intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:72

Thêm vào BST
Báo xấu
15
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: Tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood và một số vấn đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số chủ đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt

  1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
  2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Phan Thanh Hải MỘT SỐ CHỦ ĐỀ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT CÁC LỚP HÀM MUCKENHOUPT Chuyên ngành : Toán Giải tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. TRẦN TRÍ DŨNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
  3. LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là luận văn tốt nghiệp do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Trí Dũng. Các nội dung nghiên cứu và kết quả tham khảo trong luận văn được trích dẫn và liệt kê đầy đủ trong mục Tài liệu tham khảo. TP.HCM, tháng 9 năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải
  4. LỜI CẢM ƠN Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS. Trần Trí Dũng, người đã định hướng nghiên cứu, hướng dẫn tận tình từng bước để tác giả có thể hoàn thành luận văn đúng thời hạn. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn các Thầy cô trong Khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Phòng Sau Đại học, trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho tác giả hoàn thành đề tài trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình và tất cả bạn bè, đồng nghiệp trong công ty đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi về thời gian và công việc cho tác giả trong thời gian học tập và thực hiện luận văn của mình. Trân trọng. TP.HCM, tháng 9 năm 2019 Tác giả Phan Thanh Hải
  5. MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục các ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 3 1.1. Hàm phân bố và các chuẩn 𝑳𝒑 ................................................................ 3 1.2. Bất đẳng thức Jensen ............................................................................... 3 1.3. Bổ đề phủ ................................................................................................ 4 1.4. Nội suy .................................................................................................... 5 1.5. Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu .................................... 6 1.6. Bất đẳng thức Kolmogorov ..................................................................... 6 Chương 2. TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 𝑨𝒑 .................................................................................. 8 2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood .......................................................... 8 2.2. Bất đẳng thức Fefferman – Stein .......................................................... 11 2.3. Các hàm trọng Muckenhoupt: ............................................................... 13 2.4. Toán tử cực đại trung tâm 𝑴𝝁𝒄 ............................................................ 20 2.5. Các hàm trọng và bất đẳng thức dạng mạnh ......................................... 21 2.6. Toán tử cực đại trên các cơ sở .............................................................. 23 2.6.1. Cơ sở các hình lập phương nhị nguyên .......................................... 23 2.6.2. Cơ sở các hình chữ nhật.................................................................. 25 2.6.3. Cơ sở các hình chữ nhật trong tất cả các hướng ............................. 26 2.6.4. Cơ sở các khoảng 𝟎, 𝒃 .................................................................... 26 2.6.5. Cơ sở các hình lập phương Carleson .............................................. 26 2.7. Những tính chất đầu tiên của các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 ............................ 27
  6. 2.8. Xây dựng các lớp hàm trọng 𝑨𝟏 ........................................................... 32 2.8.1. Cách xây dựng của Coifman........................................................... 32 2.8.2. Thuật toán Rubio de Francia: ......................................................... 34 2.9. Phân tích nhân tử ................................................................................... 36 Chương 3. LỚP HÀM HÖLDER NGƯỢC VÀ LỚP HÀM TRỌNG 𝑨∞ ............................................................................. 42 3.1. Bất đẳng thức Hölder ngược cho các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 ...................... 42 3.2. Bổ đề Gehring ....................................................................................... 48 3.3. Đặc trưng của các lớp hàm trọng 𝑨𝟏 .................................................... 49 3.4. Lớp hàm trọng 𝑨∞ ................................................................................ 51 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 64
  7. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU  𝐿𝑝 (𝜇)là không gian các hàm lũy thừa bậc 𝑝 khả tích ứng với 𝜇; ‖∙‖𝑝,𝜇 là chuẩn; 𝜇(𝐴) là độ đo của 𝐴 ứng với 𝜇. 𝐿𝑝 (𝜇) = {𝑓 ∶ ∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑑𝜇 < +∞}.  Khi 𝜇 là độ đo Lebesgue ta viết gọn là 𝐿𝑝 , ‖∙‖𝑝 và |𝐴|. Tương tự, ta sẽ không đề cập đến 𝜇 cho tích phân tương ứng với độ đo Lebesgue.  Khi 𝑑𝜇(𝑥 ) = 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥, ta viết 𝐿𝑝 (𝑤), ‖∙‖𝑝,𝑤 và 𝑤(𝐴) = ∫ 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 . 𝐴 𝐿𝑝 (𝑤) = {𝑓 ∶ ∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑤(𝑥 ) 𝑑𝑥 < +∞}.  𝑝′ là mũ liên hợp của 𝑝: 1 1 1 + ′ = 1 (vớ i = 0). 𝑝 𝑝 ∞  𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑑 ): ‖𝑓‖ = ∫ℝ𝑑|𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 . 1  𝑝( 𝑓 ∈ 𝐿 𝜇): ‖𝑓‖ = ‖𝑓‖𝑝,𝜇 = (∫ℝ𝑛|𝑓 𝑑𝜇) . |𝑝 𝑝 1  𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑤): ‖𝑓‖ = ‖𝑓‖𝑝,𝑤 = (∫ℝ𝑛|𝑓|𝑝 𝑤 (𝑥 ) 𝑑𝑥 ) . 𝑝  𝜒𝐴 là hàm đặc trưng của tập A.  Cho một hình lập phương 𝑄, 𝑙(𝑄) là độ dài cạnh của nó; 𝑘𝑄 là kí hiệu cho hình lập phương có cùng tâm với 𝑄 và 𝑙(𝑘𝑄) = 𝑘𝑙(𝑄).  𝐵(𝑥, 𝑟) là quả cầu tâm 𝑥 với bán kính.  Cho một hàm trọng 𝑤, xuyên suốt luận văn này ta dùng kí hiệu 𝜎 để chỉ ′ ′ 𝑤 1−𝑝 , tức là 𝜎 = 𝑤 1−𝑝 , giá trị của 𝑝 sẽ được quy định trong ngữ cảnh. 𝑤(𝑄)  Cho một hàm trọng 𝑤 và một hình lập phương 𝑄, 𝑤𝑄 = |𝑄| là trung bình của 𝑤 trên 𝑄.  ess inf 𝑤(𝑥 ) = sup{𝑏 ∶ |{𝑥 ∈ 𝑄: 𝑤(𝑥 ) < 𝑏}| = 0}.
