Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun Compắc tuyến tính theo nghĩa Zöschinger

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun Compắc tuyến tính theo nghĩa Zöschinger gồm có 2 chương. Trong đó, chương 1 - Kiến thức cần chuẩn bị (mở rộng cốt yếu và bao nội xạ, vành và môđun các thương,...); Môđun Compắc tuyến tính theo nghĩa Zöschinger.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun Compắc tuyến tính theo nghĩa Zöschinger

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Lê Quyền MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Lê Quyền MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc và sự giúp đỡ quý báu về nguồn tài liệu của PGS. TS. Trần Tuấn Nam. Tôi xin gởi đến thầy lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình. Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của tất cả quý thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp cao học Đại số và lý thuyết số khóa 22.
1 MỤC LỤC trang Mục lục ....................................................................................................................... 0 T 0 T 0 Bảng kí hiệu ................................................................................................................ 2 T 0 0T MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 3 T 0 0T Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................................... 5 T 0 T 0 1.1. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ .................................................................... 5 T 0 T 0 1.2. Vành và môđun các thương......................................................................... 5 T 0 T 0 1.3. Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis ............................................... 8 T 0 T 0 1.4. Iđêan nguyên tố đối liên kết ...................................................................... 10 T 0 T 0 1.5. Hàm tử Ext và hàm tử Tor ........................................................................ 11 T 0 T 0 1.6. Giới hạn ngược và đầy đủ ......................................................................... 12 T 0 T 0 1.7. Số chiều ..................................................................................................... 14 T 0 0T Chương 2 - MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER . 15 T 0 T 0 2.1. Môđun căn và môđun đế ........................................................................... 15 T 0 T 0 2.2. Môđun compắc tuyến tính ......................................................................... 19 T 0 T 0 KẾT LUẬN .............................................................................................................. 46 T 0 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 47 T 0 0T
2 BẢNG KÍ HIỆU R vành đầy đủ của R RS R R vành các thương của R theo tập con nhân S RP R R vành địa phương hoá của R tại iđêan nguyên tố P MS R R môđun các thương của M theo tập con nhân S MP R R môđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố P Ω tập tất cả các iđêan tối đại của R K M K nhỏ trong M M⊆ e E M là môđun con cốt yếu của E E R (M) R R bao nội xạ của R-môđun M Ass(M) tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M Coass(M) tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của M Ann M ( ) R R {x M x=0} {x R xnP P } I(M) {r R rM M} R R Ass(M) giao của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M R R Ass(M) giao của tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của M R R Ass(M) hợp của tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M R R Coass(M) hợp của tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của M Soc(M) đế của M Rad(M) căn của M L(M) tổng của tất cả các môđun con artin của M P(M) môđun con căn lớn nhất của M L (M) R R thành phần - nguyên sơ của M tích trực tiếp tổng trực tiếp ngoài tổng trực tiếp trong
3 MỞ ĐẦU Trong toàn bộ luận văn này, khi nhắc đến vành, chúng ta hiểu đó là vành giao hoán có đơn vị. Khái niệm compắc tuyến tính được giới thiệu đầu tiên bởi Lefschetz vào những năm 1940 trên không gian vectơ vô hạn chiều. Vào những năm 1950, Zelinsky mở rộng khái niệm này sang môđun và sau đó môđun compắc tuyến tính tiếp tục được phát triển xa hơn nhờ Macdonald trong [3] và Zöschinger trong [10]. Trên một vành R, một R-môđun M được gọi là compắc tuyến tính nếu M có tính chất: Nếu {x i +U i } R R R R R R là một họ các đối tập của các môđun con của M sao cho R (x i +U i ) R R R R R với mọi tập con hữu hạn J ⊆ I thì ta có R (x i +U i ) R R R R R . Những nghiên cứu về môđun compắc tuyến tính đã chỉ ra mối liên hệ thú vị giữa môđun hữu hạn sinh, môđun artin và môđun compắc tuyến tính: Mỗi môđun artin là compắc tuyến tính và trên vành địa phương (R, ), một R- môđun hữu hạn sinh là compắc tuyến tính nếu và chỉ nếu nó đầy đủ đối với tôpô - adic. Và trong trường hợp M là một R- môđun compắc tuyến tính rời rạc, trong [10], Zöschinger đã tìm ra lời giải cho bài toán ngược: Trên một vành noether, mỗi môđun compắc tuyến tính mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin. Mục đích của luận văn này là trình bày lại và làm rõ các kết quả xung quanh vấn đề vừa nêu thông qua nghiên cứu cẩn thận bài báo [15] và một số tài liệu khác. Chương đầu của luận văn dành trình bày phần kiến thức chuẩn bị, chúng tôi nhắc lại các khái niệm và trình bày một số kết quả cơ bản được dùng đến. Trong mục 1.1, chúng tôi đưa ra định nghĩa và một số kết quả liên quan đến mở rộng cốt yếu và bao nội xạ. Trong trường hợp (R, ) là vành địa phương noether, bao nội xạ E của trường thặng dư R/ là một môđun nội xạ đối sinh, đồng thời là môđun artin do đó compắc tuyến tính. Cấu trúc các thương được nhắc đến trong mục tiếp theo. Có đôi khi, một số kết quả khó được chứng minh một cách khéo léo bằng cách thu hẹp bài toán về trường hợp vành địa phương trước khi giải quyết tổng quát, đây là một phương pháp được áp dụng thường xuyên trong chương 2.
