Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

37
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach đưa ra một số kiến thức cơ bản; định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach; ứng dụng. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một định lý về tính ổn định mũ của họ tiến hóa tuần hoàn trên không gian Banach

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM TP. HOÀ CHI MINH LEÂ HÖÕU THÖÙC MOÄT ÑÒNH LYÙ VEÀ TÍNH OÅN ÑÒNH MUÕ CUÛA HOÏ TIEÁN HOÙA TUAÀN HOAØN TREÂN KHOÂNG GIAN BANACH Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi tích Maõ soá : 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS. TS. LEÂ HOAØN HOÙA Thaønh phoá Hoà Chí Minh – 2008
1
2 LÔØI CAÛM ÔN Ñaàu tieân toâi xin baøy toû loøng tri aân saâu saéc ñoái vôùi Thaày PGS. TS. Leâ Hoaøn Hoùa – Khoa toaùn – Tin hoïc, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm TP.HCM ñaõ höôùng daãn, ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi taän tình trong suoát quaù trình hoïc taäp vaø thöïc hieän luaän vaên. Toâi xin gôûi lôøi caûm ôn ñeán quyù Thaày, Coâ trong Hoäi ñoàng chaám luaän vaên ñaõ daønh thôøi gian ñoïc, chænh söûa vaø ñoùng goùp yù kieán giuùp toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy moät caùch hoaøn chænh. Toâi chaân thaønh caûm ôn caùc Ban chuû nhieäm Khoa Toaùn – Tin hoïc Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm TP.Hoà Chí Minh, caùc Thaày Coâ ñaõ taän tình tham gia giaûng daïy toâi trong lôùp Cao hoïc Giaûi tích khoaù 15 vaø Phoøng KHCN - SÑH Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm TP.Hoà Chí Minh. Toâi gôûi lôøi caûm ôn ñeán Ban giaùm hieäu, Boä moân Toaùn tröôøng Döï Bò Ñaïi hoïc TP.HCM, Tröôøng THPT DL An Ñoâng ñaõ taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi trong coâng taùc ñeå toâi coù theå tham gia ñaày ñuû caùc khoùa hoïc cuõng nhö hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Ñaëc bieät laø lôøi caûm ôn saâu saéc Thaày TS. Chu Ñöùc Khaùnh ñaõ goùp yù cho luaän vaên vaø ñoäng vieân toâi raát nhieàu trong suoát quaù trình hoïc taäp. Toâi cuõng gôûi lôøi caûm ôn ñeán taát caû caùc baïn trong lôùp Cao hoïc khoaù 15. Cuoái cuøng, trong quaù trình vieát luaän vaên naøy, khoù traùnh khoûi nhöõng thieáu soùt, toâi mong nhaän ñöôïc nhöõng yù kieán ñoùng goùp cuûa baïn ñoïc. Moïi yù kieán ñoùng goùp xin gôûi veà email: lehuuthuc74@gmail.com. Xin chaân thaønh caûm ôn.
3 MUÏC LUÏC Trang phuï bìa ................................................................................................. 1 Lôøi caûm ôn ...................................................................................................... 2 Muïc luïc ........................................................................................................... 3 MÔÛ ÑAÀU ........................................................................................................ 