p2 + mn) = mb2 + nc2 . (1.10)
10 Chứng minh. Áp dụng định lý hàm số cosin cho các tam giác AM B và AM C , ta có c2 = p2 + m2 − 2pm cos (AM \ B); b2 = p2 + n2 − 2pn cos (AM \ C). Chú ý rằng cos (AM \ B) = cos (π − AM \ B) = − cos (AM \ C), nên ta có c2 = p2 + m2 + 2pm cos (AM \ C); b2 = p2 + n2 − 2pn cos (AM \ C). Suy ra nc2 + mb2 = p2 (n + m) + mn(m + n) = (m + n)(p2 + mn) = a(p2 + mn). ⇒ a(p2 + mn) = mb2 + nc2 (đpcm). 1.5. Định lý đường trung tuyến Định lý 1.5.1. Trong một tam giác ba đường trung tuyến gặp nhau tại một điểm được gọi là trọng tâm của tam giác. Trên mỗi đường trung tuyến, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cách trọng tâm đến chân đường trung tuyến. Định lý 1.5.2. (Định lý Apollonius - Pappus). Trong tam giác ABC có các hệ thức sau đây về đường trung tuyến. b2 + c2 a2 c 2 + a2 b 2 a2 + b 2 c 2 m2a = − ; m2b = − ; m2c = − . (1.11) 2 4 2 4 2 4 Chứng minh. Cách 1: Theo phần chứng minh định lý cosin trong tam giác ta có kết quả: a2 + c2 − b2 BH = . 2a Giả sử AB < AC thì BH < BM nên a a2 + c 2 − b 2 c2 − b2 b 2 − c2 HM = BM − BH = − = ⇒ HM = . 2 2a 2a 2a
11 Từ đó m2a = AM 2 = AH 2 + HM 2 = AB 2 − BH 2 + HM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a + c − b c − b 2 a4 + 2a2 (c2 − b2 ) =c − + =c − 2a 2a 4a2 2 c2 + b2 a2 ⇒ ma = − . 2 4 c 2 + a2 b 2 a2 + b 2 c 2 Tương tự ta có m2b = − ; mc = 2 − . 2 4 2 a4 Cách 2: Trong công thức (1.10) đặt p = ma , m = n = , ta có 2 a2 a b2 + c2 a2 a(m2a + ) = (b2 + c2 ) ⇒ m2a = − . 4 2 2 4 Các công thức còn lại được chứng minh tương tự. 1.6. Định lý về đường phân giác Định lý 1.6.1. Đường phân giác trong của góc ứng với một đỉnh của tam giác chia cạnh đối diện với đỉnh thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề. Chứng minh. Cho tam giác ABC và AD là đường phân giác trong của \. Ta phải chứng minh AB = DB . góc BAC AC DC Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với cạnh AC , cắt đường thẳng AD tại điểm E . Ta có BAE \ = EAC\ (giả thiết) và BEA \=EAC \ (so le trong). Suy ra BAE \ = BEA \. Do đó tam giác BAE cân, nên AB = BE . Áp dụng hệ quả của định lý BE DB Hình 1.5: Thales ta có = . AC DC AB DB Nhưng BE = AB , do đó = . AC DC
12 Chú ý: Định lý vẫn đúng đối với đường phân giác ngoài của tam giác AB D0B = 0 . AC DC Định lý 1.6.2. (Công thức đường phân giác). Độ dài các phân giác la , lb , lc của góc A, B, C trong tam giác ABC tương ứng được tính theo công thức 2bc A 2ca B 2ab C la = . cos ; lb = . cos ; lc = . cos . (1.12) b+c 2 c+a 2 a+b 2 Định lý 1.6.3. (Định lý Steiner - Lehmus). Tam giác có hai đường phân giác bằng nhau là tam giác cân. 1.7. Công thức góc chia đôi Định lý 1.7.1. Công thức góc chia đôi: r A (p − b)(p − c) sin ( ) = , 2 r bc A p(p − a) cos ( ) = , 2 s bc A (p − b)(p − c) r tan ( ) = = . 2 p(p − a) p−a Chứng minh. Hình 1.6: Vẽ tia phân giác AL của tam giác ABC . Ta có BL AB c BL c ac = = ⇔ = ⇔ BL = . CL AC b BL + CL c + b b+c Áp dụng định lý hàm số cosin cho ∆ABL, ta có AL2 = AB 2 + AL2 − 2AB.AL. cos B
13 2 a2 c2 ac2 c2 + b2 − a2 c =c + 2 − 2 = 2 (2cb2 + bc2 − ba2 + b3 ) (b + c) b+c 2bc (b + c) bc 2 2 4bc = (b + c) − a = p(p − a). (b + c)2 (b + c)2 2 2 q q ⇔ AL = b.c.p(p − a) ⇔ la = b.c.p(p − a). (b + c) (b + c) 1 A 1 A Mặt khác [ABC] = [ABL] + [ACL] = AB.AL. sin + AC.AL. sin 2 2 2 2 1 A A q = la (b + c) sin = b.c.p(p − a) sin . 2 2 2 r A [ABC] (p − b)(p − c) Do đó sin = p = . 2 b.c.p(p − a) bc A Chứng minh công thức cos . 2 Ta có 2 A 1 + cos A 1 b2 + c2 − a2 1 cos = = (1 + )= [(b + c)2 − a2 ] 2 2 2 2bc 4bc 1 p(p − a) = (b + c + a)(b + c + a − 2a) = 4bc r bc A p(p − a) ⇔ cos = . 2 bc A Chứng minh công thức tan ( ). 2 Hình 1.7: Gọi O là đường tròn nội tiếp tam giác ABC . Giả sử (I) tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A1 , B1 , C1 . Đặt AB1 = AC1 = x, BC1 = BA1 = y, CA1 = CB1 = z. Ta có 2x + 2y + 2z = (x + y) + (y + z) + (z + x)
