Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của Darvish và một phương pháp chiếu (kết hợp phương pháp chiếu lai ghép và chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn tương đối yếu và nghiệm của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý hội tụ mạnh cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên – 2020
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ THANH KHUYÊN MỘT ĐỊNH LÝ HỘI TỤ MẠNH CHO HỆ BÀI TOÁN CÂN BẰNG HỖN HỢP TỔNG QUÁT VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. TS. Trương Minh Tuyên 2. TS. Phạm Hồng Trường Thái Nguyên – 2020
ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Trương Minh Tuyên và TS Phạm Hồng Trường. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Trương Minh Tuyên và TS. Phạm Hồng Trường, các thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K12A3 đã tạo điều kiện tốt nhất và tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường. Tôi xin chân thành cảm ơn Hội đồng quản trị, Ban giám hiệu trường THPT Lương Thế Vinh, thành phố Cẩm Phả, tỉnh Quảng Ninh đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt thời gian đi học. Nhân dịp này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, người thân, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tôi mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn!
iii Mục lục Lời cảm ơn ii Một số ký hiệu và viết tắt iv Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Không gian Banach phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 4 1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Phép chiếu Bregman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.3 Một số lớp ánh xạ Bregman không giãn . . . . . . . . . . . 24 Chương 2 Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động 29 2.1 Toán tử giải hỗn hợp và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Phát biểu bài toán và phương pháp lặp . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.3 Sự hội tụ mạnh của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45
iv Một số ký hiệu và viết tắt X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X R tập hợp các số thực R+ tập các số thực không âm ∩ phép giao int M phần trong của tập hợp M inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M argminx∈X F (x) tập các điểm cực tiểu của hàm F trên X ∅ tập rỗng dom(A) miền hữu hiệu của toán tử (hàm số) A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn } n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số {xn } n→∞ xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn * x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T Fˆ (T ) tập điểm bất động tiệm cận của ánh xạ T
v ∂f dưới vi phân của hàm lồi f 5f gradient của hàm f M bao đóng của tập hợp M projfC phép chiếu Bregman lên C Df (x, y) khoảng cách Bregman từ x đến y
1 Mở đầu Đầu thế kỉ XX đã xuất hiện nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng, trong đó phải kể đến nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co của Banach (1922). Các kết quả này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học khác nhau như: Giải tích số, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, tối ưu hóa, các bài toán liên quan đến kinh tế như bài toán cân bằng, bài toán chấp nhận lồi và bài toán bất đẳng thức biến phân ... Bài toán về điểm bất động có hai lĩnh vực được quan tâm nghiên cứu chủ yếu, đó là: Ta quan tâm đến sự tồn tại nghiệm của phương trình T (x) = x, trong đó T là một ánh xạ từ tập con C của không gian X vào X và nghiệm x0 của nó được gọi là một điểm bất động của T . Trong rất nhiều trường hợp quan trọng việc giải một phương trình được đưa về việc tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Chẳng hạn, nếu X là một không gian tuyến tính, S là một ánh xạ trong X và y là một phần tử cố định thuộc X, thì nghiệm của phương trình S(x) = y chính là điểm bất động của ánh xạ T được xác định bởi T (x) = S(x) + x − y, với x ∈ X. Bên cạnh đó việc tìm ra các phương pháp tìm hay xấp xỉ điểm bất động của một ánh xạ cũng thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người làm toán trong và ngoài nước. Trong thời gian gần đây, lớp bài toán cân bằng mà tổng quát hơn là bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Hilbert hay Banach đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Một trong những khó khăn khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ điểm bất động và bài toán cân bằng trong không gian Banach là ta phải sử dụng đến ánh xạ đối ngẫu của không gian. Ta biết rằng trong trường hợp tổng quát ánh xạ đối ngẫu rất khó xác định và ngoài ra nó không có tính chất tuyến tính. Do đó việc tìm dạng tường minh của toán tử giải tương ứng với toán tử đơn điệu trong không gian Banach là “rất khó”. Để khắc phục khó khăn này, người ta đã sử
2 dụng khoảng cách Bregman để thay thế cho khoảng cách thông thường và thay thế ánh xạ đối ngẫu bởi gradient của một phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux. Mục đích của luận văn này là trình bày lại các kết quả của Darvish và các cộng sự trong bài báo [14] về một phương pháp chiếu (kết hợp phương pháp chiếu lai ghép và chiếu thu hẹp) xấp xỉ điểm bất động chung của một họ hữu hạn toán tử Bregman không giãn tương đối yếu và nghiệm của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát trong không gian Banach phản xạ. Nội dung của luận văn được chia làm hai chương chính: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, luận văn đề cập đến một số vấn đề về không gian Banach phản xạ, khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và một số lớp toán tử Bregman không giãn. Chương 2. Xấp xỉ nghiệm chung cho hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động Trong chương này luận văn tập trung trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của Darvish V. và các cộng sự trong tài liệu [14] về một phương pháp chiếu cho bài toán tìm nghiệm chung của hệ bài toán cân bằng hỗn hợp tổng quát và bài toán điểm bất động cho lớp ánh xạ Bregman không giãn tương đối yếu trong không gian Banach phản xạ.
