Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết đa thế vị được xem như là một trong những thành tựu sâu sắc của Toán học trong vòng 30 năm trở lại đây. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: giải tích phức nhiều biến, giải tích Hyperbolic, hình học vi phân phức,.... Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng của lý thuyết đa thế vị vào một bài toán truyền thống của giải tích là lý thuyết xấp xỉ. Hàm chỉnh hình về địa phương có thể viết thành một chuỗi lũy thừa

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— VŨ THỊ KHUYÊN KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT NHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————————————————— VŨ THỊ KHUYÊN KHÔNG ĐIỂM CỦA CÁC ĐA THỨC XẤP XỈ TỐT NHẤT Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH. NGUYỄN QUANG DIỆU Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. i
Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn cho tôi những nhận xét quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập. ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Hàm điều hoà dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Hàm đa điều hoà dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Tập đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Lớp Lelong trên Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 Hàm cực trị toàn cục VE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Bất đẳng thức Bernstein-Walsh . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov . . . . . . . . 11 2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất 12 iii
2.1 Đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất . . . . . . . . 17 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 iv
Mở đầu Lý thuyết đa thế vị được xem như là một trong những thành tựu sâu sắc của Toán học trong vòng 30 năm trở lại đây. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết này cùng với việc tìm thấy những ứng dụng vào các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: giải tích phức nhiều biến, giải tích Hyperbolic, hình học vi phân phức,.... Với mục tiêu tìm hiểu ứng dụng của lý thuyết đa thế vị vào một bài toán truyền thống của giải tích là lý thuyết xấp xỉ. Hàm chỉnh hình về địa phương có thể viết thành một chuỗi lũy thừa. Do đó ta có thể xấp xỉ một cách địa phương một hàm chỉnh hình bởi các đa thức. Tuy nhiên, vấn đề là không tầm thường nếu ta muốn xấp xỉ một hàm chỉnh hình bởi các đoạn đa thức trên các tập compact của một miền đã cho. Trong một số trường hợp đặc biệt thì xấp xỉ là xảy ra, chẳng hạn hàm chỉnh hình trên một lân cận các tập liên thông đa thức. Vấn đề mà người ta quan tâm là liệu các tính chất của dãy đa thức xấp xỉ có được bảo tồn qua phép xấp xỉ đều hay không? Đó là lí do chúng tôi chọn đề tài: "Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất". Cho E là tập compact trong CN và f là hàm liên tục trên E, chỉnh hình trên phần trong của E. Ta quan tâm tới mô tả không điểm của dãy {fn } 1