  8. 1 LỜI MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Giải tích điều hòa hiện đại ngày nay là một nhánh quan trọng của Toán học và có nguồn gốc từ lý thuyết chuỗi Fourier và tích phân Fourier cổ điển. Trong khoảng 60 năm gần đây, giải tích điều hòa hiện đại phát triển rất mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng đa dạng trong các lĩnh vực như: phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, xử lí tín hiệu. Lý thuyết về các toán tử tích phân cực đại, là một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của giải tích điều hòa hiện đại và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, trong đó toán tử cực đại Hardy – Littlewood là một trong những ví dụ. Các đặc điểm đầy đủ của các hàm trọng w sao cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn trên 𝐿𝑝 (𝑤) được xây dựng bởi B. Muckenhoupt và xuất bản năm 1972. Kết quả của Muckenhoupt trở thành một bước ngoặc trong lý thuyết bất đẳng thức trọng bởi vì hầu hết các kết quả được biết trước đó cho các toán tử cổ điển chỉ đạt được cho một số các hàm trọng đặc biệt (như hàm trọng lũy thừa). Trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt thì các lớp hàm 𝐴𝑝 và các biến thể của nó là quan trọng nhất. Tầm quan trọng của lớp hàm 𝐴𝑝 được nhận rõ sau công trình của Muckenhoupt vì dùng lớp hàm này ta có thể xây dựng được các bất đẳng thức trọng cho một số toán tử quan trọng khác trong giải tích Fourier tương tự như cách xây dựng các bất đẳng thức trọng cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood. Với tầm quan trọng của lớp hàm trọng 𝐴𝑝 , tôi tin rằng việc nghiên cứu lớp hàm này là một chủ đề cần thiết và thú vị. Luận văn sẽ trình bày lý thuyết về lớp hàm 𝐴𝑝 dùng để chứng minh các bất đẳng thức dạng yếu và dạng mạnh cho toán tử cực đại Hardy – Littlewood và các toán tử cực đại khác. Các tính chất chính của các lớp 𝐴𝑝 được nghiên cứu trong luận văn. Luận văn cũng đề cập các toán tử cực đại và các hàm trọng được định nghĩa từ các cơ sở khác, đôi khi các tính chất của các lớp 𝐴𝑝 thông thường mở rộng ngay lập tức tới các cơ sở này theo cách thiết lập tổng quát, nhưng cũng có những tính chất phổ biến không đúng với một vài cơ sở.
  9. 2 2. Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu của luận văn là bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, đồng thời định hướng một số hướng nghiên cứu về sau, thuộc chuyên ngành Toán giải tích. Về mặt khoa học, tác giả mong muốn đạt được mục tiêu: tìm hiểu khái niệm và tính bị chặn của toán tử cực đại Hardy – Littlewood và một số vấn đề quan trọng trong lý thuyết các lớp hàm Muckenhoupt. 3. Phương pháp nghiên cứu Trong luận văn này, tác giả sẽ thu thập các tài liệu liên quan đến đề tài, tự tìm hiểu, tổng hợp và trình bày một số kiến thức cơ bản về toán tử cực đại Hardy- Littlewood, các tính chất của hàm trọng Muckenhoupt. Công việc đòi hỏi tác giả phải biết vận dụng các kiến thức chuyên sâu của giải tích Fourier, giải tích hàm, độ đo - tích phân và giải tích thực. 4. Nội dung Nội dung luận văn gồm ba chương: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày một số khái niệm và kiến thức cần sử dụng cho các phần sau của luận văn như Lý thuyết độ đo tích phân, Giải tích hàm, Giải tích thực. Chương 2. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood và các lớp hàm trọng 𝑨𝒑 . Trong chương này nghiên cứu về toán tử cực đại Hardy-Littlewood và tính bị chặn của nó, mô tả đặc điểm của các hàm trọng w mà toán tử cực đại Hardy – Littlewood bị chặn trên 𝐿𝑝 (𝑤) bằng điều kiện 𝐴𝑝 , tính chất của các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 , cách xây dựng các lớp hàm trọng 𝐴𝑝 từ các lớp hàm trọng 𝐴1 và phép phân tích nhân tử từ một hàm trọng thuộc lớp 𝐴𝑝 theo hai hàm trọng thuộc lớp 𝐴1 . Chương 3. Lớp hàm Hölder ngược và lớp hàm trọng 𝑨∞ . Chương này dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức Hölder ngược, lớp hàm Hölder ngược, lớp hàm trọng 𝐴∞ và các điều kiện tương đương.