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này bao bồm hai mục. Mục 1.1 trình bày về một số tính chất cơ bản của không gian phản xạ. Mục 1.2 giới thiệu về khoảng cách Bregman, phép chiếu Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn. Nội dung của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1, 15, 21, 24, 27]. 1.1 Không gian Banach phản xạ Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banach phản xạ. Định nghĩa 1.1.1. Một không gian Banach X được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai X ∗∗ của X, đều tồn tại phần tử x thuộc X sao cho hx, x∗ i = hx∗ , x∗∗ i với mọi x∗ ∈ X ∗ . Chú ý 1.1.2. Trong luận văn, chúng tôi sử dụng ký hiệu hx∗ , xi để chỉ giá trị của phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Mệnh đề 1.1.3. [1] Cho X là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) X là không gian phản xạ. ii) Mọi dãy bị chặn trong X, đều có một dãy con hội tụ yếu. Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trong không gian tuyến tính định chuẩn.
4 Mệnh đề 1.1.4. Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian không gian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu. Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử tồn tại dãy {xn } ⊂ C sao / C. Theo định lý tách các tập lồi, tồn tại x∗ ∈ X ∗ tách cho xn * x, nhưng x ∈ ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho hy, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi y ∈ C. Đặc biệt, ta có hxn , x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, với mọi n ≥ 1. Ngoài ra, vì xn * x, nên hxn , x∗ i → hx, x∗ i. Do đó, trong bất đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được hx, x∗ i ≤ hx, x∗ i − ε, điều này là vô lý. Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu. Mệnh đề được chứng minh. Chú ý 1.1.5. Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng. 1.2 Khoảng cách Bregman và một số lớp ánh xạ Bregman không giãn 1.2.1 Hàm lồi và khoảng cách Bregman Cho X là một không gian Banach và cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm số. Ta ký hiệu miền hữu hiệu domf là tập {x ∈ X : f (x) < ∞}. Với mỗi x ∈ int domf và y ∈ X, ta ký hiệu f 0 (x, y) là đạo hàm phải của f tại x theo hướng y, tức là f (x + ty) − f (x) f 0 (x, y) = lim . t↓0 t Định nghĩa 1.2.1. Hàm f được gọi là khả vi Gâteaux tại x nếu giới hạn limt→0 (f (x + ty) − f (x))/t tồn tại với mọi y. Trong trường hợp này f 0 (x, y) trùng với (5f )(x), giá trị của gradient 5f của f tại x.
5 Định nghĩa 1.2.2. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet tại x nếu giới hạn trên tồn tại đều trên tập {y ∈ X : kyk = 1}. Hàm f được gọi là khả vi Fréchet đều trên tập con C của X nếu giới hạn trên tồn tại đều với mọi x ∈ C và kyk = 1. Chú ý 1.2.3. i) Nếu hàm f khả vi Gâteaux (Fréchet) trên X, thì toán tử gradient 5f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. ii) Ta biết rằng nếu f là khả vi Gâteaux (khả vi Fréchet) trên int domf , thì f liên tục và đạo hàm Gâteaux 5f của nó là liên tục từ tôpô mạnh vào tôpô yếu* trên int domf (xem [6]). iii) Nếu f khả vi Fréchet đều trên X, thì tồn tại số M sao cho k 5 f (x)k ≤ M , với mọi x ∈ X. Dưới đây một tính chất đơn giản của hàm khả vi Fréchet đều. Mệnh đề 1.2.4 (xem [2], Định lý 1.8). Nếu f : X −→ R khả vi Fréchet đều, thì f liên tục đều trên X. Chứng minh. Lấy bất kỳ u, v ∈ X. Xét hàm số h(t) = f [u + t(v − u)] với mọi t ∈ [0, 1]. Khi đó, ta có h(t + τ ) − h(t) f ([u + (t + τ )(v − u)]) − f [u + t(v − u)] = . τ τ Vì f khả vi Fréchet đều trên X, nên khi cho τ → 0, ta nhận được h0 (t) = 5f (u + t(v − u))(v − u). Theo định lý Lagrange, tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho h(1) − h(0) = h0 (θ). Suy ra |f (u) − f (v)| = |h(1) − h(0)| = | 5 f (u + θ(v − u))(v − u)| ≤ k 5 f (u + θ(v − u))kku − vk.
