Luận văn Thạc sĩ Toán học: Jacobson Radical của các PI - Đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

93
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Jacobson Radical của các PI - Đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị trình bày các vấn đề cơ bản của đại số không giao hoán; các PI-đại số; Jacobson Radical của các PI-đại số phổ dụng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Jacobson Radical của các PI - Đại số phổ dụng trên một vành giao hoán có đơn vị

BOÄ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP.HCM LEÂ LAN HÖÔNG JACOBSON RADICAL CUÛA CAÙC PI-ÑAÏI SOÁ PHOÅ DUÏNG TREÂN MOÄT VAØNH GIAO HOAÙN COÙ ÑÔN VÒ Chuyeân ngaønh : Ñaïi soá Maõ soá : 1.01.03 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN PGS.TS BUØI TÖÔØNG TRÍ Tp.HCM, 2005
LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu tieân trong luaän vaên naøy, toâi xin gôûi ñeán PGS-TS Buøi Töôøng Trí_Khoa Toaùn Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh Phoá Hoà Chí Minh, ngöôøi thaày ñaõ taän tình höôùng daãn vaø giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy, loøng bieát ôn chaân thaønh vaø saâu saéc nhaát. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn TS Traàn Huyeân, PGS_TS Buøi Xuaân Haûi, TS Nguyeãn Vieát Ñoâng, PGS-TS Mî Vinh Quang, Quí thaày coâ trong khoa Toaùn vaø phoøng Khoa Hoïc Coâng Ngheä _ Sau Ñaïi Hoïc ñaõ tham gia giaûng daïy, quaûn lyù lôùp hoïc, ñaõ tröïc tieáp truyeàn ñaït kieán thöùc cho toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp. Cuoái cuøng, toâi xin caûm ôn caùc ñoàng nghieäp, baïn beø ñaõ ñoäng vieân giuùp ñôõ, taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong quaù trình hoïc taäp vaø hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Thaønh phoá Hoà Chí Minh , 2005 Hoïc vieân cao hoïc khoaù 13 Leâ Lan Höông
MUÏC LUÏC LÔØI MÔÛ ÑAÀU. HEÄ THOÁNG KYÙ HIEÄU. CHÖÔNGI : CAÙC VAÁN ÑEÀ CÔ BAÛN CUÛA ÑAÏI SOÁ KHOÂNG GIAO HOAÙN I.1 : Toùm taét nhöõng kieán thöùc cô sôû ............................................... Trang 1 I.2 : Caùc radical cuûa moät ñaïi soá ..................................................... Trang 6 I.3 : Ideal nguyeân toá vaø ideal nöûa nguyeân toá ............................... Trang 12 CHÖÔNG II :CAÙC PI-ÑAÏI SOÁ II.1 : Caùc ñònh nghóa vaø moät soá keát quaû hình thöùc. Ñònh lí Kaplansky-Amitsur-Levitzki .............................................. Trang 17 II.2 : Caùc PI-ñaïi soá thoaû maõn ñoàng nhaát thöùc chính qui maïnh. .... Trang 38 II.3 : Ñòa phöông hoùa giao hoaùn .Ñaïi soá nguyeân toá thoaû maõn ñoàng nhaát thöùc thaät söï..................................................................................... .Trang 43 II.4 : Caùc ñònh nghóa töông ñöông cuûa PI-ñaïi soá........................... Trang 53 II.5 : Caùc ñoàng nhaát thöùc cuûa moät ñaïi soá. Caùc PI-ñaïi soá phoå duïng .Trang 57 CHÖÔNG III: JACOBSON RADICAL CUÛA CAÙC PI-ÑAÏI SOÁ PHOÅ DUÏNG.................. Trang 60 KEÁT LUAÄN TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO TIEÁNG ANH : [1] N. JACOBSON LECTURE NOTES IN MATHEMATICS 441 PI_ALGEBRAS AN INTRODUCTION SPRINGER_VERLAG_BERLIN_HEIDELBERG_NEWYORK1975 [2] I.N. HERSTEIN NON COMMUTATIVE RINGS A.M.S 1968 [3] M.F.ATIYAH, I.G. MACDONALD INTRODUCTION TO COMMUTATIVE ALGEBRA ADDISON-WESLEY PUBLISHING