Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải gần đúng hệ phương trình tích phân kì dị của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu và kết luận, đề tài nghiên cứu gồm 2 chương trình bày một số tổng quan một số kiến thức cơ bản về lớp hàm Holder; tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa,.. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải gần đúng hệ phương trình tích phân kì dị của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGÆ THÀ THANH GII GN ÓNG H PH×ÌNG TRNH TCH PHN K DÀ CÕA MËT H PH×ÌNG TRNH CP TCH PHN FOURIER LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - N«m 2015
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGÆ THÀ THANH GII GN ÓNG H PH×ÌNG TRNH TCH PHN K DÀ CÕA MËT H PH×ÌNG TRNH CP TCH PHN FOURIER Chuy¶n ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC H÷îng d¨n khoa håc TS. NGUYN THÀ NGN Th¡i Nguy¶n - N«m 2015
i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Ngæ Thà Thanh
ii Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS. Nguy¹n Thà Ng¥n. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n cæ gi¡o v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u cæ gi¡o ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n còng c¡c Pháng- Ban chùc n«ng cõa tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n, khoa To¡n - tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m, c¡c Quþ Th¦y Cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K21 (2013- 2015) tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn tîi tr÷íng Trung håc phê thæng P¡c Khuæng t¿nh L¤ng Sìn, nìi tæi cæng t¡c ¢ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin c£m ìn gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi th¥n ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2015 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Ngæ Thà Thanh
iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 3 1.1 Lîp h m Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Gi¡ trà ch½nh Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà . . . . . . . . . . 5 1.3 To¡n tû t½ch ph¥n ký dà trong khæng gian L2ρ . . . . . . . 6 1.3.1 Khæng gian L2ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 To¡n tû t½ch ph¥n ký dà . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà lo¤i mët . . . . . . . . . . . 7 1.5 C¡c a thùc Chebyushev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.1 a thùc Chebyushev lo¤i mët . . . . . . . . . . . . 8 1.5.2 a thùc Chebyushev lo¤i hai . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 H» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . 12
iv 1.7 Bi¸n êi Fourier cõa h m cì b£n gi£m nhanh . . . . . . . 14 1.7.1 Khæng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh . . . 14 1.7.2 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n . . . . . . . . 14 1.8 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm . . . . . . . 15 1.8.1 Khæng gian S 0 cõa c¡c h m suy rëng t«ng chªm . . 15 1.8.2 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm . . . 16 1.8.3 Bi¸n êi Fourier cõa t½ch chªp . . . . . . . . . . . . 17 1.9 C¡c khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9.1 Khæng gian H s(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.9.2 C¡c khæng gian Hos(Ω), Ho,os (Ω), H s(Ω) . . . . . . . 18 1.9.3 ành lþ nhóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 C¡c khæng gian Sobolev vectì . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10.1 Kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.11 Phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.12 To¡n tû gi£ vi ph¥n vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 24 2.1 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 24 2.1.1 Ph¡t biºu b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 ÷a v· h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier . . . 25 2.1.3 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n (2.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.4 ÷a ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà nh¥n Cauchy . . . . . . . . . 29 2.1.5 ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh . . 33
v 2.2 Gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà v· d¤ng khæng thù nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 T½nh g¦n óng nghi»m cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 T i li»u tham kh£o 60
