Hàm Green đa phức được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi L. Lempert năm 1981. Cụ thể, hàm Green đa phức là nghiệm của bài toán cực trị được đặt ra một cách tự nhiên đối với các hàm đa điều hoà dưới âm. Từ đó, cho chúng ta một dạng của bổ đề Schwarz, tức là có thể kiểm soát những modun của các hàm chỉnh hình bị chặn mà cùng triệt tiêu tại một điểm cho trước.
Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội của của hàm Green đa phức
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————
LÊ THU TRANG
LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
VÀ SỰ HỘI CỦA CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————
LÊ THU TRANG
LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. DƯƠNG QUANG HẢI
Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải
tích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với
luận văn, luận án và các công trình đã công bố.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết Luận văn
Lê Thu Trang
i
Lời cảm ơn
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Quang Hải. Nhân dịp này tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luôn
động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn
Lê Thu Trang
ii
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của
hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh
hình 3
1.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Họ iđêan các hàm chỉnh hình và hàm Green đa phức kết hợp
với họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . 15
1.5 Một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức . . . . . . 19
iii
2 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức 25
2.1 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sự hội tụ của hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Một số trường hợp đặc biệt về sự hội tụ của hàm Green đa phức 37
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
iv
Mở đầu
Hàm Green đa phức được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi L. Lempert
năm 1981. Cụ thể, hàm Green đa phức là nghiệm của bài toán cực trị được đặt
ra một cách tự nhiên đối với các hàm đa điều hoà dưới âm. Từ đó, cho chúng
ta một dạng của bổ đề Schwarz, tức là có thể kiểm soát những modun của các
hàm chỉnh hình bị chặn mà cùng triệt tiêu tại một điểm cho trước. Đặc biệt,
trên một miền siêu lồi, Lempert đã chứng minh được rằng hàm Green đa phức
một cực trùng với nghiệm của bài toán cực trị nhận được bằng cách nghiên
cứu các đĩa giải tích đi qua điểm cực này. Từ đó, hàm Green đa phức đóng vai
trò quan trọng trong lý thuyết thế vị phức. Một số kết quả về hàm Green đa
phức với các cực logarit trên miền siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữu
hạn đã nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Lelong,
Klimek, Demailly, Zaharjuta, E. Amar, Thomas, Dan Coman,...
Khi nghiên cứu về hàm Green đa phức, Lempert đã chỉ ra nó là nghiệm của
toán tử Monge - Ampère phức. Tuy nhiên, vì toán tử Monge - Ampère phức
là không tuyến tính nên việc nghiên cứu toán tử này dẫn đến việc nghiên cứu
sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm trên một
miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Vấn đề này đã được nhiều tác giả quan tâm
1
nghiên cứu như: Demailly, Lempert, Lelong, Magnusson, Rashkovskii, Láruson,
Sigurdsson, Thomas và gần đây là Nguyễn Quang Diệu, Dương Quang Hải,...
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài "Luỹ thừa họ iđêan
các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức".
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu sự hội tụ của hàm
Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ vào
việc nghiên cứu sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm chỉnh hình và sự hội
tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này.
Luận văn trình bày lại một số kết quả của các tác giả nêu trên, chủ yếu dựa
vào các tài liệu [2], [8] và [11]. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong
phạm vi 48 trang, trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận
và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: "Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình". Luận văn trình
bày các kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới
cực đại, toán tử Monge - Ampère phức,hàm Green đa phức, họ iđêan các hàm
chỉnh hình, một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức.
Chương 2: "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green
đa phức". Đây là nội dung chính của luận văn. Nội dung của chương này trình
bày các kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn
điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm
chỉnh hình và sự hội tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này.
2
Chương 1
Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh
hình và sự hội tụ của hàm Green đa
phức kết hợp với một họ iđêan các
hàm chỉnh hình
Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị và khái
niệm về sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình, sự hội tụ của hàm Green
đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình để phục vụ cho nghiên
cứu ở chương sau. Phần cuối chương là một số kết quả nghiên cứu về sự hội tụ
của hàm Green đa phức với tập cực hữu hạn và cùng hội tụ về một điểm trên
một miền siêu lồi bị chặn trong Cn .
3
1.1 Một số khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞)
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R tập mở {x ∈ X :
u(x) < α} là mở trong X .
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một tập con mở trong Cn và u : Ω → [−∞, +∞)
là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với −∞ trên bất kì thành phần
liên thông nào của Ω. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω
và b ∈ Cn , hàm λ 7→ u(a + λb) là điều hòa dưới hoặc trùng −∞ trên mỗi
thành phần của tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω}. Trong trường hợp này, ta viết
u ∈ P SH(Ω). (Ở đây ký hiệu P SH(Ω) là lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ω).
