Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến Nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm Nonautonomous

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến Nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm Nonautonomous tập trùng tìm hiểu về nghiệm tuần hoàn của hệ động lực; nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm non Autonomous.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến Nonautonomous bậc hai và hệ phương trình vi phân hàm Nonautonomous

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Quỳnh NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Như Quỳnh NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NONAUTONOMOUS BẬC HAI VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NONAUTONOMOUS Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2012
LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Hoàn Hóa, thầy đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quí thầy, cô đã tận tình giảng dạy tôi trong suốt khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quí thầy cô và các anh, chị công tác tại phòng sau đại học đã tạo điều tốt nhất để tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Krông Ana, quí thầy cô, bạn bè cùng gia đình đã tạo điều kiện cả về vật chất và tinh thần để tôi hoàn thành khóa học. Người viết Nguyễn Thị Như Quỳnh
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 Chương 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................ 2 Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC .......................... 3 2.1. Giới thiệu bài toán ................................................................................ 3 2.2. Kết quả tồn tại (I) ................................................................................. 7 2.3. Kết quả tồn tại (II) .............................................................................. 20 Chương 3: NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM NON-AUTONOMOUS ....................................................... 28 3.1. Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous ............................................................................................... 28 3.2. Một số áp dụng ......................................................................................... 44 KẾT LUẬN ..................................................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 50
-1- LỜI MỞ ĐẦU Lí thuyết phương trình vi phân đã có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa học và xã hội như trong vật lí, sinh học... Luận văn này trình bày lại toàn bộ nội dung của bài báo [6],[7]. Bao gồm trình bày sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của hệ động lực suy biến nonautonomous bậc hai sử dụng định lí Leray- Schauder nonlinear alternative, định lí điểm bất động Schauder và sự tồn tại nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm tuần hoàn nonautonomous dựa trên vấn đề về giá trị riêng của toán tử hoàn toàn liên tục trên nón trong không gian Banach. Các kết quả trên được mở rộng nghiên cứu trong lí thuyết như trong mô hình toán sinh học, động lực học dân số. Như phương trình vi tích phân Volterra, mô hình tổng quát n loài cạnh tranh Gilpin – Ayala. Luận văn được chia thành các chương như sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Nghiệm tuần hoàn của hệ động lực suy biến non-autonomous bậc hai Chương 3: Nghiệm tuần hoàn dương của hệ phương trình vi phân hàm nonautonomous
-2- Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định lí Ascoli – Arzela. Cho X là không gian mêtric compact. Tập A ⊂ CK ( X ) là compact tương đối khi và chỉ khi A bị chặn đều và đẳng liên tục. Định lí Schauder. Cho C là tập lồi đóng trong không gian Banach E và f : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compắc tương đối. Thì f có điểm bất động trong C . Định lí. (Leray-Schauder nonlinear alternative) Cho E là không gian Banach, D là tập mở, bị chặn trong E , 0 ∈ D . Cho T : D → E là ánh xạ compắc. Khi đó • Hoặc tồn tại x ∈∂D và λ ≥ 1 sao cho Tx = λ x . • Hoặc T có điểm bất động trong D . Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và P là một tập đóng, không rỗng của X . P là nón nếu (i) x, y ∈ P và α , β ∈  + thì αx + β y∈P. (ii) x ∈ P và − x ∈ P thì x = 0 . Mỗi nón P ⊂ X cảm sinh một thứ tự riêng trong X . Ta xác định” ≤ ” trong P bởi x ≤ y nếu và chỉ nếu y − x ∈ P . Định nghĩa. Cho X là không gian Banach và D ⊂ X , 0 ∈ D . Toán tử L : D → X thỏa L0 = 0 , xλ ≠ 0 được gọi là véctơ riêng của giá trị riêng λ của L nếu Lxλ = λ xλ .
