Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun không xoắn trên vành giao hoán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

31
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền nguyên, có một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và một số ngành toán học khác. Việc mở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cần thiết. Luận văn chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các môđun không xoắn trên vành giao hoán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Môđun không xoắn trên vành giao hoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Thị Vân Anh MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Trần Huyên Thành phố Hồ Chí Minh - 2018
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huyên. Nội dung của luận văn có tham khảo và sử dụng một số kết quả, nội dung từ các sách, tạp chí được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo. Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về luận văn của mình.
Lời cảm ơn Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn, tôi đã nhận được sự giúp đỡ cũng như hướng dẫn nhiệt tình của các thầy cô, các đồng nghiệp và các bạn cao học toán K26. Đầu tiên, tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến TS. Trần Huyên, người thầy tâm huyết trong giảng dạy và cũng là người tận tình, giúp đỡ, hướng dẫn tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. Với lòng kính trọng và biết ơn, tôi cũng xin được gởi lời cảm ơn chân thành đến: Các thầy cô khoa Toán - Tin của Trường Đại học Sư phạm TP.HCM cùng GS.TS. Bùi Xuân Hải, GS.TSKH. Nguyễn Tự Cường đã trực tiếp trang bị cho tôi kiến thức cơ bản làm nền tảng cho quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Ban giám hiệu, phòng Đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, hoàn thành và bảo vệ luận vặn. Các thầy cô trong Hội đồng Bảo vệ luận văn thạc sĩ đã đọc, đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá luận văn. Cuối cùng tôi xin dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè là những người luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2018 Trần Thị Vân Anh
MỤC LỤC MỞ ĐẦU.........................................................................................................................1 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .....................................................................2 1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun ..............................................2 1.2 Dãy khớp ...............................................................................................................5 1.3 Các hàm tử đồng điều ............................................................................................8 CHƯƠNG 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN .................19 2.1 Môđun không xoắn trên miền nguyên .................................................................19 2.2 Môđun không xoắn trên vành giao hoán .............................................................25 KẾT LUẬN ..................................................................................................................40 TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................41
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU : Tập các số nguyên. S : Môđun con sinh bởi tập S . Hom  X , Y  : Tập hợp tất cả các đồng cấu môđun từ X vào Y . F (S ) : Môđun tự do có cơ sở là S . A B : Tổng trực tiếp trong của hai môđun A và B . X i : Môđun tích trực tiếp của họ môđun  X i  . Xi : Môđun tổng trực tiếp của họ môđun  X i  . X Y : Tích tenxơ của R  môđun phải X và R  môđun trái Y . f g : Tích tenxơ của các đồng cấu R  môđun f và g . TorRn  A, B  : Tích xoắn n  chiều trên R của các R  môđun phải A và R  môđun trái B . Ext Rn  A, B  : Tích mở rộng R  chiều trên của các R  môđun phải A và R  môđun trái B . Tor  A, B  : Tích xoắn R  chiều trên của các R  môđun phải A và R  môđun trái B . Ext  A, B  : Tích mở rộng R  chiều trên của các R  môđun phải A và R  môđun trái B . ■ : Kết thúc chứng minh.
1 MỞ ĐẦU Khái niệm môđun không xoắn được xác định trước hết trên các miền nguyên, có một vai trò quan trọng trong lý thuyết môđun và một số ngành toán học khác. Việc mở rộng khái niệm đó lên các vành tổng quát hơn là miền nguyên là điều thực sự cần thiết. Ở đây, chúng tôi chỉ dừng lại ở mức độ xây dựng các môđun không xoắn trên vành giao hoán. Với đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các môđun không xoắn trên miền nguyên và vành giao hoán. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được trình bày thành hai chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu các kiến thức cơ bản của lý thuyết môđun và đại số đồng điều cần thiết cho sự trình bày các nội dung được triển khai ở chương tiếp theo. Chương 2: MÔĐUN KHÔNG XOẮN TRÊN VÀNH GIAO HOÁN Trước hết, chúng tôi giới thiệu môđun không xoắn trên miền nguyên, trình bày các kết quả liên quan đến khái niệm này trong mối liên hệ với khái niệm khác của lý thuyết mô đun như sau: môđun con, môđun thương, tích trực tiếp, tổng trực tiếp, môđun xạ ảnh, môđun dẹt,... Tiếp theo đánh giá những đặc trưng của môđun không xoắn trên miền nguyên, đưa ra cách thể hiện khác của đặc trưng đó dưới dạng ngôn ngữ tổng quát hơn, để đưa ra các khả năng mở rộng cho khái niệm này trên vành giao hoán.
