Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

78
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Từ những năm 1950, Nikaido và Isoda đã đưa ra khái niệm cân bằng trong toán học, sau đó năm 1958 John Nash đưa ra khái niệm cân bằng trong trò chơi không hợp tác, năm 1972 Ky Fan đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của một bất đẳng thức, người ta gọi là bài toán cân bằng kiểu Ky Fan. Từ năm 1994 Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách ngắn gọn như sau: Cho C là tập hợp cân bằng trong H, f : C × C → H, f(u, u) = 0.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————o0o————— NGUYỄN DOÃN MINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————o0o————— NGUYỄN DOÃN MINH GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG Ngành: Toán giải tích Mã số: 8 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN Thái Nguyên, năm 2019
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN DOÃN MINH XÁC NHẬN XÁC NHẬN CỦA KHOA CHUYÊN MÔN CỦA CÁN BỘ HƯỚNG DẪN GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN i
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn về sự hướng dẫn hiệu quả, tận tình chỉ bảo và động viên tôi trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo - Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THCS Phú Lâm cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 04 năm 2019 Tác giả NGUYỄN DOÃN MINH ii
Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng 27 2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp . . . . . . . . . . 28 2.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên ràng buộc điểm bất động tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Bài toán cân bằng hai cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii
Lời mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Từ những năm 1950, Nikaido và Isoda đã đưa ra khái niệm cân bằng trong toán học, sau đó năm 1958 John Nash đưa ra khái niệm cân bằng trong trò chơi không hợp tác, năm 1972 Ky Fan đã chứng minh sự tồn tại nghiệm của một bất đẳng thức, người ta gọi là bài toán cân bằng kiểu Ky Fan. Từ năm 1994 Blum và Oettli đã phát biểu bài toán cân bằng một cách ngắn gọn như sau: Cho C là tập hợp cân bằng trong H , f : C × C → H , f (u, u) = 0. Bài toán tìm u∗ ∈ C sao cho f (u∗ , u) ≥ 0, ∀u ∈ C , bài toán này được gọi là bài toán cân bằng, u∗ được gọi là điểm cân bằng, hàm f được gọi là song hàm. Bài toán này bao gồm các bài toán khác trong lý thuyết tối ưu như những trường hợp đặc biệt. Sau đó các nhà toán học đã phát biểu bài toán này cho trường hợp véctơ và trường hợp liên quan đến ánh xạ đa trị. Trong thực tế nhiều khi ta gặp trường hợp giải bài toán này trên tập nghiệm của bài toán khác, những bài toán như vậy được gọi là bài toán cấp hai. Mục đích của luận văn này là viết một tổng quan về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân cũng như bài toán cân bằng và xây dựng một số thuật toán để giải bài tài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng. Chính vì vậy với mong muốn tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề trên, cùng với sự gợi ý giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, tôi chọn đề tài: "Giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng" làm luận văn thạc sỹ của mình. 1
