Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ phương trình cặp tích phân Fourier của bài toán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được trình bày trong 2 chương: Một số kiến thức cơ bản về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản; hệ phương trình cặp tích phân Fourier của bài toán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hệ phương trình cặp tích phân Fourier của bài toán biên hỗn hợp đối với dải đàn hồi

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM INH THÀ THO H PH×ÌNG TRNH CP TCH PHN FOURIER CÕA BI TON BIN HÉN HÑP ÈI VÎI DI N HÇI LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2020
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM INH THÀ THO H PH×ÌNG TRNH CP TCH PHN FOURIER CÕA BI TON BIN HÉN HÑP ÈI VÎI DI N HÇI Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch M¢ sè: 8.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. NGUYN THÀ NGN Th¡i Nguy¶n - 2020
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020 Ng÷íi vi¸t luªn v«n INH THÀ THO i
Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS. Nguy¹n Thà Ng¥n . Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n cæ gi¡o v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u cæ gi¡o ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c Pháng chùc n«ng cõa Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n, c¡c Quþ Th¦y Cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc k26 (2018 2020) Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020 T¡c gi£ INH THÀ THO ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . 2 1.2 Bi¸n êi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh . . . 4 1.2.2 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm . . . . . 5 1.3 Khæng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Khæng gian H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 C¡c khæng gian s Hos (Ω) , Ho,o (Ω) , H s (Ω) . . . . . . . . 8 1.4 Khæng gian Sobolev vectì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 To¡n tû gi£ vi ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 H» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier cõa b i to¡n bi¶n hén hñp èi vîi d£i n hçi 14 2.1 B i to¡n bi¶n hén hñp èi vîi d£i n hçi . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 °t b i to¡n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 iii
2.1.2 ÷a b i to¡n bi¶n hén hñp v· h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier . . 17 2.2.1 T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier 17 2.2.2 Bi¸n êi h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier v· h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.3 Bi¸n êi h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . 24 K¸t luªn 30 T i li»u tham kh£o 31 iv
Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n v h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n th÷íng xu§t hi»n trong c¡c b i to¡n v· dà tªt, trong mæi tr÷íng nh÷ c¡c b i to¡n v· v¸t nùt, c¡c b i to¡n v· d£i n hçi. T½nh tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa c¡c b i to¡n n y ¢ ÷ñc nhi·u nh to¡n håc quan t¥m nghi¶n cùu. T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n vîi ph²p bi¸n êi Fourier ÷ñc mët sè nh to¡n håc nh÷ Popov.G.Ya, Duduchavar.R, Nguy¹n V«n Ngåc,... quan t¥m nghi¶n cùu. T½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier ÷ñc Nguy¹n V«n Ngåc, Nguy¹n Thà Ng¥n nghi¶n cùu. Vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu t½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n vîi ph²p bi¸n êi Fourier xu§t hi»n khi gi£i b i to¡n bi¶n hén hñp cõa ph÷ìng tr¼nh song i·u háa tr¶n d£i n hçi, tæi chån · t i H» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier cõa b i to¡n bi¶n hén hñp èi vîi d£i n hçi. Luªn v«n ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn, T i li»u tham kh£o, luªn v«n câ 2 ch÷ìng nëi dung: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y têng quan mët sè ki¸n thùc cì b£n v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n, c¡c khæng gian Sobolev, khæng gian Sobolev vectì, to¡n tû gi£ vi ph¥n. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· t½nh gi£i ÷ñc cõa h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier xu§t hi»n khi gi£i b i to¡n bi¶n hén hñp èi vîi d£i n hçi, ÷a c¡c h» ph÷ìng tr¼nh c°p t½ch ph¥n Fourier v· h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà, ÷a ti¸p h» ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n ký dà v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. 1
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè k¸t qu£ v· h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh, bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m suy rëng t«ng chªm, khæng gian Sobolev, khæng gian Sobolev vectì, to¡n tû gi£ vi ph¥n. C¡c k¸t qu£ tr¼nh b y trong ch÷ìng n y ÷ñc tham kh£o tø t i li»u [2, 3, 4] . 1.1 H» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh ành ngh¾a 1.1.1. H» ph÷ìng tr¼nh ∞ X xi = ci,k xk + bi , (i = 1, 2, ...) , (1.1) k=1 trong â xi l c¡c sè c¦n x¡c ành, ci,k v bi l c¡c h» sè ¢ bi¸t, ÷ñc gåi l h» væ h¤n c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤i sè tuy¸n t½nh. ành ngh¾a 1.1.2. Tªp hñp nhúng sè x1 , x2 , ... ÷ñc gåi l nghi»m cõa h» (1.1) n¸u khi thay êi nhúng sè â v o v¸ ph£i cõa (1.1) ta câ c¡c chuéi hëi tö v t§t c£ nhúng ¯ng thùc ÷ñc tho£ m¢n. Nghi»m ÷ñc gåi l nghi»m ch½nh n¸u nâ ÷ñc t¼m b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p vîi gi¡ trà ban ¦u b¬ng khæng. 2
