Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán hỗn hợp của Vật lý toán như các bài toán về khe hở, vết nứt, về dị tật môi trường, về tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi... Trong khoảng một vài thập niên gần đây, nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm đến vấn đề tính giải được của phương trình cặp. Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SẦM THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— SẦM THỊ HẰNG GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. i
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS.Nguyễn Thị Ngân, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học K23 (2015-2017) trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và thức hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Toán tử tích phân kì dị trong không gian L2ρ . . . . . . . . . 3 1.1.1 Không gian L2ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Toán tử tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại một . . . . . . . . . 5 1.3 Các đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Đa thức Chebyshev loại một . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . 10 1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . . . . . 11 1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh . . . . 11 1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . 12 1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . . 12 1.6.1 Không gian S 0 của các hàm suy rộng tăng chậm . . . . 12 1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . 13 iii
1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.1 Không gian H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o s (Ω), H s (Ω) . . . . . . . . 15 1.8 Các không gian Sobolev vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier 21 2.1 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 21 2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . 22 2.1.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier (2.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy . . . . . . . . . . . 25 2.1.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . 27 2.2 Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . 30 2.2.1 Đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.2 Tính gần đúng nghiệm của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 iv
Mở đầu Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán hỗn hợp của Vật lý toán như các bài toán về khe hở, vết nứt, về dị tật môi trường, về tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi. . . Trong khoảng một vài thập niên gần đây, nhiều nhà Toán học trên thế giới quan tâm đến vấn đề tính giải được của phương trình cặp. Gần đây Nguyễn Văn Ngọc và Nguyễn Thị Ngân cũng đã nghiên cứu về tính giải được của một số hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa và phương trình song điều hòa. Khi nghiên cứu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier người ta đã biến đổi về hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy. Lý thuyết các phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy đã được hoàn thiện ở nửa đầu thế kỉ 20. Các phương pháp giải gần đúng bao gồm các phương pháp cầu phương trực tiếp, phương pháp nội suy bằng phương pháp Lagrange, phương pháp sắp xếp thứ tự, phương pháp đa thức trực giao. Với mong muốn được giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier, chúng tôi chọn đề tài "Giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier". Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung. Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về toán tử tích phân, phương trình tích phân, các đa thức Chebyshev, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ. Chương hai trình bày về tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier và giải gần đúng hệ phương trình cặp tích phân Fourier. Mục 2.1 trình bày về tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân với phép biến đổi Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn 1