2. Mục đích nghiên cứu Mục đích mà đề tài đặt ra là nghiên cứu một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng. (i) Đề tài nghiên cứu chỉ ra phương pháp đạo hàm tăng cường giải bài toán BV I(F, G, C) với điểm mới là sử dụng tính chất co của ánh xạ Tλ = I − λF với λ > 0, F là ánh xạ giá đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, ánh xạ G đơn điệu mạnh ngược, theo P.N. Anh. (ii) Kết hợp giữa phương pháp dưới đạo hàm kết hợp kỹ thuật điểm bất động đưa ra thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng V IEP (F, f, C) với ánh xạ giá F đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz, song hàm f giả đơn điệu thỏa mãn điều kiện tiền đơn điệu chặt. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Với các mục đích đặt ra như trên, trong đề tài này chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau về phương pháp giải bài toán V IEP (F, f, C): (i) Nghiên cứu xây dựng phương pháp ánh xạ nghiệm để giải bài toán cân bằng trên giả thiết song hàm f là giả co chặt, đồng thời chứng minh được tính tựa không giãn và tựa co của ánh xạ nghiệm: 1 S(u) = argmin λf (u, v) + kv − uk2 : v ∈ C , ∀u ∈ C. 2 (ii) Nghiên cứu xây dựng thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, liên tục Lipschitz và hàm giá F liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh. 4. Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu và các kết quả liên quan tới các bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, các phương pháp giải các bài toán trên, 2
để chỉ ra được những điểm mạnh của những phương pháp mới giải bài toán tìm nghiệm của bài toán V IEP (F, f, C), đưa ra các thuật toán mới được tạo bởi các dãy lặp khá đơn giản với điều kiện của song hàm f đơn điệu mạnh và ánh xạ giá F đơn điệu, đồng thời chứng minh sự hội tụ mạnh của các dãy này về một nghiệm của bài toán V IEP (F, f, C). 5. Dự kiến kết quả nghiên cứu Đề tài là một tổng quan về những kiến thức liên quan tới các kết quả về phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng. Đề tài được chia thành các chương. Chương 1 Viết về những kiến thức cơ bản của lý thuyết không gian Hilbert. Các tính chất liên tục, lồi của ánh xạ. Một số định lý tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng. Chương 2 Viết về một số thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán cân bằng. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Khi phát biểu một bài toán, người ta phải quan tâm bài toán được đặt ra ở đâu. Tức là phải quan tâm tới không gian của bài toán. Vậy trước hết ta phải nhắc lại một số kiến thức liên quan tới không gian, sau đó tới một số tính chất của chúng. Một không gian tuyến tính thực (phức) cùng với một hàm h·, ·i song tuyến tính thực (phức), đối xứng thỏa mãn điều kiện hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ H, hu, ui = 0 ⇔ u = 0, được gọi là không gian tiền Hilbert thực (phức). Trong không gian tiền Hilbert ta định nghĩa được chuẩn của u ∈ H p như sau: kuk = hu, ui, ta dễ dàng chứng minh được đây là một chuẩn trên H và từ chuẩn này ta định nghĩa được khoảng cách giữa hai điểm u, v như sau: ρ(u, v) = ku − vk; khi ấy H, ρ trở thành không gian định chuẩn. Nếu H