ành ngh¾a 1.1.3. H» væ h¤n (1.1) ÷ñc gåi l h» ch½nh quy n¸u ∞ X |ci,k | < 1, (i = 1, 2, ...) . (1.2) k=1 N¸u câ th¶m i·u ki»n ∞ X |ci,k | ≤ 1 − θ, 0 < θ < 1, (i = 1, 2, ...) , (1.3) k=1 th¼ h» n y ÷ñc gåi l ho n to n ch½nh quy. N¸u c¡c b§t ¯ng thùc (1.2) (t÷ìng ùng (1.3)) óng vîi i = N + 1, N + 2, ...., th¼ h» (1.1) ÷ñc gåi l tüa ch½nh quy (t÷ìng ùng, tüa ho n to n ch½nh quy). Ta k½ hi»u ∞ X ρi = 1 − |ci,k |, (i = 1, 2, ...). k=1 H» ch½nh quy ρ i > 0, h» ho n to n ch½nh quy cho ρi ≥ θ > 0. Gi£ sû h» (1.1) l h» ch½nh quy v c¡c h» sè tü do bi thäa m¢n i·u ki»n |bi | ≤ Kρi , (K = const > 0) . (1.4) ành lþ 1.1.4. (Sü tçn t¤i cõa nghi»m bà ch°n). N¸u c¡c h» sè tü do cõa h» væ h¤n ch½nh quy tho£ m¢n i·u ki»n (1.4) th¼ nâ câ nghi»m bà ch°n |xi| ≤ K v nghi»m n y câ thº t¼m ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p x§p x¿ li¶n ti¸p. ành lþ 1.1.5. (Sü "ch°t cöt"). Nghi»m ch½nh x∗ cõa h» ch½nh quy ∞ X xi = ci,k xk + bi , (i = 1, 2, 3, ...) , k=1 còng vîi c¡c h» sè tü do thäa m¢n i·u ki»n |bi| ≤ Kρi câ thº t¼m ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p "ch°t cöt", ngh¾a l n¸u xNi l nghi»m cõa h» húu h¤n N X xi = ci,k xk + bi , (i = 1, 2, 3, ..., N ) , k=1 th¼ x∗i = lim xN i . N →∞ 3
ành lþ 1.1.6. H» ch½nh quy câ thº câ khæng qu¡ mët nghi»m ti¸n ¸n khæng, ngh¾a l lim xi = 0. i→∞ 1.2 Bi¸n êi Fourier 1.2.1 Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh Khæng gian S cõa c¡c h m cì b£n gi£m nhanh ành ngh¾a 1.2.1. K½ hi»u S = S (R) l tªp hñp cõa c¡c h m kh£ vi væ h¤n f ∈ C ∞ (R) tho£ m¢n i·u ki»n p Xp
k
|[f ]|p = sup (1 + |x|)
D f
< ∞, p = 0, 1, 2,..., m, x∈R k=0 d n o trong â k½ hi»u D = . D¢y |[f ]|p l mët hå c¡c nûa chu©n. D¢y dx k {fk } ⊂ S ÷ñc gåi l hëi tö ¸n h m f ∈ S, n¸u |[fk − f ]|p → 0, khi k → ∞, p = 0, 1, 2, ..., m. Tªp hñp S vîi hëi tö tr¶n d¢y ÷ñc gåi l khæng gian c¡c h m cì b£n gi£m nhanh. 2 V½ dö: H m f (x) = e−x ∈ C ∞ (R) l h m gi£m nhanh. ành lþ 1.2.2. Tªp hñp C0∞ (R) cõa c¡c h m kh£ vi væ h¤n câ gi¡ compact trong S l trò mªt trong S theo topo cõa S. Bi¸n êi Fourrier cõa c¡c h m cì b£n ành ngh¾a 1.2.3. Bi¸n êi Fourier cõa c¡c h m cì b£n f ∈S ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc Z+∞ F [f ] (t) = f (x)eixt dx. (1.5) −∞ 4
C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa bi¸n êi Fourier trong khæng gian S T½nh ch§t 1. ¤o h m sè l¦n tuý þ d÷îi d§u t½ch ph¥n Fourier Dα F [f ] (t) = F [(ix)α f ] (t) . T½nh ch§t 2. Bi¸n êi Fourier cõa ¤o h m F [Dα f ] (t) = (−it)α F [f ] (t) . T½nh ch§t 3. ¯ng thùc Parseval Gi£ sû ϕ ∈ L1 (R). Khi â ta câ ¯ng thùc Z+∞ Z+∞ F [ϕ] (t) f (t) dξ = ϕ (x)F [f ] (x) dx, f ∈ S. (1.6) −∞ −∞ T½nh ch§t 4. Cæng thùc bi¸n êi Fourier ng÷ñc f = F −1 [F [f ]] = F F −1 [f ] , 1 F −1 [f (t)] (x) = F [f (−t)] (x) . (1.7) 2π ành lþ 1.2.4. Bi¸n êi Fourier F tø S v o S l t÷ìng ùng mët - mët v li¶n töc v o ch½nh nâ, ngh¾a l mët ¯ng c§u tuy¸n t½nh. 1.2.2 Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm Khæng gian S cõa c¡c h m suy rëng t«ng chªm 0 ành ngh¾a 1.2.5. Måi phi¸n h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n S ÷ñc gåi l h m suy rëng t«ng chªm. Tªp hñp c¡c h m suy rëng t«ng chªm k½ hi»u l S 0. Gi¡ trà cõa ϕ ∈ S0 tr¶n ph¦n tû f ∈S ÷ñc k½ hi»u l hϕ, f i, cán tr¶n ph¦n tû li¶n hñp phùc f, k½ hi»u l (ϕ, f ). D¢y {ϕk } ∈ S 0 hëi tö ¸n ϕ ∈ S 0, n¸u hϕk , f i → hϕ, f i , f ∈ S. Gi£ sû f l h m kh£ vi i¤ ph÷ìng, ngo i ra èi vîi N > 0 n o â: Z+∞ |ϕ (x)|(1 + |x|)−N dx < ∞. −∞ 5