Mệnh đề 1.1.3. [6] Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong
miền bị chặn, tức là nếu Ω là một tập con mở liên thông bị chặn của Cn và
u ∈ P SH(Ω), thì u là hằng hoặc với mỗi z ∈ Ω,
u(z) < sup lim sup u(y).
ω∈∂Ω y→ω
y∈Ω
Định nghĩa 1.1.4. Cho Ω là một tập con mở trong Cn . Giả sử u : Ω → R là
một hàm đa điều hòa dưới. Khi đó, u được gọi là cực đại nếu với mọi tập con
compact G ⊂ Ω và mọi hàm nửa liên tục v trên G sao cho v ∈ P SH(G) và
v ≤ u trên ∂G, ta có v ≤ u trên G.
Ký hiệu M P SH(Ω) là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω.
Cho một miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu U b Ω là tập con compact tương đối trong
Ω.
4
Định nghĩa 1.1.5. Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồi nếu
tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho với
c < 0,
Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c} b Ω.
Cho u là đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu d = ∂ + ∂ và
dc = i(∂ − ∂).
Định nghĩa 1.1.6. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử
2
∂ u
(ddc u)n = (ddc u) ∧ . . . ∧ (ddc u) = 4n n!det dV,
| {z } ∂zj ∂ z¯k 1≤j,k≤n
n
với dV là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức.
Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên Ω, tức là phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0 (Ω) trên Ω,
Z
C0 (Ω) 3 ϕ 7→ ϕ(ddc u)n .
Ω
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn
địa phương trên Ω thì tồn tại dãy {um }m>1 ⊂ P SH(Ω) ∩ C ∞ (Ω) sao cho
um & u và {(ddc um )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon µ trên Ω tức là:
Z Z
n
lim ϕ(ddc um ) = ϕdµ, ∀ϕ ∈ C0 (Ω).
n
Ω Ω
Hơn nữa, µ không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um } như trên, ta ký hiệu
(ddc u)n = µ và gọi là toán tử Monge-Ampère phức của hàm u.
5
1.2 Hàm Green đa phức
Định nghĩa sau đây về hàm Green đa phức được đưa ra và nghiên cứu đầu
tiên bởi Lelong (xem [6] và [7]).
Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Cho S :=
{a1 , . . . , aN } là một tập hữu hạn các điểm trong Ω. Hàm Green đa phức của
Ω với tập cực S được xác định như sau:
GΩ
S (z) := sup{u(z) : u ∈ P SH− (Ω), u(z) ≤ log|z − a| + O(1), ∀a ∈ S},
trong đó, ký hiệu P SH− (Ω) là tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới âm
trên Ω.
Hàm Green đa phức có một tính chất cơ bản sau đây (xem [6])
1. Hàm Green đa cực bất biến dưới nhóm các tự đồng cấu của Ω. Tổng quát
hơn, nếu Ω0 b Cm là một miền siêu lồi và nếu f : Ω 7→ Ω0 là một ánh xạ
chỉnh hình thì với mọi z, a ∈ Ω, ta có
0
GΩ Ω Ω
{a} (z) ≥ G{f (a)} (f (z)) =: f ∗ G{a} (z).
0
Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì GΩ Ω
{a} = f ∗ G{a} .
2. GΩ
{a} (z) là hàm đa điều hòa dưới âm với cực tại a.
3. GΩ
{a} là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω\ {a}.
4. Nếu Ω ⊂ Cn là một miền siêu lồi thì hàm GΩ (z, a) := GΩ
{a} x(z) là liên tục
trên Ω × Ω.
6
Hơn nữa, hàm Green đa phức GS là một đa điều hoà dưới hàm âm trên Ω
nên GS thỏa mãn tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn , cho S = {a1 , a2 , ..., aN }
là một tập hữu hạn các điểm trong Ω. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau
N
X
Gaj (z) ≤ GS (z) ≤ min {Gaj (z)}. (1.1)
j=1,N
j=1
Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm Green đa phức, hàm vế trái của bất
đẳng thức trên là một trong những hàm đa điều hoà dưới âm của các hàm lấy
supremun trong định nghĩa của GS . Mặt khác, hàm Green đa phức GS cũng
là một hàm trong họ các hàm Green được định nghĩa ở vế phải. Do đó, ta có
bất đẳng thức trên.
Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về hàm Green đa phức trên các đa đĩa
đơn vị.
Ví dụ 1.2.3. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với cực tại
ω = (a, 0), a ∈ C được xác định bởi
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