6 Từ Chú ý 1.2.3 iii), suy ra tồn tại M sao cho k 5 f (x)k ≤ M , với mọi x ∈ X. Do đó, ta nhận được |f (u) − f (v)| ≤ M ku − vk. Vậy f liên tục đều trên X. Định nghĩa 1.2.5. Cho D ⊂ X, f : D → R ∪ {±∞}. i) Hàm f được gọi là chính thường nếu dom f 6= ∅ và f (x) > −∞(∀x ∈ D), trong đó dom f = {x ∈ D : f (x) < ∞}. ii) Hàm f được gọi là hàm lồi trên D nếu epi f là tập lồi trong E × R, trong đó epi f = {(x, r) ∈ D × R : f (x) ≤ r}. iii) Hàm f : D ⊂ X → R được gọi là nửa liên tục dưới tại điểm x ∈ D nếu với mỗi ε > 0 có một δ > 0 sao cho f (x) − ε ≤ f (x) với mọi x ∈ D, kx − xk < δ. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu f nửa liên tục dưới tại mọi điểm x ∈ D. Dưới đây là ví dụ về hàm nửa liên tục dưới. Ví dụ 1.2.6. Cho f : R −→ R là hàm số được xác định bởi  |x| khi x 6= 0  f (x) = −1 khi x = 0.  Khi đó, hàm f là hàm nửa liên tục dưới tại điểm x = 0, nhưng không liên tục tại x = 0. Thật vậy, dễ thấy f không liên tục tại x = 0. Với mọi ε > 0 và với mọi δ > 0 (trong trường hợp này có thể chọn δ là số dương bất kỳ) ta có f (0) − ε = −1 − ε < −1 ≤ f (x), với mọi x. Do đó, f là nửa liên tục dưới tại 0.
7 Mệnh đề 1.2.7. Hàm f : X −→ (−∞, ∞] là lồi khi và chỉ khi f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) (1.1) với mọi x, y ∈ X và mọi t ∈ [0, 1]. Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi trên X. Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1). Nếu x hoặc y không thuộc dom f , thì hiển nhiên bất đẳng thức (1.1) đúng. Giả sử x, y ∈ dom f . Khi đó ta có (x, f (x)) ∈ epi f và (y, f (y)) ∈ epi f . Vì epi f là tập lồi, nên (t(x, f (x)) + (1 − t)(y, f (y))) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1), tức là (tx + (1 − t)y, tf (x) + (1 − t)f (y)) ∈ epi f với mọi t ∈ (0, 1). Suy ra f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y). Ngược lại giả sử bất đẳng thức (1.1) đúng với mọi t ∈ (0, 1). Ta sẽ chỉ ra epi f là tập lồi. Thật vậy, giả sử (x, s) ∈ epi f và (y, r) ∈ epi f , tức là f (x) ≤ s và f (y) ≤ r. Khi đó, từ bất đẳng thức (1.1), ta có f [tx + (1 − t)y] ≤ tf (x) + (1 − t)f (y) ≤ ts + (1 − t)r, với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra (t(x, s) + (1 − t)(y, r)) ∈ epi f với mọi t ∈ [0, 1]. Suy ra epi f là tập lồi và do đó f là hàm lồi. Mệnh đề 1.2.8. Nếu f là một hàm lồi và x ∈ dom f , thì các khẳng định sau là đúng: i) Hàm ϕf (y, x; ·) : R \ {0} −→ (−∞, ∞] xác định bởi f (x + ty) − f (x) ϕf (y, x; t) = t là hàm không giảm trên mỗi khoảng (0, ∞) và (−∞, 0). ii) Với mọi y ∈ X, giới hạn f 0 (x, y) = limt↓0 ϕf (y, x; t) là tồn tại và f 0 (x, y) ≤ f (x + y) − f (x). Chứng minh. i) Nếu 0 < t < s < ∞, thì từ Mệnh đề 1.2.7, ta có t s−t f (x + ty) = f (x + sy) + x s s