4 Các mục 1.3 và 1.4 dành trình bày các kết quả liên quan đến iđêan nguyên tố liên kết và đối liên kết. Các tập Ass và Coass đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc của môđun nói chung và môđun compắc tuyến tính nói riêng. Nếu M là một môđun compắc tuyến tính thì M có số chiều Goldie và số chiều lõm hữu hạn do đó Ass(M) và Coass(M) là các tập hữu hạn. Phần đầu của chương 2 giới thiệu về môđun căn và môđun đế. Một môđun được gọi là môđun căn (đế) nếu nó không có môđun con tối đại (đơn). Môđun căn tối đại của một môđun M luôn tồn tại và được kí hiệu là P(M). Tổng của tất cả các môđun con artin của M được kí hiệu là L(M). Các tập P(M) và L(M) đóng vai trò quan trọng trong các nghiên cứu về sau liên quan tới môđun compắc tuyến tính. Một môđun compắc tuyến tính, đồng thời là môđun căn hoặc môđun đế thường có những tính chất đặc biệt, là đối tượng nghiên cứu chính trong các phần sau. Nếu M là một môđun compắc tuyến tính, đồng thời là môđun căn và đế trên vành noether thì Ass(M)=Coass(M), hơn nữa khi đó chúng ta còn có R Ass(M= R R = R R Coass(M). R Phần còn lại của chương 2 dành trình bày các kết quả chính. Các mệnh đề 2.2.10, 2.2.35, 2.2.37, 2.2.39, 2.2.47 là những kết quả mang tính chất bổ trợ cho việc chứng minh định lý chính 2.2.57: Trên một vành noether giao hoán, mỗi môđun compắc tuyến tính mở rộng một môđun hữu hạn sinh theo một môđun artin. Tức là mỗi môđun compắc tuyến tính M có một môđun con U sao cho M/U là môđun artin. Dù bản thân đã có nhiều cố gắng trong hoàn thành luận văn, nhưng một phần vì những khó khăn về ngôn ngữ, phần vì những hạn chế của bản thân về kiến thức và kỹ năng nên luận văn chắc hẳn không tránh khỏi những thiết sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình và bổ sung của quý Thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
5 Chương 1 - KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ Định nghĩa 1.1.1. Cho M là một R-môđun, một R-môđun E M được gọi là mở rộng cốt yếu của M nếu U ∩ M 0 với mỗi môđun con U 0 của E. Một mở rộng cốt yếu E M được gọi là tối đại nếu không tồn tại R-môđun K E và đồng thời K là mở rộng cốt yếu của M. Nếu E ⊆ M là mở rộng cốt yếu ta cũng gọi M là môđun con cốt yếu của E và ký hiệu M ⊆ e E. Đồng cấu f:M E được gọi là một mở rộng cốt yếu nếu f là đơn cấu và Im f ⊆ e E. Mệnh đề 1.1.2. Cho M, E, K là các R-môđun. Khi đó (1) M ⊆ e E nếu và chỉ nếu với mỗi phần tử 0 a E, tồn tại r R sao cho 0 ra M. (2) Nếu M ⊆ e E và E ⊆ e K thì M ⊆ e K. Mệnh đề 1.1.3 Cho các R-môđun M i ⊆ E i (1 R R R R i n). Khi đó Mi ⊆e R R Ei R R nếu và chỉ nếu M i ⊆ e E i với mọi i. R R R R Định lý 1.1.4. Đối với các R-môđun M ⊆ E, các điều kiện sau tương đương (1) E là mở rộng cốt yếu tối đại của M. (2) E là môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếu của M. (3) E là môđun nội xạ tối tiểu chứa M. Định nghĩa 1.1.5. Nếu các R-môđun M ⊆ E thỏa các điều kiện tương đương của 1.1.4 thì E được gọi là bao nội xạ của M và ta ký hiệu E = E R (M) hoặc E=E(M) trong trường hợp vành đã R R được ngầm hiểu. 1.2. Vành và môđun các thương Định nghĩa 1.2.1. Một tập con S của R được gọi là tập con nhân nếu 1 S và nếu x,y S thì xy S.