4 Chöông 1: MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN ................................................. 6 1.1. Nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën ............... 6 1.2. Nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën ............ 10 1.3. Ñònh lyù Hille – Yosida ....................................................................... 14 1.4. Nöûa nhoùm cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính vaø baøi toaùn Cauchy ............... 15 1.5. Hoï tieán hoùa tuaàn hoaøn treân khoâng gian Banach ................................ 18 Chöông 2: MOÄT ÑÒNH LYÙ VEÀ TÍNH OÅN ÑÒNH MUÕ CUÛA HOÏ TIEÁN HOÙA TUAÀN HOAØN TREÂN KHOÂNG GIAN BANACH ....................... 21 2.1. Giôùi thieäu............................................................................................ 21 2.2. Keát quaû .............................................................................................. 25 Chöông 3: ÖÙNG DUÏNG ................................................................................. 36 KEÁT LUAÄN VAØ KIEÁN NGHÒ ........................................................................ 39 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO .............................................................................. 40
4 MÔÛ ÑAÀU 1. Lyù do choïn ñeà taøi Hieän nay, vaán ñeà nöûa nhoùm vaø hoï tieán hoùa trong khoâng gian Banach laø moät höôùng nghieân cöùu lôùn cuûa toaùn hoïc hieän ñaïi. Nhieàu nhaø toaùn hoïc treân theá giôùi ñaõ vaø ñang tieáp tuïc nghieân cöùu, phaùt trieån caùc vaán ñeà naøy theo nhieàu höôùng khaùc nhau trong ñoù nghieân cöùu moái quan heä cuûa nöûa nhoùm tieán hoùa vôùi baøi toaùn Cauchy ñöôïc nhieàu nhaø toaùn hoïc quan taâm. Vì vaäy chuùng toâi choïn ñeà taøi naøy laøm noäi dung nghieân cöùu cuûa luaän vaên nhaèm hoïc taäp vaø phaùt trieån ñeà taøi theo höôùng nghieân cöùu treân. 2. Muïc ñích: Luaän vaên naøy nghieân cöùu tính oån ñònh nghieäm cuûa phöông trình vi phaân thoâng qua lyù thuyeát phoå cuûa nöûa nhoùm tieán hoùa. 3. Ñoái töôïng vaø phaïm vi nghieân cöùu: Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi nghieân cöùu tính tuaàn hoaøn cuûa nghieäm yeáu cuûa phöông trình vi phaân khoâng thuaàn nhaát vôùi tính oån ñònh muõ cuûa hoï tieán hoùa tuaàn hoaøn. 4. YÙ nghóa khoa hoïc thöïc tieãn: Keát quaû cuûa luaän vaên naøy laø cô sôû ñeå tieáp tuïc nghieân cöùu tính caùc tính chaát khaùc cuûa nghieäm yeáu cuûa phöông trình vi phaân khoâng thuaàn nhaát vôùi tính oån ñònh muõ cuûa hoï tieán hoùa tuaàn hoaøn.
5 5. Caáu truùc luaän vaên Luaän vaên goàm coù 3 chöông: Chöông 1: Trình baøy nhöõng kieán thöùc cô baûn lieân quan ñeán nöûa nhoùm, hoï tieán hoùa tuaàn hoaøn vaø moät soá phöông trình vi phaân. Chöông 2: Chuùng toâi trình baøy vaø chöùng minh ñònh lyù veà tính oån ñònh muõ cuûa hoï tieán hoùa tuaàn hoaøn treân khoâng gian Banach. Chöông 3: Chuùng toâi giôùi thieäu moät soá öùng duïng cuûa ñònh lyù treân. Cuoái cuøng laø caùc taøi lieäu tham khaûo maø chuùng toâi coù trích daãn moät soá ñònh lyù cuõng nhö chöùng minh cuûa chuùng. ----------------------------------