đa thức xấp xỉ đều tốt nhất với f. Hiển nhiên khi E ⊂ C và f không triệt tiêu trên E thì {fn } cũng không triệt tiêu trên E. Vậy ta chỉ quan tâm tới trường hợp f có không điểm trên E. Luận văn trình bày lại một số kết quả của Bloom và Szczepanski theo hướng nghiên cứu này. Về cấu trúc luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: Chương 1 trình bày tổng quát một số kiến thức cơ sở và kết quả bổ trợ để trình bày các kết quả cho chương 2. Chương 2 trình bày về không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất. Trong chương này, em sẽ nghiên cứu vấn đề cơ bản là Định lý 2.2.5. Định lý nói rằng mỗi không điểm của hàm f ( hàm cần xấp xỉ ) thực tế là giới hạn của dãy các không điểm của đa thức xấp xỉ tốt nhất. Chứng minh kết quả này đòi hỏi những kiến thức về lý thuyết đa thế vị đã được trình bày ở chương 1. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu. Em xin được bày tỏ lòng biết ơn trân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn, trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành được khoa học của mình. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm chỉnh hình một biến Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới hạn f (z + ∆z) − f (z) lim , z, z + ∆z ∈ Ω. ∆z→0 ∆z Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của df f tại z, ký hiệu là f 0 (z) hay (z). dz Như vậy f (z + ∆z) − f (z) f 0 (z) = lim . ∆z→0 ∆z Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C− khả vi tại z. Bởi vì f (z + ∆z) − f (z) lim [f (z + ∆z) − f (z)] = lim ∆z = 0 ∆z→0 ∆z→0 ∆z nên nếu f C− khả vi tại z thì lim [f (z + ∆z) − f (z)] = 0. ∆z→0 Nói cách khác f liên tục tại z. 3
Cũng như đối với hàm biến thực, bởi quy nạp ta viết f (k) = (f (k−1) )0 nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm phức cấp k của f trên Ω. 1.2 Hàm chỉnh hình nhiều biến Định nghĩa 1.2.1. ([2]) Hàm l : Cn → C gọi là R− tuyến tính (tương ứng C− tuyến tính) nếu a) l(z 0 + z 00 ) = l(z 0 ) + l(z 00 ), ∀z 0 , z 00 ∈ Cn . b) l(λz) = λl(z), ∀λ ∈ R, z ∈ Cn (tương ứng ∀λ ∈ C). Hiển nhiên hàm l : Cn → C R− tuyến tính là C− tuyến tính nếu l(iz) = il(z), ∀z ∈ Cn . Trong trường hợp l(λz) = λ(z) ta nói l là C− phản tuyến tính. Ví dụ 1.2.2. ([2]) Hiển nhiên các hàm tọa độ z → zj và z → z j là C− tuyến tính và C− phản tuyến tính. Mọi R− tuyến tính l : Cn → C viết duy nhất dưới dạng l(z) = l0 (z) + l00 (z) với l(z) − il(iz) l(z) + il(iz) l0 (z) = còn l00 (z) = 2 2 là C− tuyến tính và C− phản tuyến tính. Bởi vì n X n X 0 00 2l (z) = aj zj và 2l (z) = bj z j . j=1 j=1 4
Ta có n X n X l(z) = aj zj + bj z j . j=1 j=1 Định nghĩa 1.2.3. ([2]) Hàm f : Ω → C, Ω là mở trong Cn , gọi là R− khả vi (tương ứng C− khả vi) tại z ∈ Ω nếu f (z + h) = f (z) + l(h) + 0(h), (1.1) ở đây l là R− tuyến tính (tương ứng C− tuyến tính) và 0(h) → 0 khi h → 0. h Hàm l (nếu tồn tại là duy nhất) gọi là R− đạo hàm (tương ứng C− đạo hàm của f tại z ) kí hiệu f 0 (z) hay df (z). Bằng cách viết zj = xj + iyj , ¯zj = xj − iyj , j = 1, n. Ta có dzj + dzj dzj = dxj + iyj ⇒ dxj = 2 dzj − dzj dzj = dxj − iyj ⇒ dxj = . 2 Do ! n X ∂f ∂f df = dxj + dy j=1 ∂xj ∂y j j ta có n X ∂f ∂f df = dzj + dzj , (1.2) j=1 ∂z j ∂z j ∂f 1 ∂f ∂f ∂f 1 ∂f ∂f ở đây = −i và = +i , j = 1, n. ∂zj 2 ∂xj ∂yj ∂zj 2 ∂xj ∂yj Nếu tổng thứ 1 trong vế phải của (1.2) kí hiệu ∂f còn tổng thứ 2 kí hiệu ∂f thì df = ∂f + ∂f. (1.3) 5