Khi â h m ϕ t÷ìng ùng vîi mët phi¸n h m tr¶n S0 theo cæng thùc: Z+∞ (ϕ, f ) = ϕ (x)f (x)dx. −∞ Phi¸n h m tr¶n ÷ñc gåi l h m suy rëng ch½nh quy. D¹ th§y r¬ng phi¸n h m tr¶n ¥y l tuy¸n t½nh v li¶n töc tr¶n S. ành lþ 1.2.6. Khæng gian c¡c h m suy rëng t«ng chªm S 0 l khæng gian ¦y õ. Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm Cæng thùc (1.6) câ thº vi¸t l¤i d÷îi d¤ng hF [ϕ] , f i = hϕ, F [f ]i , f ∈ S. Cæng thùc n y l cì sð cõa ành ngh¾a sau ¥y. ành ngh¾a 1.2.7. Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng t«ng chªm ϕ l h m suy rëng t«ng chªm F [ϕ] ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc hF [ϕ] , f i = hϕ, F [f ]i , ϕ ∈ S 0 , f ∈ S. (1.8) V¼ ph²p to¡n f → F [f ] l ¯ng c§u v li¶n töc tø S v o S, n¶n phi¸m h m F [ϕ] x¡c ành theo cæng thùc (1.8) ÷ñc hiºu theo ngh¾a S 0, hìn núa ph²p to¡n ϕ → F [ϕ] l tuy¸n t½nh v li¶n töc tø S v o S 0. ành ngh¾a 1.2.8. Ph²p bi¸n êi Fourier ng÷ñc F −1 cõa ph²p bi¸n êi Fourier F x¡c ành trong S0 theo cæng thùc hϕ (−x) , f (x)i = hϕ, f (−x)i , f ∈ S 0 (1.9) trong â ϕ (−x) l h m suy rëng ph£n x¤ cõa h m suy rëng ϕ (x) hϕ (−x) , f (x)i = hϕ, f (−x)i , f ∈ S 0 . 6
C¡c t½nh ch§t cì b£n cõa bi¸n êi Fourier trong S 0 T½nh ch§t 5. ¤o h m cõa bi¸n êi Fourier Dα F [ϕ] = F [(ix)α ϕ] , ϕ ∈ S 0 . (1.10) T½nh ch§t 6. Bi¸n êi Fourier cõa ¤o h m F [Dα ϕ] = (−it)α F [ϕ] , ϕ ∈ S 0 . (1.11) T½nh ch§t 7. ¯ng thùc Parseval hF [ϕ] , F [f ]i = 2π hϕ (−x) , f (x)i , ϕ ∈ S 0 , f ∈ S. (1.12) T½nh ch§t 8. Bi¸n êi Fourier cõa dàch chuyºn F [ϕ (x − x0 )] = eitx0 F [ϕ] , ϕ ∈ S 0 . (1.13) T½nh ch§t 9. Bi¸n êi Fourier cõa h m suy rëng câ gi¡ compact. N¸u ϕ ∈ S0 câ gi¡ compact th¼ F [ϕ] ∈ C ∞ v t«ng chªm ð væ còng, ngh¾a l m2α α 2 |D F [ϕ] (t)| ≤ Cmα 1 + |t| . Bi¸n êi Fourier cõa t½ch chªp ành ngh¾a 1.2.9. i. N¸u ϕ ∈ S 0, η ∈ S , th¼ ϕ∗η ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc ϕ ∗ η = hϕ (y) , η (x − y)i . Khi â F [ϕ ∗ η] (t) = F [ϕ] (t) F [η] (t) . ii. N¸u ϕ, g ∈ S 0 , suppg l tªp compact th¼ ϕ ∗ g ∈ S0 v ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc hϕ ∗ g, f i = hϕ (y) , hg (x) , f (x + y)ii . Khi â F [ϕ ∗ g] = F [ϕ] .F [g] . 7
1.3 Khæng gian Sobolev 1.3.1 Khæng gian H s (R) ành ngh¾a 1.3.1. s∈RGi£ sû . K½ hi»u H s (R) l khæng gian cõa c¡c h m suy rëng u ∈ S 0, câ bi¸n êi Fourier u b (t) tho£ m¢n i·u ki»n: Z+∞ 2 2 2s kuks = |u b (t)| 1 + |t| dt < ∞. (1.14) −∞ K½ hi»u bs H l khæng gian cõa c¡c h m b = F [u], vîi u ∈ H s (R). Cæng thùc u (1.14) x¡c ành chu©n trong Hs v b s . Nhªn x²t r¬ng, H trong H b s v H s l khæng gian Hilbert vîi t½ch væ h÷îng Z+∞ (u, v)s = (1 + |t|)2s u b (t) vb (t)dt. (1.15) −∞ ành lþ 1.3.2. èi ng¨u cõa khæng gian H s (R) l khæng gian H −s (R). Ngo i ra, tªp hñp Co∞ (R) cõa c¡c h m kh£ vi væ h¤n câ gi¡ compact trò mªt trong H s (R) , s ∈ R. 1.3.2 C¡c khæng gian Hos (Ω) , Ho,os (Ω) , H s (Ω) ành ngh¾a 1.3.3. Ω Gi£ sû l mët kho£ng ho°c h» c¡c kho£ng khæng giao nhau trong R. Hos (Ω) l khæng gian con cõa khæng gian H s (R) ÷ñc ành ngh¾a nh÷ bao âng cõa Co∞ (Ω) theo chu©n cõa H s (R). ành ngh¾a 1.3.4. Tªp hñp cõa c¡c h m trong H s (R) câ gi¡ trà trong Ω s ÷ñc k½ hi»u Ho,o (Ω). Chu©n trong Hos (Ω) công ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc v måi h m u∈ Hos (Ω) câ supp u ⊂ Ω. Thªt vªy, gi£ sû u ∈ Hos (Ω). Khi â tçn t¤i d¢y {uk } ∈ Co∞ hëi tö ¸n u theo chu©n cõa H s (R). K½ hi»u Ω0 = R\Ω. Nh÷ vªy, ta câ huk , f i = 0 vîi måi f ∈ Co∞ (Ω0 ). Do t½nh li¶n töc suy ra hu, f i = 0, f ∈ Co∞ (Ω0 ). i·u n y chùng tä supp u ⊂ Ω. Nh÷ vªy H s (Ω) ⊂ Ho,o s (Ω). 8
ành ngh¾a 1.3.5. Gi£ sû ϕ ∈ H s (R). K½ hi»u ϕΩ l h¤n ch¸ cõa ϕ tr¶n Ω, ngh¾a l hϕΩ , f i = hϕ, f i vîi måi f ∈ Co∞ (Ω) . K½ hi»u p, l t÷ìng ùng l c¡c to¡n tû bà h¤n ch¸ tr¶n Ω v to¡n tû th¡c triºn ra R. Tªp hñp c¡c h¤n ch¸ cõa c¡c h m thuëc H s (R) tr¶n Ω k½ hi»u H s (Ω). Chu©n trong H s (Ω) ÷ñc x¡c ành theo cæng thùc: kϕkH s (Ω) = inf klϕks , (1.16) l trong â inf l§y theo t§t c£ c¡c th¡c triºn lϕ ∈ H s (R) cõa ϕ ∈ H s (Ω). ành lþ 1.3.6. Gi£ sû (Hos (Ω))∗ l khæng gian èi ng¨u cõa Hos (Ω). Khi â (Hos (Ω))∗¯ng c§u vîi H −s (Ω). Ngo i ra gi¡ trà cõa phi¸n h m ϕ ∈ H −s (Ω) tr¶n ph¦n tû u ∈ Hos (Ω) ÷ñc cho bði cæng thùc Z+∞ hϕ, ui = (lϕ, u) = lϕ b (t) u b (t)dt, (1.17) −∞ trong â t½ch ph¥n ð v¸ tr¡i cõa khæng phö thuëc v o vi»c chån th¡c triºn lϕ cõa phi¸n h m ϕ. ành l½ nhóng ành lþ 1.3.7. Gi£ sû Ω l mët mi·n giîi nëi trong R. Khi â khæng gian nhóng li¶n töc v o C Ω khi v ch¿ khi s > 1/2. H s (Ω) ành lþ 1.3.8. Gi£ sû Ω l mët mi·n giîi nëi trong R. Khi â H s (Ω) ⊂ C m (Ω) , s > 1/2 + m. 1.4 Khæng gian Sobolev vectì Gi£ sû X l khæng gian tæpæ tuy¸n t½nh. Ta k½ hi»u t½ch trüc ti¸p cõa hai khæng gian X v X 2 . Tæpæ trong X 2 l tæpæ thæng th÷íng cõa t½ch trüc ti¸p. 9
K½ hi»u u l vectì câ d¤ng u = (u1 , u2 ) v 2 S2 = S × S, S0 = S 0 × S 0 . Cho h m vectì u ∈ (S 0 )2 , w ∈ (S)2 , °t 2 X hu, wi = huj , wj i. j=1 Ph²p bi¸n êi Fourier v ph²p bi¸n êi Fourier ng÷ñc cõa h m vectì u ∈ (S 0 )2 F ±1 [u] = F ±1 [u1 ] , F ±2 [u2 ] l h m vectì ÷ñc x¡c ành b¬ng cæng thùc hF [u] (t) , w (t)i = hu (x) , F [w] (x)i , −1 1 (1.18) F [u] (t) , w (t) = hu (x) , F [w] (−x)i , 2π s s trong â w ∈ (S)2 . Gi£ sû H sj (R) , Ho j (Ω) , Ho,oj (Ω) , H sj (Ω) l c¡c khæng gian Sobolev, trong â j = 1, 2, Ω l mët kho£ng ho°c h» kho£ng khæng giao nhau trong R. Ta °t → − → − s = (s1 , s2 )T , H s (R) = H s1 (R) × H s2 (R) , → − Hos (Ω) = Hos1 (Ω) × Hos2 (Ω) , s → − s1 s2 Ho,o (Ω) = Ho,o (Ω) × Ho,o (Ω) , → − → − → − H s (Ω) = H s1 (Ω) × H s2 (Ω) . → − → − T½ch væ h÷îng v chu©n trong H s (R) v Hos (R) ÷ñc x¡c ành bði c¡c cæng thùc   21 2 X X2 s = (u, v)→ − (uj , vj )sj , kuk→ − s = kuj k2sj  , (1.19) j=1 j=1 vîi kuj ksj , (uj , vj )sj ÷ñc x¡c ành t÷ìng ùng theo c¡c cæng thùc Z+∞ kuk2s = |u 2 2s b (t)| 1 + |t| dt < ∞, −∞ 10