2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1.1 Một vài khái niệm và kết quả của lý thuyết môđun Mục này giới thiệu một vài khái niệm và kết quả về lý thuyết môđun cần thiết cho các trình bày về sau. 1.1.1 Môđun tự do Cho môđun X , tập S  X được gọi là hệ sinh của X nếu S  X . Nói cách khác, S là hệ sinh của X nếu với bất kỳ phần tử x  X thì x  r1s1  r2 s2  ...  rn sn với r1 , r2 ,..., rn  R và s1 ,s2 ,...,s n  S , tức x biểu thị được dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S . Tập hợp S  X được gọi là độc lập tuyến tính nếu phần tử 0  X chỉ có một cách biểu thị dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S , là tổ hợp tuyến tính tầm thường với tất cả các hệ tử đều bằng 0 . Nói cách khác, S là độc lập tuyến tính nếu r1s1  r2 s2  ...  rn sn  0 thì r1  r2  ...  rn  0 . Khi S  X không độc lập tuyến tính, ta nói S phụ thuộc tuyến tính. Một hệ sinh S của môđun X đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở của môđun X . Định nghĩa 1.1.1.1. ([1], trang 48) Môđun X có cơ sở là môđun tự do. Định lý 1.1.1.2. ([1],Định lý , trang 48) Tập S  {si }iI các phần tử của môđun X là cơ sở của X khi và chỉ khi mỗi phần tử x  X chỉ có một cách biểu thị tuyến tính qua S. Nghĩa là với mọi phần tử x  X thì cách biểu thị x  r1s1  r2 s2  ...  rn sn với r1 , r2 ,..., rn  R và s1 , s2 ,..., sn  S là duy nhất. Định lý 1.1.1.3. ([1], Định lý 2, trang 49) Nếu f : X  Y là đẳng cấu môđun và X là môđun tự do thì Y cũng là môđun tự do. Hơn nữa, nếu S là cơ sở của X thì f ( S ) là cơ sở của Y . Định lý 1.1.1.4. ([1],Định lý 3, trang 49) Tổng trực tiếp của các môđun tự do là môđun tự do.
3 Định lý 1.1.1.5. ([1],Định lý 4, trang 51) R  môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R . Định lý 1.1.1.6. ([1],Định lý 6, trang 53) Mỗi môđun X đẳng cấu với môđun thương của môđun tự do nào đó. Ta xét môđun tự do F ( X ) sinh bởi tập X . Khi đó ánh xạ đồng nhất 1X : X  X có thể mở rộng tới đồng cấu  : F ( X )  X hiển nhiên  là toàn cấu và do đó X  F (X) ker  . Định lý 1.1.1.7. ([1], Định lý 7, trang 53) Môđun con của môđun tự do trên vành chính là môđun tự do. 1.1.2. Môđun xạ ảnh Định nghĩa 1.1.2.1. ([1], trang 72) Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu  : B  C , mỗi đồng cấu f : P  C , tồn tại một đồng cấu  : P  B , sao cho f   . Định lý 1.1.2.2. ([1], Định lý 1, trang 73) Mỗi môđun tự do X đều là môđun xạ ảnh. Định lý 1.1.2.3. ([1],Định lý 2, trang73) Tổng trực tiếp của họ môđun P   Pi là xạ iI ảnh khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần Pi là xạ ảnh. Định lý 1.1.2.4. ([1], Định lý 4, trang 76) Khi R là vành chính, môđun P là xạ ảnh khi và chỉ khi P là môđun tự do. 1.1.3. Môđun nội xạ Định nghĩa 1.1.3.1. ([1], trang 77) Môđun J được gọi là môđun nội xạ nếu với mọi đơn cấu  : A  B , mỗi đồng cấu f : A  J , tồn tại một đồng cấu f : B  J , sao cho f  f. Bởi  là đơn cấu nên ta có thể xem A  B , do vậy f có thể xem như là sự mở rộng của f trên B . Vì lý do đó có khi người ta xem môđun nội xạ J là môđun cho phép sự mở rộng của bất kỳ đồng cấu f : A  J thành đồng cấu f : B  J , trên mỗi môđun B  A. Định lý 1.1.3.2. ([1], Định lý 5, trang 77) (Tiêu chuẩn Baer) R  môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kỳ Iđêan trái I của R và bất kỳ đồng cấu f : I  J , luôn luôn tồn tại phần tử q  J sao cho với mọi   I , ta có: f ( )   q .