1 Mð ¦u Lþ thuy¸t c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy ¢ ÷ñc ho n thi»n ð nûa ¦u th¸ k¿ 20. Trong ba thªp ni¶n g¦n ¥y, nhi·u nh to¡n håc quan t¥m ¸n v§n · gi£i g¦n óng c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n d¤ng b b ϕ(t) (1) Z Z dt + ϕ(t)K(x, t)dt = f (x), a x−t a trong â f (x) v K(x, t) l nhúng h m ¢ bi¸t, ϕ(t) l h m c¦n t¼m. H m (nh¥n hay h¤ch) K(x, t) th÷íng l h m li¶n töc tr¶n h¼nh chú nhªt S = {(x, t) : (x, t) ∈ [a, b] × [a, b]}. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n d¤ng (1) g°p h¦u h¸t trong c¡c b i to¡n bi¶n hén hñp cõa Vªt l½ to¡n èi vîi mi·n khæng trìn nh÷ c¡c b i to¡n v· khe hð, v¸t nùt, v¸t r¤n, c¡c b i to¡n v· ti¸p xóc cõa l½ thuy¸t n hçi.... C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i g¦n óng ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n d¤ng (1) bao gçm c¡c ph÷ìng ph¡p c¦u ph÷ìng trüc ti¸p, ph÷ìng ph¡p nëi suy b¬ng ph÷ìng ph¡p Lagrange, ph÷ìng ph¡p sp x¸p thù tü, ph÷ìng ph¡p a thùc trüc giao. Vi»c gi£i mët sè h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà ÷ñc thüc hi»n t÷ìng tü gi£i ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà, h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà ÷ñc bi¸n êi tø h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n. G¦n ¥y, Nguy¹n V«n Ngåc v Nguy¹n Thà Ng¥n ¢ quan t¥m nghi¶n cùu v· t½nh gi£i ÷ñc cõa mët sè h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier xu§t hi»n khi gi£i b i to¡n bi¶n hén hñp cõa ph÷ìng tr¼nh i·u háa v ph÷ìng tr¼nh song i·u háa. Vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà v gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà, chóng tæi chån · t i "Gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà cõa mët h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n t½ch ph¥n Fourier". Luªn v«n ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t
2 luªn, T i li»u tham kh£o gçm hai ch÷ìng nëi dung. Ch÷ìng mët tr¼nh b y têng quan mët sè ki¸n thùc cì b£n v· lîp h m Holder, t½ch ph¥n k¼ dà, gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n k¼ dà, to¡n tû t½ch ph¥n k¼ dà trong khæng gian L2ρ, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà, h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, c¡c a thùc Chebyushev, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m suy rëng t«ng chªm, c¡c khæng gian Sobolev, c¡c khæng gian Sobolev vectì, phi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc, to¡n tû gi£ vi ph¥n vectì. Ch÷ìng hai tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ ch½nh cõa luªn v«n. Möc 2.1 tr¼nh b y v· t½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n xu§t hi»n khi gi£i b i to¡n bi¶n hén hñp cõa ph÷ìng tr¼nh i·u háa, c¡c ành l½ 2.1.1, ành l½ 2.1.3 tr¼nh b y v· t½nh tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier, ÷a h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier v· h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy, sau â ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà nh¥n Cauchy v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. Möc 2.2 chóng tæi thüc hi»n gi£i g¦n óng h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n k¼ dà cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier vîi c¡c b÷îc: ÷a h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà v· d¤ng khæng thù nguy¶n; t½nh g¦n óng ma trªn h¤ch cõa h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà; thüc hi»n gi£i g¦n óng h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh ¢ ÷ñc "ch°t cöt" ¸n N=6 , sau â t¼m nghi»m g¦n óng cõa h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n k¼ dà. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa TS. Nguy¹n Thà Ng¥n. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v s¥u sc nh§t tîi cæ gi¡o h÷îng d¨n, tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi º t¡c gi£ ho n th nh ÷ñc kho¡ håc cõa m¼nh.
3 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Lîp h m Holder ành ngh¾a 1.1.1. [3]. Gi£ sû L l ÷íng cong trìn v ϕ(ξ) l h m c¡c iºm phùc ξ ∈ L. Nâi r¬ng h m ϕ(ξ) thäa m¢n i·u ki»n Holder (i·u ki»n Hλ) tr¶n ÷íng cong L n¸u vîi hai iºm b§t ký ξ1, ξ2 ∈ L ta câ b§t ¯ng thùc λ |ϕ(ξ2 ) − ϕ(ξ1 )| < A |ξ2 − ξ1 | , (1.1) trong â A, λ l c¡c h¬ng sè d÷ìng. N¸u λ > 1 th¼ tø i·u ki»n (1.1) suy ra ϕ0(ξ) ≡ 0 tr¶n L v do â ϕ(ξ) ≡ const, ξ ∈ L. V¼ vªy ta luæn luæn cho r¬ng 0 < λ ≤ 1. N¸u λ = 1 th¼ i·u ki»n Holder trð th nh i·u ki»n Lipschitz. Rã r¬ng λ c ng nhä th¼ lîp h m Hλ c ng rëng. Lîp h m Holder hµp nh§t l lîp h m Lipschitz. D¹ th§y r¬ng, n¸u c¡c h m ϕ1(ξ), ϕ2(ξ) thäa m¢n i·u ki»n Holder t÷ìng ùng vîi c¡c ch¿ sè λ1, λ2, th¼ têng, t½ch v c£ th÷ìng (vîi i·u ki»n m¨u thùc kh¡c khæng) công thäa m¢n i·u ki»n Holder vîi ch¿ sè λ = min(λ1 , λ2 ). N¸u h m ϕ(ξ) câ ¤o h m húu h¤n tr¶n L th¼ nâ thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz. i·u n y ÷ñc suy ra tø ành lþ v· sè gia húu h¤n. Ng÷ñc l¤i nâi chung khæng óng. Th½ dö, h m ϕ(ξ) = |ξ|, ξ ∈ R, thuëc lîp h m Holder tr¶n R, nh÷ng khæng câ ¤o h m t¤i ξ = 0.
