Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

Chia sẻ: Quỳnh Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

330
lượt xem 85
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng đề cập đến sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ liên tục và ứng dụng của nguyên lý ánh xạ KKM; trình bày 2 ứng dụng của lý thuyết điểm bất động để chứng minh nguyên lý e-biến phân Ekelad và sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng tổng quát loại I.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

M cl c Trang M c l c ......................................................................................... 1 L i nói đ u .................................................................................... 2 Chương 1 - Ki n th c cơ b n c n dùng 6 1.1 Không gian metric ................................................................... 6 1.2 Không gian đ nh chu n .......................................................... 10 1.3 Không gian Banach có c u trúc đ c bi t ................................ 11 1.4 Không gian tô pô tuy n tính l i đ a phương .......................... 14 K t lu n chương 1 ........................................................................ 16 Chương 2 - Đi m b t đ ng c a ánh x đơn tr 17 2.1 Đi m b t đ ng c a ánh x d ng co ........................................ 17 2.2 Đi m b t đ ng c a ánh x liên t c ......................................... 23 2.3 Đi m b t đ ng c a ánh x không giãn ................................... 36 K t lu n chương 2 ........................................................................ 40 Chương 3 - Đi m b t đ ng c a ánh x đa tr 41 3.1 Đ nh lý đi m b t đ ng c a ánh x đa tr co ............................ 41 3.2 Đ nh lý đi m b t đ ng Ky Fan ............................................... 51 K t lu n chương 3 ......................................................................... 61 Chương 4 - M t s ng d ng 62 4.1 ng d ng c a đ nh lý đi m b t đ ng Caristi .......................... 63 4.2 Bài toán t a cân b ng t ng quát lo i I .................................... 64 K t lu n chương 4 .......................................................................... 76 K t lu n chung ............................................................................... 77 Tài li u tham kh o 78 1
L i nói đ u Đ n nay, lý thuy t đi m b t đ ng đã ra đ i kho ng m t th k và phát tri n m nh m trong năm th p k g n đây. S ra đ i c a Nguyên lý đi m b t đ ng Brouwer (1912) và ánh x co Banach (1922) đã hình thành 2 hư ng chính c a lý thuy t đi m b t đ ng: s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x liên t c và s t n t i đi m b t đ ng d ng co. Lý thuy t đi m b t đ ng có nhi u ng d ng như: ch ng minh s t n t i nghi m c a phương trình vi phân và phương trình tích phân (đ nh lý Picard và đ nh lý Peano), ch ng minh nguyên lý -bi n phân Ekeland, ch ng minh s t n t i đi m cân b ng trong mô hình kinh t , s t n t i nghi m t i ưu c a nhi u bài toán trong lý thuy t t i ưu... Nguyên lý ánh x co Banach (1922) là k t qu kh i đ u cho lý thuy t đi m b t đ ng d ng co, nhưng ph