COMPANY. MASSACHUSETTS 1969 TIEÁNG VIEÄT : [1] MÎ VINH QUANG ÑAÏI SOÁ ÑAÏI CÖÔNG, BAØI TAÄP ÑAÏI SOÁ ÑAÏI CÖÔNG. NHAØ XUAÁT BAÛN GIAÙO DUÏC 1998. [2]NGUYEÃN CANG – NGUYEÃN ÑAÊNG PHAÁT GIÔÙI THIEÄU TOÙM TAÉT CUOÄC ÑÔØI VAØ SÖÏ NGHIEÄP CAÙC NHAØ TOAÙN HOÏC (TAÄP II). NHAØ XUAÁT BAÛN TREÛ. [3] NINH QUANG THAÊNG LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC : VEÀ CAÙC RADICAL CUÛA CAÙC PI-ÑAÏI SOÁ-1998 [4] NGUYEÃN THÒ HOÀNG LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC : ÑA THÖÙC TAÂM TREÂN ÑAÏI SOÁ CAÙC MA TRAÄN VAØ ÖÙNG DUÏNG TREÂN CAÙC ÑAÏI SOÁ KHAÙC-2004
LÔØI MÔÛ ÑAÀU Jacobson Nathan _ nhaø toaùn hoïc Myõ goác Ba Lan laø moät chuyeân gia trong lónh vöïc Lyù thuyeát caùc Vaønh vaø Module. Naêm 1943, oâng ñöa ra khaùi nieäm radical cuûa moät vaønh, ñöôïc giôùi toaùn hoïc cho laø thoûa ñaùng hôn khaùi nieäm cuøng loaïi maø Gottfied Kother thuoäc tröôøng phaùi Emmy Nother ñaõ ñöa ra. Ngöôøi ta goïi Jacobson radical cuûa moät vaønh giao hoaùn A laø giao cuûa caùc ideal toái ñaïi cuûa A, kyù hieäu laø : radA. Jacobson chöùng minh raèng radA laø taäp caùc phaàn töû a cuûa A sao cho 1 - ax, vôùi x∈A, laø khaû nghòch trong vaønh A. Toång quaùt hôn, neáu A laø ñaïi soá khoâng giao hoaùn thì Jacobson radical cuûa A ñöôïc ñònh nghóa laø taäp hôïp taát caû caùc phaàn töû cuûa A linh hoùa ñöôïc taát caû caùc moñun baát khaû quy treân A. Trong luaän vaên naøy, döïa treân cô sôû lyù thuyeát cuûa ñaïi soá khoâng giao hoaùn vaø caùc PI-ñaïi soá, chuùng toâi tìm hieåu veà tính chaát cuûa Jacobson radical cuûa caùc PI-ñaïi soá vaø hôn nöõa laø xem xeùt Jacobson radical cuûa caùc PI-ñaïi soá phoå duïng treân moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò. Luaän vaên goàm 3 chöông: Chöông I: Chuùng toâi trình baøy caùc vaán ñeà cô baûn cuûa ñaïi soá khoâng giao hoaùn, caùc khaùi nieäm radical cuûa moät ñaïi soá, caùc ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa ideal nguyeân toá, ideal nöûa nguyeân toá. Chöông II: Chuùng toâi trình baøy moät soá ñònh nghóa vaø tính chaát cuûa caùc PI- ñaïi soá, trong ñoù coù trình baøy moät ñònh lí cô baûn veà ñoàng nhaát thöùc ña thöùc, ñoù laø ñònh lyù Kaplansky-Amitsur-Levitzki. Ñoàng thôøi, chuùng toâi cuõng xem xeùt caùc PI-ñaïi soá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh vaø ñòa phöông hoùa giao hoaùn. Töø ñoù, chuùng toâi trình baøy caùc ñònh nghóa töông ñöông cuûa PI-ñaïi soá, ñöa ra khaùi nieäm vaø moät soá tính chaát cuûa caùc PI-ñaïi soá phoå duïng. Chöông III: Chuùng toâi trình baøy tính chaát cuûa Jacobson Radical cuûa caùc PI- ñaïi soá phoå duïng.
HEÄ THOÁNG KYÙ HIEÄU Rad A : Jacobson Radical cuûa A. ln(A) : lower nil radical cuûa A. L(A) : levitzki nil radical cuûa A. Un(A) : Upper nil radical cuûa A. IΔ A : I laø ideal hai phía cuûa A. I Δl A : I laø ideal traùi cuûa A. I Δ lmax A : I laø ideal traùi toái ñaïi cuûa A. [x,y]=xy-yx : Giao hoaùn töû cuûa x vaø y. Tr(a) : veát cuûa ma traän a. Sgn( π ) : daáu cuûa pheùp theá π . [M :F] : soá chieàu cuûa M treân F. B⊂ A : B chöùa trong A. Mn(K) : Taäp hôïp caùc ma traän vuoâng caáp n treân K. A[x] : Vaønh caùc ña thöùc cuûa aån x treân A. A[ x1 ,x 2 ,...,x n ] : Vaønh caùc ña thöùc cuûa n aån x1 ,x 2 ,...,x n treân A. End VF : Taäp hôïp caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính cuûa V treân F.