4 V½ dö 1.1.2. H m sè ϕ(x) = √ thäa m¢n i·u ki»n Holder v ch¿ x sè λ = 1/2 tr¶n måi kho£ng cõa tröc thüc. N¸u nh÷ kho£ng â khæng chùa gèc tåa ë th¼ ϕ(x) cán l h m gi£i t½ch, do â thäa m¢n i·u ki»n Lipschitz. V½ dö 1.1.3. X²t h m sè  1  lnx , 0 < x ≤ 21 , ϕ(x) = ϕ(0) = 0. D¹ th§y r¬ng h m sè ϕ(x) l li¶n töc tr¶n o¤n 0 ≤ x ≤ 12 . Nh÷ng v¼ limx→0+ xλ lnx = 0, ∀λ > 0, n¶n vîi måi A v λ câ thº t¼m ÷ñc gi¡ trà cõa x sao cho
1
|ϕ(x) − ϕ(0)| =
> Axλ . lnx
Nh÷ vªy, h m ϕ(x) tr¶n o¤n nâi tr¶n khæng thäa m¢n i·u ki»n Holder. ành ngh¾a 1.1.4. [3]. K½ hi»u Hα(r), 0 < α ≤ 1, r ≥ 0 l lîp h m x¡c ành tr¶n o¤n [a, b] câ ¤o h m c§p r thäa m¢n i·u ki»n Holder vîi sè mô α. Kh¡i ni»m v· i·u ki»n Holder câ thº mð rëng cho h m nhi·u bi¸n vîi sè bi¸n húu h¤n b§t ký. º ìn gi£n ta x²t tr÷íng hñp h m hai bi¸n. ành ngh¾a 1.1.5. [3]. H m hai bi¸n ϕ(ξ, τ ) tr¶n D thäa m¢n i·u ki»n Holder n¸u vîi måi ξ1, ξ2, τ1, τ2 ∈ D câ b§t ¯ng thùc µ ν |ϕ(ξ2 , τ2 ) − ϕ(ξ1 , τ1 )| 6 A |ξ2 − ξ1 | + B |τ2 − τ1 | , trong â A, B, µ, ν l c¡c h ng sè d÷ìng; µ, ν 6 1. N¸u λ = min(µ, ν) v C = max(A, B), th¼ λ λ |ϕ(ξ2 , τ2 ) − ϕ(ξ1 , τ1 )| 6 C[|ξ2 − ξ1 | + |τ2 − τ1 | ]. Rã r ng l , n¸u ϕ(ξ, τ ) thäa m¢n i·u ki»n Holder theo hén hñp (ξ, τ ) th¼ nâ thäa m¢n i·u ki»n Holder theo ξ ·u theo τ v thäa m¢n i·u ki»n Holder theo τ ·u theo ξ .
5 1.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà 1.2.1 Gi¡ trà ch½nh Cauchy Gi£ sû a v b l hai iºm húu h¤n. X²t t½ch ph¥n Zb dx (a < c < b). x−c a Chóng ta h¢y t½nh t½ch ph¥n tr¶n ¥y nh÷ l t½nh t½ch ph¥n suy rëng, ta câ  c−  Zb Z 1 Zb dx dx dx  = lim1 →0,2 →0  + x−c x−c x−c a a c+2 b−c = ln c−a 1 + lim1 →0,2 →0 ln . 2 (1.2) Giîi h¤n cõa biºu thùc cuèi còng trong (1.2) rã r ng l phö thuëc v o c¡ch ti¸n ¸n 0 cõa 1 v 2. V¼ vªy t½ch ph¥n (1.2) khæng tçn t¤i n¸u x²t nâ nh÷ mët t½ch ph¥n suy rëng. T½ch ph¥n tr¶n ÷ñc gåi l t½ch ph¥n ký dà. Tuy nhi¶n, n¸u 1 = 2 th¼ tø (1.2) ta câ kh¡i ni»m v· gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà sau: ành ngh¾a 1.2.1. [3]. Gi¡ trà ch½nh theo Cauchy cõa t½ch ph¥n ký dà Zb dx (a < c < b), x−c a ÷ñc hiºu l  c−  Zb Zb dx dx dx  b−c Z = lim→0  + = ln . x−c x−c x−c c−a a a c+ 1.2.2 Gi¡ trà ch½nh cõa t½ch ph¥n ký dà X²t t½ch ph¥n Zb ϕ(x)dx (a < c < b), x−c a