đầy đủ với chuẩn này thì không gian với tích vô hướng được gọi là không gian Hilbert. Ta dễ dàng nhận thấy trong không gian Hilbert H , cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số tương đương nhau, tức là các phép tính đại số liên tục với tôpô sinh bởi metric. Tiếp theo ta đưa vào khái niệm ánh xạ trong không gian Hilbert. Cho H1 , H2 , H3 là không gian Hilbert, phép chuyển T chuyển một phân tử từ H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ (hay một toán tử), ta có thể phân loại các ánh xạ đưa vào cấu trúc tôpô và cấu trúc đại số. (i) T (αu + βv) = αT (u) + βT (v) với α, β ∈ R, u, v ∈ H1 thì T được gọi 4
là ánh xạ tuyến tính; ngược lại T được gọi là ánh xạ phi tuyến; (ii) T được gọi là liên tục nếu u → u thì T (u) → T (u); (iii) T có đồ thị đóng thì được gọi là ánh xạ đóng; (iv) T chuyển từ tập giới nội thành tập compact tương đối (A ⊂ H1 , T A là compact) thì T được gọi là ánh xạ compact. Tiếp theo ta nêu một số tính chất của ánh xạ. (i) Cho T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 + T2 cũng liên tục (đóng, compact); (ii) Cho T là liên tục (đóng, compact) và α ∈ R thì αT cũng là liên tục (đóng, compact); (iii) Cho T1 : H1 → H2 , T2 : H2 → H3 ; T1 , T2 liên tục (đóng, compact) thì T1 .T2 cũng liên tục. 1.1 Không gian Hilbert và một số tính chất Trong phần này ta nhắc lại định nghĩa không gian Hilbert, một số khái niệm cơ bản thuộc không gian Hilbert như tính trực giao, hình chiếu, toán tử compact và toán tử bị chặn. Định nghĩa 1.1 Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vô hướng xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau: h·, ·i : H × H → R, (u, v) 7→ hu, vi ; thỏa mãn các điều kiện sau: (a) hu, vi = hv, ui, ∀u, v ∈ H; (b) hu + v, ti = hu, ti + hv, ti, ∀u, v, t ∈ H; (c) hλu, vi = λhu, vi, ∀λ ∈ R, ∀u, v ∈ H; (d) hu, ui ≥ 0, ∀u ∈ H, hu, ui = 0 ⇔ u = 0. 5
hu, vi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ u và v . p Nếu H là không gian tuyến tính định chuẩn với kuk = hu, ui với mọi u ∈ H thì H được gọi là không gian tiền Hilbert. Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là không gian Hilbert. Trong luận văn này ta thống nhất ký hiệu H là một không gian Hilbert và ta chủ yếu làm việc trên không gian Hilbert thực H . Ta nói hai véctơ u và v của một không gian Hilbert H trực giao với nhau, và ký hiệu u ⊥ v , nếu hu, vi = 0. Ta ký hiệu tích vô hướng h·, ·i và p chuẩn tương ứng được xác định bởi kuk = hu, ui với mọi u ∈ H . Ta định nghĩa ánh xạ trong không gian Hilbert, cho H1 , H2 là không gian Hilbert, phép chuyển một phần tử của H1 vào H2 được gọi là một ánh xạ, ta phân loại một số lớp ánh xạ như sau: Định nghĩa 1.2 Ánh xạ T : H → H được gọi là ánh xạ compact nếu với mọi dãy {un } bị chặn trong H , dãy {Aun } chứa dãy con hội tụ. Sau đây ta nêu một số phép tính của ánh xạ: i) Cho T1 : H → H, T2 : H → H là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H thì T1 + T2 là ánh xạ compact. ii) Với α ∈ R, T là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H thì αT là ánh xạ compact. iii) Cho T là ánh xạ compact trong không gian Hilbert H và K là toán tử bị chặn trên H . Khi đó T K và KT là ánh xạ compact. Định nghĩa 1.3 Một dãy {uk } ∈ H được gọi là hội tụ mạnh đến u∗ ∈ H nếu kuk − u∗ k → 0 khi k → ∞, ký hiệu uk → u. Tương tự, một dãy {uk } ∈ H được gọi là hội tụ yếu đến u∗ ∈ H nếu hu, uk − u∗ i → 0 với mọi u ∈ H khi k → ∞, ký hiệu uk * u. Định lý 1.1 ([6]) Giả sử H là không gian Hilbert thực, cho dãy {uk } và u∗ ∈ H . Khi đó, ta có 6