8 t s−t ≤ f (x + sy) + f (x) s s f (x + sy) − f (x) = f (x) + t , s điều này suy ra ϕf (y, x; t) ≤ ϕf (y, x; s). Do đó ϕf (y, x; ·) là hàm không giảm trên (0, ∞). Tương tự, ta cũng nhận được ϕf (y, x; ·) là hàm không giảm trên (−∞, 0). ii) Theo i) giới hạn f 0 (x, y) = limt↓0 ϕf (y, x; t) tồn tại và f 0 (x, y) ≤ ϕf (y, x; 1), tức là f 0 (x, y) ≤ f (x + y) − f (x). Mệnh đề 1.2.9. Cho D ⊂ E là một tập lồi, f : D → R ∪ {±∞} là một hàm lồi trên D. Khi đó, ta có các khẳng định dưới đây: i) Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D. ii) Nếu f là hàm lồi chặt trên D thì điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất. Chứng minh. i) Giả sử x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nhưng x0 không là điểm cực tiểu toàn cục. Khi đó, tồn tại x1 ∈ D sao cho f (x1 ) < f (x0 ). Vì x0 ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của f , nên tồn tại một lân cận U của x0 sao cho f (x0 ) ≤ f (x), với mọi x ∈ D ∩ U . Với t ∈ (0, 1) đủ nhỏ, ta có xt = x0 + t(x1 − x0 ) ∈ D ∩ U , do đó ta nhận được f (x0 ) ≤ f (xt ) = f [tx1 + (1 − t)x0 ] ≤ tf (x1 ) + (1 − t)f (x0 ). Suy ra f (x0 ) ≤ f (x1 ), mâu thuẫn với f (x1 ) < f (x0 ). Vậy x0 là một điểm cực tiểu của f trên D. ii) Giả sử x1 và x2 là các điểm cực tiểu của f trên D với x1 6= x2 . Khi đó f (x1 ) = f (x2 ) = m = min f (x). x∈D
9 Từ tính lồi chặt của f suy ra x1 + x2 1 f( ) < (f (x1 ) + f (x2 )) = m, 2 2 mâu thuẫn với m = minx∈D f (x). Vậy điểm cực tiểu của f nếu có là duy nhất. Định nghĩa 1.2.10. Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục dưới. Cho x ∈ int domf , dưới vi phân của f tại x được xác định bởi ∂f (x) = {x∗ ∈ X ∗ : f (x) + hx∗ , y − xi ≤ f (y) ∀y ∈ X}. Ví dụ 1.2.11. Cho x0 ∈ R và f : R −→ R xác định bởi f (x) = |x − x0 | với mọi x ∈ R. Khi đó, ta có     1, nếu x > x0 ,  ∂f (x) = −1, nếu x < x0 ,     [−1, 1], nếu x = x0 . Dễ thấy f khả vi tại mọi x 6= 0, nên ta có ∂f (x) = {1} nếu x > x0 và ∂f (x) = {−1} nếu x < x0 . Tại x0 , ta có ξ ∈ ∂f (x0 ) khi và chỉ khi |x − x0 | ≥ ξ(x − x0 ), ∀x ∈ R. Điều này tương đương với ξ ∈ [−1, 1] và do đó ∂f (x0 ) = [−1, 1]. 1 Ví dụ 1.2.12. Cho X là một không gian tuyến tính định chuẩn, g(x) = kxk2 2 với mọi x ∈ X. Khi đó,  0, x = 0,  ∂g(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= 0.  Thật vậy, f ∈ ∂g(0) khi và chỉ khi 1 kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X. 2 Thay y bởi λy với λ > 0, ta nhận được λ kyk2 ≥ hy, f i, ∀y ∈ X. 2
10 Cho λ → 0, ta nhận được hy, f i ≤ 0 với mọi y ∈ X. Thay y bởi −y ta thu được hy, f i ≥ 0. Suy ra, hy, f i = 0 với mọi y ∈ X. Do đó, f = 0. Vậy ∂g(0) = {0}. Giả sử x 6= 0, dễ dàng kiểm tra được rằng {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 } ⊂ ∂g(x). Thật vậy, giả sử f ∈ X ∗ thỏa mãn kxk2 = kf k2 . Khi đó, với mọi y ∈ X, ta có hy − x, f i = hy, f i − kxk2 ≤ kyk.kxk − kxk2 1 ≤ (kyk2 + kxk2 ) − kxk2 = g(y) − g(x). 