6 CHÖÔNG 1: MOÄT SOÁ KIEÁN THÖÙC CÔ BAÛN 1.1 NÖÛA NHOÙM LIEÂN TUÏC ÑEÀU CUÛA CAÙC TOAÙN TÖÛ TUYEÁN TÍNH BÒ CHAËN Ñònh nghóa 1.1.1: Cho X laø khoâng gian Banach. Hoï moät tham soá T(t), 0 ≤ t < , cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën töø X vaøo X ñöôïc goïi laø moät nöûa nhoùm cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën treân X neáu (i) T(0) = I, ( I laø toaùn töû ñoàng nhaát treân X ) (ii) T(t+s) =T(t).T(s) vôùi moïi t, s  0 Moät nöûa nhoùm cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën T(t) ñöôïc goïi laø lieân tuïc ñeàu neáu lim t 0 T (t )  I  0 (1.1) Töø ñònh nghóa roõ raøng ta coù : Neáu T(t), 0 ≤ t < , laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën thì lim s t T ( s )  T (t )  0 (1.2) Ñònh nghóa 1.1.2: Cho {T(t)}t0 laø moät nöûa nhoùm cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën xaùc ñònh treân X. Vôùi h > 0 ta ñònh nghóa toaùn töû tuyeán tính Ah xaùc ñònh nhö sau: T (h) x  x Ah x  , x X. (1.3) h Kí hieäu D(A) laø taäp taát caû caùc xX sao cho giôùi haïn lim h 0 Ah x toàn taïi, ta xaùc ñònh toaùn töû A treân D(A) nhö sau:
7 Ax  lim Ah x , x  D ( A) h 0 (1.4) Ta goïi toaùn töû A xaùc ñònh nhö treân laø toaùn töû sinh cöïc vi ( hay ngaén goïn hôn laø toaùn töû sinh) cuûa nöûa nhoùm T(t) vaø D(A) laø taäp xaùc ñònh cuûa A. Ñònh lyù 1.1.3: Moät toaùn töû tuyeán tính A laø toaùn töû sinh cuûa moät nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu neáu vaø chæ neáu A laø moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën. Chöùng minh: Cho A laø moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën treân X vaø ñaët  (tA) n T (t )  e   tA (1.5) n 0 n! Veá phaûi cuûa (1.5) hoäi tuï theo chuaån vôùi moïi t  0 vaø xaùc ñònh vôùi moãi t moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën T(t). Roõ raøng laø T(0) = I vaø vôùi caùch tính tröïc tieáp treân chuoãi luõy thöøa treân ta thaáy T(t+s) = T(t).T(s) Tieán haønh ñaùnh giaù chuoãi luõy thöøa treân ta coù: T (t )  I  t A et A vaø T (t )  I  A  A T (t )  I t Töø ñoù suy ra raèng T(t) laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu cuûa toaùn töû tuyeán tính bò chaën xaùc ñònh treân X vaø A laø toaùn töû sinh cuûa T(t). Maët khaùc cho T(t) laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën xaùc ñònh treân X. Coá ñònh  >0, ñuû nhoû, sao cho
8  I 0 T (s)ds 1 1   Suy ra raèng  0 T (s)ds laø khaû nghòch vaø vì vaäy 0 T (s)ds laø khaû nghòch 1 Baây giôø    h (T (h)  I )  T ( s )ds = h (  T ( s  h)ds   T ( s )ds ) 1 1 0 0 0  h h = 0 T ( s)ds  0 T ( s)ds) 1 h ( Vì vaäy  h h  h (T (h)  I ) = [h 0 T (s)ds  h 0 T (s)ds](0 T (s)ds) (1.6) 1 1 1 1 Cho h  0 trong (1.6) ta thaáy h 1 (T (h)  I ) laø hoäi tuï theo chuaån vaø vì  vaäy ñuû maïnh ñeå toaùn töû tuyeán tính bò chaën (T (  )  I )(  T ( s )ds ) 1 laø toaùn töû 0 sinh cuûa T(t). Vaäy nöûa nhoùm T(t) coù moät toaùn töû sinh A thì coù duy nhaát khoâng? Traû lôøi caâu hoûi naøy ta xem ñònh lyù sau. Ñònh lyù 1.1.4: Cho T(t) vaø S(t) laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò T (t )  I S (t )  I chaën. Neáu lim  A  lim (1.7) t 0 t t 0 t thì T(t) = S(t) vôùi moïi t  0 Chöùng minh:
9 Cho T > 0, S(t) = T(t), vôùi 0 ≤ t ≤ T. Coá ñònh T > 0, khi t  T (t ) vaø t  S (t ) laø lieân tuïc thì toàn taïi moät haèng soá C sao cho T (t ) S ( s )  C vôùi 0 ≤ t, s ≤ T. Töø (1.7), cho  > 0, toàn taïi moät soá  > 0 sao cho  h 1 T (h)  S (h)  vôùi 0≤ h ≤  (1.8) TC t Cho 0 ≤ t ≤ T vaø choïn n  1 sao cho   . Töø tính chaát cuûa nöûa nhoùm vaø (1.8) n ta coù: t t T (t )  S (t )  T (n )  S (n ) n n n 1 t kt t (k  1)t   T ((n  k ) ) S ( )  T ((n  k  1) ) S ( ) k 0 n n n n n 1 t t t kt  t   T ((n  k  1) ) T ( )  S ( ) S ( )  Cn  k 0 n n n n TC n Vaäy T(t) = S(t) vôùi moïi 0 ≤ t ≤ T Do hai ñònh lyù treân ta coù keát quaû sau Cho T(t) laø nöûa nhoùm lieân tuïc ñeàu cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën. Ta coù a) Toàn taïi moät haèng soá   0 sao cho T (t )  et . b) Toàn taïi moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën duy nhaát A sao cho T (t )  etA . c) Toaùn töû A trong phaàn b) laø toaùn töû sinh cuûa T(t). dT (t ) d) t  T (t ) laø khaû vi vôùi chuaån vaø  AT (t )  T (t ) A . dt
10 1.2 NÖÛA NHOÙM LIEÂN TUÏC MAÏNH CUÛA CAÙC TOAÙN TÖÛ TUYEÁN TÍNH BÒ CHAËN Trong suoát chöông naøy, X laø khoâng gian Banach. Ñònh nghóa 1.2.1: Moät nöûa nhoùm T(t), 0 ≤ t < , cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën treân X laø nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh neáu lim T (t ) x  x vôùi moïi x  X (1.9) t 0 Moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën treân X seõ ñöôïc goïi laø moät nöûa nhoùm cuûa lôùp C0 hay goïi taét laø nöûa nhoùm_C0. Ñònh lyù 1.2.2: Cho T(t) laø nöûa nhoùm_C0 , khi ñoù toàn taïi moät haèng soá   0 vaø M  1 sao cho: T (t )  M .e t vôùi 0 ≤ t < . (1.10) Chöùng minh: Tröôùc tieân ta thaáy raèng coù moät soá   0 sao cho T (t ) laø bò chaën trong 0  t   . Neáu ñieàu naøy sai thì coù daõy {tn} thoûa tn  0, lim tn  0 vaø T (tn )  n . n AÙp duïng ñònh lyù bò chaën ñeàu ta thaáy toàn taïi x  X sao cho T (tn ) x laø khoâng bò chaën, maâu thuaãn vôùi (1.9),vaäy T (t )  M vôùi 0  t   . Ta coù T (0)  1, M  1. Cho    1 log M  0 . Cho t  0 ta coù t  n   , vôùi 0     . AÙp duïng tính chaát nöûa nhoùm ta coù t T (t )  T ( )T ( )  M n n 1  M .M  M .e t 
11 Heä quaû 1.2.3: Neáu T(t) laø moät nöûa nhoùm_C0 thì vôùi moïi x  X, t  T (t ) x laø moät haøm lieân tuïc töø  0 (ñöôøng thaúng thöïc khoâng aâm) vaøo X. Chöùng minh: Cho t, h  0. ta coù T (t  h) x  T (t ) x  T (t ) T (h) x  x  Me t T (h) x  x Vaø cho t  h  0 T (t  h) x  T (t ) x  T (t  h) x  T (h) x  Me t x  T (h) x Vaäy haøm t  T (t ) x lieân tuïc. Ñònh lyù 1.2.4: Cho T(t) laø moät nöûa nhoùm_C0 vaø cho A laø toaùn töû sinh cuûa noù. Ta coù: 1 t h a) Vôùi x  X, lim  T ( s ) x ds  T (t ) x (1.11) h 0 h t t b) Cho x  X, ta coù  T ( s ) x ds  D( A) 0 t  vaø A   T ( s ) xds   T (t ) x  x (1.12) 0  c) Cho x  D( A), T (t ) x  D( A) d vaø T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax (1.13) dt d) Cho x  D( A) , t t T (t ) x  T ( s ) x   T (r ) Ax dr   AT (r ) x dr (1.14) s s