Định lý 1.2.4. ([2]) Hàm R− khả vi tại z ∈ Cn − khả vi khi và chỉ khi ∂f = 0. (1.4) Hay tương đương ∂f = 0, ∀ j = 1, n. (1.5) ∂zj Định nghĩa 1.2.5. ([2]) a) Hàm gọi là chỉnh hình tại z ∈ C n nếu nó C− khả vi trong một lân cận của z. b) f : Ω → C m với Ω là mở trong C n gọi là chỉnh hình tại z nếu fj chỉnh hình tại z với mọi j = 1, m, ở đây f = (f1 , ..., fm ). ∂f Như trường hợp hàm một biến phức nếu f chỉnh hình tại z thì ∂zj chính là đạo hàm riêng của z theo biến zj . 1.3 Hàm điều hoà dưới Định nghĩa 1.3.1. ([1]) Giả sử X là không gian tôpô. Hàm u : X → [ − ∞, +∞) gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi α ∈ R tập Xα = {x ∈ X : u(x) < α} là mở trong X. Hàm v : X → (−∞, +∞] gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu −v là nửa liên tục trên trên X. Chúng ta có thể dễ thấy định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau. Giả sử u : X → [−∞, +∞). Ta nói hàm u là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu ∀ε > 0 tồn tại lân cận Ux0 của x0 trong X 6
sao cho ∀x ∈ Ux0 ta có: u(x) < u(x0 ) + ε nếu u(x0 ) 6= −∞ 1 u(x) < − nếu u(x0 ) = −∞. ε Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u là nửa liên tục trên tại mọi x0 ∈ X. Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau. Giả sử E ⊂ X và u : E → [ − ∞, +∞) là hàm trên E. Giả sử x0 ∈ E. Ta định nghĩa lim sup u(x) = inf{sup{u(y) : y ∈ V }} x→x0 x∈E ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của x0 . Khi đó có thể thấy rằng hàm u : X → [ − ∞, +∞) là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu lim sup u(x) ≤ u(x0 ). x→x0 x∈E Định nghĩa 1.3.2. ([1]) Giả sử Ω là tập mở trong C. Hàm u : Ω → [ − ∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω, nếu nó nửa liên tục trên trên Ω, u 6≡ −∞ trên bất kì một thành phần liên thông của Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi w ∈ Ω tồn tại % > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r ≤ % ta có Z2π 1 u(w) ≤ u(w + reit )dt. (1.6) 2π 0 Ta ký hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên Ω là SH(Ω). Mệnh đề 1.3.3. ([1]) Nếu f : Ω → C là hàm chỉnh hình trên Ω thì log |f | là hàm điều hòa dưới trên Ω. Chứng minh. Trường hợp f ≡ 0 trên Ω thì kết quả là rõ ràng. Giả sử f 6≡ 0 trên Ω. Khi đó rõ ràng log |f | là hàm nửa liên tục trên trên Ω. 7
Giả sử w ∈ Ω. Nếu f (w) 6= 0 thì chọn % > 0 sao cho f 6= 0 trên B(w, %) = {z ∈ Ω : |z − w| < %}. Khi đó log |f | là hàm điều hòa trên B(w, %) = {z ∈ Ω : |z − w| < %} nên (1.3.1) được thỏa mãn với dấu đẳng thức. Trường hợp f (w) = 0. Khi đó log |f (w)| = −∞ và do đó (1.3.1) luôn đúng. 1.4 Hàm đa điều hoà dưới Định nghĩa 1.4.1. ([1]) Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở, u : Ω → [ − ∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phân liên thông của Ω. Hàm u gọi là đa điều hòa dưới trên Ω (viết u ∈ P SH(Ω) ) nếu với mọi a ∈ Ω và b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Định lý 1.4.2. ([1]) Giả sử u : Ω → [ − ∞, +∞) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phân liên thông của Ω ∈ Cn . Khi đó u ∈ P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω ta có Z2π 1 u(a) ≤ u(a + ei0 b)d0 = l(u, a, b). (1.7) 2π 0 Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên suy từ Định nghĩa (1.4.1). Điều kiện đủ. Giả sử a ∈ Ω, b ∈ Cn và xét U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. Khi đó U 8