2 Ngược lại, giả sử f ∈ ∂g(x). Khi đó, ta có 1 hy − x, f i ≤ (kyk2 − kxk2 ) 2 với mọi y ∈ X. Thay y = x + λz với λ ∈ R và z ∈ X, từ bất đẳng thức ka + bk2 ≤ kak2 + kbk2 + 2kakkbk, ∀a, b ∈ X, ta nhận được 1 1 λhz, f i ≤ (kx + λzk2 − kxk2 ) ≤ (λ2 kzk2 + 2|λ|kxkkzk). (1.2) 2 2 Khi λ > 0, từ (1.2), ta nhận được 1 hz, f i ≤ (λkzk2 + 2kxkkzk). 2 Cho λ → 0+ , ta thu được hz, f i ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X. Suy ra, |hz, f i| ≤ kxkkzk với mọi z ∈ X. Với z = x, ta nhận được |hx, f i| ≤ kxk2 , kf k ≤ kxk. (1.3) Trong bất đẳng thức đầu tiên của (1.2), với x = z và λ < 0, ta nhận được λ+2 hx, f i ≥ kxk2 . 2 Cho λ → 0− , ta được hx, f i ≥ kxk2 . (1.4)
11 Từ (1.3) và (1.4), ta nhận được hx, f i = kxk2 = kf k2 . Tóm lại, ta nhận được  0, x = 0,  ∂g(x) = {f ∈ X ∗ : hx, f i = kxk2 = kf k2 }, x 6= 0.  Định nghĩa 1.2.13. Hàm liên hợp của f là f ∗ : X ∗ −→ (−∞, ∞] và được xác định bởi f ∗ (x∗ ) = sup {hx∗ , xi − f (x)}. x∈X Ví dụ 1.2.14. Cho f : R −→ R xác định bởi f (x) = e2x với mọi x ∈ R. Khi đó, ta có  ∗ x x∗   (ln − 1), nếu x∗ > 0,    2 2 f ∗ (x∗ ) = 0, nếu x∗ = 0,    ∞, nếu x∗ < 0.  Thật vậy, từ định nghĩa của hàm liên hợp ta có f ∗ (x∗ ) = sup{x∗ x − e2x }. x∈R Nếu x∗ = 0, thì f ∗ (x∗ ) = 0. Nếu x∗ < 0, vì x∗ x − e2x → ∞ khi x → −∞, nên f ∗ (x∗ ) = ∞. Giả sử x∗ > 0, đặt g(x) = x∗ x − e2x với x ∈ R. Ta có g 0 (x) = x∗ − 2e2x = 0 khi 1 x∗ và chỉ khi x = ln . Dễ thấy 2 2 1 x∗ x∗ x∗ sup{x∗ x − e2x } = g( ln ) = (ln − 1). x∈R 2 2 2 2 Vậy ta nhận được  ∗ x x∗   (ln − 1), nếu x∗ > 0,    2 2 f ∗ (x∗ ) = 0, nếu x∗ = 0,    ∞, nếu x∗ < 0. 
12 Định nghĩa 1.2.15. Cho E là một không gian Banach phản xạ, một hàm f : X −→ (−∞, ∞] được gọi là hàm Legendre nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau: L1 ) Phần trong int domf của miền hữu hiệu của f khác rỗng, f khả vi Gâteaux trên int domf và dom5f = int domf ; L2 ) Phần trong int domf ∗ của miễn hữu hiệu của f ∗ khác rỗng, f ∗ khả vi Gâteaux trên int domf ∗ và dom5f ∗ = int domf ∗ . Vì E là phản xạ, nên (∂f )−1 = ∂f ∗ (xem [6]). Do đó, từ các điều kiện L1 ) và L2 ), ta có các đẳng thức sau: 5f = (5f ∗ )−1 , ran 5 f = dom 5 f ∗ = int domf ∗ và ran 5 f ∗ = dom 5 f = int domf, trong đó ran5f là miền ảnh của 5f . Khi dưới vi phân của f là đơn trị, thì nó đồng nhất với 5f (xem [9]). Bauschke và cộng sự (xem [4]) đã chỉ ra các điều kiện L1 ) và L2 ) cũng suy ra các hàm f và f ∗ là lồi chặt trên phần trong của miền hữu hiệu tương ứng. Nếu X là một không 1 gian Banach trơn và lồi chặt, thì f (x) = kxkp , 1 < p < ∞ là hàm Legendre. p Từ đây, ta luôn giả thiết rằng X là không gian Banach phản xạ. Mệnh đề 1.2.16 (xem [20], Mệnh đề 2.1). Nếu f : X −→ R là hàm lồi, khả vi Fréchet đều và bị chặn trên mỗi tập con bị chặn của X, thì 5f liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của X từ tôpô mạnh của X vào tôpô mạnh của X ∗ . Chứng minh. Giả sử kết luận của mệnh đề là sai, khi đó tồn tại hai dãy bị chặn {xn }, {yn } và số dương ε sao cho kxn − yn k → 0, nhưng h5f (xn ) − 5f (yn ), wn i ≥ 2ε, trong đó {wn } là một dãy trong X thỏa mãn kwn k = 1 với mọi n. Vì f khả vi Fréchet đều nên tồn tại một hằng số dương δ sao cho f (yn + twn ) − f (yn ) − th5f (yn ), wn i ≤ εt,