-3- Chương 2: NGHIỆM TUẦN HOÀN CỦA HỆ ĐỘNG LỰC SUY BIẾN NON-AUTONOMOUS BẬC HAI 2.1. Giới thiệu bài toán Chúng ta sẽ nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm dương tuần hoàn chu kì T của hệ động lực non-autonomous bậc hai x + a ( t ) x = f ( t , x ) + e ( t ) (2.1)  ( Trong đó a ( t ) , e ( t ) ∈  / T ,  N ) , f ( t , x ) ∈  (  / T  ×  \ {0},  ) N N lim fi ( t , x ) = +∞ đều theo t, i = 1,2,..., N x →0 + tìm hàm x ( t ) Ta cần= ( x ( t ) ,..., x ( t ) ) ∈ (  / T ,  ) 1 N 2 N thỏa (2.1) sao cho xi ( t ) > 0, ∀t , i = 1,2,..., N . Chúng ta kí hiệu=a (t ) (a1 , a2 ,..., aN ) ∈  / T ,  ( N ) =e(t ) (e1 , e2 ,..., eN ) ∈ (  / T ,  N ) Với mỗi i = 1,2,..., N , ta xét phương trình scalar (vô hướng) x "+ ai ( t ) x = ei ( t ) (2.2) hoàn x ( 0 ) x= Với điều kiện biên tuần= (T ) , x ' ( 0 ) x ' (T ) .(2.3) Trong mục 2 này, ta giả sử rằng các giả thiết sau thì thỏa mãn (A) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) luôn dương với mọi ( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2,..., N Trong mục 3, ta giả sử rằng
-4- (B) Hàm Green Gi ( t , s ) liên quan đến (2.2) (2.3) không âm với mọi ( t , s ) ∈ [0,T ] × [0,T ] , i = 1,2,..., N Nói cách khác, nguyên lí anti-maximum áp dụng cho (2.2), (2.3). Với điều kiện T (A),(B) nghiệm của (2.2),(2.3) cho bởi x ( t ) = Gi ( t , s ) ei ( s ) ds . ∫ 0 π  2 Khi ai ( t ) = k , điều kiện (A) tương đương với 0 < k < λ1 = 2   và điều kiện (B) 2 T  π  2 tương đương với 0 < k ≤ λ1 =   2 T  Hàm Green liên quan đến (2.2), (2.3) có dạng  g1i ( t , s )  ,0 ≤ s ≤ t ≤ T Gi ( t , s ) =   g 2i ( t , s )  ,0 ≤ t ≤ s ≤ T Ta có T T T ∫ x′′ ( s ) G ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) G ( t , s )ds = ∫ e ( s ) G ( t , s ) ds 2 i i i i 0 0 0 T T T T ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ x′′ ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds + ∫ k x ( s ) g ( t , s )ds 2 2 1i 2i 1i 2i 0 0 0 0 T = ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds 0
-5- ⇒ x ( t )  g 2′ i ( t , t ) − g1′i ( t , t )  − x′ ( t )  g1i ( t , t ) − g 2i ( t , t )  + x′ (T )  g 2i ( t , T ) − g1i ( t ,0 )  + x ( 0 )  g1′i ( t ,0 ) − g 2′ i ( t , T )  T T + ∫ x ( s )  g1′′i ( t , s ) + k 2 g1i ( t , s )  ds + ∫ x ( s )  g 2′′i ( t , s ) + k 2 g 2i ( t , s )  ds 0 0 T = ∫ ei ( s ) Gi ( t , s ) ds 0  g1′′i ( t , s ) + k 2 g1i ( t , s ) =0  g1i ( t , s ) = A sin ks + B cos ( −ks ) Ta cần  ⇒ g ′′  2i ( t , s ) + k 2 g 2i ( t , s ) = 0  g 2i ( t , s ) = C sin ks + D cos ( −ks )   g 2is ( t , t ) − g1is ( t , t ) = 1   g1i ( t , t ) = g 2i ( t , t ) Mặt khác   g 2i ( t , T ) = g1i ( t ,0 )  g ( t ,0 ) = g ( t , T )  1is 2 is −kA cos ( kt ) − kB sin ( −kt ) + kC cos ( kt ) + kD sin ( −kt ) = 1  −kt ) C sin ( kt ) + D cos ( −kt )  A sin ( kt ) + B cos (= ⇔ C sin ( kT ) + D cos ( −kT ) = B kC cos ( kT ) + kD sin ( −kT ) = A   cos k (T − t ) − cos kt A =  2k (1 − cos kT )  sin k (T − t ) + sin kt B =  2k (1 − cos kT ) ⇔ C = cos kt − cos k (T + t )  2k (1 − cos kT )   sin k (T + t ) − sin kt  D =  2k (1 − cos kT )
-6- sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s ) Do đó g1i ( t , s ) = 2k (1 − cos kT ) sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) g 2i ( t , s ) = 2k (1 − cos kT ) Trong trường hợp này ta có  sin k (T − t + s ) + sin k ( t − s )  , 0≤ s ≤t ≤T  2 k (1 − cos kT ) Gi ( t , s ) =   sin k (T + t − s ) + sin k ( s − t ) , 0 ≤ t ≤ s ≤ T   2k (1 − cos kT ) 1 kT 1 cot ≤ Gi ( t , s ) ≤ 2k 2 kT 2k sin 2 Cho hàm a ( t ) không là hàm hằng. Có tiêu chuẩn trong Lp được chứng minh trong bài báo [8] nó đưa đến bổ đề sau. Cho K ( q ) kí hiệu là hằng số Sobolev trong bất đẳng thức sau C u q ≤ u′ 2 , ∀u ∈ H 01 ( 0, T ) 2 2   1   1− 2  Γ    2π 2  2   q  , 1 ≤ q < ∞ q   1+ q    1 1 K ( q ) =  qT 2+q  Γ 2 + q       4  ,q = ∞ T ở đây Γ là hàm Gamma.
-7- Chuẩn trong Lp kí hiệu là . p . Số mũ liên hợp của p kí hiệu là p sao cho 1 1 + = 1 p p Bổ đề. 2.1: Với mỗi i = 1,2,..., N , giả sử rằng ai ( t ) > 0 và ai ∈ Lp [ 0, T ] cho bất kì 1≤ p ≤ ∞ Nếu ai p < K ( 2 p ) thì giả thiết (A) thỏa mãn. Hơn nữa, điều kiện (B) thỏa mãn nếu ai p ≤ K ( 2 p ) . Trong giả thiết (A) ta luôn kí hiệu mi = = mi min Gi ( t , s ) , M i max = Gi ( t , s ) , σ i (2.4) 0≤ s ,t ≤T 0≤ s ,t ≤T Mi Khi đó M i > mi > 0 và 0 < σ i < 1 Ta xác định hàm γ :  →  N T γ i ( t ) = ∫ Gi ( t , s ) ei ( s ) ds , i = 1,2,..., N 0 là nghiệm tuần hoàn chu kì T của x "+ ai ( t ) x = ei ( t ) . Trong chương 2, ta sử dụng các kí hiệu sau γ * = min γ i ( t ) γ * = max γ i ( t ) i ,t i ,t 2.2. Kết quả tồn tại (I) Trong mục này, ta trình bày và chứng minh kết quả tồn tại đầu tiên. Chứng minh được dựa trên định lí Leray-Schauder nonlinear alternative.