là tập mở trên C. Đặt v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U. Cần chứng minh v(λ) là điều hòa dưới trên U. Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu λ0 ∈ U tồn tại ρ > 0 sao cho với 0 ≤ r < ρ thì Z2π 1 v(λ0 ) ≤ v(λ0 + rei0 )d0. 2π 0 Từ a + λ0 b ∈ Ω nên có ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ thì a + λ0 b + λb ∈ Ω. Với 0 ≤ r < ρ ta có {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω. Do đó từ giả thiết Z2π 1 u(a + λ0 b) ≤ u(a + λ0 b + bei0 )d0. 2π 0 Z2π 1 Vậy v(λ0 ) ≤ v(λ0 + rei0 )d0, đó là điều phải chứng minh. 2π 0 1.5 Tập đa cực ([1]) Tập E ⊂ Ω ⊂ Cn được gọi là tập đa cực trong Ω nếu với mọi a ∈ E, tồn tại lân cận liên thông Va ⊂ Ω và hàm u ∈ P SH(Va ), u 6≡ −∞ sao cho E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞}. 1.6 Lớp Lelong trên Cn ([1]) Hàm u ∈ P SH(Ω) được gọi là có độ tăng logarit nếu tồn tại hằng số Cu sao cho với mọi z ∈ Cn : u(z) ≤ log kzk + Cu qP n 2 với kzk = j=1 |zj | , z = (z1 , z2,..., zn ). Kí hiệu tập các hàm đa điều hòa dưới trên Cn có độ tăng logarit là L(C n ) hay L. Như vậy L = {u ∈ P SH(C n ) : sup(u(z) − log kzk) < +∞}. 9
Lớp L được gọi là lớp Lelong. Ta còn xét lớp con của lớp Lelong, kí hiệu là L+ được xác định như sau: L+ = {u ∈ P SH(Cn ) : ∃ C1 (u), C2 (u) sao cho khi kzk → ∞, C1 (u) + log kzk ≤ u(z) ≤ C2 (u) + log kzk }. 1.7 Hàm cực trị toàn cục VE Định nghĩa 1.7.1. ([1]) Hàm cực trị toàn cục VE . Giả sử E là tập bị chặn. Hàm VE (z) = sup{u(z) : u ∈ L, u|E ≤ 0}, x ∈ Cn gọi là hàm cực trị toàn cục của tập E. Hàm VE đôi khi còn được gọi là L− hàm cực trị của E hay hàm cực trị Siciak-Zakhariuta. Ví dụ 1.7.2. ([1]) Giả sử E = B(a, r) = {z ∈ Cn : kz − ak ≤ r}. Khi đó kz − ak VB(a,r) = log+ , z ∈ Cn , r trong đó, log+ kz−ak r = max(0, log kz−ak r ). Thật vậy, vế phải thuộc L và ≤ 0 khi z ∈ E . Vậy theo định nghĩa, kz − ak VB(a,r) ≥ log+ , z ∈ Cn . r Giả sử u ∈ L, u|E ≤ 0. Lấy w ∈ Cn \E và xác định hàm 1 kw − ak v(t) = u(a + (w − a)) − log+ , t |t|r ở đó, t ∈ ∆(0, kw−ak r )\{0}. Hàm v là hàm điều hòa dưới theo t ∈ ∆(0, kw−ak r )\{0} và do u ∈ L nên v(t) ≤ c khi t → 0. Vậy v thác triển tới hàm điều hòa dưới v˜ trên t ∈ ∆(0, kw−ak r ). Khi |t| = kw−ak r thì v˜(t) ≤ 0. Vậy theo nguyên lý cực đại, v˜ ≤ 0 trên ∆(0, kw−ak ˜(1) = u(w) − log+ kw−ak r ). Đặc biệt v(1) = v r ≤ 0. 10