KEÁT LUAÄN Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi ñaõ trình baøy ñöôïc moät soá keát quaû veà caùc PI-ñaïi soá nhö sau: Ñònh lyù Kaplansky-Amitsur-Levitzki: Giaû söû A laø ñaïi soá nguyeân thuûy. Khi ñoù A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc thaät söï khi vaø chæ khi A laø ñaïi soá ñôn vaø höõu haïn chieàu treân taâm C cuûa noù. Neáu d laø baäc nhoû nhaát cuûa ñoàng nhaát thöùc thaät söï cuûa A thì d = 2n laø soá chaün vaø [A:C] = n2 , ñoàng thôøi A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chuaån Sd. Neáu A laø ñaïi soá thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc chính quy maïnh baäc d thì ln(A) = L(A) = Un(A). Baát kyø ñoàng nhaát thöùc f(x1,…,xm) cuûa A ñeàu laø ñoàng nhaát thöùc cuûa As (vôùi As xem nhö laø ñaïi soá treân K). Chieàu ngöôïc laïi vaãn ñuùng neáu moãi phaàn töû cuûa S laø chính quy ñoái vôùi A. Neáu A laø tích tröïc tieáp con cuûa caùc ñaïi soá nguyeân toá thoûa maõn caùc ñoàng nhaát thöùc thaät söï coù baäc bò chaën thì baát kyø ideal I ≠ (O) cuûa A coù giao khaùc khoâng vôùi taâm C cuûa A. Caùc ñònh nghóa töông ñöông cuûa PI-ñaïi soá: A laø PI-ñaïi soá ⇔ ∃ f laø ñoàng nhaát thöùc cuûa A: SfA = A. A laø PI-ñaïi soá ⇔ ∃ n, m : A thoûa maõn ñoàng nhaát thöùc S2n m . Sau ñoù, chuùng toâi trình baøy ñònh nghóa vaø moät soá tính chaát cuûa caùc PI-ñaïi soá phoå duïng treân moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K : ¾ Cho A laø moät PI-ñaïi soá treân vaønh giao hoaùn K vaø I = I(A) laø taäp taát caû caùc ñoàng nhaát thöùc cuûa A. Khi ñoù I laø moät T-ideal cuûa K{X}.
¾ Moät PI-ñaïi soá phoå duïng laø moät ñaïi soá coù daïng U = UI = K{X}/I, trong ñoù I laø moät T-ideal cuûa K{X} chöùa S2n m , vôùi m, n naøo ñoù. ¾ Neáu U = K{X}/I laø PI-ñaïi soá phoå duïng thì U laø PI-ñaïi soá vaø I laø ideal chöùa taát caû caùc ñoàng nhaát thöùc cuûa U. Chuùng toâi cuõng chöùng minh ñöôïc moät soá tính chaát cuûa Jacobson radical, Upper nil radical, Lower nil radical cuûa moät ñaïi soá A nhö sau : Neáu A laø PI – ñaïi soá thì : ln(A) = L(A) = Un(A) ⊂ radA. Neáu A laø PI – ñaïi soá nöûa nguyeân toá thì : ln(A) = L(A) = Un(A) = 0. Neáu A laø PI – ñaïi soá nöûa nguyeân toá coù taâm C thoûa ann A radC = 0 thì A[ λ ] laø PI – ñaïi soá nöûa nguyeân thuûy. Khi ñoù, ta coù : ln(A[λ ]) = L(A[λ ]) = Un(A[λ ]) = rad(A[λ ]) = 0 Ñaëc bieät : Neáu A laø PI – ñaïi soá phoå duïng thì radA laø moät nil ideal. Khi ñoù : ln(A) = L(A) = Un(A) = radA. Hôn theá nöõa, neáu U = K{X}/I