-8- = Trong áp dụng sau, ta xét X  [ 0, T ] × ... ×  [ 0, T ] và kí hiệu xi = sup xi ( t ) , i = 1,2,..., N . t∈[ 0;T ] x = max xi với x = ( x1 , x2 ,..., xN ) i Xác định toán tử T : X → X bởi Tx = (T1 x, T2 x,..., TN x ) trong đó T T =(Ti x ) ( t ) ∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds , i = 1,2,..., N 0 i i (2.5) là ánh xạ compắc. Chứng minh Kiểm tra Ti ( x ) liên tục theo t. Với x ∈ X cố định, B ={ x ( s ) + γ ( s ) : s ∈ [ 0;T ]} Do f i liên tục nên fi ([ 0, T ] × B ) bị chặn tức là tồn tại M 1 > 0 sao cho f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ M 1 Với ε > 0 do Gi liên tục trên [ 0, T ] × [ 0, T ] tồn tại δ > 0 sao cho t − t ′ < δ ε Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) < , ∀s ∈ [ 0;T ] M 1T T T Ti x ) ( t ′ ) ∫ Gi ( t , s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds − ∫ Gi ( t ′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds (Ti x ) ( t ) − (= 0 0
-9- Chứng minh T ( x ) liên tục theo biến x { Đặt G = sup Gi ( t , s ) i } Xét dãy { xm }m trong X sao cho lim xm = x . m→∞ Đặt C = { x ( s ) : s ∈ [0;T ]; m ∈  } thì C là tập compắc . m + Với ε > 0 vì fi liên tục trên [ 0;T ] × C nên tồn tại số δ > 0 sao cho ε x ( s ) − y ( s ) < δ ⇒ f i ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) − f i ( s, y ( s ) + γ ( s ) ) ≤ . GT Vì lim xm = x trong X nên m→∞ ∃mo : ∀m ≥ mo ⇒ xm ( s ) − x ( s ) < δ , ∀s ∈ [ 0;T ] ⇒ xm − x < δ T (Ti xm ) ( t ) − (Ti x ) ( t ) ≤ G ∫ fi ( s, xm ( s ) + γ ( s ) ) − fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds ≤ ε 0 Suy ra Txm − Tx < ε Vậy T liên tục. Chứng minh T ( x ) liên tục đồng bậc. Cho A là tập bị chặn trong X , nên có M > 0 sao cho x ≤ M , ∀x ∈ A . Do f i liên tục trên [ 0, T ] × BN 0, M + γ ( * ) ,trong đó B ( 0, M + γ ) N * là quả cầu đóng tâm O bán kính M + γ * trong  N nên tồn tại α i > 0 sao cho = { α i max fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) , s ∈ [ 0, T ] }
-10- α = max {α i } i fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ≤ α , ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A . T ( ) Do đó (Ti x ) ( t ) ≤ Gi ( t , s ) f i s, x ( s ) + γ ( s ) ds ≤ Gα T ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A . ∫ 0 Suy ra Tx ≤ Gα T , ∀s ∈ [ 0, T ] , x ∈ A Vậy T ( A ) bị chặn đều. Với ε > 0 cho trước do Gi liên tục trên [ 0, T ] × [ 0, T ] nên có δ > 0 sao cho khi t , t ′ ∈ [ 0;T ] : t − t ′ < δ , ∀x ∈ A , ε ta có Gi ( t , s ) − Gi ( t ′, s ) < , ∀s ∈ [ 0, T ] αT T (Ti x ) ( t ) − (Ti x ) ( t′) ≤ ∫ Gi ( t , s ) − G i ( t′, s ) fi ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds 0 ≤ ε , ∀x ∈ A . T ( A ) liên tục đồng bậc. Do đó theo định lí Ascoli-Arzela. T ( A ) compắc tương đối trong X . Vậy T là ánh xạ compắc.□ Định lí 2.1 : Giả sử rằng a ( t ) thỏa mãn (A). Hơn nữa ta có (H 1 ) Cho mỗi hằng số L > 0 , Tồn tại một hàm liên tục φL > 0 sao cho mỗi thành phần f i của f thỏa mãn f i ( t , x ) ≥ φL ( t ) , ∀t ∈ [ 0, T ] và x ∈ [ − L; L ]