  10. 3 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm phân bố và các chuẩn 𝑳𝒑 Cho (𝑋, 𝜇) là một không gian đo được và 𝑓: 𝑋 ⟶ ℂ là một hàm đo được. Hàm được định nghĩa cho 𝑡 ∈ (0, +∞) bởi 𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓 (𝑥 )| > 𝑡}) là hàm phân bố của 𝑓 (liên kết với 𝜇). Ta có thể sử dụng hàm phân bố để đại diện cho chuẩn 𝐿𝑝 (𝜇) của một hàm. Bổ đề 1.1: Cho 𝜙 ∶ [0, ∞) ⟶ [0, ∞) khả vi, tăng và 𝜙(0) = 0. Khi đó: ∞ ∫ 𝜙(|𝑓(𝑥 )|) 𝑑𝜇 = ∫ 𝜙 ′ (𝑡)𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡. 𝑋 0 Để chứng minh kết quả này, cần lưu ý rằng vế trái tương đương với: |𝑓(𝑥)| ∫ ∫ 𝜙 ′ (𝑡) 𝑑𝑡𝑑𝜇 𝑋 0 và sau đó thay đổi thứ tự lấy tích phân. Trong trường hợp đặc biệt, 𝜙(𝑡) = 𝑡 𝑝 với 𝑝 > 0, ta có: ∞ ∫ |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝑑𝜇 = 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 𝜇({𝑥 ∈ 𝑋 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡. (1.1) 𝑋 0 Bất đẳng thức Chebyshev: |𝑓(𝑥 )|𝑝 𝜇({𝑥 ∶ |𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) ≤ ∫ 𝑑𝜇(𝑥 ). 𝑡𝑝 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡} 1.2. Bất đẳng thức Jensen Bổ đề 1.2: (xem [𝟗]) Cho 𝜇 là một độ đo xác suất trên 𝑋 (nghĩa là 𝜇(𝑋) = 1) và 𝑓 là một hàm dương, khả tích trên 𝑋. Khi đó hàm: 1/𝑠 ℎ(𝑠) = (∫ 𝑓 𝑠 𝑑𝜇) 𝑋
  11. 4 là tăng trong (0, ∞) và lim ℎ(𝑠) = exp (∫ log 𝑓 𝑑𝜇), 𝑠→0+ 𝑋 trong đó 𝑒 −∞ được hiểu là 0. Bổ đề trên cho ta kết quả sau đây. Bất đẳng thức Jensen: 1/𝑠 exp (∫ log 𝑓 𝑑𝜇) ≤ (∫ 𝑓 𝑠 𝑑𝜇) . 𝑋 𝑋 1.3. Bổ đề phủ Trong trường hợp một chiều ta có một bổ đề phủ đơn giản. Bổ đề 1.3: (xem [14]) Cho {𝐼𝑘 ∶ 𝑘 = 1, . . . , 𝑁} là một họ hữu hạn các khoảng trong ℝ. Khi đó tồn tại một họ con mà hợp của chúng bằng với hợp của các khoảng ban đầu sao cho không có điểm nào thuộc về nhiều hơn hai khoảng trong họ con được chọn. Kết quả không đúng trong trường hợp nhiều chiều. Thay vào đó, ta có bổ đề phủ Vitali sau đây mà một dạng của bổ đề này được sử dụng bởi Wiener trong [14] để giải quyết bất đẳng thức yếu (1,1) cho toán tử cực đại. Bổ đề 1.4: (xem [16], trang 102) Cho {𝑄𝛼 ∶ 𝛼 ∈ 𝒜 } là một họ hữu hạn các hình lập phương trong ℝ𝑛 . Khi đó ta có thể trích từ đó một họ con {𝑄𝑗 ∶ 𝑗 = 1, . . . , 𝑁} rời nhau các hình lập phương sao cho: 𝑁 ⋃ 𝑄𝛼 ⊂ ⋃ 3𝑄𝑗 . 