laø PI-ñaïi soá phoå duïng, I= thì U laø PI-ñaïi soá phoå duïng giao hoaùn. Maø PI-ñaïi soá phoå duïng giao hoaùn laø ñaïi soá ña thöùc vôùi caùc bieán ñeám ñöôïc vaø caùc bieán giao hoaùn ñöôïc vôùi nhau. Do ñoù, aùp duïng keát quaû radU laø moät Nil ideal ñoái vôùi vaønh caùc ña thöùc n aån treân moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K, chuùng ta coù moät con ñöôøng khaùc ngoaøi caùch chöùng minh tröïc tieáp ñeå ñi ñeán keát quaû sau ñaây : Rad(K [x1 ,x 2 ,...,x n ] ) = Nil(K [x1 ,x 2 ,...,x n ] ). Tuy nhieân, ngoaøi vieäc tìm hieåu tính chaát cuûa Jacobson Radical cuûa caùc PI- ñaïi soá, PI-ñaïi soá phoå duïng, coøn raát nhieàu khía caïnh khaùc cuûa PI-ñaïi soá caàn ñöôïc tieáp tuïc nghieân cöùu vaø giaûi quyeát. Ñoù chaúng haïn laø : xem xeùt ideal In goàm caùc ñoàng nhaát thöùc cuûa Mn(K); nhöõng öùng duïng cuûa PI-ñaïi soá ñoái vôùi caùc ñaïi soá ñôn taâm höõu haïn chieàu treân moät tröôøng, …vv, …
Vì thôøi gian vaø khaû naêng nghieân cöùu coøn haïn cheá neân nhöõng phaàn trình baøy trong luaän vaên naøy khoù traùnh khoûi thieáu soùt.Kính mong Quyù thaày coâ vaø caùc baïn ñoàng nghieäp vui loøng chæ baûo vaø löôïng thöù. Thaønh phoá Hoà Chí Minh, 2005 Ngöôøi thöïc hieän Leâ Lan Höông
1 CHÖÔNG I: CAÙC VAÁN ÑEÀ CÔ BAÛN CUÛA ÑAÏI SOÁ KHOÂNG GIAO HOAÙN Trong chöông naøy, chuùng toâi seõ trình baøy caùc khaùi nieäm vaø keát quaû caên baûn ñöôïc söû duïng ñeán trong luaän vaên naøy. Trong ñoù, chuùng toâi chuû yeáu xeùt phaïm truø caùc ñaïi soá coù ñôn vò (khoâng nhaát thieát giao hoaùn) treân moät vaønh giao hoaùn coù ñôn vò K. Tröø khi ñöôïc chæ ra roõ raøng, caùc moñun ñeàu ñöôïc hieåu laø caùc moñun traùi, ideal ñöôïc hieåu laø ideal hai phía. I.1. TOÙM TAÉT NHÖÕNG KIEÁN THÖÙC CÔ SÔÛ Ñònh nghóa I.1.1 A ñöôïc goïi laø ñaïi soá treân vaønh K neáu: A laø K_moñun, A laø vaønh vaø ∀ k ∈ K, ∀ a,b ∈ A: k(ab) = (ka)b = a(kb) Ñònh nghóa I.1.2 Cho A laø moät K_ñaïi soá. Ñaïi soá ñoái cuûa A, kyù hieäu laø Ao, laø moät ñaïi soá maø Ao = A nhö laø K_moñun vaø tích a ∗ b ñöôïc xaùc ñònh bôûi a ∗ b = b.a, vôùi ∀ a,b ∈ A Ñònh nghóa I.1.3 Neáu A,B laø caùc K_ñaïi soá, M laø K_moñun thì moät A_B_song moñun laø moät A_moñun traùi, B_moñun phaûi vaø coù tính chaát keát hôïp sau ñaây: (ax)b = a(xb), ∀ a ∈ A, b ∈ B, x ∈ M Löu yù: • Tích tenxô cuûa caùc moñun vaø ñaïi soá, tröø tröôøng hôïp ñaëc bieät, ñöôïc hieåu laø tích tenxô treân K. Ta vieát M ⊗ N thay vì M ⊗K N. • Neáu A, B laø caùc K_ ñaïi soá thì A ⊗ B laø moät K_ ñaïi soá.