6 Định nghĩa 1.2.2. Cho S là tập con nhân của R. Vành các thương R S là tập tất cả các lớp tương đương trên R S đối với quan hệ tồn tại u S sao cho us'r=usr' . Phép cộng trên R S là Phép nhân là r Đồng cấu chính tắc là i:R RS, rR R 1 Định nghĩa 1.2.3. Cho P là một iđêan nguyên tố của R, vành các thương của R theo tập con nhân RP được gọi là địa phương hóa của R tại P và được kí hiệu là R P . R R Bổ đề 1.2.4. Nếu R là miền nguyên và S=R{0} thì R S là một trường. Định nghĩa 1.2.5. Trường R S trong 1.1.4 được gọi là trường các thương của R. Mệnh đề 1.2.6. Cho R là miền nguyên và K là trường các thương của R. Khi đó K=E R (R). R R Định nghĩa 1.2.7. Cho f:R A là một đồng cấu vành. Đối với mỗi iđêan J của A, iđêan thu hẹp là f-1(J), được kí hiệu là J ∩ R. Đối với mỗi iđêan I của R, iđêan mở P P rộng là f(I)A, được kí hiệu là IA. Mệnh đề 1.2.8. Cho S là tập con nhân của R và i:R R S là đồng cấu chính tắc. Khi đó (1) Mỗi iđêan của R S có dạng R S với là một iđêan của R. (2) Mỗi iđêan nguyên tố của R S có dạng PR S với P là iđêan nguyên tố của R. Hệ quả 1.2.9. Nếu R là vành noether và S là tập con nhân của R thì R S là vành noether. Mệnh đề 1.2.10. Cho S là tập con nhân của R và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó M S R R 0 nếu và chỉ nếu Ann R (M) ∩ S= . R R
7 Mệnh đề 1.2.11. Cho S là tập con nhân, là một iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó (1)(R/ ) S =R S / R S . R R R R (2)( M) SR R RSM S R R Định nghĩa 1.2.12. Cho S là tập con nhân của R và M là một R-môđun. Môđun các thương M S là tập tất cả các lớp tương đương trên M S đối với quan hệ R R tồn tại u S sao cho us'x=usx'. Phép cộng trên M S là R S - phép nhân vô hướng là R R x Đồng cấu chính tắc là i:M MS, x R R . 1 Bổ đề 1.2.13. Cho S là tập con nhân của R và f:M N là một đồng cấu của các R- môđun. Khi đó là một đồng cấu của các R S - môđun. R R Mệnh đề 1.2.14. Cho dãy khớp các R-môđun Khi đó dãy là dãy khớp các R S - môđun. R R Mệnh đề 1.2.15. Cho S là tập con nhân của R và M, N là các môđun con của một R- môđun, khi đó (1) (M ∩ N) S =M S ∩ N S . R R R R
8 (2) Nếu f:M N là một R-đồng cấu thì (Im f) S =Im f S . R R Mệnh đề 1.2.16. (xem [11] Mệnh đề 4.4.6]) Cho S là tập con nhân của R và M là một R-môđun. Khi đó mỗi môđun con của M S có dạng U S với U là một môđun con nào đó của M. Mệnh đề 1.2.16. Cho S là tập con nhân của R và M 1 ,...,M n là các R-môđun. Khi đó R R R R 1.3. Iđêan nguyên tố liên kết và đối ngẫu Matlis Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun và x M, linh hóa tử của x là Linh hóa tử của M là Định nghĩa 1.3.2. Cho là một iđêan của R, căn} của là Mệnh đề 1.3.3.(Định lý tránh nguyên tố) (1) Cho P 1 ,...,P n là các iđêan nguyên tố của vành R và R R R R là một iđêan chứa trong P i . Khi đó ⊆ P i với i nào đó. R R R R (2) Cho 1 ,..., R R nn R R là các iđêan của R và P là một iđêan nguyên tố của R sao cho ⊆ P, khi đó tồn tại i sao cho R i R ⊆ P. Định nghĩa 1.3.4. Cho M là một R-môđun, một iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 x M sao cho P=Ann R (x). Tập tất cả R R các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass(M). Mệnh đề 1.3.5. Cho P là một iđêan nguyên tố của R, M là một R-môđun và U là môđun con của M. Khi đó (1) P Ass(M) nếu và chỉ nếu có môđun con B của M sao cho B R/P. (2) Ass(U) ⊆ Ass(M) ⊆ Ass(U) Ass(M/U). (3) Nếu U ⊆ e M thì Ass(U)=Ass(M).