-11- (H 2 ) Với mỗi thành phần f i của f , tồn tại hàm không âm liên tục gi ( x ) , hi ( x ) , ki ( t ) sao cho 0 ≤ fi ( t , x ) ≤ ki ( t ){ gi ( x ) + hi ( x )} , ∀ ( t , x ) ∈ [ 0;T ] ×  N+ \ {0} , Và gi ( x ) > 0 là hàm không tăng và hi ( x ) / gi ( x ) là hàm không giảm theo biến x . (H 3 ) Tồn tại số r > 0 sao cho r > K i* , i = 1,2,..., N  hi ( r + γ ,..., r + γ )  * * gi ( γ * ,..., γ * ,σ i r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 + *   g i ( r + γ * ,..., r + γ )  T Trong đó K = max K i ( t ) , K i ( t ) = Gi ( t , s ) ki ( s ) ds . * i ∫ i 0 Nếu γ * ≥ 0 thì (2.1) có ít nhất một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T với x ( t ) > γ ( t ) với mọi t và 0 < x − γ < r . Chứng minh Đầu tiên ta chỉ ra rằng x′′ + a ( t ) x= f ( t , x ( t ) + γ ( t ) ) (2.6) có một nghiệm x dương tuần hoàn chu kì T thỏa mãn x ( t ) + γ ( t ) > 0, ∀t ∈ [ 0;T ] và 0 < x < r . 1 Từ (H 3 ),ta chọn n0 ∈ {1,2,...} sao cho < σ r + γ * và n0  hi ( r + γ * ,..., r + γ * )  1 K gi ( γ * ,..., γ * ,σ i r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 + * *  +
-12- = Chọn N0 {n0 , n0 + 1,...} . Cố định n ∈ N 0 . Xem xét họ hệ a (t ) t ) x λ f n (t, x (t ) + γ (t )) + x′′ + a (= , λ ∈ [ 0;1] (2.7) n và cho mỗi i = 1,2,..., N ,  1  f i ( t , x ) , x i ≥ n fi n ( t , x ) =   fi  t , x1 ,..., xi −1 , 1 , xi +1 ,..., xN  , xi ≤ 1   n  n Giải (2.7) thì tương đương với vấn đề tìm điểm bất động sau T xi ( t ) λ ∫ Gi ( t , s ) fi n ( s, x ( s ) + γ ( s ) )= λ (Ti n x ) ( t ) + , i = 1,2,..., N (2.8) 1 1 = ds + 0 n n Chúng ta chứng minh rằng bất kì điểm bất động x của (2.8)với bất kì λ ∈ [ 0;1] phải thỏa mãn x ≠ r . Giả sử trái lại x là điểm bất động của (2.8) ứng với λ ∈ [ 0;1] sao cho x = r . Không mất tổng quát, ta giả sử rằng x j = r cho một j = 1,2,...N . Vì vậy ta có T λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) )ds 1 x j (t ) − = n 0 T ≥ λ m j ∫ f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds 0 T ∫ ( = σ j M j λ f jn s, x ( s ) + γ ( s ) ds 0 )
-13- T ≥ σ j max { λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) )ds } t 0 1 =σ j x j − . n Do đó, với mọi t , ta có 1 1  1 1 x j (t ) ≥ σ j x j − + ≥ σ j  x j − +  ≥ σ jr n n  n n 1 Vì thế x j ( t ) + γ j ( t ) ≥ σ j r + γ * > n 1 1 Từ ≤ < σ r + γ* n n0 Vì có điều kiện (H 2 ), cho tất cả t T x j ( t ) λ ∫ G j ( t , s ) f jn ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds + 1 = 0 n T ( ) = λ G j ( t , s ) f j s, x ( s ) + γ ( s ) ds + ∫ 1 n 0 T ≤ ∫ G j ( t , s ) f j ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds + 1 0 n  hj ( x ( s ) + γ ( s ))    T ≤ ∫ G j ( t , s ) k j ( s ) g j ( x ( s ) + γ ( s ) ) 1 + 1  ds + 0  g j ( x ( s ) + γ ( s ))    n  h j ( r + γ * ,..., r + γ * )  1 ≤ K g j ( γ * ,..., γ * ,σ j r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 + * *  + j  g j ( r + γ * ,..., r + γ )  n0