2 • Moät A_B_ song moñun coù theå ñoàng nhaát vôùi A ⊗ Bo_ moñun neáu (a ⊗ b)x = axb (*) Ngöôïc laïi, moät A ⊗ Bo_ moñun coù theå xem nhö laø moät A_B_ song moñun neáu ax = (a ⊗ 1)x ; xb =(1 ⊗ b)x. • Ta vieát Ae = A ⊗ Ao thì :A laø moät Ae _moñun ñöôïc xaùc ñònh bôûi (*).Vaø moñun con cuûa A (vôùi A xem laø Ae _moñun) laø ideal cuûa A. Ñònh nghóa I.1.4 Cho M laø moät A_ moñun, kyù hieäu EndA M (hay End M) laø taäp hôïp caùc töï ñoàng caáu treân M. Khi ñoù: • η ∈ EndA M , x ∈ M thì x η laø keát quaû taùc ñoäng cuûa η ñoái x. • Vôùi η , ξ ∈ EndA M thì η ξ ñöôïc ñònh nghóa bôûi x( η ξ ) = (x η ) ξ , ∀ x ∈ M. • Vaønh giao hoaùn töû cuûa A treân M, kyù hieäu laø C(M), ñònh bôûi C(M) = { η ∈ EndA M / η .Ta = Ta. η , ∀ a ∈ A} trong ñoù, Ta : M → M, m ma. Ñònh nghóa I.1.5 Cho M laømoät A_moñun.Khi ñoù, taäp hôïp caùc phaàn töû cuûa A maø linh hoùa toaøn boä M, kyù hieäu laø : annA M, ñöôïc xaùc ñònh bôûi : annA M = { a∈ A / aM = 0 } Ñònh nghóa I.1.6 Cho M laø moät A_moñun, M ñöôïc goïi laø A_moñun baát khaû quy neáu M ≠ 0 vaø M khoâng coù moñun con naøo khaùc ngoaøi 0 vaø M. Meänh ñeà I.1.1
3 Caùc khaúng ñònh sau ñaây laø töông ñöông: i> M laø A_moñun baát khaû quy. ii> M = Ax, vôùi 0 ≠ x ∈ M. iii> M ≅ A/I, vôùi I Δ lmax A. Ñònh nghóa I.1.7 M ñöôïc goïi laø A_moñun trung thaønh neáu : Ma = 0 ⇒ a = 0. Ñònh nghóa I.1.8 • Moät ñaïi soá A ñöôïc goïi nguyeân thuûy neáu noù coù moät A_moñun baát khaû quy trung thaønh. • Moät ideal ρ cuûa ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ideal nguyeân thuûy neáu A/ ρ laø ñaïi soá nguyeân thuûy. Boå Ñeà Schur: Neáu M laø A_moñun baát khaû quy thì C(M) laø moät theå Ñònh nghóa I.1.9 Cho A laø ñaïi soá nguyeân thuûy, M laø A_moñun baát khaû quy trung thaønh. Neáu Δ =C(M) thì theo boå ñeà Schur, Δ laø moät theå. Ta coù theå xem M nhö laø moät khoâng gian vectô treân Δ . Khi ñoù: A ñöôïc goïi laø taùc ñoäng daøy ñaëc treân M (hoaëc daøy ñaëc treân M) neáu : Vôùi moãi n : ϑ1 ,ϑ2 ,...,ϑn ∈ M ñoäc laäp tuyeán tính treân Δ vaø baát kyø n phaàn töû ω1 , ω2 ,..., ωn ∈ M, ∃ r∈ A sao cho ωi = ϑi .r, vôùi i = 1,2,…n. Meänh ñeà I.1.2 (ñònh lyù daøy ñaëc)
4 Cho A laø ñaïi soá nguyeân thuûy, M laø A_moñun baát khaû quy trung thaønh. Neáu Δ =C(M) thì A laø moät vaønh daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi tuyeán tính cuûa M treân Δ . Ñònh nghóa I.1.10 Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ñaïi soá ñôn neáu A ≠ 0 vaø A khoâng coù ideal naøo khaùc ngoaøi 0 vaø A. Löu yù : Cho A laø ñaïi soá ñôn. Goïi C ={c ∈ A / cx = xc, ∀ x ∈ A} laø taâm cuûa A. Khi ñoù C laø tröôøng vaø A coù theå xem laø ñaïi soá treân C. Ñònh nghóa I.1.11 Giaû söû K laø moät tröôøng. Ñaïi soá A ñöôïc goïi laø ñôn taâm treân tröôøng K neáu A ñôn vaø taâm cuûa A ñaúng caáu vôùi K. Ñònh nghóa I.1.12 Giaû söû K laø moät tröôøng. Tröôøng con F cuûa K ñöôïc goïi laø tröôøng con toái ñaïi neáu F khoâng bò chöùa nghieâm ngaët trong moät tröôøng con lôùn hôn cuûa K. Meänh ñeà I.1.3 Cho D laø moät theå coù taâm laø C, F laø tröôøng con toái ñaïi cuûa D. Khi ñoù : D ⊗C F laø vaønh daøy ñaëc caùc pheùp bieán ñoåi caùc tuyeán tính cuûa D, neáu xem D nhö laø khoâng gian vectô treân tröôøng F. Ñònh nghóa I.1.13