9 Mệnh đề 1.3.6. Cho R là vành noether và M là một R-môđun. Khi đó phần tử tối đại của tập là một iđêan nguyên tố. Hệ quả 1.3.7. Cho R là vành noether và M là một R-môđun, khi đó Ass(M) nếu và chỉ nếu M 0. Hơn nữa, nếu M hữu hạn sinh thì Ass(M) là tập hữu hạn. Định nghĩa 1.3.8. Cho M là một R-môđun, phần tử x R được gọi là ước của 0 trên M nếu Ann M (x) R R 0. Mệnh đề 1.3.9. Cho R là vành noether và M là R-môđun, tập tất cả các ước của 0 trên M là Mệnh đề 1.3.10. Cho R là vành noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh, khi đó Mệnh đề 1.3.11.(xem [7] Hệ quả của Định lý 6.1) Cho R là vành noether, P là một iđêan nguyên tố của R và M là một R-môđun. Khi đó Định nghĩa 1.3.12. Cho R là vành noether, một R-môđun M được gọi là có cấp tối đại nếu với mỗi x M, từ Ann R (x) ⊆ P với P là một iđêan nguyên tố của R, ta luôn có R R P Ω. Định nghĩa 1.3.13. Cho R là vành noether, là một iđêan của R và M là một R- môđun, tập được gọi là thành phần - nguyên sơ của M. Định nghĩa 1.3.14. Cho R là vành noether và là một iđêan của R. Một R-môđun M được gọi là - nguyên sơ nếu M = L (M). R R Bổ đề 1.3.15. Cho R là vành noether, là iđêan tối đại của R và M là một R-môđun. Khi đó
10 Mệnh đề 1.3.16.( xem [8] Định lý 11) Cho R là một vành noether và M là một R- môđun. Khi đó, với mỗi P Ass(M), ta có thể chọn một môđun con Q(P) của M theo cách sao cho Ass(M/Q(P))={P} và Mệnh đề 1.3.17.(xem [8] Mệnh đề 8.B) Cho R là vành noether và M là một R-môđun với Ass(M)={P}. Khi đó, với mỗi x M, tồn tại số nguyên dương k sao cho Pkx=0. P P Mệnh đề 1.3.18.(xem [6] Mệnh đề 3) Cho R là một vành noether và M là một R- môđun, khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) M là môđun artin. (2) M có cấp tối đại và Soc(M) hữu hạn sinh. (3) M là một môđun con của E 1 ... R R R R E n , trong đó E i =E(R/m i ) với m i là một iđêan R R R R R R R R tối đại của R. Định lý 1.3.18.(xem [6] Định lý 1) Cho R là vành noether và M là một R-môđun, khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) M có cấp tối đại. (2) M là mở rộng cốt yếu của Soc(M). (3) M= R R L (M). R R (4) M =L(M). Định nghĩa 1.3.19. Cho là một iđêan của R, R-môđun M được gọi là - địa phương nếu với mỗi x M, từ Ann R (x) ⊆ R R với Ω ta luôn có ⊆ . Môđun con - địa phương lớn nhất của M được kí hiệu là K (M). R R Mệnh đề 1.3.20. Đối với mỗi R-môđun M ta có 1.4. Iđêan nguyên tố đối liên kết
11 Định nghĩa 1.4.1. Một môđun con U của R-môđun M được gọi là nhỏ trong M(kí hiệu U M ) nếu U+X M đối với mọi môđun con X M. Định nghĩa 1.4.2. Một R-môđun M được gọi là môđun lõm nếu M 0 và mỗi môđun con thật sự của M đều nhỏ trong M. Bổ đề 1.4.3. Nếu M là một R-môđun lõm thì tập là một iđêan nguyên tố của R. Bổ đề 1.4.4. Nếu M là một R-môđun lõm và U là một môđun con thật sự của M thì M/U là môđun lõm và I(M)=I(M/U). Định nghĩa 1.4.5. Cho R là vành noether và M là một R-môđun. Một iđêan