i đ n nh ng năm 60 c a th k 20 m i đư c phát tri n m nh m . Nó cho phép ta xây d ng thu t toán tìm nghi m c a bài toán. Các nhà toán h c đã m r ng Nguyên lý ánh x co Banach theo hai hư ng: đưa ra các khái ni m m i, ánh x đa tr và m r ng ánh x co đ n ánh x không giãn. Các k t qu tiêu bi u có th k đ n như: M.Edelstein, D.Boyd, A.Meir, E.Keeler cho ánh x đơn tr ; Caristi, S.Nadler, Ky Fan ...cho ánh x đa tr . M t quan h gi a ánh x co và ánh x không giãn là: ánh x không giãn có th đư c x p x b ng m t dãy ánh x co trên t p C l i, đóng, b ch n 1 1 trong không gian Banach, xác đ nh b i công th c Tn x = n x0 + (1 − n )T x, trong đó x0 là đi m c đ nh trong C. Vì v y, s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x co kéo theo s t n t i đi m b t đ ng -x p x c a ánh x không giãn (x là đi m b t đ ng -x p x c a ánh x T n u d(x, T x) ≤ ) trên 2
t p l i, đóng, b ch n trong không gian Banach. Tuy nhiên, s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x không giãn thư ng g n li n v i c u trúc hình h c c a không gian Banach. Lý thuy t đi m b t đ ng c a ánh x không giãn đư c m đ u b ng 3 công trình c a F.E.Browder, K.Goebel và W.A.Kirk vào năm 1965. K t qu quan tr ng c a W.A.Kirk đư c trình bày trong chương 2 c a lu n văn này. M r ng t nhiên cho lý thuy t đi m b t đ ng c a ánh x không giãn là nghiên c u s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x Lipschitz v i h s l n hơn 1. Tuy nhiên, Kakutani đã ch ra ánh x Lipschitz v i h s đ g n 1 trong hình c u đóng đơn v c a không gian Hilbert không có đi m b t đ ng. Nguyên lý đi m b t đ ng Brouwer đư c m r ng theo 2 giai đo n. Ban đ u, ngư i ta m r ng k t qu này trên l p các không gian t ng quát như: đ nh lý Schauder (1930) trong không gian đ nh chu n, đ nh lý Tikhonov (1935) trong không gian l i đ a phương,... . Sau đó m r ng đ n ánh x đa tr n a liên t c trên, m đ u là k t qu c a Kakutani (1941), tiêu bi u là Ky Fan (1952). M t đi u thú v là vào năm 1929 ba nhà toán h c Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz d a trên k t qu t h p Sperner đã đưa ra b đ KKM. B đ này ch ra m t cách ch ng minh đơn gi n Nguyên lý đi m b t đ ng Brouwer mà trư c đó cách ch ng minh khá ph c t p d a vào công c tô pô và lý thuy t b c ánh x . Hơn n a b đ KKM tương đương v i Nguyên lý Brouwer. S xu t hi n b đ KKM m ra m t hư ng nghiên c u m i là Lý thuy t KKM. Ky Fan (1961) đã t o ra bư c ngo t trong s phát tri n lý thuy t KKM khi ông ch ng minh d ng tương t c a b đ KKM cho không gian vô h n chi u và g i là Nguyên lý ánh x KKM. Đây đư c xem như là trung 3
tâm c a lý thuy t KKM. Sau đó, Shih đã ch ng minh b đ KKM cho các t p m . B đ này cho ta cách ch ng minh đơn gi n đ nh lý đi m b t đ ng Ky Fan (đ i v i ánh x n a liên t c trên). Các công trình nghiên c u sâu s c c a Ky Fan như: Nguyên lý ánh x KKM, B t đ ng th c Ky Fan... tác đ ng l n đ n s phát tri n c a lý thuy t KKM. Nó đư c s d ng r ng rãi trong lý thuy t đi m b t đ ng, lý thuy t bi n phân, bài toán kinh t .... Cho đ n nay lý thuy t KKM v n đang đư c phát tri n r ng rãi g n li n v i tên tu i c a các nhà toán h c như: W.A.Kirk, M.A.Khamsi,... V