5 Ñaïi soá A ñöôïc goïi Artin (traùi) neáu baát kyø taäp khaùc roãng caùc ideal traùi cuûa noù ñeàu coù phaàn töû toái tieåu. Meänh ñeà I.1.4 (Ñònh lyù Wedderburn_ Artin) Cho A laø moät vaønh Artin ñôn. Khi ñoù A ≅ D n vôùi D n laø vaønh caùc ma traän vuoâng caáp n treân theå D. Hôn nöõa, n laø duy nhaát vaø D sai khaùc moät ñaúng caáu. Ngöôïc laïi, vôùi baát kyø theå D, D n laø moät vaønh Artin ñôn. Ñònh nghóa I.1.14 Giaû söû { A α } laø moät hoï caùc ñaïi soá. Tích tröïc tieáp ∏A α α ñöôïc ñònh nghóa bôûi taäp tích Ñeà-caùc cuûa caùc A α maø ñöôïc ñöa vaøo caáu truùc ñaïi soá phuø hôïp. Moät ñaïi soá con A cuûa ∏A α α ñöôïc goïi laø moät tích tröïc tieáp con cuûa hoï { A α } neáu haïn cheá treân A cuûa moãi pheùp chieáu ∏α , kyù hieäu laø ∏α A , laø toaøn caáu. Löu yù : Khi A laø tích tröïc tieáp con cuûa { A α }, ta goïi Bα = Ker ∏α A thì A/ Bα ≅ A α vaø ∩B α = 0. α Ngöôïc laïi, giaû söû A laø moät ñaïi soá baát kyø vaø { Bα } laø hoï caùc ideal trong A sao cho ∩B α = 0. Khi ñoù A seõ ñaúng caáu vôùi tích tröïc tieáp con cuûa hoï { A α }, trong ñoù α A α = A/ Bα .
6 I.2. CAÙC RADICAL CUÛA MOÄT ÑAÏI SOÁ. Trong phaàn naøy, chuùng toâi trình baøy caùc ñònh nghóa vaø moät soá keát quaû veà caùc radical cuûa moät ñaïi soá A : Jacobson radical, upper nil radical, lower nil radical vaø Levitzki nil radical. Ñònh nghóa I.2.1 Cho M laø A_moñun baát khaû quy, Jacobson radical cuûa A, kyù hieäu laø rad A, ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : rad A = ∩ annA M M baát khaû quy Ñònh nghóa I.2.2 Moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø nöûa nguyeân thuûy neáu rad A = 0. Ñònh nghóa I.2.3 • Moät phaàn töû a∈ A ñöôïc goïi laø töïa chính quy neáu ∃ b ∈ A: a + b – ab = 0, b ñöôïc goïi laø töïa nghòch ñaûo cuûa a. • Moät ideal (moät phía hoaëc hai phía) ñöôïc goïi laø töïa chính quy neáu taát caû caùc phaàn töû cuûa noù laø töïa chính quy. Löu yù: • a laø töïa chính quy ⇔ 1-a khaû nghòch • rad A laø ideal töïa chính quy chöùa moïi ideal phaûi töïa chính quy vaø ideal traùi töïa chính quy. • Rad A = {z / az laø töïa chính quy,vôùi ∀ a∈ A } = {z / za laø töïa chính quy,vôùi ∀ a∈ A } Ñònh nghóa I.2.4
7 Moät ideal moät phía (hoaëc 2 phía ) ñöôïc goïi laø nil ideal neáu moïi phaàn töû cuûa noù laø luõy linh. Meänh ñeà I.2.1 rad A chöùa taát caû caùc nil ideal moät phía. Chöùng minh Neáu z laø luõy linh ⇒ ∃ n : zn = 0 ⇒ z laø töïa chính quy, vôùi töïa nghòch ñaûo laø ω = - (z+z2+…+zn-1 ) . ■ Baây giôø, goïi A[ λ ] laø ñaïi soá ña thöùc theo bieán λ vôùi heä soá thuoäc A. Ta coù keát quaû sau ñaây cuûa Amitsur: Meänh ñeà I.2.2 Neáu A khoâng coù nil ideal khaùc 0 thì A[ λ ] laø nöûa nguyeân thuûy Tieáp theo ñaây, chuùng toâi trình baøy caùc ñònh nghóa vaø boå ñeà veà ñaïi soá luyõ linh, luõy linh ñòa phöông, vaø nil ñaïi soá. Töø ñoù chuùng ta coù cô sôû ñeå tieáp caän vôùi caùc khaùi nieäm upper nil radical, lower nil radical, vaø Levitzki nil radical. Ñònh nghóa I.2.5 Cho ñaïi soá A. Khi ñoù: • A ñöôïc goïi laø luõy linh neáu ∃ m : Am = 0 • A ñöôïc goïi laø luõy linh ñòa phöông neáu moïi taäp con höõu haïn cuûa noù ñeàu sinh ra moät ñaïi soá con luõy linh. • A ñöôïc goïi laø nil ñaïi soá neáu moïi phaàn töû cuûa noù ñeàu luõy linh. • Moät ideal cuûa A ñöôïc goïi laø luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ideal ) neáu xem laø ñaïi soá thì noù laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá ) Nhaän xeùt: Moïi ideal luõy linh ñeàu laø luõy linh ñòa phöông vaø moïi ideal luõy linh ñòa phöông ñeàu laø nil ideal.