14 = (AC1 + BC1 ) + (BA1 + CA1 ) + (CB1 + AB1 ) = AB + BC + CA = 2p. ⇔ x + y + z = p. Mà y + z = BA1 + CA1 = CA = a ⇔ x = p − (y + z) = p − a. A \1 = IC1 = r . Trong ∆AC1 I vuông tại C1 , ta có tan = tan IAC 2 s AC1 p−a p [ABC] p(p − a)(p − b)(p − c) (p − a)(p − b)(p − c) Mà r = = = . p p p s A (p − b)(p − c) Do đó tan = . 2 p(p − a) Các công thức còn lại được suy ra từ công thức này bằng cách áp dụng các hệ thức cơ bản. 1.8. Công thức về diện tích của tam giác 1 1 1 [ABC] = aha = bhb = chc , (1.13) 2 2 2 1 1 1 = bc sin A = ca sin B = ab sin C, (1.14) 2 2 2 abc = , (1.15) 4R = 2R2 sin A. sin B. sin C, (1.16) = pr, (1.17) = (p − a)ra = (p − b)rb = (p − c)rc , (1.18) q = p(p − a)(p − b)(p − c). (1.19) Ta đi chứng minh một số công thức tính diện tích tam giác. 1 Chứng minh công thức (1.14). Ta đã biết [ABC] = aha . 2 Nhưng ha = AC. sin ACH \ = b. sin ACH \ . Nếu góc C của tam giác ABC nhọn thì ACH \=C \ = 180o − C b và nếu góc C tù thì ACH b , trong cả hai trường hợp ta đều có sin ACH \ = sin C b.
15 Hình 1.8: 1 Bởi vậy ta có [ABC] = ab sin C . Trường hợp đặc biệt nếu C = 90o 2 thì ha = b và sin C = 1 nên ta vẫn có công thức đó. 1 1 Chứng minh tương tự ta có [ABC] = bc sin A = ca sin B. 2 2 Hình 1.9: c Từ công thức (1.14) thay sin C = ta có ngay công thức (1.15). 2R Chứng minh công thức (1.17). Giả sử đường tròn nội tiếp có tâm I và tiếp xúc ba cạnh của tam giác tại A0 , B 0 , C 0 như hình vẽ trên. Diện tích tam giác ABC bằng tổng diện tích ba tam giác OBC, OCA, OAB , các tam giác đó có các đường cao là OA0 = OB 0 = OC 0 = r. 1 1 1 1 Bởi vậy [ABC] = ar + br + cr = (a + b + c)r = pr. 2 2 2 2 Chứng minh công thức (1.19). Từ hệ thức đã biết sin2 A + cos2 A = 1. (1.20) Sử dụng định lý hàm số sin và hàm số cosin, trong (1.20) thay 4S b2 + c2 − a2 sin A = và cos A = ta có 2bc 2bc 16S 2 = 4b2 c2 − (b2 + c2 − a2 )2 = (2bc + b2 + c2 − a2 )(2bc − b2 − c2 + a2 )
16 = [(b + c)2 − a2 ][a2 − (b − c)2 ] = (b + c + a)(b + c − a)(a + b − c)(a − b + c) (b + c + a) (b + c − a) (a + c − b) (a + b − c) = . . . 4 4 4 4 = p(p − a)(p − b)(p − c). q ⇒ S = p(p − a)(p − b)(p − c). 1.9. Tỉ số diện tích hai tam giác Bổ đề 1.9.1. (Bổ đề về tỉ số diện tích hai tam giác). Giả sử B 0 và C 0 tương ứng là các điểm tuỳ ý trên cạnh AB và AC của tam giác ABC . Ký 0 0 0 0 S0 AB 0 .AC 0 hiệu S = [ABC], S = [A B C ]. Khi đó = . S AB.AC Chứng minh. Ta có 1 0 0 S0 2 .AB .AC . sin A AB 0 .AC 0 = 1 = . (1.21) S 2 .AB.AC. sin A AB.AC Định lý 1.9.1. Nếu hai đoạn thẳng AB ∩ P Q ≡ M , thì ta có [ABP ] P M = . (1.22) [ABQ] QM 1.10. Đường thẳng Euler Định lý 1.10.1. Trong một tam giác, trực tâm H, trọng tâm G và tâm của đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng. Định nghĩa 1.10.1. Đường thẳng đi qua ba điểm trực tâm trọng tâm và tâm của đường tròn ngoại tiếp được gọi là đường thẳng Euler. Chứng minh. Giả sử H, G, O tương ứng là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi E, F tương ứng là trung điểm của các cạnh BC và AC. Ta có EF song song AB, OF song song BH (cùng vuông góc với AC ), OF \ E = BAH \ (góc có cạnh tương ứng song song).