hợp của phương trình điều hòa, các Định lí 2.1.1, Định lý 2.1.3 trình bày về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của hệ phương trình cặp tích phân Fourier, đưa hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy, sau đó đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Mục 2.2 thực hiện giải gần đúng một hệ phương trình cặp tích phân Fourier với các bước: Đưa hệ phương trình tích phân Fourier về dạng không thứ nguyên; tính gần đúng ma trận hạch của hệ phương trình tích phân Fourier; thực hiện giải gần đúng hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đã được chặt cụt đến N=6, sau đó tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình tích phân Fourier. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành được khóa học của mình. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Toán tử tích phân kì dị trong không gian L2ρ 1.1.1 Không gian L2ρ Định nghĩa 1.1.1. [3]. Với a < x < b xét hàm trọng ρ(x) = (x − a)α (b − x)β , α, β > −1. Kí hiệu L2ρ (a, b) là tập của tất cả các hàm u(x) bình phương khả tích với trọng ρ, nghĩa là Zb 1 ||u|| := ρ(x)|u(x)|2 dx 2 < ∞. (1.1) a Tích vô hướng trong L2ρ (a, b) được xác định bởi công thức Zb (u, v)ρ := ρ(x)u(x)v(x)dx. (1.2) a Rõ ràng với chuẩn (1.1) và tích vô hướng (1.2) thì L2ρ (a, b) là một không gian Hilbert. 1.1.2 Toán tử tích phân kì dị Trong không gian L2ρ (a, b), xét toán tử Zb 1 u(y)dy SJ [u](x) = , x ∈ J := (a, b), (1.3) iπ y−x a 3
trong đó tích phân được hiểu theo giá trị chính Cauchy. Định lý 1.1.2. [3].Với ρ(x) = (x − a)α (b − x)β , −1 < α, β < 1, −∞ < a < b < ∞ thì toán tử SJ bị chặn, do đó là liên tục trong L2ρ (a, b). 1.2 Phương trình tích phân 1.2.1 Định nghĩa phương trình tích phân Định nghĩa 1.2.1. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong dấu tích phân. Ví dụ 1. Với a ≤ s, t ≤ b ta có các phương trình tích phân: Zb f (t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.4) a Zb g(t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.5) a Zb g(t) = λ (K(t, s))2 ds, (1.6) a Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds. (1.7) a Thấy rằng: + Hàm ẩn g(t) phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm ngoài dấu tích phân. + Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là bậc 1 (ví dụ các phương trình (1.4) và (1.5) là tuyến tính còn (1.6) là không phải). + Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa được về dạng (A − λI)g = f, trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A là toán tử tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính. 4