8 Hôn nöõa, caùc boå ñeà sau laø deã thaáy: Boå ñeà I.2.1 • Ñaïi soá con vaø aûnh ñoàng caáu cuûa moät ñaïi soá luõy linh ( luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá) laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá). • Neáu B laø ideal cuûa A sao cho B vaø A/B laø caùc ideal luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ideal ) thì A laø ñaïi soá luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ñaïi soá). Boå ñeà I.2.2 Neáu N1, N2 laø caùc ideal luõy linh (luõy linh ñòa phöông, nil ideal) cuûa A thì N1 + N2 cuõng vaäy. Chöùng minh Do ñaúng caáu (N1 + N2)/N2 ≅ N1/(N1 ∩ N2) vaø keát hôïp vôùi boå ñeà I.2.1 ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. ■ Boå ñeà I.2.3 Neáu {Ni }laø hoï caùc nil ideal (ideal luõy linh ñòa phöông) thì ∑N i laø nil ideal(ideal luõy linh ñòa phöông). Meänh ñeà I.2.3 1. Toàn taïi duy nhaát moät nil ideal (ideal luõy linh ñòa phöông) toái ñaïi cuûa ñaïi soá A chöùa moïi nil ideal (ideal luõy linh ñòa phöông) cuûa A. 2. Toàn taïi ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi cuûa ñaïi soá A chöùa moïi ideal moät phía luõy linh ñòa phöông. Chöùng minh Töø boå ñeà I.2.3, ta suy ra ngay phaàn thöù nhaát cuûa meänh ñeà. Ta chöùng minh (2) nhö sau :
9 Giaû söû L laø ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi cuûa ñaïi soá A vaø I laø ideal traùi luõy linh ñòa phöông cuûa A. Khi ñoù I + IA laø ideal luõy linh ñòa phöông cuûa A. Thaät vaäy, laáy { bi } laø moät taäp höõu haïn caùc phaàn töû baát kyø cuûa I + IA vaø ta vieát: bi = ci + ∑c a j ij ij vôùi ci ,cij ∈ I; aij ∈ A Xeùt taäp höõu haïn S ={ ci ,cij,aij ck, aij ckl }thì : ci ,cij ∈ I ; aij ck, aij ckl ∈ I (vì I Δ l A) Do ñoù S laø taäp con cuûa I ⇒ toàn taïi soá töï nhieân m sao cho tích cuûa m phaàn töû baát kyø cuûa S baèng 0. Maø tích cuûa r phaàn töû cuûa taäp {bi} laø toång cuûa caùc soá haïng, maø moãi soá haïng laø tích cuûa r phaàn töû thuoäc S hoaëc laø tích cuûa r phaàn töû cuûa S nhaân veà beân phaûi caùc phaàn töû thuoäc A. Vì theá, tích cuûa m phaàn töû baát kyø cuûa {bi} laø baèng 0 ⇒ I + IA laø ideal luõy linh ñòa phöông cuûa A. Maø L laø ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi ⇒ I + IA ⊂ L. Do I ⊂ I + IA ⇒ I ⊂ L . ■ Ñònh nghóa I.2.6 Nil ideal toái ñaïi cuûa moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø upper nil radical cuûa A, kyù hieäu laø Un(A) Ñònh nghóa I.2.7 Ideal luõy linh ñòa phöông toái ñaïi cuûa moät ñaïi soá A ñöôïc goïi laø Levitzki nil radical cuûa A, kyù hieäu laø L(A). Ñònh nghóa I.2.8