12 Chöùng minh: a) Phaàn naøy ñöôïc suy ra tröïc tieáp töø tính lieân tuïc cuûa t  T (t ) x . b) Cho x  X, vaø h > 0. Ta coù T ( h)  I t 1t h 0 T ( s) x ds  h 0 (T (s  h) x  T (s) x)ds 1 t h 1h   T ( s ) x ds   T ( s ) x ds h t h0 vaø khi h  0 veá phaûi seõ tieán ñeán T (t ) x  x . Ta coù ñieàu phaûi chöùng minh. c) Cho x  D(A), vaø h > 0, ta coù: T ( h)  I  T ( h)  I  T (t ) x  T (t )   x  T (t ) Ax khi h  0 (1.15) h  h  Vì vaäy, T(t)x  D(A) vaø AT(t)x = T(t)Ax. (2.7) cuõng suy ra raèng d T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax dt Nghóa laø, ñaïo haøm beân phaûi cuûa T(t)x laø T(t)Ax. Chöùng minh (1.13) chuùng ta phaûi thaáy raèng cho t > 0, ñaïo haøm beân traùi cuûa T(t)x toàn taïi vaø baèng T(t)Ax.  T (t ) x  T (t  h) x  lim   T (t ) Ax  h 0  h   T ( h) x  x  = lim T (t  h)   Ax   lim(T (t  h) Ax  T (t ) Ax) . h 0  h  h 0
13 Vaø caû hai giôùi haïn beân phaûi ñeàu baèng khoâng. Giôùi haïn thöù nhaát baèng khoâng laø do x  D(A) vaø T (t  h) bò chaën treân 0 ≤ h ≤ t, giôùi haïn thöù hai laø bôûi tính lieân tuïc maïnh cuûa T(t). Keát thuùc chöùng minh c). d) Chöùng minh phaàn naøy ta laáy tích phaân töø s ñeán t cho 2 veá cuûa (1.13). Heä quaû 1.2.5: Neáu A laø toaùn töû sinh cuûa moät nöûa nhoùm_C0 T(t) thì D(A), taäp xaùc ñònh cuûa A, truø maät trong X vaø A laø moät toaùn töû tuyeán tính ñoùng. Chöùng minh: 1t t 0 Vôùi moïi x  X, taäp xt  T ( s ) xds . Do b) cuûa ñònh lyù 1.2.4 neân xt  D(A) vôùi t > 0 vaø do a) cuûa ñònh lyù 1.2.4 neân xt  x khi t  0 . Vì vaäy D( A)  X . Tính chaát tuyeán tính cuûa A thì roõ raøng, do ñoù ta chæ caàn chöùng minh theâm A laø aùnh xaï ñoùng. Cho xn  D(A), xn  x vaø Axn  y khi n   Töø d) cuûa ñònh lyù 1.2.4 ta coù: t T (t ) xn  xn   T ( s ) Axn ds (1.16) 0 Haøm döôùi daáu tích phaân ôû veá phaûi cuûa (1.16) hoäi tuï ñeán T(s)y ñeàu treân moät khoaûng bò chaën, do vaäy khi cho n   trong (1.16) ta coù t T (t ) x  x   T ( s ) y ds (1.17) 0
14 Chia (1.17) cho t > 0 vaø cho t  0 , ta coù x  D(A) vaø Ax = y ( do a) cuûa ñònh lyù 1.2.4 ). Ñònh lyù 1.2.6: Cho T(t) vaø S(t) laø nöûa nhoùm_C0 cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën vôùi 2 toaùn töû sinh töông öùng laø A vaø B. Neáu A = B thì T(t) = S(t) vôùi moïi t  0. Chöùng minh: Cho x  D(A) = D(B) . Töø c) cuûa ñònh lyù 1.2.4 ta thaáy raèng haøm s  T (t  s ) S ( s ) x khaû vi vaø ta coù d T (t  s ) S ( s ) x   AT (t  s ) S ( s ) x  T (t  s ) BS ( s ) x ds  T (t  s ) AS ( s ) x  T (t  s ) BS ( s ) x  0 Vì vaäy haøm s  T (t  s ) S ( s ) x laø haøm haèng vaø trong tröôøng hôïp ñaëc bieät giaù trò cuûa noù ôû s = 0 vaø s = t laø gioáng nhau, töùc laø T(t)x = S(t)x vôùi moïi x  X. Ñieàu