Từ đó u(w) ≤ log+ kw−ak r khi w ∈ Cn \E . Nếu w ∈ E thì u(w) ≤ 0 = log+ kw−ak r . Do đó u(w) ≤ log + kw−ak r với mọi w ∈ Cn và đẳng thức kz − ak VB(a,r) = log+ , z ∈ Cn r được chứng minh. 1.8 Bất đẳng thức Bernstein-Walsh Giả sử P là đa thức trên Cn và B(a, r) là hình cầu tâm a bán kính r trong Cn . Hàm u(z) = 1 deg P log kP|Pk(z)| ¯ ∈ L và u|B¯ (a,r) ≤ 0. Vậy Ví dụ ( 1.7.2 ) B(a,r) cho ta 1 |P (z)| kz − ak log ≤ max(0, log ) ∀z ∈ Cn . deg P kP kB(a,r) r Do đó ta có bất đẳng thức sau mà được gọi là bất đẳng thức Berstein- Walsh kz − ak deg P |P (z)| ≤ kP kB(a,r) max 1, . r 1.9 Độ đo thỏa mãn điều kiện Bernstein-Markov Cho K là tập compact chính quy trong Cn . Khi đó độ đo cân bằng (ddc VK )n thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov. Cho K là tập compact chính quy trong Cn và µ là độ đo Borel dương chính quy trên K. Giả sử ∃r0 > 0 và T > 0 sao cho µ(B(z, r)) ≥ rT , ∀ z ∈ K, ∀r < r0 . Khi đó µ thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov. 11
Chương 2 Không điểm của các đa thức xấp xỉ tốt nhất 2.1 Đa thức xấp xỉ tốt nhất Định nghĩa 2.1.1. ([3]) Cho µ là một độ đo Borel hữu hạn trên E sao cho cặp (E, µ) thỏa mãn điều kiện Bernstein – Markov (BM ), tức là, với ε > 0 bất kì và q, 0 < q < ∞, tồn tại A = A (ε, q) sao cho kpkE ≤ A(1 + ε)deg(p) kpkµ,q với ∀p ∈ P (CN ), (2.1) trong đó  1/q Z kpkµ,q =  |p(z)|q dµ . (2.2) E Ta biết rằng nếu µ thỏa mãn (BM ) với một mũ q, 0 < q < ∞ thì µ cũng thỏa mãn (BM ) với mọi q, 0 < q < ∞. Kí hiệu Lqp (E, µ), 1 ≤ q < ∞, là tập hàm liên tục trên E mà giới hạn của các đa thức theo chuẩn k.kµ,q . Cho f là một hàm phân hình trên một lân cận của E . Ta kí hiệu pn ∈ Pn (tương ứng fn ∈ Pn ) là đa thức xấp xỉ tốt nhất theo chuẩn đều và chuẩn 12
k.kµ,q tương ứng, tức là kf − pn kE = inf {kf − qn kE , qn ∈ Pn } , (2.3) n o kf − fn kµ,q = inf kf − qn kµ,q , qn ∈ Pn . (2.4) Đa thức pn thỏa mãn (2.3) hoặc (2.4) được gọi là đa thức xâp xỉ tốt nhất. Pn là tập các đa thức xấp xỉ tốt nhất bậc n. Những xấp xỉ tốt nhất không nhất thiết phải duy nhất. Từ định lý Bernstein – Walsh – Siciak và bất đẳng thức Bernstein - Walsh (BW ) |p(z)| ≤ kpkE (exp VE (z))deg p , z ∈ CN , ∀p ∈ P (CN ). (2.5) Bổ đề 2.1.2. ([3]) Cho (E, µ) thỏa mãn điều kiện Bernstein – Markov Cho {hn }n=1,2,... là một dãy các đa thức thuần nhất bậc n. Cho q thỏa mãn 1 ≤ q < ∞. Khi đó 1/n lim sup kT chE hn kE = lim sup kT chE hn k1/n µ,q n→∞ n→∞ 1/n = lim sup kT chµ,q hn kE n→∞ = lim sup kT chµ,q hn k1/n µ,q . n→∞ Chứng minh. Từ (BM ) ta có, với mọi ε > 0 kT chµ,q hn kE ≤ A(1 + ε)n kT chµ,q hn kµ,q . (2.6) Khi T chµ,q hn là đối của T chE hn ta có kT chE hn kE ≤ kT chµ,q hn kE . (2.7) Tương tự như vậy kT chµ,q hn kµ,q ≤ kT chE hn kµ,q . (2.8) 13
Khi đó µ(E) < +∞ ta có kT chE hn kµ,q ≤ µ(E)1/q kT chE hn kE . (2.9) Từ (2.6) và (2.7) ta có 1/n 1/n lim sup kT chE hn kE ≤ lim sup kT chµ,q hn kE ≤ lim sup kT chµ,q hn k1/n µ,q . n→∞ n→∞ n→∞ Kết hợp (2.8) và (2.9) ta nhận được 1/n lim sup kT chµ,q hn k1/n 1/n µ,q ≤ lim sup kT chE hn kµ,q ≤ lim sup kT chE hn kE . n→∞ n→∞ n→∞ Định lý 2.1.3. ([3]) Cho E ⊂ CN là một compact chính quy và cho µ là độ đo Borel sao cho cặp (E, µ) thỏa mãn (BM ). Cho 1 ≤ q < ∞ và f ∈ Lpq (E, µ) ; R > 1. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: a) f thác triển giải tích lên ER . (2.10) 1 b) lim sup kf − fn k1/n µ,q ≤ . (2.11) n→∞ R 1/n 1 c) lim sup T chµ,q fn ≤ . (2.12) b n→∞ E R 1/n 1 d) lim sup T chµ,q fbn ≤ . (2.13) n→∞ µ,q R 1