10 Toång caùc ideal luõy linh cuûa ñaïi soá A khoâng nhaát thieát laø ideal luõy linh. Goïi toång naøy laø N(0), ta ñònh nghóa moät daõy sieâu haïn caùc ideal nhö sau: Vôùi N(0) ñaõ ñöôïc xaùc ñònh nhö ôû treân. Neáu α laø moät soá thöù töï khoâng giôùi haïn vaø α = β + 1, ta ñònh nghóa : N( α ) laø ideal trong A sao cho N( α )/N( β ) laø toång taát caû caùc ideal luõy linh cuûa A/N( β ). Neáu α laø moät soá thöù töï giôùi haïn, ta ñònh nghóa: N( α ) = ∪ N(β) β≺ α Roõ raøng N( α ) ⊂ N( α ' ) neáu α ≺ α ' cho neân toàn taïi moät soá thöù töï τ ñaàu tieân sao cho N(τ ) = N(τ + 1). Do N(0) laø nil ideal neân N( τ ) laø nil ideal. Khi ñoù N( τ ) ñöôïc goïi laø lower nil radical cuûa A, kyù hieäu laø ln(A). Sau ñaây chuùng ta xem xeùt moät soá tính chaát veà caùc radical noùi treân : Meänh ñeà I.2.4 A/Un(A) khoâng chöùa nil ideal khaùc 0. Suy ra: Un (A/Un(A)) = 0 Chöùng minh Giaû söû B = C/Un(A) laø nil ideal cuûa A/Un(A). Ta caàn chöùng minh B = 0. Thaät vaäy, ∀ x ∈ B thì ∃ m : ( x ) = 0 (do B laø nil ideal) ⇒ xm ∈ Un(A) m ⇒ ∃ k: (x m ) k = 0 , do Un(A) laø nil ideal ⇒ x ∈ Un(A) ⇒ x = 0. Do ñoù: B = 0 . Vì vaäy, A/Un(A) khoâng chöùa nil ideal khaùc 0. Do ñoù, Un (A/Un(A)) = 0. ■ Meänh ñeà I.2.5 A/ln(A) khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc 0. Chöùng minh
11 Theo ñònh nghóa I.2.8 : ln(A) = N( τ ) = N( τ + 1) maø N( τ + 1) laø ideal trong A sao cho N( τ + 1)/N( τ ) laø toång caùc ideal luõy linh cuûa A/N( τ ). Suy ra: toång caùc ideal luõy linh cuûa A/N( τ ) baèng khoâng. Do ñoù A/N( τ ) khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc 0 ⇒ A/ln(A) khoâng chöùa ideal luõy linh khaùc 0. ■ Meänh ñeà I.2.6 L(A/L(A)) = 0 Chöùng minh Giaû söû B/L(A) laø ideal luõy linh ñòa phöông cuûa A/L(A). Do L(A) vaø B/L(A) luõy linh ñòa phöông neân B luõy linh ñòa phöông (do boå ñeà I.2.1) ⇒ B ⊂ L(A), do ñònh nghóa I.2.7 ⇒ B/L(A) = 0 ⇒ A/L(A) chæ coù 0 laø ideal luõy linh ñòa phöông duy nhaát ⇒ L(A/L(A)) = 0. ■ Meänh ñeà I.2.7 ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ radA Chöùng minh Vì moïi ideal luõy linh ñeàu luõy linh ñòa phöông neân N(0) laø luõy linh ñòa phöông(do boå ñeà I.2.3). Theo caùch xaây döïng ln(A) suy ra : ln(A) = N(τ ) laø luõy linh ñòa phöông. Do tính toái ñaïi cuûa L(A) ⇒ ln(A) ⊂ L(A). (1) Hôn nöõa, vì L(A) laø luõy linh ñòa phöông ⇒ L(A) laø nil ideal. Do tính toái ñaïi cuûa Un(A) ⇒ L(A) ⊂ Un(A). (2) Vì Un(A) laø nil ideal ⇒ Un(A) ⊂ radA. (3) Töø (1),(2),(3) ta coù : ln(A) ⊂ L(A) ⊂ Un(A) ⊂ radA. ■