i s phát tri n không ng ng c a lý thuy t đi m b t đ ng, g n đây đã xu t hi n t p chí dành riêng cho nghiên c u này ch ng h n như t p chí "Fixed point theory and Application", b t đ u t năm 2007 c a nhà xu t b n Springer. T m quan tr ng c a lý thuy t đi m b t đ ng cũng như Lý thuy t KKM trong các ngành toán h c và ng d ng c a nó chính là lý do tôi ch n đ tài nghiên c u "Lý thuy t đi m b t đ ng và ng d ng". Trong lu n văn này tôi đ c p đ n s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x co, ánh x không giãn, ánh x liên t c và ng d ng c a nguyên lý ánh x KKM. Lu n văn cũng trình bày 2 ng d ng c a lý thuy t đi m b t đ ng đ ch ng minh Nguyên lý -bi n phân Ekeland và s t n t i nghi m c a bài toán t a cân b ng t ng quát lo i I. C u trúc lu n văn g m: ph n m đ u, 4 chương chính (chương 1-4), k t lu n và tài li u tham kh o. N i dung chính đư c tóm t t như sau: Chương 1 dành cho vi c trình bày các ki n th c cơ b n c n dùng như: không gian metric, không gian đ nh chu n, không gian Banach có c u trúc đ c bi t và không gian tô pô tuy n tính l i đ a phương Hausdorff. 4
Chương 2 trình bày m t s k t qu v đi m b t đ ng c a ánh x đơn tr . C th là: ánh x co, ánh x không giãn và ánh x liên t c. Chương 3 nghiên c u v ánh x đa tr , trình bày m t s khái ni m liên quan v ánh x đa tr và các đ nh lý đi m b t đ ng c a ánh x đa tr như: Đ nh lý đi m b t đ ng Caristi, Đ nh lý đi m b t đ ng Nadler, Đ nh lý đi m b t đ ng Ky Fan... Chương 4 đưa ra hai trong nhi u ng d ng c a lý thuy t đi m b t đ ng là: ch ng minh Nguyên lý -bi n phân Ekeland và s t n t i nghi m c a bài toán t a cân b ng t ng quát lo i I. Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n ch b o t n tình, chu đáo c a GS.TSKH. Nguy n Xuân T n. Qua đây, tôi xin g i l i c m ơn sâu s c đ n th y v s giúp đ nhi t tình c a th y trong su t quá trình tôi th c hi n lu n văn. Tôi xin chân thành c m ơn Ban giám hi u Trư ng THPT C m Th y 3, cùng toàn th các b n đ ng nghi p trong trư ng đã t o đi u ki n thu n l i cho tôi trong su t quá trình h c t p. Tôi xin đư c g i l i c m ơn chân thành t i Vi n toán h c, Phòng gi i tích toán h c, các th y cô trong Vi n toán đã t o đi u ki n thu n l i cho tôi th c hi n t t k ho ch h c t p c a mình. Cu i cùng, tôi xin đư c bày t s bi t ơn t i gia đình tôi đã luôn bên c nh ng h đ ng viên và t o đi u ki n t t nh t cho tôi đư c h c t p và hoàn thành lu n văn này. Do đi u ki n th i gian và kh năng b n thân có h n nên lu n văn không th tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y, tôi r t mong nh n đư c s đóng góp ý ki n c a các th y cô và các b n đ lu n văn đư c hoàn thi n hơn. 5
Chương 1 Ki n th c cơ b n c n dùng Nghiên c u v không gian và các tính ch t cơ b n trong các không gian đó là m t trong nh ng nhi m v quan tr ng c a gi i tích toán h c. Trong ph n này chúng ta s nh c l i đ nh nghĩa m t s không gian và m t s tính ch t c a nó liên quan đ n lý thuy t đi m b t đ ng mà ta s tìm hi u trong các chương sau. Các không gian đư c nh c t i trong ph n này g m: không gian metric, không gian đ nh chu n, không gian Banach có c u trúc đ c bi t và không gian tô pô tuy n tính l i đ a phương Hausdorff. 