4 Nói cách khác mọi đồng cấu f : I  J đều có thể mở rộng được tới đồng cấu f :R  J . Định lý 1.1.3.3. ([1], Định lý 8, trang 81) Tích trực tiếp của họ môđun J   J k là kK nội xạ khi và chỉ khi mỗi môđun thành phần J k là nội xạ. 1.1.4. Môđun chia được Định nghĩa 1.1.4.1. ([1], trang 58) Cho R là miền nguyên và X là R  môđun. Khi đó X là môđun chia được nếu với mọi x  X và mọi   R * thì luôn có y  X sao cho x  y. Khi R là vành giao hoán có đơn vị thì tích hai phần tử khác 0 có thể bằng 0. Định nghĩa môđun chia được trên vành giao hoán ta sẽ loại đi tất cả các phần tử là ước của 0 như sau: Cho R là vành giao hoán và   R . Linh hóa tử ký hiệu là r    được xác định bởi r       R :   0 . Định nghĩa 1.1.4.2. Môđun A được gọi là môđun chia được nếu với mọi   R thỏa r    a  0 ta luôn có a   A .
5 §1.2 Dãy khớp 1.2.1. Dãy khớp 1.2.1.1. Một số định nghĩa Dãy các đồng cấu (hữu hạn hay vô hạn) ...   A  f  B  g  C   ... được gọi là khớp tại môđun B nếu imf  ker g . Một môđun trong dãy các đồng cấu được gọi là môđun trung gian nếu tại nó vừa có đồng cấu vào vừa có đồng cấu ra. Dãy các đồng cấu các R  môđun được gọi là dãy khớp nếu nó khớp tại mọi môđun trung gian. Dãy khớp có dạng 0   A  f  B  g  C   0 được gọi là dãy khớp ngắn. Dãy khớp các đồng cấu ...   A  f  B  g  C   ... được gọi là chẻ ra tại môđun B nếu imf là hạng tử trực tiếp của B , tức là tồn tại một môđun con B1 sao cho B  imf  B1 . Một dãy khớp gọi là chẻ nếu nó chẻ ra tại mọi môđun trung gian. Định lý 1.2.1.2. ([1], trang 40) Đối với dãy khớp ngắn   0   A   B   C   0 , ba phát biểu sau đây tương đương: i. Dãy là chẻ. ii. Đồng cấu  có nghịch đảo trái. iii. Đồng cấu  có nghịch đảo phải Định lý 1.2.1.3. ([1],Định lý 3, trang 73) Đối với môđun P , ba phát biểu sau là tương đương: i. P là môđun xạ ảnh.   ii. Mỗi dãy khớp 0   A   B   P   0 là chẻ ra. iii. P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do. Định lý 1.2.1.4. ([1],Định lý 10, trang 82) Đối với môđun J , ba phát biểu sau là tương đương: i. J là môđun xạ ảnh.   ii. Mỗi dãy khớp 0   J   B   C   0 là chẻ ra. iii. J đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ nào đó.