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình có dạng: Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds a được gọi là phương trình Fredhom loại 2, trong đó g(t) là hàm chưa biết, f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số. Phương trình có dạng: Zb f (t) = λ K(t, s)g(s)ds a được gọi là phương trình Fredhom loại 1, trong đó g(t) là hàm chưa biết, f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số. 1.2.2 Phương trình tích phân kì dị loại một Xét phương trình tích phân kì dị sau Zb 1 ϕ(τ ) dτ = f (ξ), a < ξ < b. (1.8) π τ −ξ a Phương trình (1.8) là một trường hợp riêng quan trọng của các phương trình tích phân kì dị thường gặp trong nhiều bài toán cơ học và Vật lý toán. Trong phương trình trên ta giả thiết rằng hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder. Tùy thuộc vào dáng điệu của ẩn hàm ở các đầu mút của đoạn [a, b], ta có các công thức nghiệm sau đây của phương trình: a. Nghiệm không bị chặn ở hai đầu mút: Zb p (τ − a)(b − τ )f (τ ) 1 1 ϕ(ξ) = − p dτ + a0 , (ξ − a)(b − ξ) π τ −ξ a a
c. Nghiệm không bị chặn tại t = a và bị chặn tại t = b : s Zb r b−ξ 1 τ − a f (τ ) ϕ(ξ) = − dτ . (1.11) ξ − aπ b−τ τ −ξ a d. Nghiệm bị chặn tại hai đầu mút: Zb 1 f (τ ) dτ q ϕ(ξ) = − (ξ − a)(b − ξ) p , (1.12) π (τ − a)(b − τ ) τ − ξ a với điều kiện Zb f (τ )dτ p = 0. (1.13) (τ − a)(b − τ ) a 1.3 Các đa thức Chebyshev 1.3.1 Đa thức Chebyshev loại một Định nghĩa 1.3.1. [12]. Đa thức Chebyshev bậc n loại một Tn (x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân Tn+1 (x) − 2xTn (x) + Tn−1 (x) = 0, T0 (x) = 1, T1 (x) = x. Nghiệm của phương trình sai phân trên là Tn (x) = cos(n arccos x), Tn (cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, ...). Ta có một số công thức của đa thức Chebyshev loại một như sau: a. Biểu thức hiển [n] nX 2 (−1)m (n − m − 1)! Tn (x) = (2x)n−m . 2 m=0 m!(n − 2m)! b. Các đa thức bậc thấp T0 (x) = 1, T1 (x) = x, T2 (x) = 2x2 − 1, T3 (x) = 4x3 − 3x, 6
T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x, T6 (x) = 32x6 − 48x4 + 18x2 − 1. c. Một số hệ thức Tn (−x) = (−1)n Tn (x), Tn (1) = 1, Tn (−1) = (−1)n , Tn+m (x) + Tn−m (x) Tn (x)Tm (x) = , 2 Tn (Tm (x)) = Tnm (x). d. Trực giao  Z1 0,   m 6= n, Tm (x)Tn (x) √ dx = π, m = n = 0, 1 − x2  π,  −1 m = n 6= 0. 2 e. Các hệ thức phổ Z1 Tn (y)dy p = πUn−1 (x), (y − x) 1 − y 2 −1 Z1 1 1 Tn (y)dy ln p =σn Tk (x), (n = 0, 1, 2, ...), π |x − y| 1 − y 2 −1 trong đó Un (x) là đa thức Chebyshev loại hai, còn  ln 2, n = 0, σn = 1  , n = 1, 2, ... n f. Nghiệm của Tn (x) Tất cả các nghiệm của Tn (x) đều thuộc đoạn [-1,1] và được xác định theo công thức: (2k − 1)π xk = cos θk = cos , k = 1, 2... 2n g. Phương trình vi phân (1 − x)y 00 − xy 0 + n2 y = 0, y = Tn (x). 7
1.3.2 Đa thức Chebyshev loại hai 1. Định nghĩa [12]. Đa thức Chebyshev bậc n loại hai Un (x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân Un+1 (x) − 2xUn (x) + Un−1 (x) = 0, U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x. Nghiệm của phương trình sai phân trên là sin[(n + 1)θ] x = cos θ, Un (cos θ) = . sin θ 2. Biểu thức hiển π [] 2 (−1)m (n − m)! X Un (x) = (2x)n−m , n = 1, 2, ... m=0 m!(n − 2m)! 3. Các đa thức bậc thấp U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, U2 (x) = 4x2 − 1, U3 (x) = 8x3 − 4x, U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1, U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x. U6 (x) = 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1. 4. Một số hệ thức giữa Tn (x) và Un (x) Un (−x) = (−1)n Un (x), Un (1) = n + 1, Un (−1) = (−1)n (n + 1), Tn−m (x) − Tn+m+2 (x) Un (x)Um (x) = , 2(1 − x2 ) 1 Tm Un (x) = [Un−m (x) + Un+m (x)], 2 d Tn (x) = nUn−1 (x), dx xTn (x) − Tn+1 (x) = (1 − x2 )Un−1 (x), Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x). 8