1.1 Không gian metric Đ nh nghĩa 1.1.1. Cho X là m t t p h p, hàm ρ : X × X → R+ th a mãn các đi u ki n sau: (i) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X; (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X (b t đ ng th c tam giác); đư c g i là m t metric trên X. T p X v i metric ρ đư c g i là không gian metric (X, ρ). Đ nh nghĩa 1.1.2. Trong không gian metric (X, ρ), dãy {xn } ⊂ X đư c 6
g i là h i t t i đi m x c a không gian đó n u ρ(xn , x) → 0 khi n → ∞. Khi đó x đư c g i là gi i h n c a dãy {xn } . Đ nh nghĩa 1.1.3. M t hình c u tâm a, bán kính r (r > 0) trong không gian metric (X, ρ) là t p S(a, r) = {x : ρ(x, a) < r} . S(a, r) cũng đư c g i là m t r - lân c n c a đi m a và m i t p con c a X bao hàm m t r - lân c n nào đó c a đi m a g i là m t lân c n c a a. Xét m t t p A b t kỳ trong không gian metric X và m t đi m x ∈ X. N u: (i) Có m t lân c n c a x n m tr n trong A thì x đư c g i là đi m trong c a t p h p A. (ii) B t c lân c n nào c a x cũng có nh ng đi m c a A l n nh ng đi m không thu c A thì x đư c g i là m t đi m biên c a t p A. Đ nh nghĩa 1.1.4. M t t p A trong không gian metric X đư c g i là t p m n u nó không ch a đi m biên nào c a nó c ; đóng n u nó ch a t t c các đi m biên c a nó. Đ nh nghĩa 1.1.5. M t t p M trong không gian metric X đư c g i là t p compact n u m i dãy {xn } ⊂ M đ u t n t i m t dãy con {xnk } h i t t i m t đi m thu c M. Đ nh nghĩa 1.1.6. Cho (X, ρ) là không gian metric, dãy {xn } ⊂ X đư c g i là dãy cơ b n (dãy Cauchy) n u lim ρ(xn , xm ) = 0, t c là: n,m→∞ (∀ > 0) (∃N ) (∀n, m ≥ N ) ρ(xn , xm ) < . Dĩ nhiên m i dãy h i t là dãy cơ b n. M t không gian metric (X, ρ) trong đó m i dãy cơ b n đ u h i t t i 7
m t ph n t c a X g i là không gian metric đ . Ví d 1.1.7. (i) Không gian Rn v i kho ng cách Euclid là không gian metric đ y đ . (ii) Không gian C[a,b] các hàm liên t c trên đo n [a, b] là không gian metric đ yđ . Ti p theo, ta nh c l i Đ nh lý Hausdorff và Heine - Borel v đi u ki n c n và đ đ m t t p h p là t p compact. C th như sau: Đ nh lý 1.1.8. (Hausdorff)1 M t t p compact thì đóng và hoàn toàn b ch n. Ngư c l i, m t t p đóng và hoàn toàn b ch n trong m t không gian metric đ thì compact. Đ nh lý 1.1.9. (Heine - Borel)2 M t t p M là t p compact khi và ch khi m i h t p m {Gα } ph lên M : M ⊂ ∪α Gα , đ u ch a m t h con h u h n: Gα1 , Gα2 , . . . , Gαm v n ph đư c M : M ⊂ ∪m Gαj . j=1 Chú ý: Giao m t s h u h n t p m là t p m . H p m t h b t kỳ t p m là t p m . Do đó, không gian metric có c u trúc m i: c u trúc tô pô. Đ nh nghĩa 1.1.10. Cho không gian metric (X, ρ), M là h t t c các t p con đóng, b ch n, khác r ng c a X. V i m i A, B ∈ M, ta đ t: d(A, B) = sup {ρ(a, B) : a ∈ A} , trong đó: ρ(a, B) = inf {ρ(a, b) : b ∈ B} (kho ng cách t m t đi m đ n m t t p h p). 1 Xem Chương 2, ti t 4, Đ nh lý 9 trong sách "Hàm th c và gi i tích hàm" c a GS Hoàng T y, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2005. 2 Xem Chương 2, ti t 4, Đ nh lý 10 trong sách "Hàm th c và gi i tích hàm" c a GS Hoàng T y, Nhà xu t b n Đ i h c Qu c gia Hà N i, 2005. 8