𝛼∈𝒜 𝑗=1 Với Bổ đề 1.4 quá trình lựa chọn lặp phụ thuộc vào việc lấy hình lập phương lớn nhất có thể không giao với các hình lập phương được chọn trước đó. Họ các hình lập phương có được trong Bổ đề 1.4 được hình thành bởi các hình lập phương rời nhau, nhưng ta cần mở rộng chúng để phủ họ ban đầu. Bổ đề phủ Besicovich gần hơn với Bổ đề phủ một chiều 1.3, nhưng nó cần một giả thiết đặc biệt để bắt
  12. 5 đầu hình thành họ các hình lập phương. Bổ đề 1.5: (xem [12]) Tồn tại một hằng số 𝐶𝑛 chỉ phụ thuộc vào 𝑛 với tính chất sau: Cho 𝐸 là một tập con bị chặn của ℝ𝑛 . Giả sử rằng với mỗi 𝑥 ∈ 𝐸 ta có một hình lập phương 𝑄𝑥 có tâm là 𝑥. Khi đó có thể chọn từ các hình lập phương 𝑄𝑥 một họ (có thể hữu hạn) các hình lập phương phủ 𝐸 sao cho với mỗi điểm 𝑥 ∈ 𝐸 thì 𝑥 thuộc tối đa 𝐶𝑛 hình lập phương trong họ được chọn. 1.4. Nội suy Ta phát biểu các định lý nội suy thường được sử dụng, định lý Marcinkiewicz và định lý Riesz-Thorin. Định lý thứ hai được áp dụng cho các toán tử tuyến tính, định lý thứ nhất được áp dụng cho các toán tử dưới tuyến tính. Ta nhắc lại rằng một toán tử 𝑇 là dưới tuyến tính nếu: |𝑇(𝑓1 + 𝑓2 )(𝑥 )| ≤ |𝑇(𝑓1 )(𝑥 )| + |𝑇(𝑓2 )(𝑥 )|, |𝑇(𝜆𝑓)(𝑥 )| = |𝜆||𝑇(𝑓)(𝑥 )| , 𝜆 ∈ ℂ. Định lý 1.6: (Định lý nội suy Marcinkiewicz) Cho (𝑋, 𝜇) và (𝑌, 𝜈) là các không gian độ đo. Cho 1 ≤ 𝑝0 < 𝑝1 ≤ ∞. Giả sử toán tử dưới tuyến tính 𝑇 được định nghĩa trên 𝐿𝑝0 (𝑋, 𝜇) + 𝐿𝑝1 (𝑋, 𝜇) thỏa các bất đẳng thức dạng yếu: 1 𝑝𝑗 sup 𝑡[𝜈 ({𝑥 ∈ 𝑌 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡})] ≤ 𝐴𝑗 ‖𝑓‖𝑝𝑗 ,𝜇 , 𝑗 = 0,1. 𝑡>0 (Nếu 𝑝1 = ∞ , ta giả sử rằng 𝑇 bị chặn từ 𝐿∞ (𝑋, 𝜇) đến 𝐿∞ (𝑌, 𝜈).) Khi đó 𝑇 bị chặn từ 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) đến 𝐿𝑝 (𝑌, 𝜈) với 𝑝0 < 𝑝 < 𝑝1 . Định lý 1.7: (Định lý nội suy Riesz-Thorin) Cho 1 ≤ 𝑝0 , 𝑝1 ≤ ∞, 1 ≤ 𝑞0 , 𝑞1 ≤ ∞ và cho 0 < 𝜃 < 1. Ta định nghĩa 𝑝 và 𝑞 bởi: 1 1−𝜃 𝜃 1 1−𝜃 𝜃 = + , = + ∙ 𝑝 𝑝0 𝑝1 𝑞 𝑞0 𝑞1 Cho 𝑇 là một toán tử tuyến tính trên 𝐿𝑝0 (𝜇) + 𝐿𝑝1 (𝜇) sao cho: ‖𝑇𝑓‖𝑞𝑗,𝜇 ≤ 𝑀𝑗 ‖𝑓‖𝑝𝑗,𝜇 với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝𝑗 (𝜇) , 𝑗 = 0,1 . Khi đó:
  13. 6 ‖𝑇𝑓‖𝑞,𝜇 ≤ 𝑀01−𝜃 𝑀1𝜃 ‖𝑓‖𝑝,𝜇 với 𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝜇). Chứng minh có thể tìm thấy trong [9]. Chú ý 1.8: Yêu cầu tính chất tuyến tính của định lý nội suy Riesz-Thorin đôi khi có thể tránh bằng cách sử dụng khái niệm "tuyến tính hóa" của toán tử. Một toán tử 𝑆 được định nghĩa trong một không gian Banach 𝐵 là khả tuyến tính nếu với mỗi 𝑓 ∈ 𝐵 tồn tại một toán tử tuyến tính 𝑇 phụ thuộc vào 𝑓 sao cho: |𝑇𝑔(𝑥 )| ≤ |𝑆𝑔(𝑥 )|, với mọi 𝑔 ∈ 𝐵, và |𝑇𝑓(𝑥 )| = |𝑆𝑓(𝑥 )|. Nếu 𝑆 thỏa mãn giả thiết của định lý nội suy Riesz-Thorin, thì 𝑇 cũng thỏa bởi bất đẳng thức thứ nhất. Định lý nội suy Riesz-Thorin được áp dụng cho toán tử tuyến tính 𝑇, và kết luận đúng cho 𝑆. Trong thực hành ta thậm chí không cần |𝑇𝑓(𝑥 )| = |𝑆𝑓(𝑥 )|, chỉ cần có |𝑇𝑓(𝑥 )| ≥ 𝑐 |𝑆𝑓(𝑥 )| là đủ, với 𝑐 phụ thuộc vào 𝑓. 1.5. Hội tụ từng điểm từ các bất đẳng thức dạng yếu Định lý 1.9: (xem [𝟏𝟎]) Cho {𝑇𝑡 } là một họ các toán tử tuyến tính trên 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) và định nghĩa : 𝑇 ∗ 𝑓 (𝑥 ) = sup|𝑇𝑡 𝑓(𝑥 )|. 𝑡 Nếu 𝑇 ∗ là dạng yếu (𝑝, 𝑞 ) thì tập hợp {𝑓 ∈ 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇) ∶ lim 𝑇𝑡 𝑓 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ℎ𝑘𝑛 } 𝑡→𝑡0 là đóng trong 𝐿𝑝 (𝑋, 𝜇). 1.6. Bất đẳng thức Kolmogorov Bổ đề 1.10: Cho 𝑇 là một toán tử thỏa mãn bất đẳng thức dạng yếu: sup 𝑡𝜇({𝑥 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) ≤ 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 . (1.2) 𝑡>0 Cho 0 < 𝛿 < 1, và một tập 𝜇 − đo được hữu hạn 𝐸. Khi đó: 𝐴𝛿 𝛿 ∫ |𝑇𝑓|𝛿 𝑑𝜇 ≤ 𝜇(𝐸 )1−𝛿 ‖𝑓‖1,𝜇 . (1.3) 1−𝛿 𝐸 Chứng minh. Theo (1.1) và (1.2) ta có
  14. 7 ∞ ∫ |𝑇𝑓|𝛿 𝑑𝜇 = 𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−1 𝜇({𝑥 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡}) 𝑑𝑡 𝐸 0 ∞ 𝐴 ≤ 𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−1 min (𝜇(𝐸 ), ‖𝑓‖1,𝜇 ) 𝑑𝑡 𝑡 0 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 /𝜇(𝐸) ∞ =𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−1 𝜇(𝐸 ) 𝑑𝑡 + 𝛿 ∫ 𝑡 𝛿−2 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 𝑑𝑡. 0 𝐴‖𝑓‖1,𝜇 /𝜇(𝐸) Từ đây ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. □ Chú ý 1.11: M. Cotlar quan sát thấy rằng mệnh đề đảo cũng đúng: nếu (1.3) đúng với 0 < 𝛿 < 1 nào đó, thì khi đó (1.2) đúng. Thật vậy, nếu 𝐸𝑡 = {𝑥 ∶ |𝑇𝑓(𝑥 )| > 𝑡}, |𝑇𝑓|𝛿 𝜇(𝐸𝑡 ) ≤ ∫ 𝛿 𝑑𝜇, 𝑡 𝐸𝑡 thì bằng cách sử dụng (1.3) ta có bất đẳng thức dạng yếu.