13 với mọi t ∈ (0, δ). Từ tính lồi của hàm f , ta cũng có h5f (xn ), (yn + twn ) − xn i ≤ f (yn + twn ) − f (xn ), với mọi n ≥ 1. Cũng từ tính lồi của hàm f , ta có th5f (xn ), wn i ≤ f (yn + twn ) − f (yn ) ≤ f (yn + twn ) − f (yn ) + h5f (xn ), xn − yn i + f (yn ) − f (xn ) Do đó, ta nhận được 2εt ≤ th5f (xn ) − 5f (yn ), wn i ≤ [f (yn + twn ) − f (yn ) − th5f (yn ), wn i] + h5f (xn ), xn − yn i + f (yn ) − f (xn ) ≤ εt + h5f (xn ), xn − yn i + f (yn ) − f (xn ). Vì f là bị chặn trên các tập con bị chặn của X nên h5f (xn ), xn − yn i → 0. Ngoài ra, theo giả thiết f liên tục đều trên các tập con bị chặn của X, nên f (yn ) − f (xn ) → 0. Do đó, trong bất đẳng thức trên, khi cho n → ∞, ta nhận được 2εt ≤ εt, điều này là vô lý. Vậy 5f liên tục đều trên các tập con bị chặn của X. Cuối cùng, trong mục này ta đề cập đến khái niệm khoảng cách Bregman trong không gian Banach. Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi khả vi Gâteaux. Hàm Df : domf × int domf −→ [0, ∞) xác định bởi Df (y, x) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi, (1.5) được gọi là khoảng cách Bregman tương ứng với f (xem [2]). Nhận xét 1.2.17. i) Khoảng cách Bregman không là khoảng cách theo nghĩa thông thường, vì nó không có tính đối xứng. ii) Với mỗi x cố định, dễ thấy Df (·, x) là hàm lồi chặt và 5Df (·, x)(y) = 5f (y) − 5f (x).
14 iii) Khoảng cách Bregman có hai tính chất quan trọng, đó là đẳng thức ba điểm: với bất kỳ x ∈ dom f và y, z ∈ int dom f , Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = h5f (z) − 5f (y), x − yi, (1.6) và đẳng thức bốn điểm: với bất kỳ y, ω ∈ dom f và x, z ∈ int dom f , Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) (1.7) + Df (ω, z) = h5f (z) − 5f (x), y − ωi. Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có Df (x, y) + Df (y, z) − Df (x, z) = f (x) − f (y) − h5f (y), x − yi + f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi − [f (x) − f (z) − h5f (z), x − zi] = h5f (z) − 5f (y), x − yi, suy ra đẳng thức ba điểm được chứng minh. Bây giờ với mọi x, y, z, w ∈ X, ta có Df (y, x) − Df (y, z) − Df (ω, x) + Df (ω, z) = f (y) − f (x) − h5f (x), y − xi − [f (y) − f (z) − h5f (z), y − zi] − [f (w) − f (x) − h5f (x), w − xi] + f (w) − f (z) − h5f (z), w − zi = h5f (z) − 5f (x), y − ωi, suy ra đẳng thức bốn điểm được chứng minh. Định nghĩa 1.2.18. Cho f : X −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi và khả vi Gâteaux. Khi đó, f được gọi là: a) lồi hoàn toàn tại x ∈ int domf nếu modul của tính lồi hoàn toàn của nó tại x, vf : int domf × [0, ∞) −→ [0, ∞) xác định bởi vf (x, t) = inf{Df (y, x) : y ∈ domf, ky − xk = t}, là dương với mọi t > 0;