5. Trực giao  Z1 p 0, m 6= n, 2 Um (x)Un (x) 1 − x dx = π  , m = n. −1 2 6. Các hệ thức phổ Z1 p 1 − y 2 Un−1 (y)dy = −πTn (x), (n = 1, 2, ...), y−x −1 trong đó Tn (x) là đa thức Chebyshev loại một. 7. Nghiệm của Un (x) Tất cả các nghiệm của Un (x) đều thuộc đoạn [-1,1] và được xác định theo công thức sau: kπ xk = cos θk = cos , k = 1, 2..., n. n+1 8. Phương trình vi phân (1 + x)y 00 − 3xy 0 + n(n + 2)y = 0, y = Un (x). Ta có một số công thức sau [12] : sin(n + 1)θ Tn (cos θ) = cos(nθ), Un (cosθ) = , (1.14) sin θ Zb Tk [η(x)]Tj [η(x)] dx = αk δkj , (1.15) ρ(x) a Zb Uk [η(x)]Uj [η(x)]ρ(x)dx = βδkj , (1.16) a Zb Tk [η(x)]dy −2π dx = Um−1 [η(x)], k = 0, 1, ..., (1.17) (x − y)ρ(y) b−a a Zb ρ(y)Uk−1 [η(y)]dy π(b − a) = Tk [η(x)], k = 1, 2, ..., (1.18) x−y 2 a  π, k = 0, với δkj là kí hiệu Kronecker và α = π  , k = 1, 2, ... 2 2 π(b − a) 2x − (a − b) β= , η(x) = . 8 b−a 9
1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau ∞ X xi = ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...), (1.19) k=1 trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các hệ số đã biết. Định nghĩa 1.4.1. [5]. Tập hợp những số x1 , x2 ,... được gọi là nghiệm của hệ (1.19) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.19) ta có các chuỗi hội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn. Nghiệm được gọi là chính nếu nó tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị ban đầu bằng không. Định nghĩa 1.4.2. [5]. Hệ vô hạn (1.19) được gọi là chính quy nếu ∞ X |ci,k | < 1, (i = 1, 2, ...). (1.20) k=1 Nếu có thêm điều kiện ∞ X |ci,k | ≤ 1 − θ < 1, 0 < θ < 1, (i = 1, 2, ...), (1.21) k=1 thì hệ này được gọi là hoàn toàn chính quy. Nếu có thêm bất đẳng thức (1.20) (tương ứng (1.21)) đúng với i = N + 1, N + 2, ..., thì hệ (1.19) được gọi là tựa chính quy (tương ứng, tựa hoàn toàn chính quy). Ta kí hiệu ∞ X ρi = 1 − |ci,k |, (i = 1, 2, ...). k=1 Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0. Giả sử hệ (1.19) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi , (K = const > 0). (1.22) Định lý 1.4.3. [5]. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do của hệ vô hạn chính quy thỏa mãn điều kiện (1.22) thì nó có nghiệm bị chặn |xi | ≤ K và nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. 10
Định lý 1.4.4. [5]. (Sự "chặt cụt"). Nghiệm chính x∗ của hệ chính quy ∞ X xi = cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, ...), k=1 cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi có thể tìm được bằng phương pháp "chặt cụt", nghĩa là nếu xNi là nghiệm của hệ hữu hạn N X xi = cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, ..., N ), k=1 thì x∗i = lim xN i . N →∞ Định lý 1.4.5. [5]. (Bondarenko P.S). Hệ chính quy có thể có không quá một nghiệm tiến đến không, nghĩa là lim xi = 0. i→∞ 1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh 1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh Định nghĩa 1.5.1. [4], [13], [14]. Kí hiệu S = S(R) là tập hợp của các hàm khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện p X p |[ϕ]|p = sup (1 + |x|) |Dk ϕ| < ∞, p = 0, 1, 2, ..., m, x∈R 0 d trong đó kí hiệu D = . Dãy {|[ϕ]|p }k là một họ các nửa chuẩn. Dãy dx {ϕk } ⊂ S được gọi là hội tụ đến hàm ϕ ∈ S , nếu |[ϕk − ϕ]|p → 0, khi k → ∞; p = 0, 1, 2, ..., m. Tập hợp S với hội tụ trên đây được gọi là không gian các hàm cơ bản giảm nhanh. 2 Ví dụ 1.5.2. Hàm ϕ(x) = e−x ∈ C ∞ (R) là hàm giảm nhanh. Định lý 1.5.3. [4], [13], [14] Tập hợp C0∞ (R) của các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong R là trù mật trong S theo tô pô của S . 11