nguyên tố P của R được gọi là iđêan nguyên tố đối liên kết của M nếu có một môđun thương lõm M' của M sao cho P=I(M'). Tập tất cả các iđêan nguyên tố đối liên kết của R được kí hiệu là Coass(M). Mệnh đề 1.4.6. Cho R là vành noether và U là môđun con của R-môđun M, khi đó (1) Coass(M/U) ⊆ Coass(M) ⊆ Coass(U) Coass(M/U). (2) Nếu U M thì Coass(M/U)=Coass(M). Mệnh đề 1.4.7. Cho M 1 ,..., M n là các R-môđun, khi đó R R R R 1.5. Hàm tử Ext và hàm tử Tor Mệnh đề 1.5.1. Cho 0 A B C 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun và R- đồng cấu. Khi đó, với R-môđun G bất kỳ, tồn tại dãy khớp Mệnh đề 1.5.2. Cho 0 A B C 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun và R- đồng cấu. Khi đó, với R-môđun G bất kỳ, tồn tại dãy khớp
12 Mệnh đề 1.5.3. Cho 0 A B C 0 là một dãy khớp ngắn các R-môđun và R- đồng cấu. Khi đó, với R-môđun G bất kỳ, tồn tại dãy khớp Mệnh đề 1.5.4. Cho là một iđêan tối đại của R và M là R-môđun, khi đó Mệnh đề 1.5.5. (Bổ đề Ker- Cok) Cho biểu đồ giao hoán các R-môđun và R-đồng cấu trong đó các dòng là các dãy khớp. Khi đó, tồn tại ánh xạ D * :Kerw R R Cok u sao cho dãy là dãy khớp. 1.6. Giới hạn ngược và đầy đủ Định nghĩa 1.6.1. Cho(I, ) là một tập có hướng. Một họ {M i ,f ij } I gồm các R-môđun R R R R R R M i với i R R I và các đồng cấu f ij :M i R R R R M j với mọi j R R i được gọi là một hệ ngược trên I nếu nó thoả mãn các điều kiện: (1) f ii =1 M i R R R (2) f ij f ki =f kj với mọi k R R R R R R j i. Khi các đồng cấu f ij được ngầm hiểu, ta sẽ kí hiệu hệ trên là {M i } I . R R R R R R Giới hạn ngược của hệ ngược {M i ,f i j } I là một tập con của R R R R R R R R M i được cho bởi R R Mệnh đề 1.6.2. Cho {M i , f ij } I và {M' i ,f' ij } I là các hệ ngược và {v i :M i R R R R R R R R R R R R R R R R M' i } I là R R R R một họ các đồng cấu thoả v j g ij = f ij v i với mọi j R R R R R R R R i. Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu sao cho với mọi j I, biểu đồ sau đây giao hoán
13 trong đó j, R R ’ j là các phép chiếu lên thành phần thứ j. R R Mệnh đề 1.6.3. Cho {M' i ,f' ij } I ,{M i ,f i j } I và {M'' i ,f'' i j } I là các hệ ngược của các R- R R R R R R R R R R R R R R R R R R môđun và giả sử với mọi j i, biểu đồ dưới giao hoán với các dòng khớp Khi đó dãy là một dãy khớp. Định nghĩa 1.6.4. Cho M là một R-môđun, họ {M i } I các môđun con của M được gọi R R R R là một lọc trong M nếu với mọi i,j I tồn tại k I sao cho M k ⊆ M i ∩ M j . R R R R R R Bổ đề 1.6.5. Cho {M i } I là một lọc gồm các môđun con của R-môđun M. Định nghĩa R R R R thì(I, ) trở thành một tập sắp thứ tự. Với mỗi i j, định nghĩa là ánh xạ bao hàm, và là đồng cấu chính tắc. Khi đó {N i ,e i j } I và {M/N i ,p i j } I là các hệ ngược. R R R R R R R R R R R R Định nghĩa 1.6.7. Cho(R, ) là một vành địa phương, đầy đủ của R theo tôpô - adic được cho bởi Mệnh đề 1.6.8. Cho(R, ) là vành địa phương noether, là đầy đủ của R theo tôpô - adic và E là bao nội xạ của R/ . Khi đó