i) Nếu uk → u, thì uk * u; ii) Nếu uk * u∗ và kuk k → ku∗ k trong H , thì uk → u∗ ; iii) Nếu không gian Hilbert thực H là hữu hạn chiều, thì sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu là tương đương; iv) Mọi dãy con bị chặn trong không gian Hilbert H đều chứa dãy con hội tụ yếu. Theo định nghĩa chuẩn, ta có tính chất quan trọng sau. Bổ đề 1.1 Với mỗi u, v ∈ H , ta có (i) ku − vk2 = kuk2 − kvk2 − 2hu − v, vi; (ii) kt(u) + (1 − t)vk2 = tkuk2 + (1 − t)kvk2 − t(1 − t)ku − vk2 , ∀t ∈ [0, 1]. Cho C là một tập con, lồi, đóng, khác rỗng của H . Hình chiếu của một điểm u ∈ H trên C , ký hiệu P rC (u) là một điểm thuộc C và gần điểm u nhất, được xác định bởi P rC (u) = argmin{ku − vk : v ∈ C}. (1.1) Phép chiếu xác định bởi (1.1) có các tính chất sau: Bổ đề 1.2 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của H . Khi đó, (i) hu − P rC (u), v − P rC (u)i ≤ 0, ∀v ∈ C, u ∈ H ; (ii) hP rC (u) − P rC (v), u − vi ≥ kP rC (u) − P rC (v)k2 , ∀u, v ∈ H ; (iii) ku − P rC (u)k2 ≤ ku − vk2 − kv − P rC (u)k2 , ∀u ∈ H, v ∈ C ; (iv) kP rC (u) − P rC (v)k2 ≤ ku − vk2 , ∀u, v ∈ H ; (v) kP rC (u) − P rC (v)k2 ≤ ku − vk2 − kP rC (u) − u + v − P rC (v)k2 , ∀u, v ∈ H ; (vi) ku − P rC (u − v)k2 ≤ kvk, ∀u, v ∈ H ; (vii) kt − P rC (u − v)k2 ≤ ku − tk2 − 2hu − t, vi + 5kvk2 , ∀u, t ∈ C, v ∈ H. Phép chiếu P rC trong không gian Hilbert đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng Thuật toán giải bài toán bất đẳng thức biến phân. 7
1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân Cho C là tập con, lồi, đóng, khác rỗng của một không gian Hilbert thực H và ánh xạ F : C → H . Bài toán bất đẳng thức biến phân xác định bởi C và F , ký hiệu V I(F, C), là bài toán tìm u∗ ∈ C sao cho hF (u∗ ), u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ C. Tập nghiệm của bài toán được ký hiệu S(F, C). Ánh xạ F được gọi là ánh xạ giá.. a, Trong trường hợp đặc biệt C = H , bài toán V I(F, C) quy được viết dưới dạng bài toán giải phương trình phi tuyến F (u) = 0. b, Khi C là một nón lồi trong H thỏa mãn λu ∈ C với mọi λ ∈ R+ và u ∈ C . Từ u∗ ∈ C , ta có hF (u∗ ), λu∗ − u∗ i, ∀λ ∈ R+ , và do đó: hF (u∗ ), u∗ i = 0. (1.2) Ngược lại, nếu u∗ ∈ C thỏa mãn (1.2) và F (u∗ ) ∈ C ∗ = {v ∈ H : hv, ui ≥ 0, ∀u ∈ C}, thì u∗ ∈ S(F, C). Như vậy, bài toán V I(F, C) được phát biểu dưới dạng bài toán tìm điểm u∗ thỏa mãn u∗ ∈ C, F (u∗ ) ∈ C ∗ , hF (u∗ ), u∗ i = 0. Bài toán này thường được gọi là bài toán bù phi tuyến trong không gian Hilbert thực H. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng, ta cần một số tính chất của toán tử trong không gian Hilbert, ta có Định nghĩa 1.4 Cho C là một tập con khác rỗng của H . Một ánh xạ F : C → H được gọi là 8