Kí hi u: D(A, B) = max {d(A, B), d(B, A)} và đư c g i là kho ng cách Hausdorff. M nh đ 1.1.11. D là metric trên M. Ch ng minh. (i) V i A, B ∈ M hi n nhiên D(A, B) ≥ 0. Ta có d(A, B) = 0 D(A, B) = 0 ⇔ d(B, A) = 0 ρ(a, B) = 0, ∀a ∈ A ⇔ ρ(b, A) = 0, ∀b ∈ B ¯ a ∈ B = B, ∀a ∈ A ⇔ ¯ b ∈ A = A, ∀b ∈ B A⊂B ⇔ ⇔ A = B. B⊂A (ii) Hi n nhiên D(A, B) = D(A, B). (iii) Gi s A, B, C ∈ M. T đ nh nghĩa kho ng cách Hausdorff ta có ρ(a, B) ≤ D(A, B), ∀a ∈ A. Vì v y v i > 0, ∀a ∈ A t n t i ba ∈ B sao cho ρ(a, ba ) ≤ D(A, B) + . Tương t ca ∈ C sao cho ρ(ba , ca ) < D(B, C) + . Như v y, v i m i a ∈ A t n t i ca ∈ C sao cho ρ(a, ca ) ≤ ρ(a, ba ) + ρ(ba , ca ) < D(A, B) + D(B, C) + 2 . 9
Suy ra ρ(a, C) = inf{ρ(a, c) : c ∈ C} < D(A, B) + D(B, C) + 2 , ∀a ∈ A. Do đó d(A, C) = sup{ρ(a, C) : a ∈ A} ≤ D(A, B) + D(B, C) + 2 . Vì tùy ý nên d(A, C) ≤ D(A, B) + D(B, C). Tương t ta có d(C, A) ≤ D(A, B) + D(B, C). V y nên D(A, C) ≤ D(A, B) + D(B, C). Do đó D là metric trên M. Chú ý: X là không gian metric đ thì (M, D) cũng là không gian metric đ . 1.2 Không gian đ nh chu n Đ nh nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian tuy n tính trên trư ng K. Hàm s . : E → R+ th a mãn các tiên đ : (i) x ≥ 0, ∀x ∈ X, x = 0 ⇔ x = 0; (ii) λx = |λ| x , λ ∈ K, ∀x ∈ X; (iii) x+y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X; đư c g i là m t chu n trên X. Không gian tuy n tính X trên đó xác đ nh m t chu n g i là không gian đ nh chu n. Nh n xét 1.2.2. T đ nh nghĩa suy ra X là m t không gian đ nh chu n thì nó là m t không gian metric, v i metric đư c đ nh nghĩa ρ(x, y) = x − y . Đi u ngư c l i có th không đúng. N u không gian metric X xác đ nh m t kho ng cách ρ th a mãn thêm 2 tính ch t sau: (i) ρ(x + z, y + z) = ρ(x, y), ∀x, y, z ∈ X (phép t nh ti n b o toàn kho ng 10
cách); (ii) ρ(λx, λy) = |λ|ρ(x, y), ∀λ ∈ K, x, y ∈ X thì kho ng cách có hai tính ch t đó sinh ra m t chu n. 1.3 Không gian Banach có c u trúc đ c bi t Đ nh nghĩa 1.3.1. Cho không gian đ nh chu n X, dãy {xn }n∈N ⊂ X đư c g i là dãy Cauchy (dãy cơ b n) n u: ∀ > 0 : ∃n0 ∈ N : ∀m, n > n0 ta có: xm − xn < . Cho X là không gian đ nh chu n, n u v i m i dãy Cauchy đ u h i t trong X thì không gian đ nh chu n X đư c g i là không gian đ nh chu n đ y đ hay không gian Banach. Đ nh nghĩa 1.3.2. Không gian Banach (X, . ) đư c g i là l i ch t n u: x+y v i m i x, y ∈ X: x ≤ 1, y ≤ 1 và x − y > 0 ta đ u có 2 < 1. Đ nh nghĩa 1.3.3. Không gian Banach (X, . ) đư c g i là l i đ u n u v i m i > 0 t n t i δ( ) > 0 sao cho v i m i x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ta có x+y ≤ 1 − δ( ) (1.1) 2 Nói cách khác, v i hai đi m b t kỳ x, y thu c hình c u đơn v , đi m x+y 2 ph i có kho ng cách dương đ n biên c a hình c u đó, mà kho ng cách này ch ph thu c vào kho ng cách gi a hai đi m x, y ch không ph thu c vào v trí c a chúng. Chú ý: Đi u ki n (1.1) có th thay b i x ≤ d, y ≤ d, x+y x−y ≥ ⇒ 2 ≤ d(1 − δ( d )), v i d > 0 tùy ý. 11