-14- 1 Vì xi ( t ) ≥ , ∀i ∈ {1,2,..., N } \ { j} và γ * ≥ 0 . n Do đó,  h j ( r + γ * ,..., r + γ * )  1 r = x j ≤ K g j ( γ * ,..., γ * ,σ j r + γ * , γ * ,..., γ * ) 1 + * *  + j  g j ( r + γ * ,..., r + γ )  n0 Mâu thuẫn với chọn n0 và khẳng định được chứng minh Từ chứng minh trên, Định lí Leray- Schauder công nhận rằng x (t ) = (T x ) ( t ) + 1n n (2.9) có một điểm bất động, kí hiệu x , trong Br =∈ x X : x 0 . i = 1,2,..., N n n n và t ∈ [ 0;T ] , x là nghiệm tuần hoàn dương chu kì T của (2.10). n Tiếp theo ta khẳng định tồn tại một hằng số δ > 0 , độc lập với n ∈ N 0 , sao cho min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , ∀n ∈ N 0 (2.11) i .t Từ (H 1 ) được thỏa mãn, tồn tại một hàm liên tục φr +γ * ( t ) > 0 sao cho mỗi thành phần f i của f thỏa mãn f i ( t , x ) ≥ φr +γ * ( t ) với mọi t và x ≤ r + γ * . Cho x r +γ ( t ) là nghiệm tuần Chu kì T duy nhất của *
-15- x′′ + a ( t ) x = φ (t ) ( ) Với φ ( t ) = φr +γ * ( t ) ,...,φr +γ * ( t ) , thì ta có T T x (t ) + γ i (t ) = r +γ * i ∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds + γ ( t ) ≥ φ i r+ * i * + γ * > 0 , cho mỗi i = 1,2,..., N 0 T =Ở đây φ* min = φi ( t ) , φi ( t ) ∫ G ( t , s )φ γ ( s ) ds i r+ * i ,t 0 Tiếp theo ta chỉ ra rằng (2.11) thỏa δ = φ* + γ * > 0 . Để có điều này, với mỗi 1 i = 1,2,..., N , từ xin ( t ) + γ i ( t ) ≤ r + γ * và xin ( t ) + γ * ≥ , ta có n T ∫ G ( t , s ) f ( s, x ( s ) + γ ( s ) ) ds + γ ( t ) + n 1 x (t ) + γ i (t ) = n i i i n n i 0 T ≥ ∫ Gi ( t , s )φr +γ * ( s ) ds + γ i ( t ) 0 ≥ φ* + γ * = δ { Do đó min xin ( t ) + γ i ( t ) ≥ δ i .t } Chúng ta chứng minh xin { } n∈N 0 là họ bị chặn và liên tục đồng bậc trên [0,T ] Ta cần x ≤ H với hằng số H > 0 , với mọi n ≥ n0 . n Bởi điều kiện biên tuần hoàn , x n ( t0 ) = 0 với một vài t0 ∈ [ 0, T ] . Tích phân hai vế (2.10) từ 0 đến T , ta có
-16- T T  n a (t )  ∫ a (t ) x= n ( t ) dt ∫0  f ( t , x n ( t ) + γ ( t ) ) + n  dt 0 Do đó, với mỗi i = 1,2,..., N t n i xin ( s ) ds x = max ∫  t t0  t a (s)  = max ∫  fi n ( s, x n ( s ) + γ ( s ) ) + i − ai ( s ) xin ( s )  ds t0   t n T  n ai ( s )  T ≤ ∫  fi ( s, xn ( s ) + γ ( s ) ) + ds + ∫ ai ( s ) xi ( s )ds n 0 n  0 T = 2 ∫ ai ( s ) xin ( s ) ds = ≤ 2r ai 1 H1 0 T Ở đây ai 1 = max ai ( s ) ds . Thì x ≤ H được thỏa mãn với H = max { H i } ∫ n i 0 Từ x < r và x ≤ H chỉ ra rằng với mỗi i = 1,2,..., N , xin n n { } n∈N 0 là họ bị chặn và liên tục đồng bậc trên [ 0,T ] . Theo định lí Ascoli-Arzela xin { } n∈N 0 có dãy con {x } nk i k∈ hội tụ đều trên [ 0,T ] về hàm liên tục xi ∈  ( 0, T ) . Lấy x = ( x1 ,..., xN ) , từ x n < r và min { xin ( t ) + γ i ( t )} ≥ δ , x thỏa mãn δ ≤ xi ( t ) + γ i ( t ) ≤ r + γ * , ∀t và i .t i = 1,2,..., N . Hơn nữa xink thỏa mãn phương trình tích phân