6 1.2.2. Dãy khớp thuần khiết Bổ đề 1.2.2.1. Cho dãy khớp các R  môđun 0    A    B   C   0 . Khi đó, hai mệnh đề sau đây tương đương: i.  ( A)   B   ( A) , với mọi   R . ii. Nếu c  0 với c  C thì tồn tại b  B sao cho  (b)  c và b  0 . Chứng minh: Chứng minh i  ii : Giả sử c  0 với c  C và   R , ta sẽ chứng minh tồn tại b  B sao cho  (b)  c và b  0 . Thật vậy, vì c  C và  là toàn cấu nên tồn tại b  B sao cho  (b)  c suy ra  (b)   (b)   c  0 nên b  ker   im nên có a  A thỏa b   (a) . Đặt x  b   (a ) , hiển nhiên x   (a )   B nên theo i. ta có x   ( A) tức là tồn tại a '  A sao cho b   (a ') . Đặt b0  b   (a ')  B , khi đó ta có b0  0 và  (b0 )  c . Chứng minh ii  i : Lấy   R , khi đó hiển nhiên ta có  ( A)   ( A)   B . Mặt khác, với mọi x   ( A)   B thì tồn tại a  A và b  B sao cho x   ( A)   b . Đặt c   (b) , khi đó  c   (b)   ( b)    (a )   0 nên theo ii. tồn tại b0  B sao cho  (b )  c và 0 b0  0 . Tiếp tục đặt b0 '  b  b0 ta có  (b0 ')  0 nên b0 '  ker   im nên tồn tại a '  A thỏa b0 '   (a ') . Mà b0 '  b  x do đó x   (a ')   ( A) . Như vậy, ta có điều phải chứng minh  ( A)   B   ( A) .■ Bây giờ ta sẽ đưa ra định nghĩa dãy khớp thuần khiết như sau: Định nghĩa 1.2.2.2. Dãy khớp các R  môđun 0    A    B   C   0 được gọi là dãy khớp thuần khiết nếu thỏa một trong hai điều kiện của bổ đề 1.2.2.1. Ví dụ về dãy khớp thuần khiết: Cho X là R  môđun và  ( X ) là môđun con của X , khi đó ta có dãy các đồng cấu R  môđun sau: 0   ( X )  i  X  p X  ( X )  0 . Ta chứng minh dãy trên là dãy khớp thuần khiết nghĩa là  ( X )   X   ( X ) (1). Với   0 thì hiển nhiên (1) luôn đúng vì  ( X )   X   ( X )  {0} . Với mọi x  ( X )   X với mọi   R * , khi đó:  x  ( X )    R*:  x  0    x   X x0  X : x   x0
7 x0  ( X ) hiển nhiên vì tồn tại   R * sao cho ( ) x0   ( x0 )   x  0 . Do đó x   x0   ( X ) hay  ( X )   X   ( X ) . Ngược lại, với mọi x   ( X ) thì tồn tại x0  ( X ) sao cho x   x0 . Hiển nhiên x   X và x   ( X ) do  ( X ) là môđun con của X . Do đó, ta có  ( X )   ( X )   X . Vậy ta có  ( X )   X   ( X ) .■ Ví dụ về dãy khớp không thuần khiết: Cho dãy các đồng cấu  môđun: 0    i   p   0. 2 Lấy x   và   3 , khi đó  x  2  nhưng  x  2  3   . Như vậy ta 3 có     hay dãy trên không thuần khiết.
8 §1.3 Các hàm tử đồng điều 1.3.1. Hàm tử Hom Định nghĩa 1.3.1.1. ([1], trang 67) Xét phạm trù các R  môđun trái, mà ta vẫn ký hiệu là Mod và môđun X  Mod . Hàm tử Hom( X , ) : Mod  Ab , từ phạm trù Mod tới phạm trù Ab các nhóm aben đặt mỗi môđun A  Mod tương ứng với nhóm Hom( X , A) và đặt mỗi đồng cấu  : AB với đồng cấu nhóm * : Hom( X , A)  Hom( X , B) theo quy tắc * ( )   với   Hom( X , A) . Tính hàm từ của Hom( X , ) dễ dàng kiểm tra. Tương tự phản hàm tử Hom(, X ) : Mod  Ab từ phạm trù Mod tới phạm trù Ab các nhóm aben đặt mỗi môđun A  Mod tương ứng với nhóm Hom( A, X ) và đặt mỗi đồng cấu  : A  B với đồng cấu nhóm  * : Hom( B, X )  Hom( A, X ) theo quy tắc  * ( )   với   Hom( B, X ) . Tính phản hàm từ của Hom(, X ) dễ dàng kiểm tra. Như vậy, với mỗi môđun X , ta có thể xác định được một hàm tử Hom( X , ) và một phản hàm tử Hom(, X ) . Ta gọi chung các hàm tử và phản hàm tử đó là các hàm tử Hom . Định lý 1.3.1.2. ([1], Định lý 1, trang 68) Với mỗi môđun X và bất kỳ dãy khớp   ngắn 0   A   B   C   0 các dãy sau đây là khớp: * * 0   Hom( X , A)   Hom( X , B)   Hom( X , C )   0   Hom(C , X )   Hom( B, X )   Hom( A, X ) * * Định lý 1.3.1.3. ([1], Định lý 2, trang 70) Với mỗi môđun X , nếu dãy khớp ngắn   0   A   B   C   0 là chẻ thì các dãy sau đây là khớp và chẻ: * * 0   Hom( X , A)   Hom( X , B)   Hom( X , C )  0   0   Hom(C , X )   Hom( B, X )   Hom( A, X )  0 * * Theo đó, ta còn có cách định nghĩa khác cho môđun xạ ảnh và môđun nội xạ. Định nghĩa 1.3.1.4. ([1], trang 72) Môđun P là môđun xạ ảnh khi và chỉ khi với bất   kỳ dãy khớp ngắn 0   A   B   C  0
9 dãy các nhóm aben: * * 0   Hom( P, A)   Hom( P, B)   Hom( P, C )  0 là dãy khớp. Định nghĩa 1.3.1.5. ([1], trang 76) Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với bất   kỳ dãy khớp ngắn 0   A   B   C  0 dãy các nhóm aben:   0   Hom(C , J )   Hom( B, J )   Hom( A, J )  0 * * là dãy khớp. Mệnh đề 1.3.1.6. ([2], Bài tập 2.1, trang 34) Cho họ các môđun  X i iI và Y j  jJ ,   khi đó: Hom  X i ,  Y j    Hom  X i , Y j .  iI jJ  i , j I J 1.3.2. Hàm tử mở rộng Ext Định nghĩa 1.3.2.1. ([1], trang 146) Cho A là một R  môđun tùy ý. Ta gọi phép giải của A là một dãy khớp các R  môđun và các đồng cấu n 1 0 ...  X n   X n 1   ...   X 1   X 0   A  0 (1) Nói riêng, nếu X n là môđun tự do (tương ứng môđun xạ ảnh) trên R , với mọi n  0 thì (1) được gọi là một phép giải tự do (tương ứng với phép giải xạ ảnh) của môđun A . Định lý 1.3.2.2. ([1], Định lý 1, trang 147) Mọi môđun A trên R đều có một phép giải tự do. Định nghĩa 1.3.2.3. ([1], trang 161) Cho A và B là các R  môđun trái và X :...  X n1  X n  X n1  ...  X0  A  0 là phép giải xạ ảnh bất kỳ của A . Phức thu gọn tương ứng với phép giải xạ ảnh X là X :...  X n 1  X n  X n 1  ...  X 0  0
10 Xét dãy nửa khớp Hom  X , B  : 0  Hom  X 0 , B     Hom  X 1 , B   ... ...  Hom  X n , B     Hom  X n 1 , B   ... Trong đó các đồng cấu   Hom   , i  , với i là tự đồng cấu đồng nhất của môđun B .  Với mỗi số nguyên dương n , nhóm đối đồng điều H n Hom  X , B  được gọi là tích  mở rộng n  chiều trên R của các môđun A và B đã cho và được ký hiệu là Ext Rn  A, B  . Khi vành R đã được chỉ rõ, ta sử dụng ký hiệu đơn giản hơn Ext n  A, B  . Với n  1 , ta dùng ký hiệu Ext  A, B  và gọi nó là tích mở rộng của các môđun A và B. Trường hợp n  0 , ta có Ext 0  A, B   Ker  0  với  0 : Hom  X 0 , B   Hom  X 1 , B  . Định lý 1.3.2.4. ([1],Định lý 1, trang 163) Nếu môđun trái A là xạ ảnh thì Ext n  A, B   0 với mọi số dương n và với mọi R  môđun trái B . Định lý 1.3.2.5. ([1],Định lý 2, trang 163) Nếu B là R  môđun trái nội xạ thì Ext n  A, B   0 với mọi số nguyên dương n và mọi R  môđun trái A . Định lý 