Ví d 1.3.4. (i) Không gian Rn v i chu n x 2= x2 + x2 + . . . + x2 , ∀x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn 1 2 n là không gian l i đ u. (ii) Không gian R2 v i chu n x 1= |x1 | + |x2 | và x ∞= max(|x1 |, |x2 |) v i x = (x1 , x2 ) ∈ R2 là các không gian không l i ch t và cũng không l i đ u. (iii) M i không gian Hilbert là l i đ u. Đ đo "m c đ " l i c a hình c u đơn v trong không gian, ngư i ta đưa ra khái ni m môđun l i. Đ nh nghĩa 1.3.5. Môđun l i c a không gian Banach X là hàm δX : [0, 2] → [0, 1] xác đ nh b i x+y δX ( ) = inf 1− 2 : x, y ∈ X, x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ . Đ nh nghĩa 1.3.6. Đ c trưng l i (hay h s l i) c a không gian Banach X là s 0 = 0 (X) = sup { ∈ [0, 2] : δX ( ) = 0} . 0 là đ dài đo n th ng l n nh t n m trên m t c u đơn v . M nh đ 1.3.7. Không gian Banach X là l i khi và ch khi 0 (X) = 0. M nh đ 1.3.8. Gi s X là không gian Banach v i môđun l i δX và đ c trưng l i 0. Khi đó, δX là hàm liên t c trên n a kho ng [0, 2) và tăng ng t trên [ 0 , 2]. M nh đ 1.3.9. Không gian Banach X là l i ch t khi và ch khi δX (2) = 1. Đ nh nghĩa 1.3.10. Cho X là không gian Banach, D là m t t p con b ch n c a X. Ký hi u: 12
rx (D) = sup { x − y : y ∈ D} , x ∈ X; r(D) = inf {rx (D) : x ∈ D}; diamD = sup { x − y : x, y ∈ D} = sup {rx (D) : x ∈ D} . S rx (D) đư c g i là bán kính c a D đ i v i x; r(D) và diamD l n lư t là bán kính Chebyshev và đư ng kính c a t p D. M nh đ 1.3.11. V i m i t p h p con b ch n D trong không gian Banach X, rx (D) là hàm l i liên t c. Đ nh nghĩa 1.3.12. M t t p con D trong không gian Banach X đư c g i là có c u trúc chu n t c n u m i t p con l i, đóng, b ch n H c a nó v i diamH > 0 đ u ch a m t đi m x ∈ H sao cho rx (H) < diamH. Ví d 1.3.13. M i t p h p compact D trong không gian Banach đ u có c u trúc chu n t c. Đ nh nghĩa 1.3.14. M t t p con l i, b ch n, khác r ng K c a không gian Banach X đư c g i là có c u trúc chu n đ u n u m i t p con l i, đóng D c a K đ u t n t i s k ∈ (0, 1) sao cho r(D) ≤ kdiamD. Đ nh nghĩa 1.3.15. Không gian Banach X đư c g i là có c u trúc chu n đ u n u t n t i s k ∈ (0, 1) sao cho r(D) ≤ diamD, v i m i t p con l i, đóng b ch n D c a X. Đ nh nghĩa 1.3.16. H s chu n t c c a không gian Banach X đư c xác đ nh b i công th c r(K) N (X) = sup diamK : K ⊂ X l i, b ch n và diamK > 0 . Nh n xét 1.3.17. (i) N (X) là s nh nh t sao cho r(K) ≤ N (X)diamK v i m i t p K l i, b ch n c a X. (ii) N (X) < 1 n u X có c u trúc chu n đ u. 13
1.4 Không gian tôpô tuy n tính l i đ a phương Đ nh nghĩa 1.4.1. Cho m t t p X b t kỳ. Ta nói m t h τ nh ng t p con c a X là m t tô pô (hay xác đ nh m t c u trúc tô pô) trên X n u: (1) Hai t p ∅ và X đ u thu c τ . (2) τ kín đ i v i phép giao h u h n, t c là: giao c a m t s h u h n t p thu c τ thì cũng thu c h đó. (3) τ kín đ i v i phép h p b t kỳ, t c là: h p c a m t s b t kỳ (h u h n ho c vô h n) t p thu c τ thì cũng thu c h đó. M t t p X, cùng v i m t tô pô τ trên X, g i là không gian tô pô (X, τ ) (hay đơn gi n: không gian tô pô X, n u không s nh m l n). Các t p thu c h τ đư c g i là t p m . Ph n bù trong X c a m t t p m đư c g i là t p đóng. Vì h các t p m trong không gian đ nh chu n th a mãn các đi u ki n trên nên các không gian đ nh chu n đ u là không gian tô