naøy ñuùng cho moïi x  D(A) . Do heä quaû 1.2.5, D(A) truø maät trong X vaø T(t), S(t) bò chaën neân T(t)x = S(t)x vôùi moïi x  X. 1.3 ÑÒNH LYÙ HILLE – YOSIDA Cho T(t) laø moät nöûa nhoùm_C0. Töø ñònh lyù 1.2.2 ta coù haèng soá   0 vaø M  1 sao cho T (t )  M .e t vôùi 0 ≤ t < . Neáu   0 thì T(t) ñöôïc goïi laø bò chaën ñeàu vaø neáu theâm M = 1 thì noù ñöôïc goïi laø nöûa nhoùm_C0 ruùt goïn. Neáu A laø moät toaùn töû tuyeán tính ( khoâng nhaát thieát bò chaën) trong X, taäp giaûi  ( A) cuûa A laø taäp goàm caùc soá phöùc  sao cho  I  A coù aùnh xaï ngöôïc,
15 töùc laø ( I  A) 1 laø moät toaùn töû tuyeán tính bò chaën trong X. Hoï R( , A)  ( I  A) 1 ,    ( A) ñöôïc goïi laø giaûi thöùc cuûa A. Ñònh lyù 1.3.1: (Hille – Yosida) Moät toaùn töû tuyeán tính (coù theå khoâng bò chaën) A laø toaùn töû sinh cuûa moät nöûa nhoùm_C0 ruùt goïn T(t), t  0 neáu vaø chæ neáu (i) A laø ñoùng vaø D( A)  X . (ii) Taäp giaûi  ( A) cuûa A laø taäp chöùa  vaø cho   0 1 R ( , A)  (1.18)  Ñònh lyù 1.3.2: Cho T(t) laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh xaùc ñònh treân X vaø A laø toaùn töû sinh töông öùng thoûa 2 ñieàu kieän cuûa ñònh lyù 1.3.1. Khi ñoù ta coù keát quaû sau: lim  R ( , A) x  x, x  X   Chöùng minh: Ñaàu tieân giaû söû raèng x  D( A) thì: 1  R ( , A) x  x  AR( , A) x = R ( , A) Ax  Ax  0 khi    .  Nhöng D(A) thì truø maät trong X vaø  R ( , A)  1 . Vì vaäy  R ( , A) x  x khi    vôùi moïi x  X . 1.4 NÖÛA NHOÙM CUÛA CAÙC TOAÙN TÖÛ TUYEÁN TÍNH VAØ BAØI TOAÙN CAUCHY
16 Chuùng ta xem xeùt moät soá phöông trình vi phaân vaø caùc quan heä cuûa noù vôùi nöûa nhoùm cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính . Cho X laø khoâng gian Banach vaø cho A laø moät toaùn töû tuyeán tính töø D(A)  X vaøo X. Cho x  X, Baøi toaùn Cauchy cuûa A vôùi giaù trò ñaàu x laø  du (t )   Au (t ), t  0  dt (1.19) u (0)  x Nghieäm cuûa baøi toaùn laø moät haøm u(t) coù giaù trò trong X sao cho u(t) lieân tuïc vôùi moïi t  0, khaû vi lieân tuïc vaø u(t)  D(A) vôùi moïi t > 0 vaø thoûa (1.19). Roõ raøng laø neáu A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm_C0 T(t) thì baøi toaùn Cauchy theo A coù nghieäm u(t) = T(t)x vôùi moïi x thuoäc D(A). Thaät vaäy theo d ñònh lyù 1.2.4 thì T (t ) x  AT (t ) x  T (t ) Ax vaø T(0)x = x. dt Baây giôø ta xem xeùt tieáp baøi toaùn giaù trò ñaàu khoâng thuaàn nhaát  du (t )   Au (t )  f (t ), t  0  dt (1.20) u (0)  x Vôùi f : [0, T [  X , vaø A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm_C0 T(t) sao cho phöông trình thuaàn nhaát töông öùng ( töùc laø phöông trình vôùi f  0 ) coù nghieäm duy nhaát vôùi moïi giaù trò ñaàu x D(A). Ñònh nghóa 1.4.2:
17 Moät haøm u : [0, T [  X laø nghieäm maïnh cuûa (1.20) treân [0,T [ neáu u laø lieân tuïc treân [0,T [, khaû vi lieân tuïc treân ]0,T [, u(t) D(A) vôùi 0 < t < T vaø (1.20) ñöôïc thoûa treân [0,T [ . Cho T(t) laø nöûa nhoùm_C0 ñöôïc sinh bôûi A vaø cho u laø moät nghieäm cuûa (1.20). khi ñoù haøm coù giaù trò trong X, g(s) = T( t – s )u(s) laø khaû vi vôùi 0 < s < t vaø dg   AT (t  s )u ( s )  T (t  s )u '( s ) ds   AT (t  s )u ( s )  T (t  s ) Au ( s )  T (t  s ) f ( s ) (1.21)  T (t  s ) f ( s ) Neáu f  L1 (0, T : X ) thì T (t  s ) f ( s ) laø khaû tích vaø laáy tích phaân cuûa (1.21) töø 0 ñeán t ta coù t T (t  s )u ( s ) t0   T (t  s ) f ( s )ds 0 t u ( s )  T (t ) x   T (t  s ) f ( s )ds 0 t u (t )  T (t ) x   T (t  s ) f ( s )ds (1.22) 0 Töø ñònh nghóa treân ta thaáy neáu f  L1 (0, T : X ) thì vôùi moïi x  X, baøi toaùn giaù trò ñaàu (1.20) coù nhieàu nhaát moät nghieäm. Neáu noù coù moät nghieäm thì nghieäm naøy ñöôïc cho bôûi (1.22). Ñònh nghóa 1.4.4: Cho A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm_C0 T(t). Cho x  X vaø f  L1 (0, T : X ) . Haøm u C ([0,T ]: X ) ñöôïc cho bôûi
18 t u (t )  T (t ) x   T (t  s ) f ( s )ds 0t T , 0 laø moät nghieäm yeáu (mild solution) cuûa baøi toaùn giaù trò ñaàu (1.20) treân [0,T ] (Tham khaûo [11]). Ñònh lyù 1.4.5: Cho A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm_C0 T(t). Cho f  L1 (0, T : X ) lieân tuïc treân [0,T] vaø cho t v(t )   T (t  s ) f ( s )ds 0t T 0 Baøi toaùn (1.20) coù nghieäm maïnh u treân [0,T [ vôùi moïi x  D(A) neáu moät trong hai ñieàu kieän sau ñaây ñöôïc thoûa: (i) v(t) laø khaû vi lieân tuïc treân ]0,T [. (ii) v(t)  D(A) vôùi 0 < t < T vaø Av(t) laø lieân tuïc treân ]0,T [ Neáu (1.20) coù nghieäm u treân [0,T [ vôùi moät x  D(A) naøo ñoù thì v(t) seõ thoûa caû 2 ñieàu kieän (i), (ii) Heä quaû 1.4.6: Cho A laø toaùn töû sinh cuûa nöûa nhoùm_C0 T(t). Neáu f(s) laø khaû vi lieân tuïc treân [0,T] thì Baøi toaùn (1.20) coù nghieäm maïnh u treân [0,T[ vôùi moïi x  D(A). 1.5 HOÏ TIEÁN HOÙA TUAÀN HOAØN TREÂN KHOÂNG GIAN BANACH Ñònh nghóa:
19 Cho X laø khoâng gian Banach. Ta kyù hieäu L(X) laø khoâng gian Banach cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính xaùc ñònh treân X. ta cuõng kyù hieäu . laø chuaån cuûa vectô trong X hoaëc cuûa toaùn töû trong L(X) Hoï U:={U(t,s): t ≥ s ≥ 0} L(X) ñöôïc goïi laø hoï tieán hoùa treân  cuûa caùc toaùn töû tuyeán tính bò chaën treân X neáu vaø chæ neáu (e1) U(t,t) = I vaø U(t,s)U(s,r) = U(t,r) cho moïi t ≥ s ≥ r ≥ 0 (e2) Haøm (t , s)  U (t , s) x : (t , s) : t  s  X laø lieân tuïc vôùi moãi x  X Neáu theâm vaøo ñieàu kieän: Cho M > 0 vaø   sao cho (e3) U (t , s )  Me ( t  s ) cho moïi t ≥ s ≥ 0 thì U laø hoï tieán hoùa bò chaën muõ treân X. Hoï tieán hoùa U laø oån ñònh muõ neáu (e3) ñuùng vôùi  < 0 naøo ñoù Neáu hoï tieán hoùa U thoûa ñieàu kieän sau (e4) U(t,s) = U(t-s,0) vôùi moïi t ≥ s ≥ 0 thì hoï T = U (t ,0) : t  0  L( X ) laø moät nöûa nhoùm lieân tuïc maïnh treân X. trong tröôøng hôïp naøy (e3) laø hieån nhieân ñuùng. Hoï tieán hoaù U laø tuaàn hoaøn chu kyø_q neáu : (e5) U(t+q,s+q) = U(t,s) vôùi moïi t ≥ s ≥ 0 Cho baøi toaùn non-autonomous  du (t )   A(t ) u (t ), t  0  dt (1.21)  u (0)  x, x X Vôùi A(t) laø toaùn töû tuyeán tính ( coù theå khoâng bò chaën )