  15. 8 Chương 2. TOÁN TỬ CỰC ĐẠI HARDY-LITTLEWOOD VÀ CÁC LỚP HÀM TRỌNG 𝑨𝒑 2.1. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood Ta định nghĩa toán tử cực đại Hardy-Littlewood cho một hàm khả tích địa phương 𝑓 trên ℝ𝑛 như sau: 1 𝑀𝑓(𝑥 ) = sup ∫ |𝑓 |, (2.1) 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑄 trong đó cận trên đúng được lấy trên tất cả những hình lập phương trong ℝ𝑛 chứa 𝑥. Nếu thay vì lấy cận trên đúng trên tất cả các hình lập phương chứa 𝑥, ta chỉ lấy cận trên đúng cho các hình lập phương có tâm là 𝑥, thì ta gọi toán tử thu được là toán tử cực đại trung tâm, ký hiệu là 𝑀𝑐 . Hai cách định nghĩa toán tử ở trên là tương đương với nhau khi xét đến tính bị chặn, bởi vì ta có bất đẳng thức từng điểm sau: 𝑀𝑐 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑀𝑓(𝑥 ) ≤ 2𝑛 𝑀𝑐 𝑓(𝑥 ). Một kiểu định nghĩa khác sử dụng các quả cầu Euclide thay vì các hình lập phương. Xây dựng dựa vào các quả cầu cũng có thể phân thành trung tâm hay không trung tâm tương tự như dùng hình lập phương, và các toán tử thu được đều tương đương với các cách xây dựng dùng hình lập phương. Toán tử cực đại Hardy-Littlewood được giới thiệu bởi G. H. Hardy và J. E. Littlewood năm 1930 trong trường hợp một chiều (thực ra là trong (0, +∞)) và được mở rộng lên trường hợp nhiều chiều bởi N. Wiener năm 1939. Các tính chất bị chặn cơ bản của 𝑀 đã được đề cập đến trong các tài liệu đó:  Với 1 < 𝑝 ≤ ∞, 𝑀 là bị chặn trên 𝐿𝑝 , nghĩa là, ‖𝑀𝑓‖𝑝 ≤ 𝐶𝑝 ‖𝑓‖𝑝 ;  𝑀 thuộc dạng yếu (1,1), nghĩa là, sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ 𝐶 ‖𝑓‖1 . (2.2) 𝑡>0 Tính bị chặn trong 𝐿1 của toán tử cực đại Hardy-Littlewood không thỏa và bất đẳng thức dạng yếu (2.2) là sự thay thế tốt. Dễ dàng kiểm tra rằng toán tử cực đại Hardy-Littlewood có thể không thỏa tính bị chặn trong 𝐿1 trên toàn cục, bởi vì 𝑀𝑓(𝑥 ) ≥ 𝐶 |𝑥 |−𝑛 với 𝑥 lớn. Toán tử này cũng có thể không thỏa địa phương: nếu
  16. 9 𝑓(𝑥 ) = 𝑥 −1 (log 𝑥 )−2 𝜒(0,1/2] trong ℝ, thì 𝑀𝑓 không khả tích gần gốc. Chứng minh thông thường của dạng yếu (1,1) sử dụng bổ đề phủ thích hợp. Định lý 2.1: (xem [5, trang 7]) (i) Cho 𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑛 ). Khi đó tồn tại 𝐶 > 0 chỉ phụ thuộc vào 𝑛 sao cho với mọi 𝑡 > 0 ta có: 𝐶 |{𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ ∫ |𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 . (2.3) 𝑡 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} (ii) Cho 1 < 𝑝 ≤ ∞. Khi đó tồn tại 𝐶 > 0 chỉ phụ thuộc vào 𝑛 và 𝑝 sao cho: ‖𝑀𝑓‖𝑝 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝑝 . Chứng minh. Giả sử 𝑓 là một hàm không âm trong 𝐿1 . Đặt 𝐸𝑡 = {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}. 1 Nếu 𝑥 ∈ 𝐸𝑡 thì 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡. Suy ra: sup ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 > 𝑡 (𝑓(𝑦) > 0). 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑄 Khi đó tồn tại một hình lập phương 𝑄 chứa 𝑥 sao cho: 1 ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 > 𝑡. (2.4) |𝑄 | 𝑄 1 Để dễ áp dụng có thể viết (2.4) dưới dạng: 1< ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦. 𝑡. |𝑄| 𝑄 Nếu 𝐾 là một tập con compact của 𝐸𝑡 thì ta có thể phủ 𝐾 với một họ hữu hạn các hình lập phương thỏa mãn (2.4). Áp dụng bổ đề phủ Vitali (Bổ đề 1.4) ta có thể chọn ra một tập hữu hạn các hình lập phương {𝑄𝑗 } rời nhau có kích thước gấp 3 lần phủ 𝐾. Khi đó: 𝑁 𝑁 𝑁 3𝑛 3𝑛 |𝐾 | ≤ ∑|3𝑄𝑗 | = ∑ 3𝑛 |𝑄𝑗 | ≤ ∑ ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦 𝑡 𝑡 𝑗=1 𝑗=1 𝑗=1 𝑄𝑗 ⋃𝑁 𝑗=1 𝑄𝑗 3𝑛 ≤ ∫ 𝑓 (𝑦) 𝑑𝑦. 𝑡 ℝ𝑛 Lấy cận trên đúng trên các tập con compact 𝐾 chứa trong 𝐸𝑡 , ta có bất đẳng