pô. Đ nh nghĩa 1.4.2. Cho không gian tô pô X th a mãn đi u ki n v i m i c p đi m khác nhau x1 , x2 ∈ X đ u có hai lân c n V1 , V2 c a x1 , x2 sao cho V1 ∩ V2 = ∅ (nói cách khác hai đi m khác nhau bao gi cũng có th tách đư c b i hai lân c n r i nhau). Khi đó không gian tô pô X đư c g i là không gian tách hay không gian Hausdorff và tô pô c a nó cũng g i là tô pô tách hay tô pô Hausdorff. Đ nh nghĩa 1.4.3. Ta nói m t tô pô τ trên không gian véc tơ X tương h p v i c u trúc đ i s , n u các phép toán đ i s trong X liên t c trong tô pô đó, t c là n u: (1) x + y là m t hàm liên t c c a hai bi n x, y; nói rõ hơn, v i m i lân c n V c a đi m x + y đ u có m t lân c n Ux c a x và m t lân c n Uy c a y 14
sao cho n u x, ∈ Ux , y , ∈ Uy thì t c kh c x, + y , ∈ V (t c là Ux + Uy ⊂ V ). (2) αx là m t hàm liên t c c a hai bi n α, x; nói rõ hơn, v i m i lân c n V c a αx đ u có m t s > 0 và m t lân c n U c a x sao cho |α, − α| < , x, ∈ U thì t c kh c α, x, ∈ V. M t không gian véc tơ X trên đó có m t tô pô tương h p v i c u trúc đ i s g i là m t không gian véc tơ tô pô (hay không gian tuy n tính tô pô). Ví d 1.4.4. Không gian đ nh chu n là không gian véc tơ tô pô, vì phép c ng véc tơ và phép nhân véc tơ v i m t s đây liên t c trong tô pô xác đ nh b i chu n. Đ nh nghĩa 1.4.5. M t không gian véc tơ tô pô X g i là không gian l i đ a phương (và tô pô c a nó g i là tô pô l i đ a phương) n u trong X có m t cơ s lân c n (c a g c) g m toàn t p l i. Không gian đ nh chu n là không gian l i đ a phương: cơ s lân c n l i trong đó là t p các hình c u tâm g c. Đ nh nghĩa 1.4.6. M t không gian véc tơ tô pô X đ ng th i là không gian l i đ a phương và không gian Hausdorff đư c g i là không gian tô pô tuy n tính l i đ a phương Hausdorff. 15
K t lu n chương 1 Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày các ki n th c cơ b n đ nghiên c u v Lý thuy t đi m b t đ ng và ng d ng c a nó. B n không gian đư c nh c đ n trong chương này bao g m: Không gian metric, không gian đ nh chu n, không gian Banach có c u trúc đ c bi t và không gian tô pô l i đ a phương Hausdorff. Bên c nh vi c nh c l i đ nh nghĩa các không gian, chúng tôi còn nh c l i các khái ni m thư ng dùng trong m i không gian đó. Ch ng h n trong không gian metric các khái ni m: lân c n, t p đóng, t p m , h i t , t p compact, không gian metric đ y đ , kho ng cách Hausdorff . . . đã đư c trình bày. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày 2 tính ch t c a t p compact. Không gian đ nh chu n: Trình bày đ nh nghĩa, m i liên h gi a không gian đ nh chu n và không gian metric. Không gian Banach: Trình bày đ nh nghĩa không gian Banach và các khái ni m liên quan như: l i ch t, l i đ u, không gian có c u trúc chu n t c, đ c trưng l i, các khái ni m v đư ng kính, bán kính c a t p D . . . Không gian tô pô: Đ nh nghĩa không gian tô pô và không gian tô pô l i đ a phương Hausdorff. Chúng ta s b t đ u v i vi c nghiên c u đi m b t đ ng c a ánh x đơn tr . 16