(a) đơn điệu mạnh với hằng số γ > 0 trên C , nếu hF (u) − F (v), u − vi ≥ γku − vk2 , ∀u, v ∈ C; (b) đơn điệu trên C , nếu hF (u) − F (v), u − vi ≥ 0, ∀u, v ∈ C; (c) giả đơn điệu trên C , nếu hF (v), u − vi ≥ 0 ⇒ hF (u), u − vi ≥ 0, ∀u, v ∈ C; (d) đơn điệu mạnh ngược trên C với hằng số β > 0, nếu hF (u) − F (v), u − vi ≥ βkF (u) − F (v)k2 , ∀u, v ∈ C; (e) liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 trên C , nếu kF (u) − F (v)k ≤ Lku − vk, ∀u, v ∈ C. Theo định nghĩa trên, nếu F đơn điệu mạnh ngược với hằng số β > 0 1 thì F liên tục Lipschitz với hằng số L = β và đơn điệu trên C , và quan hệ (a) ⇒ (b) ⇒ (c). Nhưng chiều ngược lại là không đúng trong trường hợp tổng quát. Chẳng hạn như F : C → R xác định bởi F (u) = u2 là giả đơn điệu nhưng không đơn điệu trên C = R, là đơn điệu, nhưng không đơn điệu mạnh trên C = [0, 1]. Mệnh đề 1.1 Điểm u∗ ∈ C là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) khi và chỉ khi u∗ = P rC (u∗ − λF (u∗ )), trong đó λ là một hằng số dương bất kỳ. Chứng minh. Cho λ > 0. Theo định nghĩa của phép chiếu P rC và u∗ = P rC (u∗ − λF (u∗ )), ta có hu∗ − λF (u∗ ) − u∗ , u − u∗ i ≤ 0 ∀u ∈ C; và do đó −hλF (u∗ ), u − u∗ i ≤ 0 ∀u ∈ C. Vậy, u∗ ∈ S(F, C). 9
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân Sau đây ta nêu một số định lý về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Định lý 1.2 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng. Khi đó v = PC (u) nếu và chỉ nếu v ∈ C sao cho hu − v, w − vi ≤ 0, ∀w ∈ C. Hệ quả 1.1 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng và F : C → H . Thì u∗ nghiệm đúng của V I(F, C). khi và chỉ khi u∗ = PC (u∗ − λF (u∗ )) với mỗi λ > 0. Chứng minh. Với λ > 0 là một vô hướng. Từ định lý 1.2, u∗ = PC (u∗ − λF (u∗ )) khi và chỉ khi u∗ ∈ C và hu∗ − λF (u∗ ) − u∗ , u − u∗ i ≤ 0, ∀u ∈ C. Điều này tương đương với u∗ ∈ C và hF (u∗ ), u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ C, hay u∗ ∈ Sol(F, C). Trong bài toán bất đẳng thức V I(F, C), với mỗi u ∈ C và λ > 0 xét ánh xạ FCnat : C → C xác định bởi FCnat (u) = u − PC (u − λF (u)). Ánh xạ FCnat thường được gọi là ánh xạ giá tự nhiên của F trên C . Mối quan hệ giữa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và ánh xạ giá tự nhiên FCnat được trình bày trong kết quả dưới đây. Mệnh đề 1.2 Một điểm u∗ là một nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) nếu và chỉ nếu nó là không điểm của ánh xạ FCnat , hay 0 = FCnat (u∗ ). Chứng minh. Theo định nghĩa nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) và λ > 0, ta có hλF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C. 10
hay hu∗ − [u∗ − λF (u∗ )] , v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C. Mà hu − PC (u), v − PC (u)i ≤ 0, ∀v ∈ C, u ∈ H nên bất đẳng thức này tương đương với u∗ = PC (u∗ − λF (u∗ )), hay u∗ là không điểm của ánh xạ giá tự nhiên FCnat . Định lý 1.3 Cho C là môt tập con, lồi, compact và khác rỗng của không gian Hilbert thực H , và một ánh xạ liên tục F : C → H . Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) có nghiệm. Chứng minh. Ta có, với mỗi u ∈ H thì PC (u) tồn tại và duy nhất, ánh xạ PC còn được gọi là ánh xạ không giãn trên C . Do vậy, với mỗi λ > 0, phép chiếu PC (I − λF ) : C → C là một ánh xạ liên tục. Từ C là một tập lồi, compact khác rỗng và PC (I − λF ) liên tục, tồn tại duy nhất không điểm u∗ ∈ C của ánh xạ giá tự nhiên FCnat sao cho 0 = FCnat (u∗ ). Với mỗi u = u∗ − λF (u∗ ), ta có hv − PC (u∗ − λF (u∗ )), u∗ − λF (u∗ ) − PC (u∗ − λF (u∗ ))i ≤ 0, ∀v ∈ C. Kết hợp điều này với PC (I − λF )(u∗ ) = u∗ suy ra hv − u∗ , u∗ − λF (u∗ ) − u∗ i ≤ 0. Với giả thiết λ > 0, ta có hF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C. Vậy u∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C). Sol(F, C) là ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C). Thông qua các giả thiết đơn điệu của hàm giá F , việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C) rất gần với việc giải bài toán sau (ký hiệu DV I(F, C)): Tìm u∗ ∈ C sao cho hF (u), u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ C. Bài toán này thường được gọi là bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân V I(F, C). Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán DV I(F, C) 11
là Sol(F, C)∗ . Khi đó tính chất của tập nghiệm Sol(F, C) và mối quan hệ của nó với tập nghiệm Sol(F, C)∗ như nhau. Định lý 1.4 Cho C là một tập lồi, đóng, giới nội trong không gian Hilbert H và F : C → H ∗ là ánh xạ đơn điệu và liên tục trên các không gian con hữu hạn chiều. Khi ấy tập nghiệm của Bất đẳng thức biến phân (1.1) khác rỗng, lồi và đóng. Nếu ngoài ra T là đơn điệu chặt thì (1.1) có tính duy nhất nghiệm. Để chứng minh định lý 1.4 thì ta cần bổ đề sau về tính chất ánh xạ đơn điệu và một bổ đề về tồn tại nghệm của bất đẳng thức trong không gian hữu hạn chiều. Bổ đề 1.2 (Minty, 1962). Cho tập C, không gian H và ánh xạ F như ở Định lý 1.4. Khi ấy u∗ ∈ C thỏa mãn hF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C khi và chỉ khi hF (v), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ C. Bổ đề 1.3 (Hartman – Stampacchia). Cho D là một tập lồi, compact trong không gian Rn và F : D → (Rn )∗ là một ánh xạ liên tục. Khi ấy tồn tại sao cho: hF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ D. Chứng minh. Do có thể đồng nhất (Rn )∗ với Rn , nghĩa là có thể đồng nhất F (u) ∈ (Rn )∗ với ΠF (u) ∈ Rn nên việc chứng minh tương đương với việc chỉ ra sự tồn tại của u∗ ∈ D sao cho hΠF (u∗ ), v − u∗ i ≥ 0, ∀v ∈ D, hay hu∗ , v − u∗ i ≥ hu∗ − ΠF (u∗ ), v − u∗ i, ∀v ∈ D. Với v ∈ Rn gọi là PD V là hình chiếu của V trên D. Ta có ánh xạ PD (I − ΠF ) : D → D là liên tục tục (I là ánh xạ đồng nhất). Do đó theo Định lý điểm bất động Brouwer ánh xạ PD (I − ΠF ) có điểm bất động, nghĩa là có u∗ ∈ D sao cho u∗ = PD (I − ΠF )(u∗ ). Theo tính chất của hình chiếu trực giao ta có hu∗ , v − u∗ i ≥ h(I − ΠF )(u∗ ), v − u∗ i, ∀v ∈ D, hay hu∗ , v − u∗ i ≥ h(u∗ − ΠF )(u∗ ), v − u∗ i, ∀v ∈ D. 12
Bổ đề được chứng minh. Chứng minh định lý 1.4 Ở đây ta chỉ nêu ý chính của chứng minh (một số kết quả tổng quát hơn với cách chứng minh tương tự (đối với bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu) được chứng minh chi tiết ở phần sau). Đặt S(v) = {u : hF u, v − ui ≥ 0}, ∀v ∈ C. Ta có S(v) đóng yếu trong tập compact yếu C và họ tập {S(v) : v ∈ C} có tính chất giao hữu hạn. Tính chất này được chỉ ra nhờ dùng Bổ đề 1.3 để chứng minh bất đẳng thức biến phân sau có nghiệm: uM ∈ C ∩ M : hF (uM ), v − uM i ≥ 0, ∀v ∈ ∩M, trong đó M ⊂ B là một không gian con hữu hạn chiều của B với C ∩M 6= ∅. Do đó v∈C S(v) 6= ∅1 , nghĩa là (1.1) có nghiệm. Tính lồi, đóng của T tập nghiệm suy ra từ Bổ đề 1.2. 