14 Mệnh đề 1.6.9. Cho(R, ) là một vành địa phương và là đầy đủ của R theo tôpô - adic. Khi đó 1.7. Số chiều Định nghĩa 1.7.1. Một dây chuyền các iđêan nguyên tố của R là một dãy tăng thật sự của các iđêan nguyên tố của R, trong đó số nguyên dương n được gọi là chiều dài của dây chuyền. Cận trên đúng của tất cả độ dài của các dây chuyền các iđêan nguyên tố của R được gọi là số chiều Krull của R và được kí hiệu là dim R. Định nghĩa 1.7.2. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, số chiều} của M, kí hiệu là dim M, được xác định bởi Trường hợp M=0, qui ước dim M= -1. Mệnh đề 1.7.3. Cho(R, ) là vành địa phương noether, M 0 là một R-môđun hữu hạn sinh và x . Khi đó Mệnh đề 1.7.4. Cho R là vành noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, khi đó các điều kiện sau tương đương: (1) M có chiều dài hữu hạn. (2) dim M=0.
15 Chương 2 - MÔĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH THEO NGHĨA ZÖSCHINGER 2.1. Môđun căn và môđun đế Định nghĩa 2.1.1. Một R-môđun M được gọi là môđun đơn nếu M 0 và M không có môđun con nào khác 0 và M. Định nghĩa 2.1.2. Đế của môđun M là tổng của tất cả các môđun con đơn của M và được kí hiệu là Soc(M). Trường hợp M không có môđun con đơn ta quy ước Soc(M)=0. M được gọi là môđun đế nếu nó không có môđun con đơn. Bổ đề 2.1.3. Cho(R, ) là vành địa phương và M là một R-môđun, khi đó Chứng minh. Vì Ann M ( ) R R Hom R R (R/ R ,M) nên ta chỉ cần chứng minh Soc(M)=Ann M ( ). Cho U là một môđun con đơn của M, ta có U R R R/ nên U=0, tức là U ⊆ Ann M ( ). Điều này đúng với mọi môđun con đơn của M nên Soc(M) R R ⊆ Ann M ( ). Để thấy bao hàm thức còn lại, lấy x R R M sao cho x=0, từ đây ta phải =Ann(x) và do đó Rx R/ là môđun đơn, tức là Rx ⊆ Soc(M). Định nghĩa 2.1.4. Cho M là một R-môđun, tổng của tất cả các môđun con artin của M được kí hiệu là L(M). Hệ quả 2.1.5. Cho R là vành noether và M là một R-môđun, khi đó L(M) có cấp tối đại. Chứng minh. Có ngay từ 1.3.19 với nhận xét L(L(M))=L(M). Bổ đề 2.1.6. Cho R là vành noether và M 0 là một R-môđun. Khi đó M có cấp tối đại nếu và chỉ nếu Ass(M) ⊆ Ω . Chứng minh. Giả sử M có cấp tối đại, với P Ass(M) ta có P=Ann R (x) với x R R M, từ Ann R (x) ⊆ P theo định nghĩa 1.3.12, ta phải có P R R Ω. Đảo lại, lấy 0 x M và giả sử P là iđêan nguyên tố thỏa P ⊆ Ann R (x), cần chứng R R minh P Ω . Theo 1.3.7, Ass(Rx)={ 1 ,..., R R n} R R
16 và do đó theo 1.3.10 ta có R R P. Từ đây theo định lý tránh nguyên tố 1.3.3 ta phải có P Ω. Mệnh đề 2.1.7. Cho R là vành noether và U là một môđun con của R-môđun M sao cho U không là môđun con cốt yếu của X đối với mỗi môđun con X R R U của M thoả X/U R/P, P Ass(M/U). Khi đó Chứng minh. Vì Ass(U) ⊆ Ass(M) ta chỉ cần chứng minh Ass(M/U) ⊆ Ass(M). Lấy P Ass(M/U), ta có R/P X/U với U R X ⊆ M. Vì U không cốt yếu trong X nên có R môđun con U' 0 của