Chương 2 Đi m b t đ ng c a ánh x đơn tr Trong lý thuy t đi m b t đ ng c a ánh x đơn tr , ngư i ta phân lo i đi m b t đ ng theo d ng c a ánh x , bao g m: đi m b t đ ng c a ánh x d ng co, d ng không giãn và d ng ánh x liên t c. Trong chương này ta l n lư t xét các m c đó. 2.1 Đi m b t đ ng c a ánh x d ng co Trư c h t ta nh c l i các khái ni m v ánh x Lipschitz, ánh x co và ánh x co y u (trư ng h p đ c bi t c a ánh x Lipschitz). Đây là nh ng l p ánh x đóng vai trò quan tr ng trong nhi u bài toán khác nhau, đ c bi t là trong lý thuy t đi m b t đ ng. Đ nh nghĩa 2.1.1. Cho (X, d) là m t không gian metric. M t ánh x T : X → X đư c g i là ánh x Lipschitz n u t n t i m t s k không âm sao cho v i m i x, y ∈ X, d(T x, T y) ≤ kd(x, y). (2.1) S k nh nh t th a mãn (2.1) đư c g i là h s Lipschitz c a ánh x T , ký hi u là k(T ). 17
N u k(T ) < 1 thì ánh x T : X → X đư c g i là ánh x co. Đ nh nghĩa 2.1.2. Cho (X, d) là m t không gian metric. M t ánh x T : X → X đư c g i là ánh x co y u n u d(T x, T y) < d(x, y), ∀x, y ∈ X, x = y. Đ nh lý 2.1.3. (Banach, 1922) M i ánh x co T t không gian metric đ y đ (X, d) vào chính nó đ u có m t đi m b t đ ng duy nh t. Hơn n a, v i x0 ∈ X b t kỳ thì m i dãy l p xn+1 = T xn , n = 0, 1, 2, . . . đ u h i t đ n đi m b t đ ng này. Ch ng minh. L y m t đi m b t kỳ x0 ∈ X. Đ t x1 = T x0 , x2 = T x1 , ..., xn = T xn−1 , . . .. Theo đ nh nghĩa ánh x co: d(xn , xn+1 ) = d(T xn−1 , T xn ) ≤ kd(xn−1 , xn ), d(xn−1 , xn ) ≤ kd(xn−2 , xn−1 ), ........., d(x1 , x2 ) ≤ kd(x0 , x1 ). T đó suy ra v i m i n d(xn , xn+1 ) ≤ k n d(x0 , x1 ). V y khi m > n ta có d(xn , xm ) ≤ d(xn , xn+1 ) + d(xn+1 , xn+2 ) + . . . + d(xm−1 , xm ) ≤ (k n + k n+1 + . . . + k m−1 )d(x0 , x1 ) ∞ kn ≤ (k j )d(x0 , x1 ) = d(x0 , x1 ). j=n 1−k Vì 0 ≤ k < 1 nên rõ ràng d(xn , xm ) → 0 khi m, n → ∞, t c là {xn } là dãy Cauchy trong X. Vì X đ y đ (theo gi thi t) nên xn → x. Ta có 18
xn = T xn−1 mà xn → x, T xn−1 → T x vì d(T xn−1 , T x) ≤ kd(xn−1 , x) → 0. Vì v y T x = x, nghĩa là x là m t đi m b t đ ng. Đi m b t đ ng này là duy nh t vì n u y là m t đi m b t đ ng thì d(x, y) = d(T x, T y) ≤ kd(x, y). V i k < 1 đi u này x y ra khi và ch khi d(x, y) = 0 t c là x = y. Nguyên lý ánh x co Banach không nh ng ch ra s t n t i đi m b t đ ng c a ánh x co trong không gian metric đ y đ mà còn ch ra tính duy nh t c a đi m b t đ ng này. Vì v y, nguyên lý này có th ng d ng đ ch ng minh s t n t i và duy nh t c a l i gi i m t s bài toán. Trong trư ng h p T là ánh x co y u thì nguyên lý ánh x co Banach v n đúng n u không gian có tính compact. Đ nh lý Edelstein sau đây là m r ng c a nguyên lý ánh x co Banach cho ánh x co y u. Đ nh lý 2.1.4. Đ nh lý (Edelstein,1962) Cho (X, d) là m t không gian metric đ y đ và T : X → X là m t ánh x co y u. Gi thi t thêm r ng, v i m i x0 ∈ X dãy l p {T n x0 } có dãy con h i t . Khi đó T có duy nh t m t đi m b t đ ng trong X, và v i m i x0 ∈ X dãy l p {T n x0 } h i t đ n đi m b t đ ng này. Ch ng minh. x0 là m t đi m thu c X. Đ t x1 = T x0 , xn = T xn−1 , ∀n ≥ 2, (xn = T n x0 ). Xét d(T n x0 , T n+1 x0 ) ≤ d(T n−1 x0 , T n x0 ) ≤ . . . ≤ d(x1 , x0 ) = d(T x0 , x0 ). T đó suy ra dãy d(T n x0 , T n+1 x0 ) h i t . M t khác, do {T n x0 } ⊂ X có dãy con T nk x0 h i t , gi s T nk x0 → y. T 19