1.3.2.6. ([1],Định lý 3, trang 164) Cho A và B là các R  môđun trái tùy ý, 0  M  f  P  g A0 là một dãy khớp ngắn tùy ý, trong đó P là môđun trái xạ ảnh trên R . Khi đó ta có: Ext n  A, B   Ext n 1  M , B  , n  1, Ext  A, B   Co ker  Hom  f , i   . Định lý 1.3.2.7. ([1], Định lý 4, trang 167)Tích mở rộng n  chiều Ext n là hàm tử của hai biến, phản biến theo biến thứ nhất và hiệp biến theo biến thứ hai. Nói riêng, Ext n  , B  (tương ứng Ext n  A,   ) là các hàm tử phản biến (tương ứng hiệp biến) từ
11 phạm trù các môđun và các đồng cấu tới phạm trù Ab các nhóm aben, với mọi môđun A (tương ứng với mọi môđun B ). Định lý 1.3.2.8. ([1],Định lý 5, trang 168) Nếu A là môđun phải trên vành R và 0  B '  f  B  g  B ''  0 là một dãy khớp ngắn các môđun trái trên R , thì ta có một dãy khớp 0  Hom  A, B '     Hom  A, B      Hom  A, B ''    Ext  A, B ' Hom i , f Hom i , g  ...  Ext n  A, B '   Ext n  A, B    Ext n  A, B ''    Ext n1  A, B '  ... * * f g Định lý 1.3.2.9. ([1], Định lý 6, trang 168) Nếu B là môđun trái trên R và 0  A '  f  A  g  A''  0 là dãy khớp ngắn những môđun phải trên R thì ta có dãy khớp 0  Hom  A '', B      Hom  A, B      Hom  A ', B     Ext  A '', B  Hom g ,i Hom f ,i  ...  Ext n  A '', B    Ext n  A, B    Ext n  A ', B     Ext n1  A '', B   ... * * g f Mệnh đề 1.3.2.10. ([3], Định lý 2.2.2.12., trang 21) Cho R là miền nguyên, X là   môđun chia được khi và chỉ khi Ext R  R , X  0 với mỗi   R . Mệnh đề 1.3.2.11. ([3], Định lý 2.2.1a.8., trang 25) Cho R là vành giao hoán có đơn   vị, X là môđun chia được khi và chỉ khi Ext R  R , X  0 với mọi  ,  không là ước thực sự của 0. 1.3.3. Hàm tử Tenxơ Định nghĩa 1.3.3.1. ([1], trang 84) Cho R là vành có đơn vị, X R và RY lần lượt là các R  môđun phải và R  môđun trái, G là nhóm aben. Ánh xạ  : X  Y  G được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa: i.  là song cộng tính, tức là:  ( x1  x2 , y)   ( x1 , y)   ( x2 , y)
12  ( x, y1  y2 )   ( x, y1 )   ( x, y2 ) Với mọi x, x1 , x2  X và mọi y, y1 , y2 Y . ii.  là kết hợp trong đối với phép nhân ngoài trên X và Y , tức là:  ( xr , y )   ( x, ry ) với mọi r  R và mọi x  X , y  Y . Định nghĩa 1.3.3.2. ([1], trang 85) Cho X R và RY là các môđun phải và môđun trái trên cùng vành hệ tử R . Tích tenxơ của các môđun X và Y là các nhóm aben mà ta sẽ ký hiệu là X  Y , sao cho có ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  X  Y có tính chất phổ dụng đối với bất kỳ ánh xạ song tuyến tính  : X  Y  G , tức là với mỗi ánh xạ song tuyến tính  đó, tồn tại và duy nhất đồng cấu f : X  Y  G thỏa mãn:   f  . Định nghĩa 1.3.3.3. ([1], trang 94) Cho f : X R  X 'R là đồng cấu R  môđun phải và g : RY  RY ' là đồng cấu R  môđun trái. Xét biểu đồ sau:  X Y   X ' Y '   ' X Y  h  X ' Y ' Trong đó  , ' là các ánh xạ tenxơ, ánh xạ  : X  Y  X ' Y ' được cho bởi công thức:  ( x, y )   f ( x ), g ( y )  , ( x, y )  X  Y . Khi đó,  ' là ánh xạ song tuyến tính. Từ đó sử dụng tính chất phổ dụng của