X sao cho U ∩ U'=0. Từ đây có U+U'/U 0 và do đó Ass(U+U'/U) ⊆ Ass(X/U) = {P}. Vậy phải có Ass(U+U'/U)={P}. Nhưng do U+U'/U U'/U ∩ U' U' ⊆ M nên P Ass(M). Hệ quả 2.1.8. Cho R là vành noether và M là một R-môđun. Khi đó, đối với mỗi môđun con U ⊆ L(M) của M ta có Chứng minh. Đối với mỗi môđun con X R R L(M) của U, nếu L(M) R X thì R Ass(X)=Ass(L(M)) ⊆ Ω , khi đó theo 2.1.16, X có cấp tối đại nên theo 1.3.9, X=L(X) ⊆ L(M), mâu thuẫn. Từ đây, theo 2.1.17 ta có Ass(U)=Ass(L(M)) Ass(U/L(M)). Hệ quả 2.1.9. Cho R là vành noether và M là một R-môđun, khi đó Chứng minh. Giả sử Soc(M/L(M)) 0, tức là tồn tại môđun con U của M sao cho U R R L(M) và U/L(M) là môđun đơn. Theo 2.1.7, Ass(U)=Ass(L(M)) Ass(U/L(M)) ⊆ Ω nên U có cấp tối đại, từ đây suy ra U=L(U) ⊆ L(M), mâu thuẫn. Hệ quả 2.1.10. Cho R là vành noether, là một iđêan tối đại của R và M là một R- môđun. Khi đó, đối với mỗi môđun con R của M, ta có R Chứng minh. Đối với mỗi môđun con X R R L (M) của U, nếu L (M) ⊆ e X thì R R R R Ass(X)=Ass(L (M))={ }, suy ra X=L (X) ⊆ L (M), mâu thuẫn. Từ đây, theo 2.1.7 R R R R R R ta có Ass(U)=Ass(L (M)) R R Ass(U/L (M)). R R
17 Hệ quả 2.1.11. Cho R là vành noether, là một iđêan tối đại của R và M là một R- môđun. Khi đó, đối với mỗi môđun con U ⊆ L (M) của M, ta có R R Chứng minh. Nếu Ass(U/L (M)) thì tồn tại môđun con K R R R R L (M) của U sao R R cho K/L (M) R R R/ . Khi đó theo 2.1.10,, Ass(K)=Ass(L (M)) R R Ass(K/L (M))={ }. Từ đây suy ra K=L (K) ⊆ L (M), mâu thuẫn. R R R R R R Định nghĩa 2.1.11. Một môđun con U của R-môđun M được gọi là môđun con tối đại của M nếu M/U là môđun đơn. Định nghĩa 2.1.12. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M và được kí hiệu là Rad(M). Trường hợp M không có môđun con tối đại ta quy ước Rad(M)=M. M được gọi là môđun căn nếu nó không có môđun con tối đại. Bổ đề 2.1.13. Căn của R-môđun M là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U là môđun nửa đơn. Chứng minh. Kí hiệu r(M) là giao của tất cả các môđun con U của M sao cho M/U nửa đơn, rõ ràng ta có r(M) ⊆ Rad(M). Để chứng minh chiều ngược, cho U là một môđun con của M sao cho M/U nửa đơn, tức là M/U= R S i trong đó mỗi S i là môđun đơn. R R R R R Gọi p:M M/U là phép chiếu tự nhiên, i :M/U R R S i là phép chiếu lên thành phần S i . R R R R Với mỗi i I, ta có U i =Ker i p là môđun tối đại của M do M/Ker i p R R R R R R S i là môđun R R đơn. Vì với mỗi i I, Rad(M) ⊆ U i nên Rad(M) ⊆ R R R U i =U, điều này có nghĩa là R R R Rad(M) ⊆ r(M). Mệnh đề 2.1.14. Cho M là một R-môđun, khi đó Chứng minh. Cho U là một môđun con tối đại của M, ta có M/U R/ với là một iđêan tối đại nào đó của R. Vì (M/U)=0 nên M ⊆ U, điều này có nghĩa là R R M ⊆ Rad(M). Đảo lại, với mỗi Ω ta có M/ M là R/ - không gian vectơ nên cũng là một R-môđun nửa đơn. Theo 2.1.14 ta có Rad(M) ⊆ R R M như yêu cầu. Hệ quả 2.1.15. M là R-môđun căn nếu và chỉ nếu M=M với mọi Ω.