  17. 10 thức dạng yếu (2.2). Để đạt được bất đẳng thức cải tiến (2.3) ta tiến hành như sau. Phân tích 𝑓 = 𝑓1 + 𝑓2 , trong đó 𝑓1 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) nếu 𝑓 (𝑥 ) ≤ 𝑡/2, và 𝑓1 (𝑥 ) = 0 trong trường hợp còn lại. Ta có theo định nghĩa: 1 1 𝑀𝑓(𝑥 ) = sup ∫ |𝑓(𝑦)| 𝑑𝑦 = sup ∫ |𝑓1 (𝑦) + 𝑓2 (𝑦)| 𝑑𝑥 ≤ 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑄 𝑄 1 1 sup ∫ |𝑓1 (𝑦)| 𝑑𝑦 + sup ∫ |𝑓2 (𝑦)| 𝑑𝑦 = 𝑀𝑓1 (𝑥 ) + 𝑀𝑓2 (𝑥 ) 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑄 𝑄 Suy ra: {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ⊂ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓1 (𝑥 ) > 𝑡/2} ∪ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2} (Vì nếu ∈ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ⇒ 𝑀𝑓(𝑦) > 𝑡 ⇒ 𝑀𝑓1 (𝑦) + 𝑀𝑓2 (𝑦) > 𝑡 ⇒ 𝑀𝑓1 (𝑦) > 𝑡/2 hoặc 𝑀𝑓2 (𝑦) > 𝑡/2 ⇒ 𝑦 ∈ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓1 (𝑥 ) > 𝑡/2} ∪ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2}). Tập hợp đầu tiên bên vế phải là tập rỗng 1 (nếu 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑡/2 ⟹ 𝑓1 (𝑥 ) = 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑡/2 ⟹ 𝑀𝑓1 (𝑥 ) = sup ∫ |𝑓1 (𝑦)| 𝑑𝑦 𝑥∈𝐵 |𝐵 | 𝐵 1 𝑡 𝑡 ≤ sup ∫ 𝑑𝑦 = ). 𝑥∈𝐵 |𝐵 | 2 2 𝐵 Do đó: {𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡} ⊂ {𝑥 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2}. Suy ra: 𝑡 sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ sup 𝑡 |{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > }|. 𝑡>0 𝑡>0 2 Áp dụng bất đẳng thức dạng yếu (2.2) ta được: sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓2 (𝑥 ) > 𝑡/2}| ≤ 𝐶 ‖𝑓2 ‖1 = 𝐶 ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 𝑡>0 ℝ𝑛 = 𝐶( ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 + ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 ) {𝑥: |𝑓(𝑥)|≤𝑡/2} {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} =𝐶 ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} Suy ra:
  18. 11 sup 𝑡|{𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| ≤ 𝐶 ∫ |𝑓2 (𝑥 )| 𝑑𝑥 = 𝐶 ∫ |𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 . 𝑡>0 𝑡 𝑡 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>2} {𝑥: |𝑓(𝑥)|>2} Do đó ta được (2.3). Để có (ii) ta biểu diễn dạng 𝐿𝑝 − chuẩn như trong (1.1) và sử dụng (2.3): ∞ ∫ 𝑀𝑓 (𝑥 )𝑝 𝑑𝑥 = 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 |{𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}| 𝑑𝑡 ℝ𝑛 0 ∞ 𝐶 ≤ 𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−1 ( ∫ |𝑓(𝑥 )| 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑡 𝑡 0 {𝑥: |𝑓(𝑥)|>𝑡/2} ∞ ≤ 𝐶𝑝 ∫ 𝑡 𝑝−2 ( ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑡 0 {𝑥: 𝑓(𝑥)>𝑡/2} 2𝑓(𝑥) = 𝐶𝑝 ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 ( ∫ 𝑡 𝑝−2 𝑑𝑡) ℝ𝑛 0 2𝑝−1 𝑓 (𝑥 )𝑝−1 = 𝐶𝑝 ∫ 𝑓 (𝑥 ) ( ) 𝑑𝑥 = 𝐶𝑝 ∫ 𝑓(𝑥 )𝑝 𝑑𝑥 . □ 𝑝−1 ℝ𝑛 ℝ𝑛 Chú ý 2.2 : Phần (ii) thường đạt được bằng cách áp dụng định lý nội suy Marcinkiewicz 1.6 với (2.2) và ước lượng tầm thường 𝐿∞ . Thật ra, (2.3) là bước đầu tiên trong chứng minh định lý nội suy. Một hệ quả của bất đẳng thức dạng yếu là định lý khả vi Lebesgue (sử dụng Định lý 1.9) : 1 lim ∫ 𝑓(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥 ) 𝑟→0 |𝑄 (𝑥, 𝑟 )| 𝑄(𝑥,𝑟) với hầu hết 𝑥 ∈ ℝ𝑛 , trong đó 𝑄(𝑥, 𝑟) là hình lập phương có tâm là 𝑥 và chiều dài cạnh là 2𝑟. Đặc biệt, 𝑓(𝑥 ) ≤ 𝑀𝑓(𝑥 ) hầu khắp nơi. 2.2. Bất đẳng thức Fefferman – Stein Trong phần này ta chỉ ra làm cách nào để thêm các hàm trọng vào các chứng