ánh xạ tenxơ  , tồn tại và suy nhất đồng cấu h : X Y  X 'Y ' thỏa điều kiện h   ' . Đồng cấu h được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f và g , ký hiệu là f  g . Định lý 1.3.3.4. ([1],Địnhlý 3, trang 96) Cho f : X  X ' và g : Y  Y ' là các toàn cấu R  môđun phải và R  môđun trái. Khi đó, tích tenxơ f  g : X  Y  X ' Y ' là toàn cấu nhóm, đồng thời hạt nhân ker  f  g  là nhóm con của X  Y được sinh bởi các phần tử x  y trong đó hoặc x  ker f hoặc y  ker g . Định nghĩa 1.3.3.5. ([1], trang 99) Các hàm tử tenxơ
13 Với mỗi R  môđun phải A , ta xây dựng hàm tử  1A  A   : R Mod  Ab như sau: Đặt mỗi vật X tương ứng với nhóm A  X . Đặt mỗi đồng cấu  : X  Y tương ứng với đồng cấu nhóm 1A   : A  X  A  Y Khi đó từ tính chất của tích tenxơ ta có  1A (1X )  1A 1X  1A X , X  R Mod  1A (  )  1A    (1A   )(1A   )   1A (  ) 1A ( ) với mọi cặp ( ,  ) mà tích xác định. Vậy  A  A   là một hàm tử hiệp biến. 1 Một cách tương tự ta có  B    B : Mod R  Ab là hàm tử hiệp biến. 2 Định lý 1.3.3.6. ([1],Định lý 4, trang 100) Các hàm tử tenxơ  A    và    B  là các hàm tử khớp về bên phải. Cho A là R  môđun phải, B là R  môđun trái và dãy khớp các R  môđun:   0   X   Y   Z  0 thì các dãy sau là khớp: 1  1 A  X   A  Y   A  Z  0  1  1 X  B   Y  B   Z  B  0 Định lý 1.3.3.7. ([1],Định lý 5, trang 101) Các hàm tử tenxơ  A    và    B  bảo toàn tính khớp chẻ cho các dãy khớp ngắn và chẻ.   Giả sử dãy 0   X   Y   Z   0 là chẻ thì dãy 1  1 0   A  X   A  Y   A  Z  0  1  1 0   X  B   Y  B   Z  B  0 là khớp chẻ.
14 Định lý 1.3.3.8. ([1],Định lý 2, trang 90) Cho họ  X t tI là họ các R  môđun phải và Yk kK là họ các R  môđun trái. Khi đó ta có  X    Y   tI t kK k  (t,k)IK  X t  Yk  Định nghĩa 1.3.3.9. ([1], trang 101) R  môđun A được gọi là môđun dẹt nếu hàm tử ( A  ) là hàm tử khớp. Nói cách khác A là môđun dẹt nếu với mỗi dãy khớp ngắn các R  môđun:   0   X   Y   Z  0 dãy các nhóm tenxơ sau đây là khớp: 1A   1A  0   A  X   A  Y   A  Z  0 . Mệnh đề 1.3.3.10. ([2], Bài tập 2.22,trang 40) Mọi môđun xạ ảnh đều là môđun dẹt. Định nghĩa 1.3.3.11. ([3], Định nghĩa ,trang 106) Đặt X   xi , i  I  là cơ sở của   môđun tự do F và Y   rji xi : j  J  là tập con của F . Nếu K là môđun con của  i  F sinh bởi Y thì ta nói rằng M  F có tập sinh X và quan hệ Y . Ta cũng nói rằng K cặp  X | Y  là biểu diễn của M . Môđun là biểu diễn hữu hạn nếu tồn tại dãy khớp: R m   R n   M  0 với m, n  . Do đó, môđun M là hữu hạn sinh nếu nó có một biểu diễn  X | Y  trong đó là hữu hạn. Trong khi đó, môđun M có biểu diễn hữu hạn nếu nó có một biểu diễn mà cả X và Y là hữu hạn. Mệnh đề 1.3.3.12. ([3], Định lý 3.63, trang 142) Môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh khi và chỉ khi nó là môđun dẹt và có biểu diễn hữu hạn. Mệnh đề 1.3.3.13. R  R A  A với mọi R  môđun trái A và BR  R  B với mọi R  môđun B . Chứng minh: Để chứng minh R  R A  A ta xây dựng đồng cấu f và đồng cấu g sao cho tích fg và gf là đồng cấu đồng nhất.