1.5.2 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh Vì hàm cơ bản trong không gian S là những hàm khả tổng trong R nên biến đổi Fourier được xác định theo công thức Z∞ F [ϕ](ξ) = ϕ(x)eix ξ dx, ϕ ∈ S. −∞ 1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S 1. Đạo hàm số lần tùy ý dưới dấu tích phân Fourier Dα F [ϕ](ξ) = F [(ix )α ϕ](ξ). 2. Biến đổi Fourier của đạo hàm F [Dα ϕ](ξ) = (−iξ)α F [ϕ](ξ). 3. Đẳng thức Parseval Giả sử f ∈ L1 (R). Khi đó ta có đẳng thức Z+∞ Z+∞ F [f ](ξ)ϕ(ξ)dξ = f (x)F [ϕ](x)dx, ϕ ∈ S. (1.23) −∞ −∞ 4. Công thức biến đổi Fourier ngược 1 ϕ = F −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]], F −1 [ϕ(ξ)](x) = F [ϕ(−ξ)](x ). (2π)n Định lý 1.5.4. [10], [11]. Biến đổi Fourier F từ S vào S là ánh xạ tương ứng một- một và liên tục vào chính nó, nghĩa là một đẳng cấu tuyến tính. 1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm 1.6.1 Không gian S 0 của các hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.6.1. [4], [13], [14]. Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S được gọi là hàm suy rộng tăng chậm. Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm ký hiệu là S 0 . Giá trị của f ∈ S 0 trên phần tử ϕ ∈ S được kí hiệu là hf, ϕi , 12
còn trên phần tử liên hợp phức ϕ, kí hiệu là (f, ϕ). Dãy{fk } ∈ S 0 hội tụ đến f ∈ S 0 , nếu hfk , ϕi → hf, ϕi , ϕ ∈ S. Giả sử f là hàm khả tích địa phương, ngoài ra đối với N>0 nào đó: Z+∞ |f (x)|(1 + |x|)−N dx < ∞. −∞ Khi đó hàm f tương ứng với một phiếm hàm trên S 0 theo công thức: Z+∞ (f, ϕ) = f (x)ϕ(x)dx. −∞ Phiếm hàm trên được gọi là hàm suy rộng chính quy. Dễ thấy rằng phiếm hàm trên đây là tuyến tính và liên tục trên S. Định lý 1.6.2. [13]. Không gian các hàm suy rộng tăng chậm S 0 là không gian đầy đủ. 1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm Công thức (1.23) có thể viết lại dưới dạng hF [f ], ϕi = hf, F [ϕ]i , ϕ ∈ S. Công thức này là cơ sở của định nghĩa sau đây. Định nghĩa 1.6.3. [13], [14] Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm f là hàm suy rộng tăng chậm F [f ] được xác định theo công thức hF [f ], ϕi = hf, F [ϕ]i , f ∈ S 0 , ϕ ∈ S. (1.24) Vì phép toán ϕ → F (ϕ) là đẳng cấu và liên tục từ S vào S, nên phiếm hàm F [f ] xác định theo công thức (1.24) được hiểu theo nghĩa S 0 , hơn nữa, phép toán f → F [f ] là tuyến tính và liên tục từ S 0 vào S 0 . Định nghĩa 1.6.4. [13], [14]. Phép biến đổi Fourier F −1 được xác định trong S 0 theo công thức 1 F −1 [f ] = F [f (−x)], f ∈ S 0 , (1.25) 2π trong đó f (−x) là hàm suy rộng phản xạ của hàm suy rộng f (x) : hf (−x), ϕ(x)i = hf, ϕ(−x)i , ϕ ∈ S. 13
Rõ ràng F −1 là toán tử tuyến tính liên tục từ S 0 vào S 0 . Ta sẽ chứng tỏ rằng, toán tử F −1 là biến đổi Fourier ngược của F, nghĩa là F −1 [F [f ]] = f, F [F −1 [f ]] = f, f ∈ S 0. (1.26) Thật vậy, theo tính chất của biến đổi Fourier trong S, thì các công thức trong (1.25) đúng trong S trù mật trong S 0 , do đó (1.26) cũng đúng trong S 0 . 1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S0 1. Đạo hàm của biến đổi Fourier Dα F [f ] = F [(ix )α f ], f ∈ S 0 . (1.27) 2. Biến đổi Fourier của đạo hàm F [Dα f ] = (−iξ)α F [f ], f ∈ S 0 . (1.28) 3. Đẳng thức Parseval hF [f ], F [ϕ]i = 2π hf (−x), ϕ(x)i , f ∈ S 0 , ϕ ∈ S. (1.29) 4. Biến đổi Fourier của dịch chuyển F [f (x − x0 ] = eiξx0 F [f ], f ∈ S 0 . (1.30) 5. Biến đổi Fourier của hàm suy rộng có giá compact Nếu f ∈ S 0 và có giá compact, thì F [f ] ∈ C ∞ , và tăng chậm ở vô cùng, nghĩa là mα |Dα F [f ](ξ)| ≤ Cmα (1 + |ξ|2 ) 2 . 1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập Định nghĩa 1.6.5. [4], [13], [14]. i) Nếu f ∈ S 0 , η ∈ S, thì f ∗ η được xác định theo công thức f ∗ η = hf (y), η(x − y)i . Khi đó F [f ∗ η](ξ) = F [f ](ξ)F [η](ξ). 14