  19. 12 minh trước để đạt được các bất đẳng thức trọng. Định lý 2.3: (xem [5, trang 8]) Cho 𝑢 là một hàm đo được không âm. Khi đó: 𝐶 𝑢({𝑥 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡}) ≤ ∫ |𝑓(𝑥 )|𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 , ∀𝑓 ∈ 𝐿1 (𝑀𝑢). (2.5) 𝑡 ℝ𝑛 (dạng yếu ứng với 𝑝 = 1) Hơn nữa, cho 1 < 𝑝 < ∞ ta có: (dạng mạnh) ‖𝑀𝑓‖𝑝,𝑢 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝑝,𝑀𝑢 . Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng 𝑓 là hàm không âm và 𝑓 ∈ 𝐿1 (ℝ𝑛 ) (vì nếu 𝑓 ∈ 𝐿1 (𝑀𝑢) và không thuộc 𝐿1 , xét 𝑓𝑛 = 𝑓𝜒𝐵(0,𝑛) , là một dãy tăng các hàm khả tích từng điểm hội tụ về 𝑓). Với ký hiệu giống như trong chứng minh trước, lấy các hình lập phương được chọn {𝑄𝑗 } phủ tập compact 𝐾, ta viết: 𝑁 𝑢(𝐾 ) = ∫ 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ ∑ 𝑢(3𝑄𝑗 ) 𝐾 ⋃𝑁 𝑗=1 𝑗=1 3𝑄𝑗 𝑁 𝑁 1 𝑢(3𝑄𝑗 ) 1 ≤ ∑ 𝑢(3𝑄𝑗 ) ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∑ 3𝑛 ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡. |𝑄𝑗 | |3𝑄𝑗 | 𝑡 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑁 𝑁 3𝑛 𝑢(3𝑄𝑗 ) 3𝑛 𝑢(3𝑄𝑗 ) = ∑ ∫ 𝑓(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∑ ∫ 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡 |3𝑄𝑗 | 𝑡 |3𝑄𝑗 | 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑁 3𝑛 ≤ ∑ ∫ 𝑓(𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡 𝑗=1 𝑄𝑗 𝑢(3𝑄𝑗 ) 1 1 (𝑉𝑖̀̀ = ∫ 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 ≤ sup ∫ |𝑢(𝑥 )| 𝑑𝑥 = 𝑀𝑢(𝑥 )). |3𝑄𝑗 | |3𝑄𝑗 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 3𝑄𝑗 𝑄 Lập luận tương tự như định lý trước (Định lý 2.1) ta có:
  20. 13 𝑁 3𝑛 3𝑛 𝑢(𝐾 ) ≤ ∑ ∫ 𝑓(𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑡 𝑡 𝑗=1 𝑄𝑗 ⋃𝑁 𝑗=1 𝑄𝑗 3𝑛 ≤ ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 . 𝑡 ℝ𝑛 Điều này cho ta (2.5). □ Như trong định lý trước đó ta chỉ có thể lấy tích phân trên tập {𝑥: |𝑓(𝑥 )| > 𝑡/2} trong vế phải của (2.5). Điều này đủ để rút ra bất đẳng thức dạng mạnh như trên. Độ đo xuất hiện trong cả hai vế của bất đẳng thức của Định lý 2.3 là khác nhau, 𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥 và 𝑀𝑢(𝑥 ) 𝑑𝑥. Chúng có thể được lấy như nhau đối với các hàm 𝑢 thỏa mãn bất đẳng thức từng điểm 𝑀𝑢(𝑥 ) ≤ 𝐶𝑢(𝑥 ) hầu khắp nơi. Điều kiện này sẽ xuất hiện trong phần tiếp theo (Định nghĩa 2.5) với tên là 𝐴1 . 2.3. Các hàm trọng Muckenhoupt: Trước hết ta thấy rằng để bất đẳng thức dạng yếu đúng thì độ đo đó là liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue. Định lý 2.4: (xem [5, trang 9]) Cho 𝜇 là một độ đo dương hữu hạn trên các tập compact. Khi đó nếu bất đẳng thức dạng yếu: 1 sup 𝑡[𝜇({𝑥 ∈ ℝ𝑛 ∶ 𝑀𝑓(𝑥 ) > 𝑡})]𝑝 ≤ 𝐶 ‖𝑓‖𝑝,𝜇 (2.6) 𝑡>0 đúng cho bất kỳ 1 ≤ 𝑝 < ∞, thì 𝜇 là liên tục tuyệt đối theo độ đo Lebesgue. Chứng minh. Cho 𝐾 là một tập compact sao cho |𝐾 | = 0 và 𝜖 > 0. Khi đó tồn tại một tập mở 𝑉 chứa 𝐾 sao cho 𝜇(𝑉\𝐾 ) < 𝜖 (xem [16]). Lấy 𝑓 = 𝜒𝑉\𝐾 . Do 𝐾 là tập có độ đo 0 nên 𝑀𝑓(𝑥 ) = 1 với 𝑥 ∈ 𝐾. Thật vậy: 1 1 |𝑄 ∩ (𝑉\𝐾 )| 𝑀𝑓(𝑥 ) = sup ∫ |𝑓(𝑦)| 𝑑𝑦 = sup ∫ 𝜒𝑉\𝐾 𝑑𝑦 = sup 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑥∈𝑄 |𝑄 | 𝑄 𝑄 |𝑄 | ≤ sup = 1. 𝑥∈𝑄 |𝑄 | Mặt khác lấy 𝑥 ∈ 𝑄′ ⊂ 𝑉 thì:
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y Học
320 tài liệu
1236 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2