1.3 Bài toán cân bằng Cho C là tập con, lồi, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và song hàm f : C × C → R thỏa mãn f (u, u) = 0 với mọi u ∈ C . Bài toán cân bằng, ký hiệu là EP (f, C), được phát biểu như sau: Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗ , v) ≥ 0, ∀v ∈ C. Tập nghiệm của bài toán EP (f, C) ký hiệu là Sol(f, C). Ta nhắc lại một số định nghĩa của song hàm f . Song hàm f : C ×C → R được gọi là (i) γ - đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho f (u, v) + f (v, u) ≤ −γku − vk2 , ∀, v ∈ C; (ii) đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ u, v ∈ C và u 6= v sao cho f (u, v) + f (v, u) < 0; 13
(iii) đơn điệu trên C nếu f (u, v) + f (v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ C; (iv) γ - giả đơn điệu mạnh trên C nếu f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) ≤ −γku − vk2 , ∀u, v ∈ C; (v) giả đơn điệu trên C nếu f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) ≤ 0, ∀u, v ∈ C; (vi) giả đơn điệu chặt trên C nếu bất kỳ u, v ∈ C và u 6= v f (u, v) ≥ 0 suy ra f (v, u) < 0; (vii) liên tục kiểu Lipschitz trên C với hằng số c1 > 0 và c2 > 0 nếu f (u, v) + f (v, t) ≥ F (u, t) − c1 ku − vk2 − c2 kv − tk2 , ∀u, v, t ∈ C. Từ định nghĩa trên, dễ dàng ta có quan hệ sau: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (v) ⇐ (iv). Trong trường hợp tổng quát, các chiều ngược lại nói chung là không đúng. 1.3.1 Các trường hợp riêng của bài toán cân bằng Bài toán cân bằng có dạng đơn giản tuy nhiên nó bao hàm một lớp các bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác. Nó mang đến một cách nhìn tương đối tổng quát về các bài toán khác nhau bắt nguồn từ nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau, hợp nhất chúng trong một thể thống nhất. Sau đây ta xét mối quan hệ giữa bài toán EP (f, C) với các bài toán thường gặp. Bài toán tối ưu Cho C là tập con, lồi, đóng và khác rỗng của H và F : C → R là hàm lồi và nửa liên tục dưới. Bài toán tối ưu, ký hiệu (OP ), là bài toán: Tìm u∗ ∈ C sao cho F (u∗ ) ≤ F (v), ∀v ∈ C. 14
Bằng cách đặt f (u, v) = F (v) − F (u) với mọi u, v ∈ C . Theo định nghĩa, u∗ là nghiệm của bài toán (OP ) nếu và chỉ nếu u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C). Bài toán bù phi tuyến Cho C ⊂ H là một nón lồi và đóng, C ∗ = {u ∈ H : hu, vi ≥ 0, ∀v ∈ C}, là nón đối ngẫu của nón C và một ánh xạ liên tục S : C → H . Bài toán bù phi tuyến, ký hiệu (C, P ) là bài toán: Tìm u∗ ∈ C sao cho S(u∗ ) ∈ C ∗ và hS(u∗ ), u∗ i = 0. Với mọi u, v ∈ C , đặt f (u, v) = hS(u), v − ui. Khi đó, bài toán (C, P ) sẽ tương đương với bài toán EP (f, C). Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng và T : C → 2H là một ánh xạ đa trị, nửa liên tục trên sao cho T (u) là tập compact khác rỗng với mọi u ∈ C . Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị, ký hiệu M V I(T, C), là bài toán : Tìm điểm u∗ ∈ C và w∗ ∈ T (u∗ ) sao cho hw∗ , u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ C. Với mỗi u, v ∈ C , bằng cách đặt f (u, v) = max{hw, v − ui : w ∈ T (u)}. Khi đó, u∗ là nghiệm của bài toán M V I(T, C) khi và chỉ khi u∗ là nghiệm của bài toán EP (f, C). Trong trường hợp ánh xạ giá T của bài toán M V I(T, C) là đơn trị, bài toán này sẽ trở về bài toán bất đẳng thức biến phân thông thường. 15